Werkstuk Wiskunde B Fractalen
|
|
- Joanna de Vries
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Werkstuk Wiskunde B Fractalen Werkstuk door een scholier 2129 woorden 5 juni ,1 24 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Voorwoord Wij kregen de opdracht van onze leerkracht wiskunde om een taak te maken over moderne wiskunde. Het onderwerp van die moderne wiskunde was Fractalen. De inleiding die we kregen bij fractalen was een clipje. Een filmpje waarop we een mandelbrot fractaal zagen die steeds meer werd ingezoomd op het deuntje van Jonathan Coulton namelijk mandelbrot set Na weken van onderzoek is dit ons resultaat: Escher Leven Mauritz Cornelis Escher (17/06/ /03/1972) is geboren in Leeuwenaarden, Nederland, als jongste zoon van waterbouwkundig ingenieur George Arnold Escher en diens tweede vrouw, Sarah Gleichman. In 1903 verhuisde de familie naar Arnhem, waar Mauk(zo stond hij bekend bij zijn familie) ging studeren. hij was heel goed in tekenen, maar de rest van zijn resultaten waren maar pover. Escher studeerde af in 1922 met een diploma sierende kunsten op zak. Hij reisde regelmatig naar spanjeen vooral naar italie, waar hij zijn toekomstige vrouw, Jetta Umiker ontmoette. Ze kregen 3 zonen, George, Arthur en Jan. In 1937 verhuisde hij met zijn gezin naar Ukkel, na eerst 2 jaar in Zwitserland gewoond te hebben. In 1941 verhuisde hij terug naar zijn geboorteland, in Baarn, daar verbleef hij tot Dat was een periode waarhij onafgebroken tekeningen maakte, uitgezonderd van 2 operaties. Zijn vrouw had het niet zo goed in Baarn en verhuisde in 1968 terug naar Zwitserland. In 1970 ging Escher naar een rusthuis voor bejaarde kunstenaars waar hij zijn eigen atelier had. 2 jaar later stierf hij. Zijn werk Escher staat bekend om zijn onmogelijke werken zoals: Klimmen en Dalen en Relativiteit, maar ook om zijn metamorphoses, zoals Metamorphose I, II en III, Lucht en Water I en Reptielen. Escher illustreerde ook boeken, ontwierp tapijten, postzegels en wandschilderingen. Hij werd gefascineerd door geometrische figuren van de wand -en vloermozaïeken in het Alhambra, een veertiende-eeuws kasteel in Granada, Spanje, dat hij in 1922 bezocht. Hij maakte dan ook vele symmetrische tekeningen waarin 1 figuur op verschillende wijzen in elkaar paste.(vele voorbeelden vindt u op: Fractalen in de natuur Fractalen vind je bijna overal in de natuur. Kijk maar eens op een landkaart naar de kust van Noorwegen. Op de kaart zie je een grillige kustlijn met veel inhammen, maar wanneer je inzoomt op de kaart zie je in die grillige inhammen weer grimmige Pagina 1 van 5
2 inhammen. En dit blijft maar doorgaan terwijl je inzoomt. Ook in de natuur om ons heen vind je heel vaak fractalen. Een varen is hiervan een mooi voorbeeld. De varenrand is een mooi patroon met vele inhammetjes. Maar wanner je dichter naar deze inhammetjes kijkt, zie je dat deze inhammetjes, weer eens inhammetjes hebben enz. Nog een paar andere voorbeelden zijn takjes van een boom of een blad van een boom. Ook een sneeuwvlokje is zo een bekend voorbeeld. Besluit over fractalen in de natuur Met het blote oog kunnen we waarnemen dat fractalen toch wel vrij veel voorkomen in de natuur, alleen is het fysisch onmogelijk dat ze tot in het oneindige door blijven herhalen. Ze kunnen lang blijven herhalen, maar als we op atomair niveau hebben ingezoomd, gelden er andere regels. Als je bijvoorbeeld op het varenblad blijft inzoomen, krijg je op een gegeven moment atomen, die kunnen onmogelijk dezelfde vorm hebben als de rand van het varenblad. Fractalen aan de hand van de site Wat zijn fractalen? Defenitie Fractalen zijn meetkundige figuren in eindeloze herhaling. Ze vertonen een zelfgelijkvormigheid. Dit wil zeggen dat er steeds ongeveer dezelfde vorm terug is te zien als men op de figuur inzoomt. Een voorbeeld uit de natuur is een wolk die bestaat uit flarden op flarden die er steeds ongeveer hetzelfde uitzien. Fractalen komen zeer vaak voor in de natuur. Chaotische en ingewikkelde figuren uit de natuur kunnen zo wiskundig berekend en weergegeven worden. Fractalen kunnen geconstrueerd worden in het complexe vlak, hierbij wordt een complexe rij gevormd waarbij de punten met elkaar verbonden worden. Door de formule veel te herhalen of te itereren, bekomt men mooie figuren: fractalen. Uitleg Itereren Fractalen begint bij itereren. Dit is een getal nemen, dit kwadrateren en de uitkomst daarvan weer kwadrateren enz. Bijvoorbeeld beginnen bij 2, gekwadrateerd is dit 4. Het kwadraat van 4 is gekwadrateerd geeft 256, enz. Dit proces kan je makkelijk weergeven op een parabool met functie y = x² en de rechte y = x. Men trekt een verticale lijn vanuit het begingetal tot aan de parabool, hierna een horizontale lijn naar de rechte, weer een verticale naar de parabool enz. Wanneer men begint met een getal tussen -1 en 1 zal de uitkomst naar 0 gaan, dan noemt men 0 de aantrekker. Wanneer men een getal kleiner dan -1 of groter dan 1 gaan naar oneindig. Parabool Hierna gaat men de parabool verschuiven naar boven of beneden om te kijken wat er nu gebeurd. Door de verschuiving naar boven of beneden wordt het voorschrift van de parabool y = x² + c. We nemen als voorbeeld de parabool y = x² - 0,5. Wanneer we dan beginnen bij x = 1 zien we dat de aantrekker dit keer het snijpunt van de parabool en de diagonaal is. Ook het andere snijpunt heeft een betekenis. Wanneer de startwaarde van x rechts van dit snijpunt ligt, itereren we naar oneindig. Men kan de parabool ook laten verschuiven naar -1. Dan wordt het voorschrift van deze parabool y = x² - 1. Bij deze parabool is ook iets speciaal, wanneer we itereren bij deze functie, gaan we niet naar 1 vast punt maar blijft het springen tussen 0 en -1. Wanneer men bij itereren blijft springen van het ene punt naar Pagina 2 van 5
3 het andere, noemt men dit een dubbele aantrekker. Wanneer de c kleiner is al -2 of groter als 0,25 zal er geen aantrekker zijn maar zal alles itereren naar oneindig. Wanneer de c dan tussen -0,75 en 0,25 is, zal er maar 1 aantrekker zijn. Een dubbele aantrekker vind je dan weer wanneer de c tussen -0,75 en -1,25 ligt. Een nog lagere c zal een vierdubbele aantrekker geven, dit is wel een klein gebiedje, en een nog kleiner en lager gebiedje zal een achtdubbele aantrekker geven. Wanneer men nog een beetje lager gaat, gaat men iets vreemd zien, wanneer men gaat itereren zal men geen duidelijke aantrekker vinden en zal men geen enkele regelmaat meer herkennen. Dit noemt men chaotisch gedrag. In dit chaotisch gedrag heeft men een vreemde aantrekker, dit is een aantrekker die er wel is, maar niet duidelijk is. Maar tussen deze chaosgebieden zijn toch gebieden te vinden waar een bepaalde aantrekker(s) te vinden is(zijn). Feigenbaum en chaos Dit is allemaal weergegeven in de Feigenbaum. De Feigenbaum is zelf een fractaal want als men steeds inzoomt zal mee steeds hetzelfde tegenkomen. In deze Feigenbaum treed er chaos op, maar wat is nu chaos? Een simpele definitie is: een chaotisch proces is een proces dat we niet kunnen voorspellen wat er gaat gebeuren. Bij de Feigenbaum kan men alles nog steeds goed voorspellen tot de splitsing. Maar vanaf de c-waarde -1, kan men helemaal niet meer voorspellen. Tussen deze chaos gebieden zijn toch nog een paar periodes waar het dan ineens weer voorspelbaar is. In de chaotische gebieden gaan we op de parabool geen specifieke aantrekker meer hebben maar gaat de x-waarde vele sprongen maken. Je moet je startwaarde dus heel nauwkeurig kiezen want keuze van de startwaarde is heel gevoelig. Deze chaos vind je vaak in de natuur terug, denk maar aan de luchtdruk, de temperatuur... Het weer voorspellen is heel moeilijk omdat er zo'n chaotisch gedrag is in de atmosfeer. De gevoeligheid van de startwaarde is in praktijk de onvoorspelbaarheid. Bijvoorbeeld bij het weer, hoe goed je ook probeert van bij de exacte begintemperatuur te beginnen, nog steeds blijft er chaos. Complexe getallen Om fractalen te kunnen snappen moet men ook nog een anders soort getallen kennen dan natuurlijke, gehele, rationale en reële getallen. De nieuwe soort getallen gaat men complexe getallen noemen. Zij kunnen een oplossing geven voor V(x²) = -2. Complexe getallen gaan niet meer op 1 rechte liggen maar in een vlak met een x-as en een y-as. Op de x- as komen de reële delen en op de y-as de imaginaire delen. De reële delen zal men ook aanduiden met Re(c) en de imaginaire met Im(c). Een complex getal zal steeds deze vorm hebben: y = Re(c) + Im(c) i. Deze i staat voor V(-1). Let bij complexe getallen wel op dat je de reële en de imaginaire as niet verwisseld met de x en de y-as! Julia fractalen Wat zijn nu juist (Julia) fractalen? We beginnen terug bij de fuctie y = x² + c waar we als startwaarde complexe getallen kunnen gebruiken. We gaan eerst beginnen bij een reëel getal. Bv. c = 0. Toen we dat in het begin deden bij de reële getallen zagen we dat alle getallen tussen -1 en 1 aangetrokken werden naar 0. Blijkbaar worden ook alle complexe getallen tussen -1 en 1 aangetrokken door 0. Het vlak dat nu dus wordt aangetrokken tot 0 zal een cirkel worden. Pagina 3 van 5
4 Wanneer we c = -0,5 nemen, hadden we gezien dat getallen tussen -1,336 en 1,336 werden aangetrokken tot -0,336. Maar wanneer men nu naar de complexe getallen gaat kijken, ziet men dat het daar niet geld dat het tussen -1,336 en 1,336 wordt aangetrokken tot -0,336. Wanneer je dit gebied bekijkt krijg je een vlak met grillige randen. Een andere c die we bekeken hadden was c = -1. Hier hadden we een dubbele aantrekker gevonden: 0 en -1. Wanneer we dit in het complexe vlak bekijken, zien we een figuur die op spruitjes lijken. Dit soort figuren wordt Julia fractalen genoemd naar een Franse wiskundige Gaston Julia. Hij was de eerste die hierin onderzoek deed in het begin van de vorige eeuw zonder computers. Nu kunnen we Julia fractalen dus definieren. Julia fractalen zijn de gebieden van punten die in het complexe vlak voor een gegeven waarde van c, die bij itereren niet naar oneindig gaan. Wanneer we voor c nu een complex getal nemen, zullen er vele grilligere figuren ontstaan en zullen de aantrekkers ook complexe getallen zijn. Soms zien we ook afbeeldingen van fractalen met vele kleuren er rond. Die hebben ook een bepaalde betekenis. De zwarte gebieden zijn de Julia fractalen, die punten worden niet aangetrokken naar oneindig. De punten daarbuiten gaan dus allemaal naar oneindig maar het aantal maal itereren verschilt wel en daarvan zal de kleur dus afhangen. Mandelbrot Er is nog 1 probleem, niet voor alle c-waarden kan je een Julia fractaal verkrijgen. Daarom heeft men een Mandelbrot fractaal gemaakt. Dit is een fractaal die alle punten toont bij welke c-waarde er een Julia fractaal hoort. Deze fractaal is gemaakt door de Poolse wiskundige Benoit Mandelbrot in de jaren 70 van vorige eeuw. Hij bouwde voort op wat Julia gevonden had en in deze tijd begon men dat zelfs met de eerste computers te doen. De Mandelbrotfractaal geeft voor elke c, met als startwaarde x = 0, weer of het itereert naar een aantrekker of naar oneindig. De punten met een aantrekken zijn zwart gekleurd, de punten die naar oneindig gaan zijn gekleurd door een het aantal iteraties die nodig zijn voor aan oneindig te komen. Maar Mandelbrot blijft niet zo eenvoudig. De hoofdverzameling wordt ook het appelmannetje genoemd. Maar rond de hoofdverzameling zijn ook nog vele kleine dezelfde figuurtjes te vinden. Op het eerste zicht lijken die er gewoon te 'hangen' maar wanneer je de figuur inkleurt volgens de normale normen zie je dat die kleine figuurtjes zie je dat ze er toch niet hangen te 'zweven' maar via kleine draadjes aan de hoofdverzameling. Die kleine figuurtjes moeten niet altijd gelijkvormig zijn, maar ze hebben wel steeds dezelfde vorm en deze figuurtjes vind je tot op c = -2 op de hoofdantenne. Van chaos is in Mandelbrot niet veel te merken. Chaos is in Mandelbrot enkel in de lijn waarmee de kleiner Mandelbrotjes met elkaar zijn verbonden. Zelf ontdekken: 3D-fractalen Wat zijn 3D-fractalen? We kennen nu fractalen, wat we zelf hebben ontdekt is dat er ook 3D-fractalen bestaan. Het is hetzelfde principe als de fractalen die we hierboven hebben gezien. Het enige verschil is dat we op een extra z-as krijgen, zodat het te itereren punt in 3D wordt omgevormd. 3D-fractalen in de wereld Wat daarnet bij fractalen in de natuur hebben gezet, zijn eigenlijk 3D-fractalen. Rond 3D-fractalen worden ook wedstrijden georganiseerd, wie het mooiste fractaal maakt, wint de wedstrijd. De fractalen Pagina 4 van 5
5 worden voorgesteld met een computerprogramma, want nabouwen is practisch onmogelijk. Al hebben we wel een voorbeeld van de driehoek van sierpinski, die van 2D naar 3D is omgezet. Pagina 5 van 5
Praktische opdracht Wiskunde B Fractals
Praktische opdracht Wiskunde B Fractals Praktische-opdracht door een scholier 3499 woorden 4 juli 2004 5,2 39 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding De opdracht was simpel: maak een werkstuk over Fractals.
Nadere informatie5 Eenvoudige complexe functies
5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde Kwadraten en wortels
Antwoorden Wiskunde Kwadraten en wortels Antwoorden door een scholier 1076 woorden 16 maart 2016 4,9 19 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 1. Bij x = 3 hoort y = 15 Bij x = 0 hoort y
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieFractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
Nadere informatiePraktische-opdracht door een scholier 2835 woorden 21 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Praktische-opdracht door een scholier 2835 woorden 21 januari 2006 7 43 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Voor onze praktische opdracht van wiskunde hebben wij het onderwerp fractal en dimensie
Nadere informatie4,7. Praktische-opdracht door een scholier 3588 woorden 2 juni keer beoordeeld
Praktische-opdracht door een scholier 3588 woorden 2 juni 2008 4,7 52 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding In dit werkstuk gaan wij de wiskundige opbouw en vlakverdeling van een aantal van Escher s kunstwerken
Nadere informatieComplex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.
The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieEscher in Het Paleis. Wiskundepakket. Inleiding. M.C. Escher en Wiskunde. De wiskunde educatie van Escher in Het Paleis
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Inleiding M.C. Escher en Wiskunde De wiskunde educatie van Escher in Het Paleis M.C. Escher en Wiskunde Hieronder volgt de inleiding van de wiskunde educatie voor middelbare
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Fractals
Praktische opdracht Wiskunde B Fractals Praktische-opdracht door een scholier 2136 woorden 4 juli 2004 4,9 36 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Voor wiskunde B-1 moesten we in groepjes van 2 of
Nadere informatieInhoudsopgave. Introductie Escher 4. Escher biografie 5. Escher van toen... 7. Escher stijl 8. Escher werk 10. Escher van nu... 14.
Inhoudsopgave Introductie Escher 4 Escher biografie 5 Escher van toen... 7 Escher stijl 8 Escher werk 10 Escher van nu... 14 Museum 16 Escher zelf... 18 Colofon 19 03 Introductie Escher Maurits Cornelis
Nadere informatieInhoud. Het leven van Escher. Weiland wordt vogel. Kringloop metamorfose. De wereld op z n kop.
Inhoud. Blz. 1. Blz. 2. Blz. 3. Blz. 4. Blz. 5. Blz. 6. Blz. 7. Blz. 8. Blz. 9. Blz. 10. Blz. 11. Kaft Inhoud Het leven van Escher. Moeilijke jaren. Weiland wordt vogel. Kringloop metamorfose. De wereld
Nadere informatie3. Geïtereerde functiesystemen
3. Geïtereerde functiesstemen In de ontwikkeling van allerhande toepassingen wordt de dag van vandaag gebruik gemaakt van geïtereerde functiesstemen. Bijvoorbeeld in het hedendaags multimediaal computertijdperk
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieLES: Vier op een rij. BENODIGDHEDEN Per leerling werkblad Vier op een rij (zie p. 5) kleurpotloden, potlood en gum AFBEELDING SPELLETJE
LES: Vier op een rij DOEL oefenen van keersommen; inzicht ontwikkelen in welke verschillende keersommen dezelfde uitkomst hebben; het patroon herkennen van keersommen in de tabel. BENODIGDHEDEN Per leerling
Nadere informatieEen koninklijk huwelijk bij Escher in Het Paleis
Uw Bruiloft Een koninklijk huwelijk bij Escher in Het Paleis Trouw in het winterpaleis van Koningin Emma in de romantische Balzaal of tussen de betoverende werken van Maurits C. Escher. Omgeven door oneindige
Nadere informatieLES: Vier op een rij 2
LES: Vier op een rij 2 DOEL oefenen van keersommen; inzicht ontwikkelen in welke verschillende keersommen dezelfde uitkomst hebben; het patroon herkennen van keersommen in de tabel. BENODIGDHEDEN Per leerling
Nadere informatieDe Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatieBedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):
Bedoeling: De leerlingen leren M.C. Escher en zijn werken kennen. Ze ontdekken ook wat regelmatige vlakvulling is en maken kennis met de drie soorten symmetrie die Escher in zijn werken gebruikt. Na het
Nadere informatieCollege 2: Chaos. Wat we vandaag gaan doen:
College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen: 1) Wat is chaos niet: de enkele slinger 2) Een stapje verder: de dubbele slinger 3) Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding 4) Chaos precies gemaakt:
Nadere informatieWerkstuk Wiskunde Driehoek van pascal
Werkstuk Wiskunde Driehoek van pascal Werkstuk door een scholier 283 woorden 28 mei 2002 5,7 274 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Inleiding Wij Tim, Maik, Koen en Christiaan maken
Nadere informatieNovum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):
Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert
Nadere informatieKwadratische verbanden - Parabolen klas ms
Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum).
Nadere informatieChaos in de klassieke mechanica
Studiedag van het Wijsgerig Gezelschap te Leuven 19 mei 2018 Chaos in de klassieke mechanica Christian Maes Instituut voor Theoretische Fysica KU Leuven Mechanica beschrijft hoe lichamen zich verplaatsen
Nadere informatieEEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS
PROFIELWERKSTUK VWO GEBROKEN DIMENSIES EEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS MATTHIJS WESTERA - 1 - So, nat ralists observe, a Flea Hath smaller Fleas that on him prey, And these have sammler yet to bite
Nadere informatie7.1 Ongelijkheden [1]
7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
Nadere informatiePASPOORTEN BOVENBOUWERS.NL
PASPOORTEN M.C. Escher 17 juni 1898 27 maart 1972 Leeuwarden Tekeningen die niet klopten. Maurits Cornelius Escher werd geboren in in 1898 in een Friese familie. Hij was de jongste thuis en zijn familie
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieOpdracht: pretparktycoon
Opdracht: pretparktycoon 120 Doel: ik leer omgaan met een budget en kan daarbij de invloed van inkomsten en uitgaven juist interpreteren. pen, kleurpotloden, vel ruitjespapier, pc met internetaansluiting,
Nadere informatie5,8. Werkstuk door een scholier 1712 woorden 13 maart keer beoordeeld M. C. ESCHER. Inhoudsopgave
Werkstuk door een scholier 1712 woorden 13 maart 2007 5,8 69 keer beoordeeld Vak KCV M. C. ESCHER Inhoudsopgave Voorwoord Maurits Cornelis Escher zijn leven Biografie Tentoonstellingen Verschillen de schilderijen
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen ij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg
Nadere informatieExploraties met GeoGebra
9 Fractalen Exploraties met GeoGebra Een fractaal is een meetkundige figuur waarin een zelfde motief zich steeds op kleinere schaal herhaalt. Men spreekt in dat verband over de bloemkoolstructuur of de
Nadere informatieHoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieKegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015
Kegelsneden Aflevering 1 Ellipsen, parabolen en hyperbolen zijn mooie figuren die in de natuur voorkomen. Denk maar aan een steen die door de lucht vliegt, of een komeet die om de zon beweegt. In de techniek
Nadere informatiea. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok
Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten,
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde Vermenigvuldiging en deling van lijnen en parabolen
Praktische opdracht Wiskunde Vermenigvuldiging en deling van lijnen en parabolen Praktische-opdracht door een scholier 1862 woorden 15 september 2001 5,8 78 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding In dit
Nadere informatieLes 6 Tegeltjes leggen
Les 6 Tegeltjes leggen Kern In deze les maken en onderzoeken de leerlingen patronen vanuit één eenvoudige basistegel. De focus ligt op kenmerken van (regelmatige) patronen, zoals vormen van herhaling,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieA. B. C. D. Opgave 3. In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? A. B. C. D.
FAJALOBI 2015 Opgave 1 Het getal heet een palindroom. Dat is een getal dat als je het van achter naar voren leest het hetzelfde is als van voor naar achter. Een palindroom begint niet met een nul. Wat
Nadere informatieWerkstuk Wiskunde Magische Vierkanten
Werkstuk Wiskunde Magische Vierkanten Werkstuk door een scholier 1258 woorden 9 maart 2005 5,8 144 keer beoordeeld Vak Wiskunde De Chinezen waren de eerste die met magische vierkanten gingen werken. Volgens
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieMINIMODULES VOOR 3 VWO
MINIMODULES VOOR 3 VWO Bioethanol Complex rekenen Cryptografie Digitaal! Evolutie van het oog Forensisch onderzoek Fractals Grafentheorie Navigatie Zonne-energie Ontwikkeld voor Door Jeroen Borsboom Hans
Nadere informatieEscher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1. tijdvak 1 maandag 25 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2009 tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor
Nadere informatieDraai maar in het rond!
Draai maar in het rond! Bedoeling: Dit is een activiteit dat je kan gebruiken om de leerlingen te laten oefenen om cirkels te tekenen met een passer. Dit is dus een verwerkingsactiviteit na de werkboekoefeningen.
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieMACHINES. ... en kralenkettingen. Onderzoeksprogramma Vierkant voor Wiskunde. Wiskundeclubs. Tristan Cranendonk & Joost Langeveld
MACHINES... en kralenkettingen. Onderzoeksprogramma Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Tristan Cranendonk & Joost Langeveld Kralenketting machines 1 Uitleg van de gebruikte symbolen: In de kantlijn staan
Nadere informatie(a) schaling (b) rotatie (c) translatie (d) spiegeling. 4. De overeenkomst tussen de Mandebrotfiguur en het bifurcatiediagram van de logistische
Inleiding Adaptieve Systemen Omdat er afgelopen vrijdag een probleem was met de zaalruimte is de deadline van de eerste practicumopdracht verschoven naar 7 juni. Je kunt er op de sessie van 6 juni dus
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieLES: Groepjes maken 2
LES: Groepjes maken 2 DOEL strategieën ontwikkelen voor het bepalen van het aantal objecten in een rechthoekig groepje (bijv. herhaald optellen per rij, verdubbelen, een keersom maken); verband leggen
Nadere informatiehttp://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...
Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieFactor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.
Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet
Nadere informatieDeel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB
Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte
Nadere informatieEscher in Het Paleis. Wiskundepakket. Onmogelijke figuren
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Onmogelijke figuren Onmogelijke figuren Een onmogelijk figuur is een tweedimensionale weergave van een object dat in drie dimensies onmogelijk lijkt te kunnen bestaan.
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatieMasterclassprogramma klas 1 periode
Masterclassprogramma klas 1 periode 3 2017-2018 Beste leerlingen, Door jullie mentoren worden/zijn jullie geïnformeerd over periode 3 van het masterclassprogramma. Hier kun je nog eens rustig nalezen waar
Nadere informatieDan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels 7 9 dit w = ( / 3 + / 4 )(Z + z), in regels 0 staat over de zwarte koeien dit z = ( / 4 + / 5 )(* + g), over de gevlekte
Nadere informatieWiskunde ontdekken VOOR KIDS
Wiskunde ontdekken VOOR KIDS Julia Volkmer Petra Wolthaus Amersfoort, 2018 21195_01_ffirsindd Boek 21195indb 1 1 Trim size: 55 in 85 in April 19, 2018 2:20 PM 3 INHOUD inleiding 6 Hallo, toekomstige patroonzoeker!
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
Nadere informatieKIJKWIJZER SCHILDERIJ CKV 1 opdracht Cijfer:
KIJKWIJZER SCHILDERIJ CKV 1 opdracht Cijfer: Naam: Klas: Datum: Feiten Een kijkwijzer is bedoeld om je mee te nemen in de waarneming en het kijken te intensiveren: kortom je gaat steeds meer dingen zien,
Nadere informatieVAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.
VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten
Nadere informatie( ) 8 ( ) 10. Nearby integers P.G. van de Veen, 19 juli en dát getal heeft al 960 cijfers voor de komma. Want. log 3 = 2010 log 3 > 959
earby integers P.G. van de Veen, 19 juli 011 Hoeveel opeenvolgende negens heeft ( + 3) 010 achter de komma Wat een vreemde vraag! Zijn dat er dan veel En hoe tel je ze Dit getal is toch veel te groot om
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/62814 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Martindale, C.R. Title: Isogeny graphs, modular polynomials, and applications
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel
Nadere informatieModulewijzer InfPbs00DT
Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatieOnmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde
Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatie19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober De complexe imaginaire wereld. Didier Deses
19 de T 3 Vlaanderen Symposium Leuven 15 oktober 2016 De complexe imaginaire wereld Didier Deses 43 Creatief in C met de TI-84+ Didier Deses 1, Philip Bogaert 2 1 Leerkracht wiskunde K. A. Koekelberg,
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatieMeetkunst Les 4 Spelen met perspectief
Meetkunst Les 4 Spelen met perspectief Vervreemding door optische illusies Niet alle kunstenaars houden zich aan de regels van perspectief, standpunt, onderlinge verhoudingen etc. Zij overtreden moedwillig
Nadere informatieVoorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)
Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =
Nadere informatieReële functies. Deel I. 1. Rationale functies. 1. Definitie: gezien. 2. Homografische functies: zie onder
Deel I Reële functies. Rationale functies. Definitie: gezien. Homografische functies: zie onder 3. Domein, nulpunten en tekenonderzoek: gezien. De functie f :. Domein f. Snijpunten met de X-as en de Y
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatie4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld
Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni 2001 4,7 331 keer beoordeeld Vak Wiskunde Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieCompositie op basis van geometrische vormen
Om goed heen en weer te kunnen springen tussen dia en afbeeldingen moet je dit bestand openen met Acrobat Reader. Voor het bekijken van de voorbeelden klik je op de blauwe link. Om terug te keren naar
Nadere informatieBlok 3 - Vaardigheden
B-a Extra oefening - Basis Ja, x en y zijn omgekeerd evenredig. Bij de tael hoort de formule x y = 70 of y = 70 of x = 70. x y Ja, x en y zijn omgekeerd evenredig. Bij de tael hoort de formule x y = 8
Nadere informatie2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11.
Uitwerkingen wizbrain 2013 1. E 2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. 3. C De vetgedrukte kaarsen in de volgende tabel branden na 55 minuten: begin 0 10 20 30
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieLeerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling
Nadere informatieEindexamen wiskunde A havo I
Eindexamen wiskunde A havo 00 - I Opgave Veldkrekels volgens Duijm is de temperatuur,4 5 + = 9 C,4 60 40 volgens Dekkers is de temperatuur + 0 5 C het antwoord is (ongeveer) 6 n 5 de toevoeging + de formule
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II
Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatie