EEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS

Transcriptie

1 PROFIELWERKSTUK VWO GEBROKEN DIMENSIES EEN ONDERZOEK NAAR VERTAKKINGSFRACTALS MATTHIJS WESTERA - 1 -

2 So, nat ralists observe, a Flea Hath smaller Fleas that on him prey, And these have sammler yet to bite em, And so proceed ad infinitum. - Jonathan Swift ( ) - 2 -

3 INHOUDSOPGAVE FRACTALS IN DE NATUUR... 4 DOELSTELLING... 5 HET GENEREREN VAN FRACTALS... 6 De voortbouwmethode... 6 De vervangingsmethode... 7 De algebraïsche methode... 8 DE VERTAKKINGSFRACTAL De basisvorm Type 1: R 1 =R 2, α 1 =α Type 2: R1=R2, α1 α Type 3: R 1 R 2, α 1 =α Type 4: R 1 R 2, α 1 α Type 5: Negatieve groeifactoren FRACTALE DIMENSIE De dimensie van gebruikelijke meetkundige objecten De dimensie van een vervangingsfractal De dimensie van een vertakkingsfractal Het programma Fractal Dimensions Het aantal iteraties UITKOMSTEN Meetresultaten De invloed van de hoek De invloed van de groeifactor Conclusie EVALUATIE LOGBOEK Bestede tijd Referenties

4 FRACTALS IN DE NATUUR Een varenblad zoals in figuur 1 heeft een heel bijzondere structuur. Een varenblad is opgebouwd uit blaadjes, die precies dezelfde vorm hebben als het varenblad zelf. Zo n blaadje is zelf ook weer opgebouwd uit kleinere blaadjes, die weer dezelfde vorm hebben. Een varenblad bestaat uit herhaalde kopieën van zichzelf. Een varenblad is opgebouwd uit varenblaadjes, die zijn opgebouwd uit varenblaadjes, die zijn opgebouwd uit varenblaadjes, enzovoorts. Figuur 1. Een varenblad. Wanneer dit tot in het oneindige zou doorgaan, spreken wiskundigen van een fractal: een figuur met oneindige zelfgelijkvormigheid (ieder zijblaadje is weer een kopie van het geheel) en een oneindige hoeveelheid detail (hoe ver we het blad ook uitvergroten, de hoeveelheid detail neemt niet af). In de natuur is er natuurlijk de limiet van de celgrootte, dus een varenblad kan niet doorgaan tot in het oneindige. Het varenblad is echter bij benadering een fractal. Fractals zijn overal. Astronomen zien ze door hun telescopen in sterrenstelsels, artsen zien ze in het bloedvatenstelsel, natuurliefhebbers vinden fractals terug in bomen en planten en computerspelfanaten zien ze op hun scherm in de vorm van realistische texturen. De Poolse wiskundige Benoit Mandelbrot gaf de naam fractal aan dit soort meetkundige figuren die oneindige zelfgelijkvormigheid en oneindig veel detail vertonen: een fractal bestaat uit kleinere kopieën van zichzelf, en hoe ver een fractal ook wordt uitvergroot, de hoeveelheid detail neemt niet af. Tal van objecten in de natuur hebben een fractale structuur. De nautilusschelp in figuur 2 is net als het varenblad een benadering van een fractal. Figuur 2. De Nautilusschelp

5 Hoewel ook de nautilusschelp in de natuur niet tot in het oneindige door kan spiraliseren, benadert deze opnieuw de ongelimiteerde hoeveelheid detail en zelfgelijkvormigheid van een fractal. Ook een boom heeft kenmerken van een fractal (figuur 2). Figuur 3. Een vertakkingsfractal. Een boom is een vertakkingsfractal. Hij begint met één stam, die zich splitst in twee nieuwe takken. Op hun beurt splitsen ook die zich in weer kleinere takken. Een afgezaagde tak die rechtop in de grond wordt gezet lijkt weer sprekend op de gehele boom. DOELSTELLING Dit profielwerkstuk betreft een onderzoek naar de verschijningsvormen van vertakkingsfractals. We beperken ons tot deze vertakkingsfractals vanwege de herkenbare en elementaire vorm, die vrij eenvoudig is te construeren. Om de fractals te tekenen wordt gebruik gemaakt van een Java applet. Eerst zal ingegaan worden op drie verschillende methoden om fractals te genereren, om een beeld te krijgen van fractals in het algemeen. Vervolgens zal dieper worden ingegaan op de vertakkingsfractal. We zullen zien dat iedere vertakkingsfractal is opgebouwd uit een vaste basisvorm, waarin de vertakkingswijze is vastgelegd. Verschillende basisvormen zorgen voor verschillende bomen. In figuur 4 staan vier willekeurige voorbeelden van basisvormen. We zullen vijf typen vertakkingsfractals onderscheiden en bespreken. Figuur 4. Enkele basisvormen van vertakkingsfractals. Door voortdurende herhaling van deze basisvormen ontstaat een ruimtelijk uitgebreide figuur, een boom. De mate van uitgebreidheid wordt door wiskundigen uitgedrukt in het begrip fractale dimensie. De methode om die dimensie te meten zal uitgebreid aan bod komen. Vanwege de beperkte omvang van een profielwerkstuk concentreren we ons vervolgens op één van de typen vertakkingsfractals: de symmetrische bomen. Deze ontstaan door van symmetrische basisvormen uit te gaan, zoals de twee voorbeelden rechts in figuur 4. Van een - 5 -

6 groot aantal symmetrische bomen zal de fractale dimensie worden bepaald, om een antwoord te krijgen op de onderzoeksvraag: Hoe hangt de fractale dimensie van symmetrische vertakkingsfractals samen met de gekozen basisvorm? HET GENEREREN VAN FRACTALS Er zijn verschillende methoden om fractals te creëren. Het is voor het algemene begrip van fractals goed om de verschillende methoden nader te bekijken. Voor het onderzoek zal uitsluitend gebruik gemaakt worden van de eerste methode die hieronder wordt besproken. De voortbouwmethode Een eenvoudige manier om fractals te verkrijgen bestaat uit het voortbouwen op een beginfiguur. Dit gebeurt volgens een voortbouwregel. Een voorbeeld van zo n voortbouwregel is weergegeven figuur 5. Figuur 5. Een simpele voortbouwregel. We bouwen op de beide schuine zijden van de driehoek van een huisje twee nieuwe, gelijkvormige maar verkleinde kopieën van zichzelf. De rechterfiguur in figuur 5 kan gezien worden als de basisvorm van een vertakkingsfractal. Het toepassen van een voortbouwregel noemen we itereren. Figuur 5 geeft dus één iteratie weer. Door vervolgens op dezelfde manier op de twee toegevoegde huisjes de regel toe te passen en zo tot in het oneindige door te gaan ontstaat er een in de wiskunde zeer bekende fractal: de boom van Pythagoras (figuur 6). Figuur 6. De boom van Pythagoras: een fractal. In plaats van de bovenstaande huisjes kunnen ook lijnen gebruikt worden, zoals de basisvormen in figuur 4. Op die manier ontstaan vertakkingsfractals zoals in figuur

7 Figuur 7. Een vertakkingsfractal opgebouwd uit lijnen. Zo ontstaan weliswaar minder realistische bomen (alle takken, kleine en grote, zijn even dik), maar ze zijn vanwege hun eenvoud zeer geschikt voor dit werkstuk. De vervangingsmethode Een tweede methode om fractals te genereren is de vervangingsmethode. Deze lijkt erg op de voortbouwmethode. Het enige verschil is dat delen die getekend zijn niet perse hoeven te blijven staan. We gaan bij deze methode uit van een beginfiguur en passen daar herhaaldelijk een regel op toe, theoretisch tot in het oneindige. Een voorbeeld van zo n vervangingsregel is weergegeven in figuur 8. Figuur 8. Een vervangingsregel. Na een iteratie wordt ieder nieuw lijnstukje ook weer op die wijze vervangen. Wanneer we bij deze vervangingsregel als beginfiguur een vierkant kiezen, ontstaat na twee iteraties figuur 9c. Figuur 9a. De beginfiguur. b. Na één iteratie. c. Na twee iteraties. Als we zo doorgaan, krijgen we uiteindelijk een op het oog grimmig figuur dat toch grote regelmaat vertoont: het Koch-eiland (figuur 10). Figuur 10. Het Koch-eiland

8 Hoezeer we de rand van het Koch-eiland ook uitvergroten, hij zal altijd dezelfde hoeveelheid detail tonen: het is een fractal. Door andere vervangingsregels of andere beginfiguren te kiezen kunnen vele verschillende fractals worden gegenereerd. Neem bijvoorbeeld de vervangingsregel uit figuur 11. Figuur 11. Nog een vervangingsregel. Door deze vervangingsregel herhaaldelijk toe te passen op de overblijvende zwarte driehoeken, ontstaat na een oneindig aantal iteraties de Sierpinski-driehoek (figuur 12). Figuur 12. De Sierpinski-driehoek. Ook als we op deze figuur inzoomen, zien we dat de hoeveelheid detail niet afneemt. Iedere kleinere driehoek is weer een exacte kopie van de hele Sierpinski-driehoek. De algebraïsche methode Soms kunnen ook bij de oplossing van wiskundige vergelijkingen zichzelf herhalende patronen ontstaan, bijvoorbeeld in het geval van recurrente vergelijkingen. Dat zijn vergelijkingen waarbij oplossingen worden berekend uit hun voorgangers. Een voorbeeld van een recurrente formule is de reeks Z n = Z n C. Iedere nieuwe term is het kwadraat van zijn voorganger (plus een constante C) en bevat daarmee dus een deel van zichzelf. Deze formule leidt tot een in de wiskunde zeer bekende groep fractals: de Julia-verzameling, vernoemd naar hun Franse ontdekker. Voor verschillende waarden van de beginterm Z 0 wordt gekeken of de reeks Z n divergeert (naar oneindig gaat) of convergeert (naar een grenswaarde gaat). Z n en C zijn hier echter complexe getallen, en dat maakt het mogelijk om de waarden weer te geven in het zogenaamd complexe vlak. Hoewel in dit werkstuk op complexe getallen niet verder zal worden ingegaan, is het voor de geïnteresseerde zeker aan te raden om eens een kijkje te nemen op de website waar het zeer duidelijk wordt uitgelegd. Het is voor nu voldoende om te weten dat complexe getallen uit twee componenten zijn opgebouwd, en dus weergegeven kunnen worden in een vlak met twee - 8 -

9 assen die de twee componenten vertegenwoordigen. Wanneer alle punten in dit vlak worden weergegeven, waarvoor geldt dat Z n convergeert, ontstaan grimmige figuren met een oneindige hoeveelheid detail: fractals. Als we nu de punten buiten de fractal een kleur geven afhankelijk van het aantal iteraties waarna Z n boven een vastgestelde grenswaarde komt, ontstaan voor verschillende waarden van C kleurrijke fractals zoals die in figuur 13. Al deze fractals vallen onder de Julia-verzameling. Figuur 13. Een fractal uit de Julia-verzameling. Niet voor alle waarden van C ontstaat echter een fractal. Het was Benoit Mandelbrot die alle waarden voor C die een fractal genereerden, weergaf in het complexe vlak. De figuur die daar uit voortkomt is een zeer bekende fractal: de Mandelbrot-verzameling (figuur 14). Figuur 14. De Mandelbrot-verzameling. Wanneer we nu op de rand van deze figuur inzoomen, krijgen we weer patronen te zien die oneindig veel detail bevatten (figuur 15). Figuur 15a. De Mandelbrot-verzameling uitvergroot. b. Vergroting: 1,6 biljoen keer

10 In figuur 15 is ingezoomd op de Mandelbrot-fractal, en in beide figuren zien we de karakteristieke zwarte figuur (het appelmannetje ) terugkomen. Figuur 15b is maarliefst 1,6 biljoen keer uitvergroot, en de hoeveelheid detail is nog steeds even groot. Wanneer we met die vergroting naar dit verslag zouden kijken, zitten we ongeveer op het niveau van de atomen. DE VERTAKKINGSFRACTAL Zoals in de introductie reeds vermeld werd, richt dit werkstuk zich op de vertakkingsfractal, gegenereerd met de voortbouwmethode. Voor het tekenen van de fractals voor dit onderzoek zal gebruik gemaakt worden van een Java applet. De code zelf wordt niet behandeld, aangezien dat meer past binnen een informatica werkstuk. Wel zal de manier waarop een basisvorm is vastgelegd behandeld worden. Daarna zal van een groot aantal verschillende fractals worden nagegaan hoe uit het herhaaldelijk toepassen van de basisvorm, de uiteindelijke vorm van de fractal kan worden begrepen. We zullen vijf typen vertakkingsfractals onderscheiden, waarvan er later maar één gebruikt gaat worden voor het onderzoek. De basisvorm We weten al dat bomen ontstaan door herhaaldelijk een voortbouwregel toe te passen. In figuur 16 is te zien hoe een boom wordt opgebouwd. Het begin van de boom bestaat uit één enkele stam ter lengte L. Door vertakking ontstaan twee nieuwe takken die ieder een eigen richting hebben en een eigen lengte. De lengtes van de nieuwe takken worden beschreven met de groeifactoren R 1 en R 2 ten opzichte van de oorspronkelijke lengte L. De richtingen van de twee takken worden bepaald door de hoeken α 1 en α 2. Hiermee is een eenduidige vertakking gedefinieerd, de basisvorm, die vervolgens herhaaldelijk wordt toegepast. Na twee iteraties krijgen we zo figuur 16c. Figuur 16a. De begintak. b. De basisvorm. c. De boom na twee iteraties. De beginlengte L bepaalt niet de vorm, maar slechts de grootte van de boom. De overige vier factoren zijn wèl van invloed op de vorm. Dat zijn α 1, α 2, R 1 en R 2. Deze vormen de vier parameters die de basisvorm beschrijven. We gaan de invloed van deze parameters op de fractale dimensie van de boom proberen te achterhalen. De groeifactoren moeten absoluut genomen kleiner zijn dan 1, omdat anders de boom explodeert en niet meer getekend kan worden. We onderscheiden in totaal vijf typen bomen. Binnen ieder type zullen we van een aantal fractals de uiterlijke vorm verklaren

11 Type 1: R 1 =R 2, α 1 =α 2 Laten we eenvoudig beginnen: we nemen voor beide groeifactoren, R 1 en R 2, en voor de beide hoeken α 1 en α 2, steeds gelijke waarden. Zo ontstaan diverse fractals, weergegeven in figuur 17, die we hieronder kort toelichten. a. b. c. d. Figuur 17. Verschillende vertakkingsfractals waarvoor geldt R 1 =R 2, α 1 =α 2. Noot: in de applet heeft α 2 een negatieve waarde, omdat deze tegengesteld is aan α 1. Verder wordt met factor vanzelfsprekend de groeifactor R bedoeld, en met hoek de vertakkingshoek α. De hoeken zijn weergegeven in radialen. Met R 1 =R 2 en α 1 =α 2 zien we dat er bomen ontstaan die afhankelijk van de waarden voor R en α een grote of minder grote gelijkenis vertonen met levende bomen. Alle op deze wijze ontstane bomen zijn logischerwijs symmetrisch. We zien in figuur 17b dat een kleine verlaging van de R (vergeleken met figuur 17a) voor een veel kleinere boom zorgt. Dit komt doordat de takken na iedere iteratie sneller korter worden. In figuur 17c zien we dat een grotere waarde voor α zorgt voor een zeer sterk krullende boom die na een aantal iteraties al zijn eigen stam doorkruist. Hierdoor ontstaat een zwarte massa die weinig meer weg heeft van een boom. Om te voorkomen dat dit gebeurt bij zo n grote hoek, kan de R verkleind worden. Zo krijgen we de krullende maar overzichtelijke boom van figuur 17d. Type 2: R1=R2, α1 α2 Laten we nu eens, terwijl we nog steeds de groeifactoren gelijk aan elkaar houden, de beide hoeken onafhankelijk van elkaar veranderen. Zo krijgen we de asymmetrische bomen in figuur

12 a. b. c. d. Figuur 18. Verschillende vertakkingsfractals waarvoor geldt R 1 =R 2, α 1 α 2. Onder deze conditie ontstaan asymmetrische vertakkingsfractals. Bij weinig iteraties (zoals figuur 18a en 18b) lijkt dit soort vertakkingsfractals op bomen in de wind. Bij een groter aantal iteraties neemt het zwarte gedeelte een soort druppelvorm aan (figuur 18c en 18d). Wanneer één van de twee hoeken erg klein is ontstaan vreemde bomen die maar naar één kant takken lijken te hebben (figuur 18d). Voor deze fractals geldt net als voor de symmetrische dat grote hoeken een zwarte massa veroorzaken, tenzij we de groeifactoren verkleinen. Type 3: R 1 R 2, α 1 =α 2 Deze fractals ontstaan als de groeifactoren links en rechts niet hetzelfde zijn, bij gelijke hoeken. Vier van deze bomen staan in figuur

13 a. b. c. d. Figuur 19. Verschillende vertakkingsfractals waarvoor geldt R 1 R 2, α 1 =α 2. We zien dat deze bomen een vreemde asymmetrie bevatten die niet lijkt op die van type 2. Bij een klein verschil in groeifactor lijkt het alsof een deel van de boom buiten proportie is gegroeid. Dit is het geval bij figuur 19a, waar het rechterdeel lijkt te zijn uitvergroot. Bij een groter verschil in groeifactor wordt dit effect versterkt (figuur 19b). We zagen al eerder dat bomen met een grote waarde voor een van de hoeken sterk gaan krullen. Door de combinatie van dergelijke grote hoeken met een groot verschil in groeifactor, ontstaan overzichtelijke krullen zoals in figuur 19c. In figuur 19d zien we dat kleine hoeken gecombineerd met een groot verschil in groeifactor, zorgen voor ranke fractals die iets weg hebben van een varenblad of strohalm in de wind. Type 4: R 1 R 2, α 1 α 2 Een variant van type 3 ontstaat door zowel verschillende groeifactoren als verschillende hoeken te kiezen. Twee daarvan zijn weergegeven in figuur

14 a. b. Figuur 20. Verschillende vertakkingsfractals waarvoor geldt R 1 R 2, α 1 α 2. Bij een groot verschil tussen R 1 en R 2 is er sprake van een overzichtelijke spiraal. We zien daarbij dat de hoek aan de kant met de grootste groeifactor de sterkte van de kromming bepaalt. Toch heeft ook de hoek aan de kant van de kleinste groeifactor invloed op de vorm: door een grote hoek te kiezen aan de kant van de kleinste groeifactor, wordt de fractal een beetje uitgepluisd (figuur 20a). Bij een kleiner verschil tussen de groeifactoren neigt de boom qua uiterlijk meer naar de bomen van type 2: het zwarte gedeelte krijgt iets meer een druppelvorm en er is niet meer zo erg sprake van één overzichtelijke krul. Dit laatste is te zien in figuur 20b. Type 5: Negatieve groeifactoren Wanneer beide groeifactoren negatief zijn ontstaan er compacte, zwarte figuren zoals in figuur 21. Figuur 21. Een vertakkingsfractal met beide groeifactoren negatief. De richting van een nieuwe tak is steeds gespiegeld aan zijn voorganger, waardoor alle lijnen over elkaar gaan lopen en er weinig expansie optreedt. Door voor één groeifactor een negatieve waarde te kiezen ontstaan echter meer overzichtelijke fractals met een karakteristieke S-vorm. Deze S-bomen zijn zeer gevarieerd (figuur 22)

15 a. b. c. d. Figuur 22. Verschillende vertakkingsfractals met één negatieve R: zogenaamde S-bomen. Net als bij de fractals in type 3 en 4 wordt de vorm vooral bepaald door het verschil tussen de groeifactoren (beide absoluut genomen). Dit komt doordat een verschil tussen R 1 en R 2 ervoor zorgt dat een deel van de fractal sneller uitdooft, zodat er één duidelijke hoofdkrul overblijft. Dit zien we in figuur 22a. We zien dat de kromming van de hoofdkrul, zowel die naar onder als die naar boven, bepaald wordt door de hoek van 0,5 rad. Dit komt doordat deze hoek aan de zijde van de dominerende groeifactor zit. Ter illustratie zijn vanwege de bijzondere vorm de eerste zes iteraties van deze boom afgebeeld in figuur 23, gevolgd door diezelfde boom na 15 iteraties. Figuur 23. De eerste 6 iteraties van een S-boom met daarnaast de boom na 15 iteraties. Nieuwe delen na elke iteratie zijn met rood aangegeven. Wanneer de groeifactoren niet verschillend zijn, is er een groter zwart gedeelte zoals in figuur 22b. In figuur 22c zien we een zelfde soort overzichtelijke hoofdkrul als in 22a, maar met een veel kleinere kromming als gevolg van de kleinere hoek. In de fractal van figuur 22d ten slotte is nauwelijks meer een vertakkingsfractal te herkennen, omdat de zeer kleine factor van -0,2 ervoor zorgt dat de helft van de takken zeer snel uitdooft. Wat we zien is de sterk krommende hoofdkrul die veroorzaakt wordt door de grote hoek aan de kant van de dominante groeifactor,

16 met zeer kleine zijkrullen. Wanneer we zo n kleine krul zouden vergroten zouden er weer allemaal kleinere krulletjes op te zien zijn: ze zijn gelijkvormig met de grote krul. We kunnen kortom vijf typen bomen onderscheiden, waarbinnen grote variatie optreedt. Voor de berekening van de fractale dimensies zullen we ons gemakshalve beperken tot de symmetrische fractals (type 1). Nu we weten welke vier variabelen de basisvorm definiëren en vastgesteld hebben welk soort fractals we zullen onderzoeken, gaan we in het volgende hoofdstuk in op het begrip fractale dimensie. FRACTALE DIMENSIE Wat zegt het begrip dimensie over een object? De dimensie is een maat voor de complexiteit van een object. Een beweging langs een rechte lijn is eendimensionaal. In een tweedimensionale ruimte zijn complexere bewegingen mogelijk. In een vlak kunnen objecten namelijk in twee onafhankelijke richtingen bewegen. In een driedimensionale ruimte is beweging in drie onafhankelijke richtingen mogelijk: lengte, breedte en hoogte. Dit idee, dat de dimensie een geheel getal moet zijn, is afkomstig van de Griekse wiskundige Euclides. Maar wat nu als een punt langs een kromme beweegt, een kromme in een kubus? De één zou kunnen zeggen dat de kromme in een kubus ligt en dus driedimensionaal is. De ander zou echter kunnen aanvoeren dat de kromme slechts één dimensie kent, het is immers een lijn! Zeker bij ingewikkelde krommen is de Euclidische definitie van dimensie ontoereikend. Figuren zoals de vertakkingsfractal, getekend in een plat vlak, blijken een dimensie tussen 1 en 2 te hebben. In dit hoofdstuk zal worden ingegaan op methoden om de dimensie van fractals te bepalen. Eerst zullen we dieper ingaan op het begrip dimensie van gebruikelijke meetkundige figuren zoals lijnen en vierkanten. Daarna laten we aan de hand van een voorbeeld zien hoe we de fractale dimensie van een vervangingsfractal kunnen berekenen. We introduceren vervolgens een methode om de dimensie van vertakkingsfractals te benaderen, waarbij een toelichting wordt gegeven op een computerprogramma dat daarbij wordt gebruikt. Tot slot gaan we na wat de invloed is van het aantal iteraties op de dimensie. De dimensie van gebruikelijke meetkundige objecten We weten dat een lijn dimensie één heeft, een vierkant dimensie twee en een kubus dimensie drie. Maar hoe moet dit wiskundig worden beredeneerd? We zullen achtereenvolgens voor deze drie objecten proberen te beredeneren waarom hun dimensies 1, 2 resp. 3 zijn en zullen daarbij uitgaan van een kenmerk van fractals, namelijk dat figuren zijn opgebouwd uit zelfgelijkvormige delen. We beginnen met de lijn. Figuur 24. Een lijnstuk verdeeld in vier zelfgelijkvormige delen. In figuur 24 zien we een lijnstuk, dat is verdeeld in 4 zelfgelijkvormige delen. Deze delen zijn precies vier keer zo klein: de verkleiningsfactor van deze delen ten opzichte van het hele lijnstuk is 4. We hadden hem ook in 15 stukjes kunnen verdelen, met een verkleiningsfactor 15. Om een lijn te verdelen in zelfgelijkvormige stukjes die x keer zo klein zijn, hebben we dus x stukjes nodig. Hoe zit dat bij een vierkant?

17 Figuur 25. Een vierkant verdeeld in zestien zelfgelijkvormige delen. Het vierkant in figuur 25 is verdeeld in kleinere zelfgelijkvormige delen, vierkantjes dus, net als bij het lijnstuk met een verkleiningsfactor van 4 (deze verkleiningsfactor slaat op de zijde, niet op de oppervlakte). Om het oorspronkelijke vierkant op te vullen zijn 16 (oftewel 4 2 ) van die vierkantjes nodig. Om een vierkant te verdelen in zelfgelijkvormige stukjes met een verkleiningsfactor x hebben we dus x 2 vierkantjes nodig. Dit geldt voor alle figuren met dimensie 2, en we beginnen een vermoeden te ontwikkelen dat de exponent van x gelijk is aan de dimensie. Figuur 26. Een kubus verdeeld in 64 zelfgelijkvormige delen. Nu bekijken we een driedimensionale figuur, een kubus, die we net als bij de voorgaande figuren verdelen in zelfgelijkvormige stukken (figuur 26). We zien dat bij een verkleiningsfactor 4, er 64 (dus 4 3 ) kleine kubusjes nodig zijn. Om een kubus te verdelen in zelfgelijkvormige stukjes die x keer zo klein zijn als de hele kubus, hebben we x 3 kubusjes nodig. Opnieuw komt de exponent van x overeen met de dimensie. In het algemeen geldt: een object met dimensie D kan in x D zelfgelijkvormige objecten worden verdeeld, die elk x keer zo klein zijn. In tabel 1 staan de bevindingen. Dimensie Verkleiningsfactor Aantal deeltjes N 1 (lijn) x x 1 2 (vierkant) x x 2 3 (kubus) x x 3 D x x D Tabel 1. x en N voor verschillende objecten. Uit N = x D volgt dat de dimensie D de macht is waartoe je de verkleiningsfactor x moet verheffen om N te krijgen, oftewel: D = x log N En hieruit volgt een handige formule voor de dimensie: D = log N / log x

18 Voor lijnen, vierkanten en kubussen is de uitkomst voor de dimensie D steeds een geheel getal. We zullen echter zien dat de dimensies van fractals ook tussenliggende waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld 1,37 of 2,77. Er is dan sprake van een gebroken of fractale dimensie. De dimensie van een vervangingsfractal We bekijken als voorbeeld nogmaals de Sierpinski-driehoek. Deze fractal wordt geconstrueerd door een driehoek in vier kleinere driehoeken te verdelen en vervolgens de middelste weg te halen, waarna de overgebleven driehoeken dezelfde procedure ondergaan, steeds weer. Zo ontstaat de fractal van figuur 27. Figuur 27. De Sierpinski-driehoek. Het is een figuur in het platte vlak, maar het is geen aaneengesloten oppervlak. Wel is de Sierpinski-driehoek een stuk complexer dan een enkele rechte lijn. We verwachten dus dat de complexiteit, de dimensie, van deze fractal tussen die van een vierkant en een lijn in zit. Om de dimensie te berekenen zoeken we net als bij de lijn, het vierkant en de kubus naar zelfgelijkvormige stukken om de fractal in te verdelen. In figuur 28 is de driehoek in 3 gelijke delen verdeeld, elk deel met een andere kleur. Figuur 28. De Sierpinski-driehoek verdeeld in drie zelfgelijkvormige delen

19 Ieder van de 3 gekleurde delen in figuur 28 is een verkleinde kopie van de gehele Sierpinskidriehoek. De zijde van een kleine driehoek is 2 keer zo klein als die van de grote. De verkleiningsfactor x is dus gelijk aan 2. De fractale dimensie vinden we in de eerdere formule met N = 3 en x = 2: D = log N / log x = log 3 / log 2 = 1,59 De dimensie ligt inderdaad tussen die van een vierkant en een lijn in. We zouden de Sierpinski-driehoek net zo goed in 9 delen kunnen verdelen, ieder met een verkleiningsfactor 4. Of 27 delen met een verkleiningsfactor 8. Ook dan komt er 1,59 uit. Met deze op zelfgelijkvormigheid berustende methode kan de fractale dimensie van veel fractals exact berekend worden. Maar bij vertakkingsfractals stuiten wij op een probleem. De dimensie van een vertakkingsfractal Een vertakkingsfractal kan in tegenstelling tot de vervangingsfractal niet in zelfgelijkvormige delen verdeeld worden. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk om de boom in figuur 29 in twee verkleinde kopieën van zichzelf te verdelen, omdat de begintak van de boom hierbij niet meegenomen kan worden. Figuur 29. Een vertakkingsfractal kan worden verdeeld in twee zelfgelijkvormige delen plus de stam. Om toch de dimensie te kunnen bepalen, maken we gebruik van een variant van de beschreven methode. Deze variant, de overdekkingsmethode, geeft slechts een benadering van de dimensie, maar kan worden toegepast op alle soorten objecten, dus ook op vertakkingsfractals. In plaats van naar exact zelfgelijkvormige delen te zoeken om een object in te verdelen kunnen we de dimensie benaderen door een object te overdekken met vierkantjes. We nemen ter illustratie een lijnstuk met lengte één. Deze kunnen we overdekken met vierkanten zoals in figuur 30. Figuur 30. Een lijnstuk overdekt met vierkanten

20 We zien dat er 10 vierkanten met zijde 1/10 (verkleiningsfactor x = 10) gebruikt zijn om het gehele lijnstuk te overdekken. We kunnen dan de dimensie berekenen met de inmiddels bekende formule: D = log N / log x = log 10 / log 10 = 1,0 Dat klopt natuurlijk. Maar hoe gaat dat nu bij een kromme lijn? We vermoeden dat de dimensie dan iets groter dan 1 zal zijn. De figuur is namelijk iets complexer dan een rechte lijn, al is er nog geen sprake van een echt tweedimensionaal oppervlak. We gaan deze curve net als de lijn overdekken met vierkantjes met zijde 1/10 (figuur 31). Figuur 31. Een eenvoudige curve overdekt met vierkanten Er zijn nu 11 van deze vierkanten nodig. Het spreekt echter vanzelf dat deze methode vrij onnauwkeurig is. Om dat probleem op te lossen moet deze methode een aantal malen worden herhaald met vierkanten van verschillende grootte. Figuur 32 toont vierkanten met een zijde van 1/20 en vervolgens 1/40. Figuur 32. Dezelfde curve overdekt met kleinere vierkanten. We tellen vervolgens bij iedere gekozen grootte het aantal gebruikte vierkanten (zie tabel 2). Zijde r Aantal N 1/ / /40 46 Tabel 2. Het aantal vierkanten N met zijde r dat nodig is om de curve te overdekken. In de tabel staat niet de verkleiningsfactor x maar de zijde r. We kunnen echter stellen dat x = c / r, waarbij c een constante is. Invullen in de dimensieformule levert: D = log N / log x = log N / ( log c / r ) Dus: log N = D ( log c / r ) = -D log r + D log c De term (D log c) is een constante. Als we nu een grafiek tekenen waarin we log N uitzetten tegen log r, zal er een rechte lijn ontstaan met richtingscoëfficiënt -D (figuur 33)

21 Figuur 33. Log N uitgezet tegen Log r. Uit de richtingscoëfficiënt (-1,15 / 1,05) volgt dat de dimensie van de onderzochte curve gelijk is aan 1,10. Deze benadering van de dimensie kan als vrij nauwkeurig worden beschouwd. Zo zien we dat de dimensie van een eenvoudige curve toch net iets meer is dan die van een gewone rechte lijn. We gaan deze methode nu toepassen op de vertakkingsfractal. Het programma Fractal Dimensions Om het arbeidsintensieve overdekken van figuren iets gemakkelijker te maken, kan het programma Fractal Dimensions worden gebruikt. Het is gratis te downloaden via een website van Boston University ( Het programma overdekt ingevoerde monochrome bitmaps (zwart-wit figuren) automatisch met vierkanten van een in te stellen grootte, en telt hoeveel er nodig zijn. Vervolgens worden de resultaten in een dubbel logaritmisch diagram uitgezet. Uit de richtingscoëfficiënt berekent het programma de dimensie. We laten het programma de dimensie van de boom in figuur 34 uitrekenen. Figuur 34. De vertakkingsfractal met onbekende dimensie. Nadat we een bitmap van deze boom in het programma hebben geladen, kiezen we verschillende formaten vierkantjes en laten we het programma automatisch de boom overdekken. In figuur 35 zien we deze boom overdekt met twee verschillende formaten vierkantjes

22 Figuur 35. De boom overdekt met vierkantjes met zijde 5 resp. 10 pixels. Door verschillende grootten te kiezen worden er verschillende punten in een diagram getekend, waarna het programma door deze punten een lijn tekent (figuur 36). Figuur 36. De door het programma getekende grafiek. Het programma toont de vergelijking van de lijn in de vorm Y = a * x -D : Y = 11779,268 * X -1,751 Voor de dimensie van deze boom geeft het programma de waarde 1,751. De boom blijkt minder complex te zijn dan een vierkant, maar complexer dan een lijn, precies zoals we zouden verwachten. We hebben nu dus een bruikbare methode om de dimensie van vertakkingsfractals te benaderen, waarvoor we slechts een afbeelding van de boom in het programma hoeven in te voeren. Het aantal iteraties Een afbeelding maken van een fractale boom is per definitie onmogelijk, omdat er voor het verkrijgen van een fractal oneindig veel iteraties getekend zouden moeten worden. Het aantal

23 iteraties bepaalt in grote mate hoe een boom eruit komt te zien. Vergelijk de bomen in figuur 37. Figuur 37a. Een boom na 12 iteraties. b. Diezelfde boom na 18 iteraties. Het aantal iteraties beïnvloedt de vorm en dus de complexiteit, de dimensie. Hoe betrouwbaar is de gemeten dimensie als we in de praktijk maar een beperkt aantal iteraties kunnen uitvoeren? Om deze vraag te beantwoorden bepalen we met het programma Fractal Dimensions de dimensie van een boom na verschillende aantallen iteraties. We zullen als voorbeeld de symmetrische boom nemen die we al eerder gebruikten. We kijken bij 5, 10, 15 en 19 iteraties wat de dimensie is (het maximale aantal iteraties dat de applet aankan is 19). Zie tabel 4. Boom Iteraties Dimensie 5 1, , , ,88 Tabel 4. De boom na verschillende aantallen iteraties, met de bijbehorende dimensie

24 Deze resultaten verwerken we in een diagram met horizontaal het aantal iteraties en verticaal de gemeten fractale dimensie (figuur 38). Figuur 38. De dimensie als functie van het aantal iteraties. We zien dat de fractale dimensie als functie van het aantal iteraties een horizontale asymptoot nadert. Dit is als volgt te verklaren. Bij een klein aantal iteraties zijn de takken nog groot en beïnvloedt één extra iteratie de fractale dimensie al aanzienlijk. Na een flink aantal iteraties echter zijn de nieuwe takjes zeer klein doordat de groeifactor kleiner is dan 1, en zal de figuur, en dus de fractale dimensie, niet of nauwelijks meer veranderen. De waarde van de asymptoot is gelijk aan de dimensie van de onderzochte fractal. Uit figuur 38 lezen we af dat de asymptootwaarde van de dimensie ongeveer 1,94 is. Er zijn echter meerdere mogelijkheden om een kromme door de vier punten te tekenen, met als resultaat andere waarden van de asymptoot. Op grond van verschillende krommen komen we tot de conclusie dat de onzekerheid in de geschatte asymptootwaarde ten hoogste 0,10 is. We zullen deze methode in het volgende hoofdstuk gebruiken om de dimensie van verschillende symmetrische vertakkingsfractals te bepalen. Voor iedere fractal zullen we dus van vier stadia de dimensie bepalen door middel van de overdekkingsmethode, waarna we de asymptootwaarde kunnen schatten. UITKOMSTEN We gaan nu van een groot aantal symmetrische bomen de dimensie bepalen om te zien hoe de waarden van de groeifactor (R) en de hoek (α) de dimensie van de fractal beïnvloeden. Omdat er erg veel combinaties van hoeken en groeifactoren mogelijk zijn, zullen we een selectie moeten maken. We kunnen beredeneren dat de takken van een boom met een groeifactor van bijna 0 zeer snel korter worden. Een dergelijke boom komt nauwelijks verder dan zijn beginstam en zal dus een dimensie hebben die ongeveer gelijk is aan die van een enkele rechte lijn: één. Bij een groeifactor dichtbij 1 daarentegen neemt de lengte van de takken nauwelijks af. Er ontstaat een zwarte massa waarvan de dimensie dichtbij die van een vlak zal liggen: twee. Om uit te vinden wat er gebeurt bij tussenliggende groeifactoren, gaan we deze variëren van 0,2 tot 0,95. Voor de hoek kiezen we de waarden 15 o, 30 o, 45 o en 60 o

25 Meetresultaten In tabel 5 staan de gevonden dimensies na 5, 10, 15 en 19 iteraties, met links de parameters van de basisvorm. In de laatste kolom is de waarde van de asymptoot geschat zoals die volgt uit vier meetpunten. Dit is de dimensie van de fractal. R α ( o ) D 5 D 10 D 15 D 19 D (± 0,10) 0, ,24 1,67 1,82 1,87 1,90 0, ,10 1,61 1,91 1,94 1,96 0, ,97 1,55 1,91 1,94 1,96 0, ,04 1,64 1,90 1,92 1,94 0,9 15 1,13 1,61 1,79 1,84 1,86 0,9 30 1,03 1,54 1,87 1,95 1,98 0,9 45 0,94 1,41 1,93 1,95 1,97 0,9 60 0,95 1,51 1,91 1,94 1,97 0,8 15 1,17 1,55 1,61 1,61 1,62 0,8 30 1,05 1,52 1,69 1,69 1,70 0,8 45 0,94 1,40 1,72 1,72 1,73 0,8 60 0,94 1,47 1,83 1,83 1,84 0,7 15 1,15 1,39 1,44 1,44 1,46 0,7 30 1,03 1,31 1,32 1,32 1,33 0,7 45 0,95 1,34 1,36 1,36 1,37 0,7 60 0,96 1,27 1,28 1,29 1,30 0,6 15 1,12 1,18 1,19 1,19 1,20 0,6 30 1,04 1,07 1,08 1,09 1,11 0,6 45 0,95 1,03 1,04 1,05 1,07 0,6 60 0,95 0,98 1,01 1,01 1,02 0,5 15 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 0,5 30 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 0,5 45 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,5 60 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,4 15 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 0,4 30 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,4 45 0,92 0,92 0,92 0,92 0,92 0,4 60 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,2 15 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,2 30 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,2 45 0,93 0,93 0,93 0,93 0,93 0,2 60 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 Tabel 5. De dimensies van bomen met variërende R en α. De invloed van de hoek We kijken eerst naar de invloed van de hoek op de dimensie. De gevonden waarden zetten we hiertoe in een diagram met horizontaal de hoek en verticaal de dimensie (figuur 39)

26 Figuur 39. De dimensie als functie van de hoek, voor verschillende waarden van R. Als de groeifactor een extreme waarde heeft (dicht bij 0 of dicht bij 1) is er geen duidelijke invloed van de hoek op de dimensie. Bij tussenliggende waarden van de groeifactor is er wel enige afhankelijkheid (zie de getekende lijnen). De vraag is nu of hiervoor een verklaring kan worden gegeven. Daartoe is in tabel 6 een reeks bomen (na 19 iteraties) uit dit tussengebied afgebeeld, met de bijbehorende waarde van de asymptoot. R = 0,8 α = 15 o α = 60 o R = 0,7 1,62 1,84 R = 0,6 1,46 1,30 Tabel 6. Fractals en hun asymptotische dimensie. 1,20 1,02 Uit dit overzicht blijkt dat de dimensie hoger wordt naar mate de figuur een grotere aaneengesloten zwartheid vertoont. Die ontstaat als zwarte pixels elkaar gaan raken. Dit gebeurt wanneer takken elkaar kruisen of dicht bij elkaar komen

27 Bij grote hoeken (rechterkolom) lopen de takken van de eerste iteraties ver uiteen, maar krullen na een zeker aantal iteraties de takken als gevolg van de grote hoek terug zodat ze elkaar kruisen. Dit zorgt voor aaneengesloten zwartheid in de boom (zie figuur rechtsboven). Alleen bij kleine groeifactoren worden de takken zo snel korter dat de takken geen gelegenheid hebben om terug te krullen, waardoor er minder zwartheid is (zie figuur rechtsonder). Bij kleine hoeken (linkerkolom) liggen de takken onafhankelijk van de groeifactor dicht bij elkaar. Dit levert net als kruisende takken aaneengesloten zwartheid op. Dit verklaart het verschil tussen de stijgende en dalende lijnen in figuur 39. De invloed van de groeifactor We zien verder in figuur 39 dat de groeifactor een grote invloed heeft op de dimensie. Om dit verband te verduidelijken zetten we nu de gevonden dimensies uit tegen de groeifactor in plaats van tegen de hoek. Zo krijgen we figuur 40. Figuur 40. De dimensie als functie van de groeifactor, voor verschillende waarden van α. In het diagram is bij ieder punt de foutmarge van ± 0,10 weergegeven. Door de meetpunten is een kromme getekend, waarbij geen rekening is gehouden met de verschillende hoeken. We hebben immers al gezien dat de invloed van de hoek beperkt is. Van de kromme weten we dat hij links door het punt (0,1) zal lopen, omdat de boom bij een groeifactor van 0 slechts bestaat uit één enkele lijn, de begintak. Bij een grote groeifactor zal de kromme de dimensie 2 naderen, aangezien de dimensie van een figuur in het platte vlak, zoals een vertakkingsfractal, nooit groter kan worden dan die van een volledig opgevuld vlak. De meetpunten corresponderen heel goed met deze verwachte S-curve. Dit beeld kan worden verklaard uit de mate van zwartheid zoals die blijkt uit de figuren in tabel 6. Bij bomen met een kleinere groeifactor worden de takken sneller te klein om te tekenen. Hierdoor bevatten deze bomen meer open ruimten. Bij grote groeifactoren speelt dit probleem niet en doorkruisen de takken elkaar vaker

28 Conclusie Tot slot beantwoorden we de onderzoeksvraag: Hoe hangt de fractale dimensie van symmetrische vertakkingsfractals samen met de gekozen basisvorm? De basisvorm is gedefinieerd door de hoek waaronder de nieuwe takken splitsen en door de groeifactor die de lengte van de twee takken ten opzichte van hun voorganger bepaalt. De hoek heeft geen grote invloed op de dimensie, maar bij sommige groeifactoren (in het gebied tussen 0,6 en 0,8) is er toch enig verband. Bij een factor van 0,6 à 0,7 neemt de dimensie met de hoek enigszins af. Bij een grotere groeifactor (0,8) neemt de dimensie bij grotere hoeken juist toe. Dit verschijnsel kan worden verklaard door de mate van aaneengesloten zwartheid in een fractal. Deze zwartheid ontstaat als takken vlak naast elkaar lopen of elkaar kruisen. De groeifactor heeft een sterkere invloed op de dimensie. Dit verband kan grafisch worden weergegeven als een S-curve die theoretisch begrepen kan worden door de limietwaarden (de fractale dimensie ligt altijd tussen 1 en 2), en komt overeen met de hoeveelheid aaneengesloten zwartheid in de getekende fractals. EVALUATIE Het was zeer interessant en leerzaam om onderzoek te doen naar de dimensie van vertakkingsfractals. Ik kwam in het begin wat traag op gang, maar toen ik eenmaal een onderzoeksvraag had vastgesteld kon ik er geen genoeg van krijgen. Ik vond het erg leuk om uit te zoeken hoe de verschillende bomen ontstonden. De zoektocht naar een geschikte methode om de dimensie van bomen te bepalen was interessant. Het bepalen van de dimensie van tweeëndertig bomen, waarbij iedere boom vier keer in het programma Fractal Dimensions ingevoerd moest worden (met verschillende aantallen iteraties), was vrij arbeidsintensief en eentonig, maar het was de moeite waard. Ik ben tevreden over de uitkomst van het onderzoek en de verklaringen die ik heb kunnen geven. Het lijkt mij leuk om in een vervolgonderzoek eens te kijken naar de samenhang tussen de basisvorm en de dimensie van asymmetrische bomen, krulbomen of S-bomen

29 LOGBOEK Bestede tijd Activiteit: Uren: - Oriënteren (wiskunde in de muziek fractale muziek fractals) 20 - Verdieping in het onderwerp fractals 10 - Verdieping in de categorie vertakkingsfractals 5 - Verdieping in het begrip fractale dimensie 5 - Globaal vaststellen van een onderzoeksvraag 5 - Experimenteren met de Java applet en resultaten indelen in categorieën 10 - Methode zoeken om de fractale dimensie van bomen te bepalen 10 - Opgedane kennis verwerken in een voorlopig verslag 15 - Dimensie bepalen van 32 symmetrische vertakkingsfractals 10 - Resultaten verwerken 5 - Conclusies trekken 5 - Eindredactie verslag 20 Totaal: 120 Referenties - Fractals, door Igor Hoveijn en Jan Scholtmeijer, een boekje uit de Zebra-reeks. - Een website over Benoit Mandelbrot en fractals in het algemeen. - Het verslag van een onderzoek naar de fractale dimensie van bladeren, dat de inspiratiebron was voor dit onderzoek. - Een website over het berekenen van de fractale dimensie. - Nog een website over de fractale dimensie. - Een website die je stap voor stap introduceert in de wereld van Julia en Mandelbrot. - Een website met een download-link van en uitleg over Fractal Dimensions. - Figuur 1. Een varenblad. - Figuur 2. Een nautilusschelp. - Figuur 3. Een boom. - Figuur 6. De boom van Pythagoras. - Figuur 8, 9. Genereren van het Koch-eiland. - Figuur 10. Het Koch-eiland. - Figuur 12, 27, 28. De Sierpinski-driehoek. - Figuur 13, 14, 15. Julia en Mandelbrot