Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Onmogelijke figuren

Transcriptie

1 Escher in Het Paleis Wiskundepakket Onmogelijke figuren

2 Onmogelijke figuren Een onmogelijk figuur is een tweedimensionale weergave van een object dat in drie dimensies onmogelijk lijkt te kunnen bestaan. Het is een vorm van gezichtsbedrog. De menselijke hersenen zijn er aan gewend om een tweedimensionale weergave van een object te interpreteren als een driedimensionaal object. Daarbij wordt in eerste instantie gelet op details, dan op de grote vorm, waarna de hersenen razendsnel met een interpretatie komen. De hersenen nemen niet de moeite om de informatie over alle details te combineren met de informatie over de grote vorm. Een goede tekenaar kan de hersenen daardoor makkelijk in de luren leggen. De volgende foto laat zien dat er wel degelijk ruimtelijke vormen zijn, die er uit kunnen zien als een onmogelijk figuur. Dit beeld ziet er echter maar vanaf één punt uit als een onmogelijk figuur, vanaf alle andere punten zie je drie balken die rechte hoeken met elkaar maken! Dat is ook de informatie die je krijgt als je alleen let op de hoekpunten. Deze informatie strookt niet met de grote vorm die het beeld, vanuit dit gezichtspunt, suggereert: een gesloten driehoek. Het beeld is knap gemaakt omdat je niet ziet dat de linkerbalk los staat van de rechterbalk. Behoort het grijze blok bovenin bij de linker- of bij de rechterbalk? Kan jij het zien? Het beeld staat op een camping bij het Oostenrijkse Gotschuchen, als je ter plekke wilt gaan kijken.

3 De hierboven besproken vorm wordt wel Penrose-driehoek genoemd. Roger Penrose was een wiskundige die in 1958 een artikel publiceerde over onmogelijke figuren. Het idee was al in 1934 bedacht en gebruikt door de Zweedse kunstenaar Oscar Reutersvärd. Penrose was geïnteresseerd in het werk van Escher en zij werden vrienden. Het was Penrose die Escher op het idee bracht om onmogelijke figuren te verwerken in zijn prenten. Escher gebruikte drie Penrose-driehoeken in zijn prent waterval uit Behalve een visuele illusie, verbeeldde Escher hier tevens een fysische illusie: het idee van een perpetuum mobile, een beweging die, zonder er energie aan toe te voegen, oneindig lang doorgaat. Het rad blijft eeuwig draaien door de kracht van het rond stromende water. Waterval werd een van de bekendste prenten van Escher.

4 Voor zijn prent Belvedere, die Escher bij voorstudies consequent betitelde als het spookhuis, verwerkte hij het thema van de onmogelijke kubus. Op de tekening die, schijnbaar nonchalant gevallen, op de tegelvloer ligt, wordt het idee dat ten grondslag ligt aan onmogelijke kubussen aangegeven door middel van kringetjes om de schijnbare snijpunten van de ribben van de kubus. In deze projectie is niet aan te geven welke ribben vóór en welke ribben achter ligt. Als de ribben echter gepresenteerd worden als balkjes kan je zien welke voor en welke achter ligt. Tenzij de informatie die van de twee schijnbare snijpunten afkomstig is zichzelf tegenspreekt. Dat is het geval bij de onmogelijke kubus waar de man op het bankje zit te staren! Maar het is tevens het geval voor het hele gebouw achter hem. Alhoewel de bovenverdieping helemaal normaal is, bestaat de middelste verdieping in feite uit twee (of drie.) onmogelijke kubussen, waarvan de verticale ribben gevormd worden door de pilaren. Merkwaardig is ook dat niet meer vast te stellen is wat binnen en buiten is. De ladder staat, vanuit de middelste verdieping bekeken binnen en vanuit de bovenste verdieping buiten. Thema s uit Escher s eerder werk, zoals hol en bol en het niet bestaan van boven/onder van de Möbius banden, komen in deze prent samen.

5 De wiskundige Penrose stuurde Escher ook een schets van een onmogelijke trap. In eerste instantie lijkt deze trap volkomen normaal. Maar bij nadere beschouwing is er echter iets erg vreemds aan de hand: de trap blijft steeds stijgen! Dit idee verwerkte Escher in zijn beroemd geworden prent stijgen en dalen Het eindeloze proces van stijgen en dalen wordt hier benadrukt door de traplopende monniken en de persoon op het balkon die dit observeert. Terloops paste Escher op heel natuurlijke wijze het driepuntsperspectief toe.

6 Wiskundig gezien is de truc van de onmogelijke trap eenvoudig te realiseren. In de tekening hier linksonder zie je een correct weergegeven trap. Door het tekenen en weglaten van enkele lijnstukjes krijg je de onmogelijke trap in het rechterfiguur. Dat de onmogelijke figuren van Escher in werkelijkheid wel degelijk kunnen bestaan, maar er dan héél anders uitzien dan de prenten suggereren kan je bijvoorbeeld op de volgende website zien: Van een prent als relativiteit wordt ook wel beweert dat het een onmogelijk figuur is. Wiskundig gezien is dat niet juist. Er wordt knap gebruik gemaakt van driepuntsperspectief en de wetten van de zwaartekracht worden getrotseerd, maar dit model is zelfs met lego te realiseren!