4,9. Als wiskundige. Als natuurkundige. Als theoloog. Werkstuk door een scholier 2279 woorden 2 december keer beoordeeld

Transcriptie

1 Werkstuk door een scholier 2279 woorden 2 december ,9 20 keer beoordeeld Vak Wiskunde Blaise Pascal Onze opdracht was dat we een verslag over Blaise Pascal maken. Daarin laten we zijn leven als wiskundige, natuurkundige en theoloog naar voren komen. Vooral zijn leven als wiskundige zetten we in de spotlights, omdat we het natuurlijk voor wiskunde moeten maken. We vertellen over de driehoek van Pascal en we maken het bord van Galton in het echt. Ook belichten we nog andere wiskundige onderwerpen. Veel plezier met lezen! Als wiskundige Pascal ontwikkelde de driehoek van Pascal; een getallendriehoek naar aanleiding van het bekende problème des partis bij het dobbelen. In zijn jeugd hield Blaise Pascal zich vooral bezig met de door Desargues ontdekte meetkunde. Later heeft hij een theorie over kegelsneden geschreven doe gebaseerd was op een stelling. Volgens de stelling geldt dat, als een zeshoek in een kegelsnede wordt ingeschreven, de drie punten waarin paren overstaande zijden elkaar snijden, op een rechte lijn zullen liggen. Als de punten van de zeshoek achtereenvolgens ABCDEF worden genoemd, dan zijn AB en DE overstaande zijden die elkaar in X snijden, enzovoorts. De lijn XYZ is dan de rechte van Pascal. Hij heeft dat op zijn 16e ontdekt. Verder is hij de bouwer van een machine die kon optellen en aftrekken (genaamd de Pascaline). Het is de eerste mechanische rekenmachine, gebouwd in het jaar de Pascaline Als natuurkundige Blaise Pascal deed onderzoek naar de barometer, hij verklaarde de werking ervan uit de luchtdruk. Hij bewees dat de luchtdruk daalde naarmate je hoger kwam. Tot deze conclusie kwam hij door de hoogte van kwik in een buis op verschillende hoogten te meten. Hoe lager de meting werd uitgevoerd, hoe hoger het kwik in de buis steeg, dus hoe hoger ook de luchtdruk moest zijn op dat niveau en omgekeerd. Daarmee stelde hij ook vast dat de atmosfeer eindig is: de luchtdruk is het grootst net boven de grond (zeeniveau) en de druk en het volume erboven waren meetbaar. Zo kwam hij redelijk nauwkeurig aan het gewicht van de totale atmosfeer. Dit heeft veel invloed gehad op de astronomie. Hij heeft de Wet van Pascal gemaakt: 'De druk die op een vloeistof wordt uitgeoefend, plant zich in alle richtingen met dezelfde grootte voort'. Ook heeft hij zich bezig gehouden met het bestaan van vacuüm. Als theoloog Blaise Pascal had veel theorieën over het Christelijk geloof en over allerlei aspecten van het menselijk leven. Hij vond dat gedachten een soort een op een onderwerp gerangschikte verzameling losse notities Pagina 1 van 5

2 waren, die bedoeld waren als voorbereiding ter verdediging van het christendom. Door zijn vroege dood heeft hij het werk nooit af kunnen maken. Hieronder staat een stukje uit een van zijn artikelen uit het boek: Gedachten. Oneindig niets Onze geest is in het lichaam geworpen, waar hij met hoeveelheid, tijd en ruimte geconfronteerd wordt. Hij denkt over die dingen na en noemt ze 'natuur' en 'noodwendigheid' en kan niets anders geloven/ Als men de oneindigheid met een eenheid vermeerdert, wordt die niet groter, evenmin als wanneer men bij een oneindige lengte 1 voet optelt/ het eindige verdwijnt in het niet bij het oneindige en wordt een zuiver niets. Zo is het ook met onze geest tegenover God en met onze gerechtigheid tegenover de goddelijke gerechtigheid. Maar tussen onze gerechtigheid en die van God bestaat niet een zo grote wanverhouding als tussen een eenheid en het oneindige. Zonder de aard ervan te kennen weten wij dat er een oneindigheid is, evenals wij weten dat het niet zo is dat de getallen eindig zijn en het dus waar is dat er op het gebied van de getallen een oneindigheid is, maar we weten niet wat dat is. We kunnen niet zeggen dat deze oneindigheid een even getal is en ook niet dat ze een oneven getal is, want ze verandert niet van karakter wanneer we er een eenheid aan toevoegen. Toch is ze een getal, en ieder getal is even of oneven, al is het waar dat dit alleen geldt voor alle eindige getallen. Zo kunnen we ook heel goed weten dat er een God is zonder te weten wat Hij is. Bestaat er dan geen wezenlijke waarheid, als je zo veel ware dingen ziet die niet de waarheid zelf zijn? Wij weten dus dat het eindige bestaat en niet hoe het is, omdat het evenals wij uitgebreidheid bezit, maar geen grenzen zoals wij. Maar wij weten niet of God bestaat noch hoe Hij is, omdat Hij noch uitgebreidheid bezit, noch grenzen heeft. Maar door het geloof onderkennen wij Zijn bestaan en als we zalig zijn zullen we weten hoe Hij is.' Hij zegt dus, kort samengevat, dat we als we goed leven en vertrouwen hebben in het geloof in God, dat we erachter zullen komen hoe Hij is. Ook is een van zijn beroemde opvattingen: Als men de oneindigheid met een eenheid vermeerdert, wordt die niet groter, evenmin als wanneer men bij een oneindige lengte 1 voet optelt/ het eindige verdwijnt in het niet bij het oneindige en wordt een zuiver niets. Hiermee vergelijkt hij onze geest tegenover God. Ook zei hij het volgende: Het is beter -lees veiliger- om gelovig te zijn. Als je gelooft en er blijkt geen hiernamaals te zijn, verlies je niets. Geloof je niet en er blijkt een hel te bestaan, dan verlies je alles. Samenvatting van de inhoud: Eerlijke, overzichtelijk beschrijving van de gebieden Geloof, Filosofie en Natuurwetenschap. Zowel de gebieden apart als hun relatie t.o.v. elkaar. Bijoorbeeld de natuurkunde bezien vanuit de filosofie, of de conflictpunten tussen geloof en wijsbegeerte, hun invloed op elkaar, etc. Pascal zei dat het allemaal verband had met elkaar. Het verband tussen Blaise Pascal, Pierre de Fermat en Chevalier de Méré. Chevalier de Méré was een rijk Frans edelman, die graag een gokje waagde. Hij hield zijn inzetten en winsten of verliezen altijd erg nauwkeurig bij. Toen hij in de loop der jaren zijn kapitaal naar beneden zag gaan, benaderde hij de wiskundigen Fermat en Pascal, want hij dacht een tegenspraak tussen theorie en praktijk op het spoor gekomen te zijn. Op een gegeven moment ontdekte hij een spelprobleem dat werd beschouwd als de start van een zoektocht naar de wetten van de kansrekening. Hij wierp met een of twee dobbelstenen waarbij hij minstens 50% kans had om zes of dubbelzes te gooien. Maar, hij bleek zich vergist te hebben: de kans op winst van het spel dat hij speelde lag namelijk nèt iets onder de 50%. Door dit probleem ging Chevalier failliet. Pagina 2 van 5

3 Het probleem van de dobbelstenen: De Mere wist dat bij het viermaal achtereen werpen van een dobbelsteen de kans op geen enkele zes bijna 50% was namelijk : (5/6) 4. Vijf van de zes vlakken van een dobbelsteen bevatten niet het getal zes dus 5/6 Je werpt viermaal dus: (5/6)4 = (625 / 1296) = = bijna 50% De kans op het complement ; het werpen van minstens een zes is: 1 - (5/6) 4= = Dit betekent voor een speler die op minstens een zes gokt een winstkans van ruim 50%. De Mere was nu geinteresserd in de kansen bij het spelen met twee dobbelstenen. Hij bedacht het volgende: Bij een dobbelsteen zijn er zes mogelijkheden en er zijn gemiddeld vier worpen nodig om boven de kans van 50% op een zes te komen. Bij twee stenen zijn er ( 6 x 6 ) 36 mogelijkheden, waarbij ook een dubbelzes. Dus 36 / 6x4 = 24 worpen om een evenredige kans te bereiken. De Mere heeft helaas fout geredeneerd. Hij kwam erachter dat de kans juist kleiner was. Daarom vroeg hij de hulp van Pascal in die het probleem als volgt berekende: Twee spelers dobbelen om een inzet, zo dat wie het eerst drie partijen wint de pot krijgt. Het probleem was hoe de pot verdeeld moest worden wanneer de wedstrijd voortijdig werd afgebroken. Pascal komt stap voor stap tot de algemene formulering voor elk spel, waarin bij afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te krijgen. Zijn oplossing was: de pot moet verdeeld worden in de verhouding N : M van de winstkansen van de beide spelers bij de afbreekstand. de som van de eerste N getallen op de (m+n-1)-de rij (geteld vanaf rij 0) in de driehoek en de som van de laatste m getallen op die rij. Pascal noemde zijn ontdekking de meetkunde van het toeval. De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij Chinese wiskundigen, maar Pascal ontdekte de toepassing ervan in de meetkunde. Pascal stortte zich op deze problemen samen met Pierre de Fermat ( ) en zo losten zij ze op. Pierre de Fermat was een Frans jurist die ook als hobby de wiskunde had, hij studeerde in Toulouse, Bordeaux en Orléns en vestigde zich daarna als advocaat. Net als Pascal een plaatselijk bestuurder. Pascal en Fermat ontwikkelden dus de basisprincipes van de kansrekening. Eigenlijk zijn Pascal en Fermat de grondleggers van de kansrekening zoals wij die tegenwoordig nog steeds beoefenen. Zij werkten alleen niet met kansen in termen zoals 1 : 6 en ook niet met breuken. Pascal werkte de theorie uit in zijn boek "Traité du triangle arithmétique", waarin hij de driehoek van Pascal gebruikte om deze problemen aan te pakken. Verder gebruikte hij bij de oplossing van zijn kansproblemen telsystemen die al veel eerder waren ontdekt: het werken met permutaties en combinaties werd al omstreeks 850 na Chr. beschreven door de Indische wiskundige Mahavira op grond van ontdekkingen van jaïnistische geleerden (die veel belang stelden in het werken met getallen) in de eeuwen daarvoor. Kort samengevat: Pascal's belangrijkste werken zijn: Op het gebied van de wiskunde: o "Essai pour les coniques" (over kegelsneden) o "Traité du triangle arithmétique" (over de driehoek van Pascal) Pagina 3 van 5

4 o "De l'esprit géométrique" (over meetkunde) o de briefwisseling met Fermat waarin de grondslagen van de kansrekening worden gelegd De uitvinding van de eerste digitale rekenmachine, de Pascaline. Op het gebied van de natuurkunde: o "Traité du vuide" (over de wetenschappelijke methode) o "Traites de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la mase de l'air" (over vloeistoffen en het gewicht van lucht) Op het gebied van de (christelijke) filosofie: o "Lettres escritte a un Provincial par un de ses amis" (verdediging van het jansenisme) o "Pensées" (gedachten over menselijk lijden en het geloof in God) Hier komt opdracht 3 (wat is de driehoek van Pascal? Wat is het binomium van Newton. Wat is het verband van de driehoek van P. Met het bord van Galton? En Wat is een bord van Galton?) Driehoek van Pascal De driehoek met daarin getallen, welke hieronder afgebeeld is, wordt ook wel de driehoek van Pascal genoemd. Rond het jaar 1300 was de driehoek al bekend in China, Pascal is dus eigenlijk niet de ontdekker van de driehoek. Er staan verschillende getallen, elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal mogelijke routes om vanuit de top op die plaats te komen. De getallen in de n-de rij zijn n boven 0, n boven 1, n boven 2,, n boven n. Als je alle getallen in de rij bij elkaar optelt, moet dat gelijk zijn aan 2n. Elk getal krijg je door de getallen die er schuin links en schuin rechts boven staan bij elkaar op te tellen. Driehoek van Pascal Binomium van Newton Het binomium van Newton is een formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen. Het verband van de driehoek van Pascal met het bord van Galton Als je een grote hoeveelheid ballen in het bord zou laten vallen dan zou je ongeveer een regelmatig patroon moeten zien, oftewel onderaan zouden op elke plek een bepaalde hoeveelheid ballen vallen die ongeveer overeen komt met de kans op dezelfde plek in de driehoek van Pascal. (zie plaatje bij Driehoek van Pascal ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De kansen dat een balletje in één van de zeven bakjes komt: Bakje 1: 1/128 = 1 x (1 / 2)7 6: 6/128 = Pagina 4 van 5

5 2: 6/128 = 6 x (1 / 2)7 7: 1/128 = 3: 15/128 = 4: 20/128 = 5: 15/128 = - De 7e macht van (1/2) komt van het aantal bakjes (dit zijn er namelijk 7) - In de 7e rij van de driehoek van Pascal zie je dat er precies dezelfde cijfers staan als de coëfficiënten (vetgedrukt) van de zevende macht van ½, en de ½ slaat op de 50% kans die een balletje heeft om naar links of rechts te vallen. Bord van Galton Het is genoemd naar Sir Francis Galton. Het bord wordt ook wel de Quincunx genoemd. Dit bord heeft de vorm van een gelijkbenige driehoek en op dat bord staan rijen pinnen. De pinnen lopen naar beneden. Elke balletje dat naar beneden valt, komt eerst tegen de eerste pin en kan dan vervolgens naar links of naar rechts. Beide kanten hebben evenveel kans om genomen te worden, oftewel 50% kans voor beide kanten. Bord van Galton Pagina 5 van 5