Bespreking van. Van Rekeningh in Spelen van Geluck door Christiaan Huygens. Ter inspiratie, ter ondersteuning bij het onderwijs van
|
|
- Paula Mertens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 r Bespreking van Van Rekeningh in Spelen van Geluck door Christiaan Huygens Ter inspiratie, ter ondersteuning bij het onderwijs van kansberekening aan het vwo. Andrea Lubberdink, 2013 Naar aanleiding van een opdracht in het college Historical Aspects of Classroom Mathematics, voorjaar 2013, Utrecht 1. Inleiding Bij gokspelen is de uitkomst onzeker, schrijft Huvgens' in zijn inleiding [3, biz 489]. Je weet niet of je zult winnen of verliezen. Maar er is wei iets wat zeker is, iets wat je kunt berekenen, namelijk de kans op een bepaalde uitkomst. Van Rekeningh in Spelen van Geluck geeft prachtige aanknopingspunten om het yak kansberekening bij middelbare scholieren te introduceren, om hun interesse te wekken en zelfs om meer inzicht te geven. Het is het eerste gedrukte werk over dit onderwerp. Het ligt aan de basis van de moderne kansberekening. (zie [1]) Het waren vragen uit in de gokwereld in Frankrijk in de 17e eeuw, die hebben geleid tot het ontstaan van de kansberekening. In Franse salons werd door nobele heren gegokt. Men deed kaartspelen, dobbelspelen of er werd gewed (zie [1],[2]). Twee belangrijke vragen waren deze: Partijenvraagstuk: /'Twee partijen spelen een balspel om punten. Ze hebben beide een even grote kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6 punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Het spel moet (vanwege het weer) bij de stand 5-3 worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen. De vraag is nu: hoe moet dat gebeuren?" [2]
2 Dobbelspel NDeMere (een Franse edelman) speelde in de Franse 'salons' vaak een dobbelspel waarbij de 'bank' won als een speier bij het werpen met een zuivere dobbelsteen bij 4 worpen ten minste een zes gooit. Hij bedacht daarop een variant waarbij de 'bank' wint wanneer bij 24 worpen met twee zuivere dobbelstenen tenminste een keer dubbel-zes voorkwam. De Mere dacht dat er bij beide situaties voor de 'bank' dezelfde kans op winst bestond: in het eerste geval4/6 en in het tweede geval 24/36 (want bij twee dobbelstenen zijn er 36 mogelijkheden), en dat is beide hetzelfde. In de praktijk bleek dit echter niet op te gaan, de tweede situatie was voor de 'bank' ongunstig. De vraag was hoe dat kwam." [2] De eersten die deze vragen succesvol hebben aangepakt waren De Fermat en Pascal. Huygens hoorde erover en raakte gelnteresseerd. Omdat De Fermat en Pascal hun werk niet openbaar hadden gemaakt (ze hadden aileen hun resultaten laten zien, niet hun berekeningen) heeft Huygens van voren af aan alles zelf moeten onderzoeken en doorgronden [3, biz 488]. Hij heeft hiermee zelfstandig (mede) een grondslag gelegd voor de kansberekening. Zijn werk is van grote invloed geweest op de verdere ontwikkeling van de kansberekening. (zie [1]). 2. Bespreking van Van Rekeningh in Spelen van Geluck en mogelijkheden voor toepassing in het onderwijs Het verhaal over de achtergrond zoals hierboven beschreven kan leerlingen aanspreken. De grote Franse wiskundigen in de 17e eeuw die ge"interesseerd raken in vraagstukken uit de gokwereld en onze eigen Nederlandse held, Huygens, die daardoor aangestoken wordt en een werk schrijft, dat de grondslag legt voor een belangrijke theorie, de kansberekening. Ais Huygens zijn werk ter publlcatie aanbiedt aan zijn leraar Van Schooten, realiseert Huygens zich dat hij iets groots heeft neergezet. In een brief aan Van Schooten [3, biz 487] schrijft hij dat zijn verhandeling weliswaar over gokspelen gaat, maar dat dit geen spel is, dat men zal gaan inzien dat hier de grondbeginselen gelegd worden voor een belangrijke nieuwe theorie. In Van Rekeningh in Spe/en van Geluck vouwt Huygens, door het oplossen van steeds moeilijker wordende concrete vraagstukken, een algemene methode uit voor het oplossen van kansvraagstukken. Aile vraagstukken gaan over een kansspel tussen twee of meer spelers, waar
3 bij elke speier een inleg heeft gedaan in de pot. De winnaar krijgt de pot. Het Partijenvraagstuk en het vraagstuk van het Dobbelspel komen hierbij aan de orde. Dit zijn precies twee leuke vraagstukken om een klas voor te leggen. De spelregels zijn goed te begrijpen en de oplossing van het Partijenvraagstuk is gemakkelijk te vinden met een kansboom, dat van het dobbelspel door gebruik te maken van de complementregel. Huygens had nog geen kansboom en geen complementregel. Hij had het dus moeilijker in zijn tijd. Hij had veel woorden nodig om het Partijenvraagstuk op te lossen en de oplossing van het vraagstuk van het dobbelspel kostte hem veel rekenwerk. Afhankelijk van het niveau en interesse, kan ook met leerlingen gesproken worden over verdere verschillen tussen de berekeningen van Huygens en de moderne berekeningen, ook over het verschil in het kansbegrip van toen en nu. Een aantal handvatten hiervoor geven we hieronder. Huygens werkt niet, zoals wij tegenwoordig, met kansen tussen 0 en 1. Ais het spel bijvoorbeeld is dat ik win als ik 6 gooi met een dobbelsteen en verlies als ik l,2,3,4,of 5 gooi, dan zegt Huygens dat ik 1 kans heb tegen 5 kansen voor mijn tegenstander. Een kans is bij Huygens dus het aantal gunstige uitkomsten. In het oplossen van (ingewikkeldere) vraagstukken rekent Huygens (dan ook) niet met kansen. Hij rekent met 'hoeveel een kans waard is'. Dat is precies datgene wat wij tegenwoordig de verwachtingswaarde noemen. Bijvoorbeeld, als er in de pot a zit, dan is mijn kans in het bovenstaande voorbeeld ~awaard en die van mijn tegenstander ;a. Dat houdt in dat als we het spel hier zouden stoppen, de pot zo verdeeld zou moeten worden dat ik ~a krijg en mijn tegenstander ~a. En het betekent ook dat 6 6 als ik mijn deelname aan het spel wi! overdragen aan remand enders, dan kan deze het van mij overnemen voor ~a. Omdat Huvgens de verwachtingswaarde altijd uitdrukt in a, de hoeveelheid in de pot, komt datgene wat wij tegenwoordig kans noemen (in het voorbeeld,: en!!) ti I1i erin tevoorschijn, en komt het rekenen van Huygens met verwachtingswaarden op hetzelfde neer als het rekenen.met de kansen uit ons huidige kansbegrip. Huygens behandelt ook uitdagende vraagstukken, vraagstukken die niet in de huidige kansberekening op de middelbare school voorkomen, maar die wei te begrijpen zijn voor leerlingen die graag uitdaging hebben. Een
4 voorbeeld hiervan is het volgende spel: Ik en mijh tegenstander gooien om de beurt met 2 dobbelstenen. Mijn tegenstander mag als eerste gooien. Ais hij 6 ogen gooit dan wint hij. Ais ik 7 ogen gooi, dan win ik. Hoe groot is de kans dat ik win? Volgens de lijn van Huygens gaat dit als voigt: stel x = de kans dat ik win en stel y = de kans dat ik win nadat mijn tegenstander in de eerste beurt geen 6 heeft gegooid. Telkens als ik weer aan de beurt ben om te gooien is mijn kans weer x, en telkens als mijn tegenstander weer aan de beurt is om te gooien is mijn kans y. Kijkend naar een deel van de kansboom kunnen we nu 2 vertelijkingen opstellen met 2 onbekenden, namelijk y = ~+~x en x = a1y => x=31/61 is IS 3iS In de laatste alinea van zijn werk komt Huygens met een klapper. Hij geeft het antwoord op de volgende vraag: A en B hebben ieder 12 penningen en spelen met drie dobbelstenen. Als er 11 geworpen wordt dan geeft A een penning aan B en als er 14 geworpen wordt dan geeft Been penning aan A. Degene die het eerste aile penningen heeft, wint het spel. Dit is een monstersom! Huygens laat zijn berekening niet zien, maar geeft aileen het antwoord: de kans is voor A tegen voor B. Hij moet 11 vergelijkingen met 11 onbekenden opgelost hebben! Op een andere manier, behalve met de numerieke methode tegenwoordig, kan deze vraag volgens ons niet opgelost worden. Leuk om te vertellen in de klas! Om een goed inzicht te hebben in het werk van Huygens is het aan te raden de vrije vertaling (uit het Oudnederlands) van Van Rekeningh in Spelen van Geluck zelf geheel door te nemen. Deze staat in de bijlage. Het is een verrijkende ervaring. De omvang valt mee. Het is inspirerend, leuk en boeiend en het geeft achtergrondkennis over de basis van de kansberekening.
5 ~ ,..-."'--,.,..,,-,--- Noten 1. Christiaan Huygens ( ) was een groot en veelzijdig Nederlands wetenschapper. Samen met zijn broer, Constantijn, maakte hi] de beste lenzen en telescopen in zijn tijd, waardoor hij als eerste de ringen van Saturnus als ringen herkende. Hij heeft de sllngerklok uitgevonden en de eerste een golftheorie van licht ontwikkeld. In de wiskunde heeft hij een theorie van evoluten (verzamelingen van krommingsmiddelpunten) ontwikkeld, en met Van Rekeningh in Spelen van Geluck een belangrijke bijdrage geleverd aan de totstandkoming van de kansberekening. (zie [4]) Bronnen [1] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Utrecht, biz [2] tml, bezocht op ~01 [3] c. Huygens, Tractaet handelende van Reeckening in Speelen van Ge/uck, in F. van Schooten, Mathematische Oeffeningen begrepen in vijf boecken, Amsterdam, [4] Bos, H.J.M. Huygens, Christiaan, in Dictionary of Scientific Biography, vol.6, biz , 1972
Gokautomaten (voor iedereen)
Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke
Nadere informatieJe kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen.
Spelen met Kansen Bij wiskunde A, havo en vwo In een heleboel gezelschapsspellen speelt het toeval een grote rol, bijvoorbeeld Patience, Ganzenbord, Thodi, Black Jack, Risk, Poker, Bridge. Deze spellen
Nadere informatieVan Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening. Annemarie Baars Auke Mollema
Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening Annemarie Baars 3257118 Auke Mollema 3233626 Geschiedenis van de Wiskunde WISB281 12-01-2009 Inhoudsopgave 1. Inleiding... 2 1.1 Werkmethode...
Nadere informatieIn de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.
Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic
Nadere informatie- Printversie van het Grote Sinterkerst Dobbelspel - - Veel plezier! www.sinterkerstspel.nl -
- Het Grote SinterKerst Dobbelspel Het Grote SinterKerst Dobbelspel bestaat uit verschillende ronden waarin steeds met een dobbelsteen wordt gegooid. Iedereen gooit om de beurt met de dobbelsteen en de
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen
Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische-opdracht door een scholier 918 woorden 17 maart 2002 4,9 60 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Wij hebben gekozen voor
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Patience
Praktische opdracht Wiskunde A Patience Praktische-opdracht door een scholier 1365 woorden 23 januari 2005 5,2 8 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Patience Inleiding Dit is een spel voor één speler. Hij heeft
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als
Nadere informatieUitwerkingen Wiskunde A HAVO
Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Nederlands Mathematisch Instituut December 28, 2012 Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als we dit invullen dan krijgen we
Nadere informatieWerkstuk Wiskunde Driehoek van pascal
Werkstuk Wiskunde Driehoek van pascal Werkstuk door een scholier 283 woorden 28 mei 2002 5,7 274 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Inleiding Wij Tim, Maik, Koen en Christiaan maken
Nadere informatieBij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?
4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren
Nadere informatieCaféplay II Spel - Turnbased strategiespel met alledaagse voorwerpen. Misha Heesakkers 2037969
Caféplay II Spel - Turnbased strategiespel met alledaagse voorwerpen Misha Heesakkers 2037969 Inhoud Gamedesign 3 Laatste Prototype 4 Procesverslag 5 Protoype 1 6 Protoype 2 7 Protoype 3 8 Protoype 4 9
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Het casino
Praktische opdracht Wiskunde A Het casino Praktische-opdracht door een scholier 3476 woorden 20 februari 2004 4,9 38 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Craps Craps is een dobbelspel dat op het eerste gezicht
Nadere informatie2 Kansen optellen en aftrekken
2 Kansen optellen en aftrekken Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/ VWO wi-a Kansrekening Optellen/aftrekken Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17 1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17 De Kolmogorov
Nadere informatieDruk alle kartonnen delen uit de raampjes. Stel de pionnen samen door het kartonnen deel in het voetje te steken.
spelregels Druk alle kartonnen delen uit de raampjes. Stel de pionnen samen door het kartonnen deel in het voetje te steken. Sorteer de kaarten in drie stapeltjes: Drakenkaarten Wapenkaarten Avonturenkaarten
Nadere informatieIIHOUD. SOl.." DOELVAI HETSPEL. ~. 13 eiç]endomskaartjes [Sold) 1 speelbord
IIHOUD 1 speelbord Het stelt Ben stadsplattegrond voor met dertien wijken. Elfdaarvan hebben Ben cijfer, dat de waarde in mln.$ aangeeft. De twee overige wijken [Parken) hebben Ben " x2 " - teken. Zii
Nadere informatieDiverse regels om darts te spleen Basisregels
Diverse regels om darts te spleen Basisregels In principe zijn dart wedstrijden gespeeld tussen twee spelers of twee teams. De teams kunnenworden samengesteld uit twee of meer mensen elk. Negen worpen
Nadere informatieWolfje, wolfje, hoe laat is het?
Wolfje, wolfje, hoe laat is het? Het spel is verdeeld in 4 niveaus. Elk niveau heeft een andere leerinhoud maar combineert steeds met de onderliggende niveaus. Zo krijg je een groter spel met steeds meer
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1
wiskunde B Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 3 juni 3.30 6.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie69. De racebaan (<6) Verwante activiteiten - de kikkers - de autoracebaan - de getalkaartjes
69. De racebaan (
Nadere informatiePraktische opdracht LO Fair Play
Praktische opdracht LO Fair Play Praktische-opdracht door een scholier 1971 woorden 12 mei 2003 6,8 84 keer beoordeeld Vak LO Opdracht 1 Opdracht 1.1 a. Geef tenminste 2 verschillende omschrijvingen van
Nadere informatieReglement Diksmuidse zevenkamp caféspelen
Reglement Diksmuidse zevenkamp caféspelen Start om 14 u., einde verwacht rond 18 u. Maximum 8 teams (beperkte plaatsen). Teams van 3 spelers, de spelers wisselen elkaar af per discipline. Elk team beslist
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 01 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 1 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieHoofdstuk 11: Kansverdelingen 11.1 Kansberekeningen Opgave 1: Opgave 2: Opgave 3: Opgave 4: Opgave 5:
Hoofdstuk : Kansverdelingen. Kansberekeningen Opgave : kan op manieren 5 kan op! manieren 555 kan op manier 0 0 som 5) Opgave : som 5) som 5) som ) som ) c. som 0) d. som 0) som ) Opgave : som ) som )
Nadere informatie5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER
VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Deze praktische opdracht gaat over het slim spelen van spelletjes. Kun je zo slim spelen dat je altijd wint? Of dat je in ieder geval nooit verliest? Dit geldt natuurlijk
Nadere informatieBugs Bunny heeft een dobbelsteen bij zich. Hij zal zijn aanvalspunten bepalen door wat er op de kaart staat.
Looney Tunes Verdeel de kinderen in twee groepen van 10 tot 15 kinderen. Iedere groep krijgt zijn eigen stad in het bos. Iedere stad is 75 punten waard. Maar omdat er maar 1 echte looneytunescity is zullen
Nadere informatieRekenactiviteiten voor de onderbouw
Rekenactiviteiten voor de onderbouw IJsselgroep Basisschool de Kolkstede 1. bingo 2. duo en trio 3. de hoogste kaart 4. wie het meeste gooit 5. het bakjesspel 6. de buschauffeur 1. Bingo Doel: koppeling
Nadere informatie20 witte Doelvakjes. Raster voor solovariant Strafpunten Eindscore
EEN SPEL VAN BRUNO CATHALA EN LUDOVIC MAUBLANC Werp je dobbelstenen, kies een kleur of een waarde, en vul je scoreblad in door de juiste beslissingen te nemen! Kleuren (kleine vierkantjes stellen het aantal
Nadere informatieJijbent.nl: spelregels backgammon. Egbert Brinks (Espeedy) Copyright 2017 Jijbent.nl
Jijbent.nl: spelregels backgammon Egbert Brinks (Espeedy) Copyright 2017 Jijbent.nl Inhoud Spelregels backgammon...1 Het bord...1 Doel van het spel...1 Bewegen van de stenen...1 Regels van het bewegen
Nadere informatieKansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen
Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van
Nadere informatieIntroductie Elke speler in het spel neemt de rol op zich van 1 van de 4 grote geesten:
Sunda to Sahul Tot 50.000 jaar geleden, het tijdperk waarop mensheid de natuur begint te domineren, leefden mensen bij de gratie van de natuur, in al haar harde glorie. Ons begrip van de natuurlijke wereld
Nadere informatieMijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen.
Voorstel project Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Het doel van mijn project is de spelers een ontspannende, plezierige en
Nadere informatieMinimaal twee en maximum twaalf. Er kan één tegen één of met twee teams gespeeld worden. Deze spelregels gaan uit van twee teams: team A en team B.
KUBBSPEL SPELREGELS DOEL VAN HET SPEL Het doel van het kubbspel is de koning om te gooien, nadat alle kubbs op de speelhelft van de tegenstander zijn omgegooid. DE SPEELSTUKKEN EN HUN PLAATS 1. Koning,
Nadere informatieSpellen met één dobbelsteen
Inhoud Spellen met één dobbelsteen... 2 Spellen met twee dobbelstenen... 3 Spellen met drie dobbelstenen... 4 Spellen met 5 dobbelstenen... 5 Spellen met 6 dobbelstenen... 6 Spellen met Pokerstenen...
Nadere informatieRisicogedrag. Voortgezet onderwijs
Voortgezet onderwijs 2 Wereldwijd bestuderen wetenschappers risicogedrag. Dat gebeurt ook aan de Universiteit Leiden bij het Brain & Development Onderzoekscentrum. Daar onderzoeken wetenschappers bij adolescenten
Nadere informatie11.1 Kansberekeningen [1]
11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen
Nadere informatiegetalkaartjes 20 spelsuggesties voor thuis!
getalkaartjes 20 spelsuggesties voor thuis! Flitsen voor de allerkleintjes. (kind met ouder) de getalkaartjes 1 t/m 10 worden samen uit het doosje gezocht het kind legt de getalkaartjes zelf voor zich
Nadere informatiePRIME CLIMB. Speeltijd Ongeveer 10 minuten per speler.
PRIME CLIMB Het mooie, kleurrijke wiskundige spel Prime Climb is een strategisch bordspel voor 2-4 spelers van leeftijd 10. Speeltijd Ongeveer 10 minuten per speler. Inhoud Prime Climb spelbord Vermenigvuldigingstafel
Nadere informatieWolfje, wolfje, hoe laat is het?
Wolfje, wolfje, hoe laat is het? Het spel is verdeeld in 4 niveaus. Elk niveau heeft een andere leerinhoud maar combineert steeds met de onderliggende niveaus. Zo krijg je een groter spel met steeds meer
Nadere informatieWolfje, wolfje, hoe laat is het?
Wolfje, wolfje, hoe laat is het? Het spel is verdeeld in 4 niveaus. Elk niveau heeft een andere leerinhoud maar combineert steeds met de onderliggende niveaus. Zo krijg je een groter spel met steeds meer
Nadere informatieWolfje, wolfje, hoe laat is het?
Wolfje, wolfje, hoe laat is het? Het spel is verdeeld in 4 niveaus. Elk niveau heeft een andere leerinhoud maar combineert steeds met de onderliggende niveaus. Zo krijg je een groter spel met steeds meer
Nadere informatie3 Kansen vermenigvuldigen
3 Kansen vermenigvuldigen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Vermenigvuldigen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor
Nadere informatieSpelmateriaal voor het dobbelspel
Dit spel biedt twee speelmogelijkheden: het dobbelspel en de Alcazaba-variant. Het dobbelspel is een zelfstandig spel in de Alhambra-familie. De spelregels voor het basisspel worden hierna beschreven.
Nadere informatieHandleiding Kallidrom spel
Handleiding Kallidrom spel Montage Onderdelen: 1 bodem (A) 1 voorzijde (B) 2 zijdelen (C) 14 elastieken bandjes 2 hoeken 4 schroeven 1 groot elastiek Steek de uitsteeksels van de bodem in de uitsparingen
Nadere informatieHoi boer. De speler links van de gever begint het spel door een kaart open op tafel te draaien. Daarna doet de volgende speler hetzelfde; enzovoort.
Een kaartspel voor 4 personen Hoi boer De speelkaarten worden gelijkelijk verdeeld, zodanig dat iedere speler een gelijk aantal kaarten heeft. Deze kaarten liggen omgekeerd voor de speler op tafel. De
Nadere informatieGevangenenprobleem. Samenwerken en onderhandelen
Gevangenenprobleem Samenwerken en onderhandelen 10 20 30 40 50 60 HAVO VWO Dit experiment illustreert het gevangenenprobleem door middel van een kaartspel in groepjes van twee. In iedere ronde kiezen deelnemers
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur
Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieHoe bereken je een kans? Voorbeeld. aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) =
Hoe bereken je een kans? P(G) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat de som van de ogen 7 is? Regels Een kans is een
Nadere informatieVoorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2010: Antwoorden op de opgaven
Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Antwoorden op de opgaven Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 Antwoorden op de opgaven Als we bij een vergelijking een formule
Nadere informatieOefeningen statistiek
Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren
Nadere informatieAntwoorden door K woorden 14 augustus keer beoordeeld. Wiskunde A. Supersize me. Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen.
Antwoorden door K. 1901 woorden 14 augustus 2015 1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Supersize me Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen. Formule energiebehoefte = =33,6 G 5000(kcal) = dagelijkse
Nadere informatieDoel van het spel Stapel tegels met overeenkomstige eigenschappen zo hoog mogelijk op elkaar.
Voor: Speeltijd: Spelauteur: Vormgeving: 1-4 spelers 5-55 minuten Sabine Opstelten 2DSign NL Over Katoiz Katoiz is een ontwikkelingsspel. Het is een spel dat aangepast kan worden aan de ontwikkelingsfase
Nadere informatieJEU DE BOULES: DE SPELREGELS Vooraf: Waar we in onderstaande tekst speler vermelden, kan uiteraard ook speelster worden gelezen.
JEU DE BOULES: DE SPELREGELS Vooraf: Waar we in onderstaande tekst speler vermelden, kan uiteraard ook speelster worden gelezen. Het zelfde geldt voor hij/zijn c.q. zij/haar. Nu de twee Jeu de boules banen
Nadere informatie1 Kansbomen. Verkennen. Uitleg. Theorie en Voorbeelden. Beantwoord de vragen bij Verkennen.
1 Kansbomen Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-a Kansrekening Kansbomen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO
Nadere informatieOpgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies
Nadere informatieScan de QR-Code voor de online speluitleg video Patmat HET BORDSPEL. Spelregels. Speelduur: Spelers: Leeftijd:
Scan de QR-Code voor de online speluitleg video www.justgames.nl Patmat HET BORDSPEL Spelregels Leeftijd: Spelers: Speelduur: 6+ - 4 0 Spelregels Voorbereiding: Iedere speler krijgt een setje dobbelstenen
Nadere informatieKOGELSTOTEN Bij het kogelstoten is het de bedoeling dat een kogel zo ver mogelijk wordt weggestoten. De kogel wordt vanuit de nek weggestoten. De uitgangshouding is met het gezicht naar de stootrichting.
Nadere informatieWe nemen eerst aan dat het niet uitmaakt of een schaatser de laatste bocht in de binnenbaan of in de buitenbaan rijdt. Dan geldt p 0,5.
00 meter schaatsen De prestaties van een wedstrijdschaatser zijn afhankelijk van zijn of haar conditie, maar ook van externe factoren zoals de kwaliteit van het ijs en de weersomstandigheden. Als een schaatser
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Kansen
Hoofdstuk 4 Het kansbegrip (V4 Wis A) Pagina 1 van 5 Paragraaf 4.1 : Kansen Les 1 Kansen met dobbelstenen Definitie GGGGGGGGGGGGGGGG uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu KKKKKKKK = TTTTTTTTTTTT aaaaaaaaaaaa uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
Nadere informatieEskapo hét strategisch dobbelspel
Eskapo hét strategisch dobbelspel voorbeeld van een willekeurige opstelling Bij Eskapo verplaats je de speelschijven Vis, Boot, Golf en Storm één veld verder in alle richtingen (zie de Vis in voorbeeld
Nadere informatieLES 2. GROEP: 3 t/m 8 KORFBAL DOELSTELLINGEN:
LES 2. GROEP: 3 t/m 8 DOELSTELLINGEN: Groep 3/4 - De leerling gooit de bal niet op het moment dat er een verdediger in de afspeellijn staat. De leerling maakt soms de keuze om de bal over te spelen in
Nadere informatieHANDLEIDING HET IJSBERENSPEL
HANDLEIDING HET IJSBERENSPEL Pagina 1 van 7 1.! Artikelen behorende bij het spel... 1! 2.! Doel... 1! 3.! Spel klaar zetten... 1! 4.! Aantal deelnemers... 2! 5.! Meer informatie... 2! 6.! Speluitleg...
Nadere informatieOpgaven voor Kansrekening
Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:
Nadere informatieDobbelstenenrace LESRICHTLIJN OVERZICHT LES LESDOELEN MATERIALEN, MIDDELEN EN VOORBEREIDING. Opstarten - 15 minuten
U UNPLUGGED Dobbelstenenrace Lestijd: 20 minuten Deze basisles omvat alleen oefeningen. Er kunnen inleidende en afrondende suggesties worden gebruikt om dieper op het onderwerp in te gaan als daar tijd
Nadere informatieHoofdstuk 5 Rekenen met kansen uitwerkingen
Kern Rekenen met kansen a 0 29 870 eindknopen. b De teller van de breuk geeft aan hoeveel mogelijkheden er zijn voor de betreffende kleur. De noemer van de breuk geeft weer hoeveel mogelijkheden er in
Nadere informatieInleiding. Maar wat kunnen kinderen op welke leeftijd met dobbelstenen leren?
CLASSIFICO BEDRIJFSVISIE Wij helpen de kinderen op deze wereld met de eenvoud van onze producten, om de echt belangrijke dingen in het leven spelenderwijs te leren. 2 Inleiding Het idee voor de dobbelstenenmand
Nadere informatieWiskunde bij poolbiljarten: een introductie
niveau ooo Wiskunde bij poolbiljarten: een introductie Naar aanleiding van het Smartpool scholenproject besteedt Pythagoras dit schooljaar in ieder nummer aandacht aan verschillende (wiskundige) aspecten
Nadere informatie2 schatkamerdobbelstenen Met deze dobbelstenen kun je de schatkamer verkennen. Hiermee kun je kostbare goudklompjes vinden.
In een land hier ver vandaan regeert koning Diamor, die dol is op schatten. Volgens de vertellingen uit dit land is er een ruimte vol goudklompjes die bewaakt wordt door een draak. Maar om deze schatkamer
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Kansrekening en Statistiek p.1 Overzicht Kansrekening en Statistiek - Geschiedenis - Loterij - Toetsen
Nadere informatieSpelsystemen sjoelen. Combinatie-IV (First Loss)... 9 Combinatie-V... 9 Libre One Hundred And Eighty Moyenne Moyenne-2...
Inleiding Het Spelreglement van de A.N.S. is van toepassing. De uitzonderingen op dit spelreglement bij de spelsystemen worden aangegeven. Het aantal schijven waarmee wordt gesjoeld kan anders zijn. De
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 wiskunde B1 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieDe kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke
Om goed te kunnen pokeren, is psychologisch inzicht natuurlijk belangrijk. Een speler moet inschatten of zijn tegenstander bluft en zijn eigen strategie zo goed mogelijk verbergen. Je zou zeggen dat geluk
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal
Nadere informatieOPGELUCHT STAAT NETJES
OPGELUCHT STAAT NETJES Krop de boel niet op, praat het van je af! Een dobbelspel voor wie durft... OPGELUCHT STAAT NETJES Je hart luchten is fijn: je voelt je minder alleen en samen kun je op een rijtje
Nadere informatieHoofdstuk 1. Afspraken en notaties
Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen
Nadere informatieMago Magino. Het verhaal. Voorbereiding
Selecta Mago Magino Wat een schrik, het toverkristal is weg! Fantastisch magisch dobbelspel met één spelvariant voor 2-5 kleine tovenaars van 5 tot en met 99 jaar. Soort spel: Gezinsspel Spelers: 2 tot
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 havo 2007-II
Sprintsnelheid Een hardloopster is gespecialiseerd op de 1 meter. Bij dit atletiekonderdeel moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te houden tot de finish. Haar trainer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Nadere informatieinleiding thema rood geel rood geel groen geel rood
leeswijzer inleiding thema In dit boek vindt u voor iedere groep specifieke aanwijzingen om de Grote Rekendag in die groep vorm te geven. In het hoofdstuk Schoolbrede start treft u verder aanwijzingen
Nadere informatieHet Onderzoek. Laura Koopman Groep 7 woensdag 5 maart 2014 HET ONDERZOEK
Het Onderzoek Laura Koopman Groep 7 woensdag 5 maart 2014 HET ONDERZOEK Inhoud In deze hoofdstukken is mijn werkstuk verdeeld: 1.Christiaan Huygens blz: 4 2.Antonie van Leeuwenhoek blz: 6 3.De beschrijving
Nadere informatiePetri ACHTERGROND. van Jürgen Heel
Spelers: 2-5 Leeftijd: vanaf 6 jaar Duur: ong. 20 minuten Inhoud: 25 kaartjes 1 vissensteen 1 kleurensteen 1 spelregelfolder NL Petri van Jürgen Heel ACHTERGROND Frits Visser organiseert met zijn vrienden
Nadere informatieLES 3. GROEP: 3 t/m 8 KORFBAL.
LES 3. GROEP: 3 t/m 8 DOELSTELLINGEN: - De leerlingen kiest een afspeellijn die niet verdedigd wordt. - De leerling doet bij iemand is hem, niemand is hem, pogingen om de bal te pakken. - De leerling staat
Nadere informatieLesbrief Hypergeometrische verdeling
Lesbrief Hypergeometrische verdeling 010 Willem van Ravenstein If I am given a formula, and I am ignorant of its meaning, it cannot teach me anything, but if I already know it what does the formula teach
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 2007 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Nadere informatieOpgaven voor Kansrekening
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 havo 2008-II
Golfhoogte Bij de beoordeling van de veiligheid van de figuur 1 Nederlandse kust wordt onder andere de golfhoogte onderzocht. De golfhoogte is het hoogteverschil tussen een golftop en het daarop volgende
Nadere informatieLES 41. GROEP: 3 t/m 8 Zwaaien, Springen, Doelspelen
LES 41. GROEP: 3 t/m 8 DOELSTELLINGEN Groep 3/4: Mikken met touwzwaaien. - De leerling kan al zwaaiend, met de voeten een pittenzakje in een hoepel leggen. Vies en lekkertje. - De loper rent als hij niet
Nadere informatieFitalRun. Activiteit Yatzee Run (yatzeeloop) Opdracht: Probeer als team een zo hoog mogelijke Yatzee score te behalen. FitalSports
Activiteit Yatzee Run (yatzeeloop) Opdracht: Probeer als team een zo hoog mogelijke Yatzee score te behalen Foto 1 Foto 2 Foto 3 Foto 4 Foto 5 Elk team gooit samen 5 dobbelstenen. Gunstig geworpen dobbelstenen
Nadere informatieTentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R
Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar
Nadere informatieSPELREGELS. Benodigdheden: Het speelbord, de dobbelsteen, de zandloper, pionnen, vragenkaarten, kwartetkaarten en Match-it! kaarten.
SPELREGELS SPELREGELS Dirty Seconds is de leukste manier van seksuele voorlichting voor jongeren (en hun ouders) vanaf 13 jaar. Het spel is eenvoudig te spelen en de verschillende kleuren op het speelbord
Nadere informatieKubb-tornooi Geluwe. Datum: 10 mei Tijd: 9u00 tot 17u00. Waar: Sint-Jorisschool geluwe. Mail:
Kubb-tornooi Geluwe Datum: 10 mei 2014 Tijd: 9u00 tot 17u00 Waar: Sint-Jorisschool geluwe Mail: kubb-sint-jorisschool@hotmail.com 1. Inschrijvingen: Via mail: kubb-sint-jorisschool@hotmail.com 10 euro
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 2013 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor
Nadere informatieInhoudsopgave P.O. WISKUNDE
OVER DE PRAKTISCHE OPDRACHTEN In dit boekje staan drie praktische opdrachten. De opdrachten zijn drie voorbeelden van hoe je wiskunde in de praktijk kunnen gebruiken. Hopelijk zien jullie na deze drie
Nadere informatieVAN BEGINNER TOT WINNER GIJSBERT OONK
VAN BEGINNER TOT WINNER GIJSBERT OONK INHOUD 1 Het begin 5 Geschiedenis 5 De regels van het spel 10 Pokertermen en hun achtergrond 25 2 Met welke kaarten speel ik? 29 Overwegingen voor beginners en gevorderden
Nadere informatieBOOMTOWN. Spelmateriaal. Face 2 Face Games, 2005 Bruno CATHALA & Bruno FAIDUTTI 3 5 spelers vanaf 10 jaar ± 30 minuten
Spelmateriaal BOOMTOWN Face 2 Face Games, 2005 Bruno CATHALA & Bruno FAIDUTTI 3 5 spelers vanaf 10 jaar ± 30 minuten 60 speelkaarten (45 mijnconcessies en 15 gebeurteniskaarten) 2 dobbelstenen 5 burgemeesterpionnen
Nadere informatieInleiding. Kern. Groep 5 en 6 Les 1 Klassikale les. Kerndoel
Les 1 Klassikale les Inleiding Kern De leerlingen beheersen vaardigheden zoals werpen, vangen en voortbewegen met een bal. De leerlingen kunnen de volgende spelvormen uitvoeren: tik en afgooispelen. De
Nadere informatieWarming up. Shuttle tikkertje. Hoe lang? Doel van het spel Wat heb ik nodig? Organisatie. Start. Speelregels Hoe maak ik het makkelijker?
Warming up Shuttle tikkertje warming up met shuttle 1 shuttle en evt. lint(en) voor de tikker(s) Alle kinderen lopen in de zaal, een tikker wordt aangewezen. Deze tikker heeft een shuttle in de hand waarmee
Nadere informatie