Regelmaat in de ruimte

Transcriptie

1 n der Vegt

2

3 .2i:::)# 0 S-OO s- :229 C; bi) i.,)~.. Regelmaat in de ruimte Blbi i ol heek TU DeiH C

4

5 Regelmaat in de ruimte o "o A. K. van 0 der Vegt o' or, ' Delftse Uitgevers Maatschappij

6 CIP-gegevens Koninklijke. Bibliotheek, Den Haag Vegt, A.K. van der Regelmaat in de ruimte / A.K. van der Vegt - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. - Ill., fig. ISBN Trefw.: meetkunde. VSSD Eerste druk Delftse Uitgevers MaatSchappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegev~nsbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights. reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, meçhajiical, photocopying, recording; or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN

7 5 VoorwoQ'rd Dit boekje gaat over een heel oud onderwerp. Al eeuwen geleden waren er mensen die door veelvlakken geboeid werden en een groot deel van hun tijd besteedden aan het opsporen en analyseren van regelmatige structur~n. In de terminologie van de veel~lakkenkom je dan ook nariien tegen als Archimedes, Pythagoras, Plato en Kepier. Veelvlakken spelen vandaag de dag een rol in orid~r andere de kristallografie, de beeldende kunst (Escher!), de bouwkunde en, vooral, inde 'polyedrofilie'. Met dit laatste bedoel ik het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), datzci'het nietkunïlen laten om er mee te spelen, ze te analyseren, ze te plakken of ze te boe~eren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men dit verschijnsel eigenlijk 'Polyedromanie' zou moeten noemen: Met alle lezers die mijn enthousiasme delen, acht ik' me, en ook gelet op bovengenoemde, namen, in goed g~z~lsch~p. Tientallen jaren spelen met veelvlakken heeft. uiteindelijk tot dit boekje geleid. Ik hoop dat het lotgenoten zal stimuleren om hun hobby nog intensiever te beoefenen. Dit boekje pretendeert geen historisch-wetenschappelijke verhandeling te zijn. Litera ~, tuur wordt daarom, op een kort historisch overzicht na, niet pf nauwelijks ~èrmeld... Als duidelijk~ uitzondering noem ik.echter speciaal he~ prachtige boek van Wenninger: 'Polyhedron modeis', een unieke foto-verzameling van door de auteur zelf geplakte, modellen van eenvoudige tot uiterst,gecompliceerde veelvlakken. Tenslotte nog iets over dé figuren. Deze zij~ tot stand gekomen door een combinatie van: -. toepassing van' een beetje analytische meetia.inde, om vàmlit de 'coördinaten der hoekpunteq,die der zijvlakken te berekenen, eri voor de 'tweede soort', raakvlakken en hun snijlijnen.. een serie eenvoudig te schrijven BASIC-programma 's,met als meest gecompliceerd onderdeel het bepalen van de zichtbare delen van ribben bij hogere-orde veel-, vlakken,., -. een Archimedes 310 als krachtig en zeer snel rekentuig, ~. een voor de Archiniedes geschreven tekenprogramma: 'Superdump', waarmee het printen met hoge resolutie mogelijk is. Ieder die belangstelling heeft in meer details, is welkom voor ver<lere informatie. Delft, mei 1991 A.K. van der Vegt

8 .

9 / " VOORWOORD, 1. INLEIDING l.i. Waar gaat het over? 1.2. Een oud onderwerp J.3. Watzijnvèelvlakken? ' 1.4. ' Veelhoeken 1.5. Veelvlakshoeken: 1.6. Veelvlakken 1.7. ' Ribben, hoekpunten en zijvlakken, 2. VOLLEDlGEREGELMAA:r(Platonische lichamen) 2.l. Algemeen 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (33 3) 2.3. Zesvlak (kubus) ofhexaeder,r6 of {4,3} of(444) '2.4., Achtvlak of oktaeder, R8 of {3,4} of (3333) 2.5. Twaalfvlak of dodekaeder,r12of {5,3} of (5 55) ' 2.6. Twintigvlakoficosa~der, R20 of {3,5l of(3' ) '2.7. Geometrische constanten van de regelmatige veelvlakken 2.8. Topologische projecties 3. HALVE REGELMAAT (Archimedische of uniformè veelvlakken), 3.1. Algemeen 3.2. Analyse 3.3. Archimedische prisma's (44 n) 3.4. Archimedische (Ultiprisma's (33 3. n), 3,5. De kubo-oktaeder ( ), 3.6. De afgeknotte tetraeder (3 6 6), 3.8. De afgeknotte kubus (3 8 8) 3.9. De romben-kubo-okta'eder (3 444) De grote romben-lqlbo-oktaeder (4 6 8), 3.1l. De icosi-dodekaeder (3 5 35) De afgeknotte icosaeder (5 6 6), ', De afgeknotte dodekaeder ( ) 3.14., Deromben-icosi-dodekaeder (3 454) ", De grote romben,-icosi-dodekaeder (4 (10) De stompe kubus ( ) De stompe dodekaeder ( ) Oppervlakken en inhouden ' Reeksen ",! ' ', , ' I / 34,34 ' , , 47

10 8 Regelmaat in de ruimte 4. HALVE REGELMAAT OMGEKEERD (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1. Inleiding 4.2. Berekening van de vorm" der zijvlakken 4.3. Bereke~g der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken 4.5. Archimedische dubbelpiramides 4.6. Archimedische trapezoëders 4.7. De rombendodejcaeder 4.8. Intermezzo: ruirntevullende viervlakken " 4.9. Tussen kubus en oktaeder 4.9. Tussen dodekaeder en icosaeder Reeksen " 5. VOllEDIGE REGELMAAT MET STÉRREN (Poinsot-lich~en) 5.1. Inleiding 5.2. Analyse 5.3. De grote sterdodekaed«r 5.4. De kleme sterdodekaeder' 5.5. De grote ikosaeder 5.5. De grote dodekaeder 5.6. Negen platonische lichamen 6. HALVE REGELMAAT MET STERREN (hogere orde uniforme veel~lakken, UH's) " 6.1. Inleiding 6.2. Analyse 6.3. Stervorming van zijvlakken 6.4. Stervorming in hoekpunten 6.5. Afknotting van hoekpunten 6.6. Andere mogelijkheden 7. MEER DAN DRIE DIMf;NSIES 7.1. Inleiding 7.2. De achtcel 7.3: De vijfcel 7.4. De zestiencel 7.5. Andere polytopen 7.6. Nog meer dimensies LITERATUUR. ", " ', 1" -

11 " ",,!"" "!I11I5!!!"MIH 9 1 Inleidin g Waar gaat het over?... Vraag je aan iemand, een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen of als doos, maar ook in. vervormde gedaante, als re~hthoekig of séheefhoekig blok. Ook prisma's zijn bekend: staven met vlakjse kanten (als er vier kanten zijn, z:itten we weer in de buurt van de. kubus). Verder: piramiden, beroemd vanuit Egypte Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn.voor dit boekje van belang: alleen die exemplaren die een duidelijke regelmaat yei1cmen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/ofalle zijvlakken gelijk en/öf regelinatig Zijn. De ~lokken en de piramiden vallen. dan af, behalve als depiramide driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige driehoeken bestaan. Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het viervlak. Er blijken, zoals w~ al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het, ach,tvlak,het twaalfvlak en het twintigvlak. Dit, vijftal is al boeiend geiloeg om uitvoerig te bekijken, elk op zichzelf en in hun onderlinge relaties. Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden, bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regebpaat (we. komen dan bij de half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele werelden gaan dan open,' die we.in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen. Maar eerst een heel summier Overzicht over wat de mens in de afgélopen25.eeuwen over vee~vlakken te weten is gekomen Een ' oud onderwerp 2500 j~ar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de'iqjbus, het viervlak en.. f.'.. ~. hettwaalfvlak..... '..'.... Plato (roiid 350 voor Christus) kende ie alle vijf, inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld' in verband met de vijf elemèn~èn:

12 ,10 Regelmaat in de ruimte vuur, lucht; water, aarde en 'hemelmaterie'. Vandaàr de aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen'. Euklides (rond 300 voor Christus) 'beschreef ze nog eens' in meer detail., Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13 halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven. Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (157r-1630) [1] met een samenvilttende beschrijving van de vijf Platonische ende dertien Archimedische lichamen. Va,n Kepler is ook de gedachte dat de vijf Platonische lichamen ver~and houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve de Aarde, in die tijd nog maar vijf, planeten bekend!). Kepler kwam bovendien op het idee d~t. ook pentagrammen (regelmatige vijfhoekige sterren) tot reg~lmatige ' veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de' kleine en de grote sterdodekaeder. Het duurde nog twee éeuwen voordat Poinsot ( ) [2] deze serie van twee aanvulde tot,de complete verzameling van vier gel:leel regelmatige ster-veelvlakken., '.., Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op steivorming gebaseerde halfregelmatige lichamen. Telkens worden et weer een paar' ontdekt', waarbij onder andere de namen, Pitsch [3], Brueckner [4] en Hess [5] geregeld voorkpmen (allen eind 1ge eeuw). Coxeter [6] maakte een diepgaande mathematische analyse vàn de diverse veelvlakken en tevens van de uitbreiding naar högere diniensies...!. Ten slotte: het fotoboek van Wenninger ~7] geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van een groot aantal ' veelvlakken. Bó~éndien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de veelvlakken zelf te plakken. ", 1.3. Wat zijn veelvlakken? Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke ' veelhoeken, zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken van veelvlakken zullen we dus e~rst de aandacht Otoeten 'richten 'op de zijvlakken. Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De zijvlakkeri zijn veelhoeken, de hoekp\lllten vonnen veelvlakshoeken; elk van deze is gekarakteriseerd door:, al dao niet regelmatigheid, aantal ribben etc. Om iets van veelvlakken te begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten bezien.

13 ~_. ' Inleiding Veelhoeken, Een veellioek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten (de zijden) AIA2; A2A3, A3A4,'..., An':'IAn, AnAt. die opvolgende paren Van n puntèn Ah A2,..., A~ (dehoekpuntelj.) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig b:eschouwen we veelhoeken waarvan de zijden elkaar nièt snijden.. " Een veellioek noemen we gelijkzijdig als alle zij~eqgelijkzjjnf-en.gelijkhoekig als 'de hoeken gelijk zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig ~ heten ze regelmatig. Dit is het geval bij de gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, (3), het vierkant, (4) etc. Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig is de~echlhöek. Er zijn uiteraard oneindig veelreg~lmatige veelhoeken; we, geven ze aan met {n}. De hoeken van {ni kunnen gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom, der hoeken (n - 2) 180, 9US per hoekpunt180 (n":' 2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6J; {8} en {10} wordt dit respectievelijk 600,90, 108,120,135 en 144. Elke {n} heeft- een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en rj, staan in de volgende relaties tot elkaar en tot de ribbe I : " 180, 1 = 2ro sm --= 2rj tan -- n n Het oppervlak vàn {ni is: n 180 n " ' 3600 ' 0=- Z2 cotg -- = - ~ sm -- ' ". ' 4, n 2 0 n Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervl~ van de OIngeschreven cirkel, 1t.~. 1\.-1 Figuur Veelhoek. Ai

14 12 Regelmaat in de ruimte :.. ' Veelvlakshoeke';> Veelvlakshoeken worden gevonnd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een punt 0 snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak dat 'niet door b gaat,. een veelhoek vonnt. (BIB2... Bm). De lijnen OBI, OB2,..., OBm zijn de ri be de veelvlakshoek~ de vlakdelen die door deze { ~ ribben begrensd worden, zijn e ij den. Het is duidelijk dat het aantal ribbçn zowel als het aantal zijden gelijk aan m is. \,.... De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormti wordt (bijvoorbeeld B2 O. BI), terwijl onder de hoeken. van een. veelvlakshoek de standhoeken, dat wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval is is de veelvlakshoek regelmatig. Een voorbeeld:van een regel ~ matige viervlakshoek is de top van een ~eg~lma~ge v,ierzijdige piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is. /- /.// " o B3 Figuur 7.2, Veelvlakshoek. Figuur 7,3, Standhoek... Als van een drievlakshoek de zijden a, ~ en 'Y zij~ dan is de ho~k (standhoek) tussen de vl~en met zijden aen ~ gegeven door (zie figuur 1.3): cos <p cos 'Y - cos a cos ~ sin a sin ~ (1.1) Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen. Voor een m-vlakshöek met m > 3 is uiteraard niet zo'n algemene relatie aan te geven, omdat de m-vlakshoek niet alleen door de grootte der zijden is vastgelegd (analoog met de n-hoek voor n > 3). Voor regelmatigem-vlalçshoeken wordt de standhoek tussen ~ twee aangr~nzende zijden gegeven door:..

15 Inleiding. 13 cos a. ~ p (1.. 2) cos <p =. cos a. + 1 waarin.p = 1 + 2'cos(360o/m), dus p = 0, 1, (",[5 + 1)/2 en 2. voor m;" 3,4,5 en6. respectievelijk Veelvlakken Een veelvlak is een lichaam, begrensd do<;>r een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee aansluiten langs gemeenschappelijke zijden (rib~n),en waarvan dri~ of meer samenkomen in gemeenschappelijke hoekpunten. c1?)x>k bij veelvlakken,kunnen we Spreken vangelijkzïm eict (alle zijvlakken gelijk) en rz. ~lijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in, de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van deze, twee eigenschappen niet. vold,oende, om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoide, die ontstaan gedacht kari worden door in een onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de hoekpunten 'om te klappen' tot een viervlak (zie figuur 1.4). Figuur 1.4. Disphenoide. f.j), Wil een veelvlak regelinatig zijn dan is bovendien nodig dat de zim akken re elmatige veelhoeken zi 'n; de veelvlakshoekèn zijn dan eveneens regelmatig~ Deze ~egelmatige veelvlakken worden aangeduid als Platonische veelvitikken, waarvan e~, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in hoofdstuk 2 worden behandeld. Behalve deze PI~tonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals de ha!fre8elmatige of uniforme of Archimedischeveelvlakken, waar-, van twee soorten kunnen worden onderscheiden: - de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk (~erste soort)" - de veelv la~shöeken,in dehoeicpunten zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de,

16 14 Rege/maat in de ruimte zijvlakken zijn gelijk (tweede soort). Op deze twee soorten veelvlakken komen we uitvoerig terug in de hoofdstukken 3 en 4. Ten slotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de vijfpuntige ster),en daarmee ook een nieuwe serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks halfregelmatige of uniforme veelvlakken. Deze komen in de hoofdstukken 5 toten met 7. aap bod Ribben, hoekpunten en zijvlakken Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een algemene relatie tu sen de aantallen hoekpunten'h, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Z()'n relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de'mogèlijkheden om een veelvlak op te bouwen. Er is een stelling van Euler, luidend: H + Z = R + 2, die bijvoort>eeid voor een kubus gemakkelijk te verifiëren is: H = 8 ; Z =,6 ; R == 12. De stelling kan, op diverse manieren bewezen worden. Een der bewijzen is als volgt: Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we oris een plat vlak voor dat aanvankelijk geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt zodanig dat het eerste en het laatste contact opeen hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens iijn tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk ' passeert; dit is mogelijk: omdat het vlak tijdens zijn beweging in willekeurige richtingen., mag krommen zonder ruit dit uiteraard het resultaat beïnvloedt. b c d.jo... " B C ~..... A Figuur 1,5. Stelling van Eu/er.

17 Inleiding 15 Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak; we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij onblloet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p- 1 zijvlakken (A, B en C): De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk ~H = 1, ~ == P ~R= p. Dus is H+ Z ~R niet vail waarde veranderd. Dit geldt voor îeder gepasseerd hoekpunt, bèhalve voor het eer~te en het laatste. Als het eerste hoekpunt een' m-vlakshoek is, is bij het p~sseren daarvan AH = 1, llz == m, LlR.= m. Bij hei passeren van het laàtste hoekpunt is MI = 1,!lZ = 0 en LlR = O. Totaal blijict dus te gelden:.. \ '... H+Z=R-t:2.. ',,... (1.3) ~\(' De ste~ling v~euier geldt niet in deze v~rm voor alle so~>rten ~eelvlakken. ~n ~rste. voorwaarde ls dat dat het veelvlak vanult een punt e.r brnnen m enkelvoudlg op een.' ~ omliggende bol g~projecteerd kan worden, anders gezègd datmenhet als het ware op ~ kan blazen tot een enkelvoudig boloppervlak. Aan deze v_oorwaarde is niet voldaan bij.de later te behandelen hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide, stelliflg van Euler tegenkomen. Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet hei gevat met een veelvlak bestaande uit \. een kubus inet op een zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervooris gemakkelijk te verifiëren dat H + Z = R + 3 (16+11=24+~). Dat eel) veelvlak IiÏet conv.ex is (ook standhoeken> 180 ) doet er: voorde stelling van Euler niet toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd. '. -~. 1 I '

18 16 2 Volledige regelmaat (Platonische lichamen') 2.1. Algemeen. Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlaks- hoeken regelmatig en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormçn kunnen hebben: (3), (4) of (5). (6} en hoger is niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Keruielijk moet de som van de hoeken die in een hoekpunt samenkomen kleiner dan 360 zijn. Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe ze er uit zien moet nog uitgezocht worden. Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoekpunten, Z zijvlakkèn en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samen- komen, dan is het.aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n, inaar ook gelijk aan H x m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld, doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus: Z n=h m=2 R (2.1) Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler: Z+H=R+2 # dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost. Het resultaat is 2 m Z = -n-+-m---n-m-'/=2 2 n n m H = n + m - nm/2 ' R = n + m - nm/2 (2.2) Uit deze relaties blijkt allereerst dat n + Xli ~ nm/2 positief moet zijn. Dit is niets anders dan de reeds genoemde voolwaarde dat de som der hoeken per hoekpunt niet groter mag zijn dan 360. De som van de hoeken in een n-hoek: is namelijk (n.:...2) 180, zodat de voorwaarde wordt: (m/n) (n - 2)-180 < 360 of:

19 Volledige regelmaat 17 - m(n - 2) < 2n of n + m - nm/2 > 0 We voeren nu het be~ip 'hoektekort' in, dat is hoeveel de samenvoeging in een hoekpunt tekort komt om een plat vlak (of; op een bol, een boloppervlak) te vormen. Dit hoektekort bedraagt: ' x m(n - 2)/n = 720~ x Po + ~ nm/2= lh,, Hieruit blijkt dat de som van de,hoektekorten voor alle hoekp~ten 7200 (41t) bedraagt (dit geldt overigens ook voor niet-:regelmatige veelvlakken). Met dit gegeven is het zeer gemakkelijk om het aantal hoekpunten (als deze gelijk zijn) uit het hoektekort te, berekenen. Voor een hoekpunt waar drie regelniatige vijfvlakken samenkomen is het,, ",' 3 tekort x = 36 0 dus H = 720/36 =20. Uit (2.1) volgt Z/H = mln ='5 dus Z = 12 en, tevens, R =30. {3A) 3 4 ~(,a 3 3. y 5... ~.v.' {4.3} 4 3 {5.3} 5 3 a, a twintigvlak (icosaeder) zesvlak (kubus) (hexaeder) twaalfvlak (dodekaeder) Ra, R20 R6 ' R12 Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige oi Platonische veelvlakken. Figuur 2,1 geeft van elk een,afbeelding, ie kunnen met verschillende notaties worden aangeduid,, bijvoorbeeld als R4; R8'etc., doch ooknaar de in een hoekpunt samenkomende veelhoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld worden beschreven als (3 333) en R12 als (5 5 5), of ook, in de ve~korte notatie als Iespectievelijk -(3,4),en (5,3 ).,Jo het vervolg van dit boek zullen deze verschillende notaties door elkaar gebruikt worden, om bij de later te, beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde) gemakkelijk aan te sluiten '.., Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het g~d om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, Hen R de verwisselbaarhei~ van de grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met, H verwisselbaar,is met de combinatie van m en :z>dit is een uitvloeisel ván de algemene regel inde stereometrie dat men in elke wetmatj.gbeid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook ' direct uit de tabel: R6 en R8 ({ 4,3) en {3,4}} zijn als het ware elkaars pendant, evenals R12 en R20 ({5,3) en (3,5}),terwijl R4 of {3,3) bij dualê verwisseling in zichzelf overgaat.

20 18 Regelmaat in de ruimte /1\,l, I : I,,.., / \ i \ './1" " j / I \.~ I ' r=r=\ ~ V ~----' Figuur 2.1. De vijf Platonische.veelvlakken. Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat \~ wil zeggen er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan ~ alle zijvlakken raakt \ 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (3 3 3) Het regelmatig viervlak, de tetraeder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakkeof lichaamsdi'agonalen.. Uit formule (l.3) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met a = f3 = y = = 60": cos<p = 1/3 en <p.= 70,53. Hieruit blijkt dat m.et regelmatige viervlakken de. ruimte niet vol te stapelen is, want dan zou op zijn minst 360 /<p een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is. Behalve als ~iramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoide, namelijk doof twee overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2): Uit deze opstelling is onmiddellijk te zien dat een doo~snede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand 'gelegen, een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant. Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakk~n uit karton te vervaardigen; als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot.het eenvoudigst mogelijke lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk, probleem te zijn!

21 ! ""',""" " '... "' " "I!, PI!! 11' '.. ' '. ",,'!...,," H 'II"IImll"Ilt"I1B"""'I tut 1 "111 UI '1"'''111'''''''''''''''''''''' 11111"""""!!1II"'''''''' IIIY Volledige regelmaat 19 Figuur 2.2. Viervlak als prismoide. Viervlakken kuimen.op veei manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde... I.' ruimtelijke lichamen; een der aardigste mogelijkhedenis om ze aaneen te rijgen tot een. buis; de bijna in elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuqf 2.3) / '/ Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken Zesvlak (kubus) of hexaeder;r6 of {4,3} of (4 4 4), De kubus is wel het bekendste regelmatige veelvlak, waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons gemakkelijke waarden van 90 hebben. Het is IJ9vendien ruimtevullend, met 8 kubussen samenkomend ineen hoekpunt.. De kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de lichaaiilsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken :.. (figuur 2:4). Dè twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige driehoeken, de doorsnede met een vlak op hiuve hoogte is een regelmatige zeshoek. Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze starid is in te zien dat er een'gat met. vierkante doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige. afmeting dat door dat gat een even grote, en zelfs nog een iets.grotere kubus kan schuiven! De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.

22 20 Regelmaat in de ruimte Figuur 2.4. Kubus op punt. Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken. blijkt dat er twee R4's in een R6 ingepast kunnen worden, waarvan de hoekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6 samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4's door<b"ingen elkaar gedeeltelijk en hebben als gemeenschappelijke ],cern de in R6 ingeschreven R8 (zie par. 2.4). De.twee tetraeders vormen de achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler (figuur 2.6). ~ '. \" ~,.... \.. ":'-... I \... '\., \, \ \ " 1/ \. ' 1/., \' I!,, \', I!, 'v - Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus. Figuur 2.6. De Kepler-ster Achtvlak of okt~eder, R8 of {3,4} of ( ) Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige vierzijdige piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn gelijkwaardig.

23 Volledige regelmaat 21 De oktaeder kan ook als prismoide beschouwd 'Worden, waarbij twee overstaande zijvlakken grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de,. '., doorsnede met een vlak halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige, zeshoek., -:~/-_ _ ,!._......_-_..._...-- Figuur 2.7. De oktaeder als prismo(de.,, Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangre~nde zijvlakken gegeven zijn door cos <p = -1/3, dus <p =.109,47. HetbIljkt dus dat de standhoeken van tetraeder en oktaeder elkaars s~pplement zijn. De oktaeder in figuur 2.7 kan dus ' gecompleteerd worden tot e'en parallelopipedum door bovenop en aan de onderkant een tetraeder te plaatsen. Met een combinatie van oktaeders en tetraeders kait ~en dus ' door opstapelen de ruimte vullen, everiàls men 4it m,et kubussen kan doen~ De zo.verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef(escher: 'Platwormen')., '. In par. 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 enr8 al genoemd. Deze relatie komt 'O.a. hierin tot uiting, dat de middens van de zijvlakken van R8 de hóekpunten van een R6 vormen en omgekeerd (figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid om een combinatie-~eelvlak te VOrmen, waàrbij de middens van R6 en Figuur 2,.B. Dualiteit R6 en RB. ' Figuur 2.9. 'Compound' R6 en RB.

24 22 Regelmaat in de ruimte R8 samenvallen en de ribben elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan. danken de rhombendodekaeder en de kubo-oktaeder (zie hoofdstuk 3) hun ontstaan.. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds gebleken in par 23: R8 kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8.vlakken samenvallen met de vlakken Vall R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R Twaalfvlak of dodekaeder, R12 of {5,3} of (5 5 5) De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we totdusver bij de andere regelmatige veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst 'de 5- hoek zijn intree doet. Van de 12 vijfhoeken waaruitr12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere plaats toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee groepen van vijf te verdelen, waarvan er een serie aan het ooven- en een aan het ondervlak grenst. De scheidingslijn tusse~ de.twee series wordt door een niet-vlakke lo-h~k gevonnd (figuur 2.10). ".,, Figuur,2, 10. De dodekaeder. De dodekaeder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaeder R20; deze verwantschap zal in par. 2.6 besproken worden. Echter ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele zelfs, want wwel in als om de R12 past een kubus! In figuur 2.11 is een kubus in een dodekaeder geplaatst; de hoekpunten van de kubus ~allen samen. met 8 van de 20 hoekpunten van dedodekaeder en de ribben van de kubus worden gevonnd door diagonalen van de zijvlakken van R12. Daar de 12 zijvlakken van R12 samen 60 diagonalen bezitten, is er op deze ' wijze 1/5 deel van de diagonalen en 2/5 deel van de hoekpunten 'verbruikt'. Het is gemakkelijk in te zien dat er totaal 5 kubussen in R12 op deze manier ondergebracht trunnen worden; elk hoekpunt maakt dan deel uit van twee kubussen. In figuur 2.13 is dat te zien. De vijf