Regelmaat in de ruimte

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Regelmaat in de ruimte"

Transcriptie

1 n der Vegt

2

3 .2i:::)# 0 S-OO s- :229 C; bi) i.,)~.. Regelmaat in de ruimte Blbi i ol heek TU DeiH C

4

5 Regelmaat in de ruimte o "o A. K. van 0 der Vegt o' or, ' Delftse Uitgevers Maatschappij

6 CIP-gegevens Koninklijke. Bibliotheek, Den Haag Vegt, A.K. van der Regelmaat in de ruimte / A.K. van der Vegt - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. - Ill., fig. ISBN Trefw.: meetkunde. VSSD Eerste druk Delftse Uitgevers MaatSchappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegev~nsbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights. reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, meçhajiical, photocopying, recording; or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN

7 5 VoorwoQ'rd Dit boekje gaat over een heel oud onderwerp. Al eeuwen geleden waren er mensen die door veelvlakken geboeid werden en een groot deel van hun tijd besteedden aan het opsporen en analyseren van regelmatige structur~n. In de terminologie van de veel~lakkenkom je dan ook nariien tegen als Archimedes, Pythagoras, Plato en Kepier. Veelvlakken spelen vandaag de dag een rol in orid~r andere de kristallografie, de beeldende kunst (Escher!), de bouwkunde en, vooral, inde 'polyedrofilie'. Met dit laatste bedoel ik het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), datzci'het nietkunïlen laten om er mee te spelen, ze te analyseren, ze te plakken of ze te boe~eren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men dit verschijnsel eigenlijk 'Polyedromanie' zou moeten noemen: Met alle lezers die mijn enthousiasme delen, acht ik' me, en ook gelet op bovengenoemde, namen, in goed g~z~lsch~p. Tientallen jaren spelen met veelvlakken heeft. uiteindelijk tot dit boekje geleid. Ik hoop dat het lotgenoten zal stimuleren om hun hobby nog intensiever te beoefenen. Dit boekje pretendeert geen historisch-wetenschappelijke verhandeling te zijn. Litera ~, tuur wordt daarom, op een kort historisch overzicht na, niet pf nauwelijks ~èrmeld... Als duidelijk~ uitzondering noem ik.echter speciaal he~ prachtige boek van Wenninger: 'Polyhedron modeis', een unieke foto-verzameling van door de auteur zelf geplakte, modellen van eenvoudige tot uiterst,gecompliceerde veelvlakken. Tenslotte nog iets over dé figuren. Deze zij~ tot stand gekomen door een combinatie van: -. toepassing van' een beetje analytische meetia.inde, om vàmlit de 'coördinaten der hoekpunteq,die der zijvlakken te berekenen, eri voor de 'tweede soort', raakvlakken en hun snijlijnen.. een serie eenvoudig te schrijven BASIC-programma 's,met als meest gecompliceerd onderdeel het bepalen van de zichtbare delen van ribben bij hogere-orde veel-, vlakken,., -. een Archimedes 310 als krachtig en zeer snel rekentuig, ~. een voor de Archiniedes geschreven tekenprogramma: 'Superdump', waarmee het printen met hoge resolutie mogelijk is. Ieder die belangstelling heeft in meer details, is welkom voor ver<lere informatie. Delft, mei 1991 A.K. van der Vegt

8 .

9 / " VOORWOORD, 1. INLEIDING l.i. Waar gaat het over? 1.2. Een oud onderwerp J.3. Watzijnvèelvlakken? ' 1.4. ' Veelhoeken 1.5. Veelvlakshoeken: 1.6. Veelvlakken 1.7. ' Ribben, hoekpunten en zijvlakken, 2. VOLLEDlGEREGELMAA:r(Platonische lichamen) 2.l. Algemeen 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (33 3) 2.3. Zesvlak (kubus) ofhexaeder,r6 of {4,3} of(444) '2.4., Achtvlak of oktaeder, R8 of {3,4} of (3333) 2.5. Twaalfvlak of dodekaeder,r12of {5,3} of (5 55) ' 2.6. Twintigvlakoficosa~der, R20 of {3,5l of(3' ) '2.7. Geometrische constanten van de regelmatige veelvlakken 2.8. Topologische projecties 3. HALVE REGELMAAT (Archimedische of uniformè veelvlakken), 3.1. Algemeen 3.2. Analyse 3.3. Archimedische prisma's (44 n) 3.4. Archimedische (Ultiprisma's (33 3. n), 3,5. De kubo-oktaeder ( ), 3.6. De afgeknotte tetraeder (3 6 6), 3.8. De afgeknotte kubus (3 8 8) 3.9. De romben-kubo-okta'eder (3 444) De grote romben-lqlbo-oktaeder (4 6 8), 3.1l. De icosi-dodekaeder (3 5 35) De afgeknotte icosaeder (5 6 6), ', De afgeknotte dodekaeder ( ) 3.14., Deromben-icosi-dodekaeder (3 454) ", De grote romben,-icosi-dodekaeder (4 (10) De stompe kubus ( ) De stompe dodekaeder ( ) Oppervlakken en inhouden ' Reeksen ",! ' ', , ' I / 34,34 ' , , 47

10 8 Regelmaat in de ruimte 4. HALVE REGELMAAT OMGEKEERD (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1. Inleiding 4.2. Berekening van de vorm" der zijvlakken 4.3. Bereke~g der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken 4.5. Archimedische dubbelpiramides 4.6. Archimedische trapezoëders 4.7. De rombendodejcaeder 4.8. Intermezzo: ruirntevullende viervlakken " 4.9. Tussen kubus en oktaeder 4.9. Tussen dodekaeder en icosaeder Reeksen " 5. VOllEDIGE REGELMAAT MET STÉRREN (Poinsot-lich~en) 5.1. Inleiding 5.2. Analyse 5.3. De grote sterdodekaed«r 5.4. De kleme sterdodekaeder' 5.5. De grote ikosaeder 5.5. De grote dodekaeder 5.6. Negen platonische lichamen 6. HALVE REGELMAAT MET STERREN (hogere orde uniforme veel~lakken, UH's) " 6.1. Inleiding 6.2. Analyse 6.3. Stervorming van zijvlakken 6.4. Stervorming in hoekpunten 6.5. Afknotting van hoekpunten 6.6. Andere mogelijkheden 7. MEER DAN DRIE DIMf;NSIES 7.1. Inleiding 7.2. De achtcel 7.3: De vijfcel 7.4. De zestiencel 7.5. Andere polytopen 7.6. Nog meer dimensies LITERATUUR. ", " ', 1" -

11 " ",,!"" "!I11I5!!!"MIH 9 1 Inleidin g Waar gaat het over?... Vraag je aan iemand, een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen of als doos, maar ook in. vervormde gedaante, als re~hthoekig of séheefhoekig blok. Ook prisma's zijn bekend: staven met vlakjse kanten (als er vier kanten zijn, z:itten we weer in de buurt van de. kubus). Verder: piramiden, beroemd vanuit Egypte Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn.voor dit boekje van belang: alleen die exemplaren die een duidelijke regelmaat yei1cmen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/ofalle zijvlakken gelijk en/öf regelinatig Zijn. De ~lokken en de piramiden vallen. dan af, behalve als depiramide driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige driehoeken bestaan. Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het viervlak. Er blijken, zoals w~ al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het, ach,tvlak,het twaalfvlak en het twintigvlak. Dit, vijftal is al boeiend geiloeg om uitvoerig te bekijken, elk op zichzelf en in hun onderlinge relaties. Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden, bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regebpaat (we. komen dan bij de half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele werelden gaan dan open,' die we.in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen. Maar eerst een heel summier Overzicht over wat de mens in de afgélopen25.eeuwen over vee~vlakken te weten is gekomen Een ' oud onderwerp 2500 j~ar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de'iqjbus, het viervlak en.. f.'.. ~. hettwaalfvlak..... '..'.... Plato (roiid 350 voor Christus) kende ie alle vijf, inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld' in verband met de vijf elemèn~èn:

12 ,10 Regelmaat in de ruimte vuur, lucht; water, aarde en 'hemelmaterie'. Vandaàr de aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen'. Euklides (rond 300 voor Christus) 'beschreef ze nog eens' in meer detail., Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13 halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven. Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (157r-1630) [1] met een samenvilttende beschrijving van de vijf Platonische ende dertien Archimedische lichamen. Va,n Kepler is ook de gedachte dat de vijf Platonische lichamen ver~and houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve de Aarde, in die tijd nog maar vijf, planeten bekend!). Kepler kwam bovendien op het idee d~t. ook pentagrammen (regelmatige vijfhoekige sterren) tot reg~lmatige ' veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de' kleine en de grote sterdodekaeder. Het duurde nog twee éeuwen voordat Poinsot ( ) [2] deze serie van twee aanvulde tot,de complete verzameling van vier gel:leel regelmatige ster-veelvlakken., '.., Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op steivorming gebaseerde halfregelmatige lichamen. Telkens worden et weer een paar' ontdekt', waarbij onder andere de namen, Pitsch [3], Brueckner [4] en Hess [5] geregeld voorkpmen (allen eind 1ge eeuw). Coxeter [6] maakte een diepgaande mathematische analyse vàn de diverse veelvlakken en tevens van de uitbreiding naar högere diniensies...!. Ten slotte: het fotoboek van Wenninger ~7] geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van een groot aantal ' veelvlakken. Bó~éndien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de veelvlakken zelf te plakken. ", 1.3. Wat zijn veelvlakken? Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke ' veelhoeken, zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken van veelvlakken zullen we dus e~rst de aandacht Otoeten 'richten 'op de zijvlakken. Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De zijvlakkeri zijn veelhoeken, de hoekp\lllten vonnen veelvlakshoeken; elk van deze is gekarakteriseerd door:, al dao niet regelmatigheid, aantal ribben etc. Om iets van veelvlakken te begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten bezien.

13 ~_. ' Inleiding Veelhoeken, Een veellioek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten (de zijden) AIA2; A2A3, A3A4,'..., An':'IAn, AnAt. die opvolgende paren Van n puntèn Ah A2,..., A~ (dehoekpuntelj.) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig b:eschouwen we veelhoeken waarvan de zijden elkaar nièt snijden.. " Een veellioek noemen we gelijkzijdig als alle zij~eqgelijkzjjnf-en.gelijkhoekig als 'de hoeken gelijk zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig ~ heten ze regelmatig. Dit is het geval bij de gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, (3), het vierkant, (4) etc. Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig is de~echlhöek. Er zijn uiteraard oneindig veelreg~lmatige veelhoeken; we, geven ze aan met {n}. De hoeken van {ni kunnen gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom, der hoeken (n - 2) 180, 9US per hoekpunt180 (n":' 2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6J; {8} en {10} wordt dit respectievelijk 600,90, 108,120,135 en 144. Elke {n} heeft- een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en rj, staan in de volgende relaties tot elkaar en tot de ribbe I : " 180, 1 = 2ro sm --= 2rj tan -- n n Het oppervlak vàn {ni is: n 180 n " ' 3600 ' 0=- Z2 cotg -- = - ~ sm -- ' ". ' 4, n 2 0 n Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervl~ van de OIngeschreven cirkel, 1t.~. 1\.-1 Figuur Veelhoek. Ai

14 12 Regelmaat in de ruimte :.. ' Veelvlakshoeke';> Veelvlakshoeken worden gevonnd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een punt 0 snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak dat 'niet door b gaat,. een veelhoek vonnt. (BIB2... Bm). De lijnen OBI, OB2,..., OBm zijn de ri be de veelvlakshoek~ de vlakdelen die door deze { ~ ribben begrensd worden, zijn e ij den. Het is duidelijk dat het aantal ribbçn zowel als het aantal zijden gelijk aan m is. \,.... De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormti wordt (bijvoorbeeld B2 O. BI), terwijl onder de hoeken. van een. veelvlakshoek de standhoeken, dat wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval is is de veelvlakshoek regelmatig. Een voorbeeld:van een regel ~ matige viervlakshoek is de top van een ~eg~lma~ge v,ierzijdige piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is. /- /.// " o B3 Figuur 7.2, Veelvlakshoek. Figuur 7,3, Standhoek... Als van een drievlakshoek de zijden a, ~ en 'Y zij~ dan is de ho~k (standhoek) tussen de vl~en met zijden aen ~ gegeven door (zie figuur 1.3): cos <p cos 'Y - cos a cos ~ sin a sin ~ (1.1) Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen. Voor een m-vlakshöek met m > 3 is uiteraard niet zo'n algemene relatie aan te geven, omdat de m-vlakshoek niet alleen door de grootte der zijden is vastgelegd (analoog met de n-hoek voor n > 3). Voor regelmatigem-vlalçshoeken wordt de standhoek tussen ~ twee aangr~nzende zijden gegeven door:..

15 Inleiding. 13 cos a. ~ p (1.. 2) cos <p =. cos a. + 1 waarin.p = 1 + 2'cos(360o/m), dus p = 0, 1, (",[5 + 1)/2 en 2. voor m;" 3,4,5 en6. respectievelijk Veelvlakken Een veelvlak is een lichaam, begrensd do<;>r een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee aansluiten langs gemeenschappelijke zijden (rib~n),en waarvan dri~ of meer samenkomen in gemeenschappelijke hoekpunten. c1?)x>k bij veelvlakken,kunnen we Spreken vangelijkzïm eict (alle zijvlakken gelijk) en rz. ~lijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in, de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van deze, twee eigenschappen niet. vold,oende, om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoide, die ontstaan gedacht kari worden door in een onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de hoekpunten 'om te klappen' tot een viervlak (zie figuur 1.4). Figuur 1.4. Disphenoide. f.j), Wil een veelvlak regelinatig zijn dan is bovendien nodig dat de zim akken re elmatige veelhoeken zi 'n; de veelvlakshoekèn zijn dan eveneens regelmatig~ Deze ~egelmatige veelvlakken worden aangeduid als Platonische veelvitikken, waarvan e~, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in hoofdstuk 2 worden behandeld. Behalve deze PI~tonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals de ha!fre8elmatige of uniforme of Archimedischeveelvlakken, waar-, van twee soorten kunnen worden onderscheiden: - de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk (~erste soort)" - de veelv la~shöeken,in dehoeicpunten zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de,

16 14 Rege/maat in de ruimte zijvlakken zijn gelijk (tweede soort). Op deze twee soorten veelvlakken komen we uitvoerig terug in de hoofdstukken 3 en 4. Ten slotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de vijfpuntige ster),en daarmee ook een nieuwe serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks halfregelmatige of uniforme veelvlakken. Deze komen in de hoofdstukken 5 toten met 7. aap bod Ribben, hoekpunten en zijvlakken Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een algemene relatie tu sen de aantallen hoekpunten'h, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Z()'n relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de'mogèlijkheden om een veelvlak op te bouwen. Er is een stelling van Euler, luidend: H + Z = R + 2, die bijvoort>eeid voor een kubus gemakkelijk te verifiëren is: H = 8 ; Z =,6 ; R == 12. De stelling kan, op diverse manieren bewezen worden. Een der bewijzen is als volgt: Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we oris een plat vlak voor dat aanvankelijk geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt zodanig dat het eerste en het laatste contact opeen hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens iijn tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk ' passeert; dit is mogelijk: omdat het vlak tijdens zijn beweging in willekeurige richtingen., mag krommen zonder ruit dit uiteraard het resultaat beïnvloedt. b c d.jo... " B C ~..... A Figuur 1,5. Stelling van Eu/er.

17 Inleiding 15 Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak; we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij onblloet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p- 1 zijvlakken (A, B en C): De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk ~H = 1, ~ == P ~R= p. Dus is H+ Z ~R niet vail waarde veranderd. Dit geldt voor îeder gepasseerd hoekpunt, bèhalve voor het eer~te en het laatste. Als het eerste hoekpunt een' m-vlakshoek is, is bij het p~sseren daarvan AH = 1, llz == m, LlR.= m. Bij hei passeren van het laàtste hoekpunt is MI = 1,!lZ = 0 en LlR = O. Totaal blijict dus te gelden:.. \ '... H+Z=R-t:2.. ',,... (1.3) ~\(' De ste~ling v~euier geldt niet in deze v~rm voor alle so~>rten ~eelvlakken. ~n ~rste. voorwaarde ls dat dat het veelvlak vanult een punt e.r brnnen m enkelvoudlg op een.' ~ omliggende bol g~projecteerd kan worden, anders gezègd datmenhet als het ware op ~ kan blazen tot een enkelvoudig boloppervlak. Aan deze v_oorwaarde is niet voldaan bij.de later te behandelen hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide, stelliflg van Euler tegenkomen. Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet hei gevat met een veelvlak bestaande uit \. een kubus inet op een zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervooris gemakkelijk te verifiëren dat H + Z = R + 3 (16+11=24+~). Dat eel) veelvlak IiÏet conv.ex is (ook standhoeken> 180 ) doet er: voorde stelling van Euler niet toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd. '. -~. 1 I '

18 16 2 Volledige regelmaat (Platonische lichamen') 2.1. Algemeen. Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlaks- hoeken regelmatig en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormçn kunnen hebben: (3), (4) of (5). (6} en hoger is niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Keruielijk moet de som van de hoeken die in een hoekpunt samenkomen kleiner dan 360 zijn. Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe ze er uit zien moet nog uitgezocht worden. Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoekpunten, Z zijvlakkèn en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samen- komen, dan is het.aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n, inaar ook gelijk aan H x m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld, doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus: Z n=h m=2 R (2.1) Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler: Z+H=R+2 # dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost. Het resultaat is 2 m Z = -n-+-m---n-m-'/=2 2 n n m H = n + m - nm/2 ' R = n + m - nm/2 (2.2) Uit deze relaties blijkt allereerst dat n + Xli ~ nm/2 positief moet zijn. Dit is niets anders dan de reeds genoemde voolwaarde dat de som der hoeken per hoekpunt niet groter mag zijn dan 360. De som van de hoeken in een n-hoek: is namelijk (n.:...2) 180, zodat de voorwaarde wordt: (m/n) (n - 2)-180 < 360 of:

19 Volledige regelmaat 17 - m(n - 2) < 2n of n + m - nm/2 > 0 We voeren nu het be~ip 'hoektekort' in, dat is hoeveel de samenvoeging in een hoekpunt tekort komt om een plat vlak (of; op een bol, een boloppervlak) te vormen. Dit hoektekort bedraagt: ' x m(n - 2)/n = 720~ x Po + ~ nm/2= lh,, Hieruit blijkt dat de som van de,hoektekorten voor alle hoekp~ten 7200 (41t) bedraagt (dit geldt overigens ook voor niet-:regelmatige veelvlakken). Met dit gegeven is het zeer gemakkelijk om het aantal hoekpunten (als deze gelijk zijn) uit het hoektekort te, berekenen. Voor een hoekpunt waar drie regelniatige vijfvlakken samenkomen is het,, ",' 3 tekort x = 36 0 dus H = 720/36 =20. Uit (2.1) volgt Z/H = mln ='5 dus Z = 12 en, tevens, R =30. {3A) 3 4 ~(,a 3 3. y 5... ~.v.' {4.3} 4 3 {5.3} 5 3 a, a twintigvlak (icosaeder) zesvlak (kubus) (hexaeder) twaalfvlak (dodekaeder) Ra, R20 R6 ' R12 Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige oi Platonische veelvlakken. Figuur 2,1 geeft van elk een,afbeelding, ie kunnen met verschillende notaties worden aangeduid,, bijvoorbeeld als R4; R8'etc., doch ooknaar de in een hoekpunt samenkomende veelhoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld worden beschreven als (3 333) en R12 als (5 5 5), of ook, in de ve~korte notatie als Iespectievelijk -(3,4),en (5,3 ).,Jo het vervolg van dit boek zullen deze verschillende notaties door elkaar gebruikt worden, om bij de later te, beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde) gemakkelijk aan te sluiten '.., Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het g~d om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, Hen R de verwisselbaarhei~ van de grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met, H verwisselbaar,is met de combinatie van m en :z>dit is een uitvloeisel ván de algemene regel inde stereometrie dat men in elke wetmatj.gbeid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook ' direct uit de tabel: R6 en R8 ({ 4,3) en {3,4}} zijn als het ware elkaars pendant, evenals R12 en R20 ({5,3) en (3,5}),terwijl R4 of {3,3) bij dualê verwisseling in zichzelf overgaat.

20 18 Regelmaat in de ruimte /1\,l, I : I,,.., / \ i \ './1" " j / I \.~ I ' r=r=\ ~ V ~----' Figuur 2.1. De vijf Platonische.veelvlakken. Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat \~ wil zeggen er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan ~ alle zijvlakken raakt \ 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (3 3 3) Het regelmatig viervlak, de tetraeder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakkeof lichaamsdi'agonalen.. Uit formule (l.3) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met a = f3 = y = = 60": cos<p = 1/3 en <p.= 70,53. Hieruit blijkt dat m.et regelmatige viervlakken de. ruimte niet vol te stapelen is, want dan zou op zijn minst 360 /<p een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is. Behalve als ~iramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoide, namelijk doof twee overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2): Uit deze opstelling is onmiddellijk te zien dat een doo~snede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand 'gelegen, een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant. Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakk~n uit karton te vervaardigen; als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot.het eenvoudigst mogelijke lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk, probleem te zijn!

21 ! ""',""" " '... "' " "I!, PI!! 11' '.. ' '. ",,'!...,," H 'II"IImll"Ilt"I1B"""'I tut 1 "111 UI '1"'''111'''''''''''''''''''''' 11111"""""!!1II"'''''''' IIIY Volledige regelmaat 19 Figuur 2.2. Viervlak als prismoide. Viervlakken kuimen.op veei manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde... I.' ruimtelijke lichamen; een der aardigste mogelijkhedenis om ze aaneen te rijgen tot een. buis; de bijna in elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuqf 2.3) / '/ Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken Zesvlak (kubus) of hexaeder;r6 of {4,3} of (4 4 4), De kubus is wel het bekendste regelmatige veelvlak, waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons gemakkelijke waarden van 90 hebben. Het is IJ9vendien ruimtevullend, met 8 kubussen samenkomend ineen hoekpunt.. De kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de lichaaiilsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken :.. (figuur 2:4). Dè twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige driehoeken, de doorsnede met een vlak op hiuve hoogte is een regelmatige zeshoek. Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze starid is in te zien dat er een'gat met. vierkante doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige. afmeting dat door dat gat een even grote, en zelfs nog een iets.grotere kubus kan schuiven! De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.

22 20 Regelmaat in de ruimte Figuur 2.4. Kubus op punt. Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken. blijkt dat er twee R4's in een R6 ingepast kunnen worden, waarvan de hoekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6 samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4's door<b"ingen elkaar gedeeltelijk en hebben als gemeenschappelijke ],cern de in R6 ingeschreven R8 (zie par. 2.4). De.twee tetraeders vormen de achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler (figuur 2.6). ~ '. \" ~,.... \.. ":'-... I \... '\., \, \ \ " 1/ \. ' 1/., \' I!,, \', I!, 'v - Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus. Figuur 2.6. De Kepler-ster Achtvlak of okt~eder, R8 of {3,4} of ( ) Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige vierzijdige piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn gelijkwaardig.

23 Volledige regelmaat 21 De oktaeder kan ook als prismoide beschouwd 'Worden, waarbij twee overstaande zijvlakken grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de,. '., doorsnede met een vlak halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige, zeshoek., -:~/-_ _ ,!._......_-_..._...-- Figuur 2.7. De oktaeder als prismo(de.,, Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangre~nde zijvlakken gegeven zijn door cos <p = -1/3, dus <p =.109,47. HetbIljkt dus dat de standhoeken van tetraeder en oktaeder elkaars s~pplement zijn. De oktaeder in figuur 2.7 kan dus ' gecompleteerd worden tot e'en parallelopipedum door bovenop en aan de onderkant een tetraeder te plaatsen. Met een combinatie van oktaeders en tetraeders kait ~en dus ' door opstapelen de ruimte vullen, everiàls men 4it m,et kubussen kan doen~ De zo.verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef(escher: 'Platwormen')., '. In par. 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 enr8 al genoemd. Deze relatie komt 'O.a. hierin tot uiting, dat de middens van de zijvlakken van R8 de hóekpunten van een R6 vormen en omgekeerd (figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid om een combinatie-~eelvlak te VOrmen, waàrbij de middens van R6 en Figuur 2,.B. Dualiteit R6 en RB. ' Figuur 2.9. 'Compound' R6 en RB.

24 22 Regelmaat in de ruimte R8 samenvallen en de ribben elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan. danken de rhombendodekaeder en de kubo-oktaeder (zie hoofdstuk 3) hun ontstaan.. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds gebleken in par 23: R8 kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8.vlakken samenvallen met de vlakken Vall R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R Twaalfvlak of dodekaeder, R12 of {5,3} of (5 5 5) De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we totdusver bij de andere regelmatige veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst 'de 5- hoek zijn intree doet. Van de 12 vijfhoeken waaruitr12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere plaats toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee groepen van vijf te verdelen, waarvan er een serie aan het ooven- en een aan het ondervlak grenst. De scheidingslijn tusse~ de.twee series wordt door een niet-vlakke lo-h~k gevonnd (figuur 2.10). ".,, Figuur,2, 10. De dodekaeder. De dodekaeder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaeder R20; deze verwantschap zal in par. 2.6 besproken worden. Echter ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele zelfs, want wwel in als om de R12 past een kubus! In figuur 2.11 is een kubus in een dodekaeder geplaatst; de hoekpunten van de kubus ~allen samen. met 8 van de 20 hoekpunten van dedodekaeder en de ribben van de kubus worden gevonnd door diagonalen van de zijvlakken van R12. Daar de 12 zijvlakken van R12 samen 60 diagonalen bezitten, is er op deze ' wijze 1/5 deel van de diagonalen en 2/5 deel van de hoekpunten 'verbruikt'. Het is gemakkelijk in te zien dat er totaal 5 kubussen in R12 op deze manier ondergebracht trunnen worden; elk hoekpunt maakt dan deel uit van twee kubussen. In figuur 2.13 is dat te zien. De vijf

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Grafentheorie voor bouwkundigen

Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen A.J. van Zanten Delft University Press CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Zanten, A.J. van Grafentheorie voor bouwkundigen /

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die

Nadere informatie

2. Antwoorden meetkunde

2. Antwoorden meetkunde 2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

Over het Monge-punt van een viervlak

Over het Monge-punt van een viervlak Over het Monge-punt van een viervlak Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel september 2005 Inleiding Het is mogelijk door elke ribbe van een viervlak een vlak aan te brengen evenwijdig

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen

Nadere informatie

Platonische transformatiegroepen

Platonische transformatiegroepen Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

Bij een pv kan men origineel en beeld continu in elkaar overvoeren. De `oriëntatie' blijft hierbij behouden. Er zijn dus twee soorten gt's: De directe

Bij een pv kan men origineel en beeld continu in elkaar overvoeren. De `oriëntatie' blijft hierbij behouden. Er zijn dus twee soorten gt's: De directe Lesbrief 9 Meetkunde II 1 Puntvermenigvuldigingen Definitie 1.1 Een transformatie G van het vlak heet een gelijkvormigheidstransformatie (verder afgekort als gt) als er een constante f > 0 bestaat zo,

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Cabri 3D een voorstelling van de mogelijkheden dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Paul Decuypere, VVKSO cahier de brouillon interactif www.cabri.com 1985: eerste versie van Cabri I 1989: eerste

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

VOORAF. Een volledige versie is aan te kopen via

VOORAF. Een volledige versie is aan te kopen via CABRI 3D VOORAF De laatste jaren zijn enkele programma s voor ruimtemeetkunde op de softwaremarkt verschenen. Ook Cabri, waarvan het programma voor vlakke meetkunde al bestaat uit het DOS-tijdperk van

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Inhoud uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Inhoud uitwerkingen Kern Prisma en cilinder a De inhoud is G h=,5 = 4,5cm. b Die inhoud is even groot. a De inhoud is G h= ( 4) 8 = 64 cm b Op iedere hoogte geldt dat de doorsnede van het rechte prisma dezelfde oppervlakte

Nadere informatie

Schaduwopgaven Verhoudingen

Schaduwopgaven Verhoudingen Schaduwopgaven Verhoudingen bij 5 Een vierkant wordt verknipt in zeven driehoeken, zoals hiernaast. Het grijze driehoekje gooien we weg. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de andere zes? na 10

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde lympiade 200-20: eerste ronde. Waaraan is xyz + xyz + xyz gelijk? () 3xyz () 27xyz () x 3 y 3 z 3 () 3x 3 y 3 z 3 () 27x 3 y 3 z 3 2. Welke van volgende ongelijkheden is waar? () 2 > 0,5

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

302 NAW 5/6 nr. 4 december 2005 Voorstellingen van het projectieve vlak Jan Aarts

302 NAW 5/6 nr. 4 december 2005 Voorstellingen van het projectieve vlak Jan Aarts 302 NAW 5/6 nr. 4 december 2005 Voorstellingen van het projectieve vlak Jan Aarts illustratie: Ryu Tajiri Jan Aarts Voorstellingen van het projectieve vlak NAW 5/6 nr. 4 december 2005 303 Jan Aarts Faculteit

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen

Hoofdstuk 5 Oppervlakte uitwerkingen Kern Vlakke figuren a Rechthoek, parallellogram, driehoek Oppervlakte rechthoek = lengte reedte = d Oppervlakte parallellogram = lengte hoogte = d Oppervlakte driehoek = asis hoogte = d a Knip de parallellogram

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

B146 BIJLAGE I Berekening v/h aantal bouwstenen enz. bij de ruimteverdeling door de vlakken v/e veelvlak 1

B146 BIJLAGE I Berekening v/h aantal bouwstenen enz. bij de ruimteverdeling door de vlakken v/e veelvlak 1 B146 BIJLAGE I Berekening v/h aantal bouwstenen enz. bij de ruimteverdeling door de vlakken v/e veelvlak 1 Inleiding Deze bijlage is niet van belang voor het volgen van de tekst in de voorafgaande hoofdstukken

Nadere informatie

Van aardgas naar methanol

Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol J.A. Wesselingh G.H. Lameris P.J. van den Berg A.G. Montfoort VSSD 4 VSSD Eerste druk 1987, 1990, 1992, 1998, licht gewijzigd 2001 Uitgegeven door: VSSD

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Structuren van de veelvlakken

Structuren van de veelvlakken De voetbal is natuurlijk het meest besproken veelvlak van het moment. Om orde te brengen in de grote hoeveelheid veelvlakken, heeft H. G. Telkamp een methode bedacht om ze systematisch allemaal te construeren.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

By Tom Straub, : het visitekaartje van Jezus Christus een wiskundeboekje voor jonge denkers

By Tom Straub, : het visitekaartje van Jezus Christus een wiskundeboekje voor jonge denkers By Tom Straub, 1984 153: het visitekaartje van Jezus Christus De rij der rijen De sleutel tot het vinden van de rij der rijen is te vinden achterin het evangelie van Johannes, waarin wordt gesproken over

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

04 Meetkunde. hoofdstuk. 4.1 Uitslagen

04 Meetkunde. hoofdstuk. 4.1 Uitslagen hoofdstuk 0 eetkunde bladzijde 06 e schuine muren aan de benedenkant van de woning. e vloeren en de plafonds zijn regelmatige zeshoeken of regelmatige driehoeken. ovenaanzicht:. Uitslagen bladzijde 08

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003 Handleiding Paint 2003 www.dubbelklik.nu Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand dan wel openbaar gemaakt in enige

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2009 tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 010 Uitwerkingen 1 We tellen het aantal donkere tegels in elke rij. Rij 1 (en rij 19) bestaat uit 10 witte tegels. Rij (en rij 18) bestaat uit 11 tegels, waarvan 6 wit en 5 donker. Rij

Nadere informatie

Scheve projectie. DICK KLINGENS ( adres: Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008

Scheve projectie. DICK KLINGENS ( adres: Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008 Scheve projectie DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008 1. Afbeelden Om een juiste indruk (afdruk, of een juist beeld) van 3-dimensionale

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Wat is het aantal donkere tegels?

Wat is het aantal donkere tegels? Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) De tegelvloer. Hieronder zie je een stukje van een tegelvloer. De hele vloer heeft dit patroon en is een regelmatige zeshoek, met tien witte tegels aan iedere

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie