Regelmaat in de ruimte

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Regelmaat in de ruimte"

Transcriptie

1 n der Vegt

2

3 .2i:::)# 0 S-OO s- :229 C; bi) i.,)~.. Regelmaat in de ruimte Blbi i ol heek TU DeiH C

4

5 Regelmaat in de ruimte o "o A. K. van 0 der Vegt o' or, ' Delftse Uitgevers Maatschappij

6 CIP-gegevens Koninklijke. Bibliotheek, Den Haag Vegt, A.K. van der Regelmaat in de ruimte / A.K. van der Vegt - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. - Ill., fig. ISBN Trefw.: meetkunde. VSSD Eerste druk Delftse Uitgevers MaatSchappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegev~nsbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights. reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, meçhajiical, photocopying, recording; or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN

7 5 VoorwoQ'rd Dit boekje gaat over een heel oud onderwerp. Al eeuwen geleden waren er mensen die door veelvlakken geboeid werden en een groot deel van hun tijd besteedden aan het opsporen en analyseren van regelmatige structur~n. In de terminologie van de veel~lakkenkom je dan ook nariien tegen als Archimedes, Pythagoras, Plato en Kepier. Veelvlakken spelen vandaag de dag een rol in orid~r andere de kristallografie, de beeldende kunst (Escher!), de bouwkunde en, vooral, inde 'polyedrofilie'. Met dit laatste bedoel ik het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), datzci'het nietkunïlen laten om er mee te spelen, ze te analyseren, ze te plakken of ze te boe~eren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men dit verschijnsel eigenlijk 'Polyedromanie' zou moeten noemen: Met alle lezers die mijn enthousiasme delen, acht ik' me, en ook gelet op bovengenoemde, namen, in goed g~z~lsch~p. Tientallen jaren spelen met veelvlakken heeft. uiteindelijk tot dit boekje geleid. Ik hoop dat het lotgenoten zal stimuleren om hun hobby nog intensiever te beoefenen. Dit boekje pretendeert geen historisch-wetenschappelijke verhandeling te zijn. Litera ~, tuur wordt daarom, op een kort historisch overzicht na, niet pf nauwelijks ~èrmeld... Als duidelijk~ uitzondering noem ik.echter speciaal he~ prachtige boek van Wenninger: 'Polyhedron modeis', een unieke foto-verzameling van door de auteur zelf geplakte, modellen van eenvoudige tot uiterst,gecompliceerde veelvlakken. Tenslotte nog iets over dé figuren. Deze zij~ tot stand gekomen door een combinatie van: -. toepassing van' een beetje analytische meetia.inde, om vàmlit de 'coördinaten der hoekpunteq,die der zijvlakken te berekenen, eri voor de 'tweede soort', raakvlakken en hun snijlijnen.. een serie eenvoudig te schrijven BASIC-programma 's,met als meest gecompliceerd onderdeel het bepalen van de zichtbare delen van ribben bij hogere-orde veel-, vlakken,., -. een Archimedes 310 als krachtig en zeer snel rekentuig, ~. een voor de Archiniedes geschreven tekenprogramma: 'Superdump', waarmee het printen met hoge resolutie mogelijk is. Ieder die belangstelling heeft in meer details, is welkom voor ver<lere informatie. Delft, mei 1991 A.K. van der Vegt

8 .

9 / " VOORWOORD, 1. INLEIDING l.i. Waar gaat het over? 1.2. Een oud onderwerp J.3. Watzijnvèelvlakken? ' 1.4. ' Veelhoeken 1.5. Veelvlakshoeken: 1.6. Veelvlakken 1.7. ' Ribben, hoekpunten en zijvlakken, 2. VOLLEDlGEREGELMAA:r(Platonische lichamen) 2.l. Algemeen 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (33 3) 2.3. Zesvlak (kubus) ofhexaeder,r6 of {4,3} of(444) '2.4., Achtvlak of oktaeder, R8 of {3,4} of (3333) 2.5. Twaalfvlak of dodekaeder,r12of {5,3} of (5 55) ' 2.6. Twintigvlakoficosa~der, R20 of {3,5l of(3' ) '2.7. Geometrische constanten van de regelmatige veelvlakken 2.8. Topologische projecties 3. HALVE REGELMAAT (Archimedische of uniformè veelvlakken), 3.1. Algemeen 3.2. Analyse 3.3. Archimedische prisma's (44 n) 3.4. Archimedische (Ultiprisma's (33 3. n), 3,5. De kubo-oktaeder ( ), 3.6. De afgeknotte tetraeder (3 6 6), 3.8. De afgeknotte kubus (3 8 8) 3.9. De romben-kubo-okta'eder (3 444) De grote romben-lqlbo-oktaeder (4 6 8), 3.1l. De icosi-dodekaeder (3 5 35) De afgeknotte icosaeder (5 6 6), ', De afgeknotte dodekaeder ( ) 3.14., Deromben-icosi-dodekaeder (3 454) ", De grote romben,-icosi-dodekaeder (4 (10) De stompe kubus ( ) De stompe dodekaeder ( ) Oppervlakken en inhouden ' Reeksen ",! ' ', , ' I / 34,34 ' , , 47

10 8 Regelmaat in de ruimte 4. HALVE REGELMAAT OMGEKEERD (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1. Inleiding 4.2. Berekening van de vorm" der zijvlakken 4.3. Bereke~g der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken 4.5. Archimedische dubbelpiramides 4.6. Archimedische trapezoëders 4.7. De rombendodejcaeder 4.8. Intermezzo: ruirntevullende viervlakken " 4.9. Tussen kubus en oktaeder 4.9. Tussen dodekaeder en icosaeder Reeksen " 5. VOllEDIGE REGELMAAT MET STÉRREN (Poinsot-lich~en) 5.1. Inleiding 5.2. Analyse 5.3. De grote sterdodekaed«r 5.4. De kleme sterdodekaeder' 5.5. De grote ikosaeder 5.5. De grote dodekaeder 5.6. Negen platonische lichamen 6. HALVE REGELMAAT MET STERREN (hogere orde uniforme veel~lakken, UH's) " 6.1. Inleiding 6.2. Analyse 6.3. Stervorming van zijvlakken 6.4. Stervorming in hoekpunten 6.5. Afknotting van hoekpunten 6.6. Andere mogelijkheden 7. MEER DAN DRIE DIMf;NSIES 7.1. Inleiding 7.2. De achtcel 7.3: De vijfcel 7.4. De zestiencel 7.5. Andere polytopen 7.6. Nog meer dimensies LITERATUUR. ", " ', 1" -

11 " ",,!"" "!I11I5!!!"MIH 9 1 Inleidin g Waar gaat het over?... Vraag je aan iemand, een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen of als doos, maar ook in. vervormde gedaante, als re~hthoekig of séheefhoekig blok. Ook prisma's zijn bekend: staven met vlakjse kanten (als er vier kanten zijn, z:itten we weer in de buurt van de. kubus). Verder: piramiden, beroemd vanuit Egypte Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn.voor dit boekje van belang: alleen die exemplaren die een duidelijke regelmaat yei1cmen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/ofalle zijvlakken gelijk en/öf regelinatig Zijn. De ~lokken en de piramiden vallen. dan af, behalve als depiramide driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige driehoeken bestaan. Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het viervlak. Er blijken, zoals w~ al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het, ach,tvlak,het twaalfvlak en het twintigvlak. Dit, vijftal is al boeiend geiloeg om uitvoerig te bekijken, elk op zichzelf en in hun onderlinge relaties. Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden, bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regebpaat (we. komen dan bij de half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele werelden gaan dan open,' die we.in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen. Maar eerst een heel summier Overzicht over wat de mens in de afgélopen25.eeuwen over vee~vlakken te weten is gekomen Een ' oud onderwerp 2500 j~ar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de'iqjbus, het viervlak en.. f.'.. ~. hettwaalfvlak..... '..'.... Plato (roiid 350 voor Christus) kende ie alle vijf, inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld' in verband met de vijf elemèn~èn:

12 ,10 Regelmaat in de ruimte vuur, lucht; water, aarde en 'hemelmaterie'. Vandaàr de aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen'. Euklides (rond 300 voor Christus) 'beschreef ze nog eens' in meer detail., Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13 halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven. Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (157r-1630) [1] met een samenvilttende beschrijving van de vijf Platonische ende dertien Archimedische lichamen. Va,n Kepler is ook de gedachte dat de vijf Platonische lichamen ver~and houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve de Aarde, in die tijd nog maar vijf, planeten bekend!). Kepler kwam bovendien op het idee d~t. ook pentagrammen (regelmatige vijfhoekige sterren) tot reg~lmatige ' veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de' kleine en de grote sterdodekaeder. Het duurde nog twee éeuwen voordat Poinsot ( ) [2] deze serie van twee aanvulde tot,de complete verzameling van vier gel:leel regelmatige ster-veelvlakken., '.., Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op steivorming gebaseerde halfregelmatige lichamen. Telkens worden et weer een paar' ontdekt', waarbij onder andere de namen, Pitsch [3], Brueckner [4] en Hess [5] geregeld voorkpmen (allen eind 1ge eeuw). Coxeter [6] maakte een diepgaande mathematische analyse vàn de diverse veelvlakken en tevens van de uitbreiding naar högere diniensies...!. Ten slotte: het fotoboek van Wenninger ~7] geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van een groot aantal ' veelvlakken. Bó~éndien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de veelvlakken zelf te plakken. ", 1.3. Wat zijn veelvlakken? Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke ' veelhoeken, zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken van veelvlakken zullen we dus e~rst de aandacht Otoeten 'richten 'op de zijvlakken. Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De zijvlakkeri zijn veelhoeken, de hoekp\lllten vonnen veelvlakshoeken; elk van deze is gekarakteriseerd door:, al dao niet regelmatigheid, aantal ribben etc. Om iets van veelvlakken te begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten bezien.

13 ~_. ' Inleiding Veelhoeken, Een veellioek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten (de zijden) AIA2; A2A3, A3A4,'..., An':'IAn, AnAt. die opvolgende paren Van n puntèn Ah A2,..., A~ (dehoekpuntelj.) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig b:eschouwen we veelhoeken waarvan de zijden elkaar nièt snijden.. " Een veellioek noemen we gelijkzijdig als alle zij~eqgelijkzjjnf-en.gelijkhoekig als 'de hoeken gelijk zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig ~ heten ze regelmatig. Dit is het geval bij de gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, (3), het vierkant, (4) etc. Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig is de~echlhöek. Er zijn uiteraard oneindig veelreg~lmatige veelhoeken; we, geven ze aan met {n}. De hoeken van {ni kunnen gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom, der hoeken (n - 2) 180, 9US per hoekpunt180 (n":' 2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6J; {8} en {10} wordt dit respectievelijk 600,90, 108,120,135 en 144. Elke {n} heeft- een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en rj, staan in de volgende relaties tot elkaar en tot de ribbe I : " 180, 1 = 2ro sm --= 2rj tan -- n n Het oppervlak vàn {ni is: n 180 n " ' 3600 ' 0=- Z2 cotg -- = - ~ sm -- ' ". ' 4, n 2 0 n Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervl~ van de OIngeschreven cirkel, 1t.~. 1\.-1 Figuur Veelhoek. Ai

14 12 Regelmaat in de ruimte :.. ' Veelvlakshoeke';> Veelvlakshoeken worden gevonnd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een punt 0 snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak dat 'niet door b gaat,. een veelhoek vonnt. (BIB2... Bm). De lijnen OBI, OB2,..., OBm zijn de ri be de veelvlakshoek~ de vlakdelen die door deze { ~ ribben begrensd worden, zijn e ij den. Het is duidelijk dat het aantal ribbçn zowel als het aantal zijden gelijk aan m is. \,.... De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormti wordt (bijvoorbeeld B2 O. BI), terwijl onder de hoeken. van een. veelvlakshoek de standhoeken, dat wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval is is de veelvlakshoek regelmatig. Een voorbeeld:van een regel ~ matige viervlakshoek is de top van een ~eg~lma~ge v,ierzijdige piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is. /- /.// " o B3 Figuur 7.2, Veelvlakshoek. Figuur 7,3, Standhoek... Als van een drievlakshoek de zijden a, ~ en 'Y zij~ dan is de ho~k (standhoek) tussen de vl~en met zijden aen ~ gegeven door (zie figuur 1.3): cos <p cos 'Y - cos a cos ~ sin a sin ~ (1.1) Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen. Voor een m-vlakshöek met m > 3 is uiteraard niet zo'n algemene relatie aan te geven, omdat de m-vlakshoek niet alleen door de grootte der zijden is vastgelegd (analoog met de n-hoek voor n > 3). Voor regelmatigem-vlalçshoeken wordt de standhoek tussen ~ twee aangr~nzende zijden gegeven door:..

15 Inleiding. 13 cos a. ~ p (1.. 2) cos <p =. cos a. + 1 waarin.p = 1 + 2'cos(360o/m), dus p = 0, 1, (",[5 + 1)/2 en 2. voor m;" 3,4,5 en6. respectievelijk Veelvlakken Een veelvlak is een lichaam, begrensd do<;>r een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee aansluiten langs gemeenschappelijke zijden (rib~n),en waarvan dri~ of meer samenkomen in gemeenschappelijke hoekpunten. c1?)x>k bij veelvlakken,kunnen we Spreken vangelijkzïm eict (alle zijvlakken gelijk) en rz. ~lijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in, de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van deze, twee eigenschappen niet. vold,oende, om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoide, die ontstaan gedacht kari worden door in een onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de hoekpunten 'om te klappen' tot een viervlak (zie figuur 1.4). Figuur 1.4. Disphenoide. f.j), Wil een veelvlak regelinatig zijn dan is bovendien nodig dat de zim akken re elmatige veelhoeken zi 'n; de veelvlakshoekèn zijn dan eveneens regelmatig~ Deze ~egelmatige veelvlakken worden aangeduid als Platonische veelvitikken, waarvan e~, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in hoofdstuk 2 worden behandeld. Behalve deze PI~tonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals de ha!fre8elmatige of uniforme of Archimedischeveelvlakken, waar-, van twee soorten kunnen worden onderscheiden: - de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk (~erste soort)" - de veelv la~shöeken,in dehoeicpunten zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de,

16 14 Rege/maat in de ruimte zijvlakken zijn gelijk (tweede soort). Op deze twee soorten veelvlakken komen we uitvoerig terug in de hoofdstukken 3 en 4. Ten slotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de vijfpuntige ster),en daarmee ook een nieuwe serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks halfregelmatige of uniforme veelvlakken. Deze komen in de hoofdstukken 5 toten met 7. aap bod Ribben, hoekpunten en zijvlakken Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een algemene relatie tu sen de aantallen hoekpunten'h, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Z()'n relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de'mogèlijkheden om een veelvlak op te bouwen. Er is een stelling van Euler, luidend: H + Z = R + 2, die bijvoort>eeid voor een kubus gemakkelijk te verifiëren is: H = 8 ; Z =,6 ; R == 12. De stelling kan, op diverse manieren bewezen worden. Een der bewijzen is als volgt: Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we oris een plat vlak voor dat aanvankelijk geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt zodanig dat het eerste en het laatste contact opeen hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens iijn tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk ' passeert; dit is mogelijk: omdat het vlak tijdens zijn beweging in willekeurige richtingen., mag krommen zonder ruit dit uiteraard het resultaat beïnvloedt. b c d.jo... " B C ~..... A Figuur 1,5. Stelling van Eu/er.

17 Inleiding 15 Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak; we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij onblloet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p- 1 zijvlakken (A, B en C): De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk ~H = 1, ~ == P ~R= p. Dus is H+ Z ~R niet vail waarde veranderd. Dit geldt voor îeder gepasseerd hoekpunt, bèhalve voor het eer~te en het laatste. Als het eerste hoekpunt een' m-vlakshoek is, is bij het p~sseren daarvan AH = 1, llz == m, LlR.= m. Bij hei passeren van het laàtste hoekpunt is MI = 1,!lZ = 0 en LlR = O. Totaal blijict dus te gelden:.. \ '... H+Z=R-t:2.. ',,... (1.3) ~\(' De ste~ling v~euier geldt niet in deze v~rm voor alle so~>rten ~eelvlakken. ~n ~rste. voorwaarde ls dat dat het veelvlak vanult een punt e.r brnnen m enkelvoudlg op een.' ~ omliggende bol g~projecteerd kan worden, anders gezègd datmenhet als het ware op ~ kan blazen tot een enkelvoudig boloppervlak. Aan deze v_oorwaarde is niet voldaan bij.de later te behandelen hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide, stelliflg van Euler tegenkomen. Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet hei gevat met een veelvlak bestaande uit \. een kubus inet op een zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervooris gemakkelijk te verifiëren dat H + Z = R + 3 (16+11=24+~). Dat eel) veelvlak IiÏet conv.ex is (ook standhoeken> 180 ) doet er: voorde stelling van Euler niet toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd. '. -~. 1 I '

18 16 2 Volledige regelmaat (Platonische lichamen') 2.1. Algemeen. Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlaks- hoeken regelmatig en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormçn kunnen hebben: (3), (4) of (5). (6} en hoger is niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Keruielijk moet de som van de hoeken die in een hoekpunt samenkomen kleiner dan 360 zijn. Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe ze er uit zien moet nog uitgezocht worden. Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoekpunten, Z zijvlakkèn en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samen- komen, dan is het.aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n, inaar ook gelijk aan H x m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld, doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus: Z n=h m=2 R (2.1) Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler: Z+H=R+2 # dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost. Het resultaat is 2 m Z = -n-+-m---n-m-'/=2 2 n n m H = n + m - nm/2 ' R = n + m - nm/2 (2.2) Uit deze relaties blijkt allereerst dat n + Xli ~ nm/2 positief moet zijn. Dit is niets anders dan de reeds genoemde voolwaarde dat de som der hoeken per hoekpunt niet groter mag zijn dan 360. De som van de hoeken in een n-hoek: is namelijk (n.:...2) 180, zodat de voorwaarde wordt: (m/n) (n - 2)-180 < 360 of:

19 Volledige regelmaat 17 - m(n - 2) < 2n of n + m - nm/2 > 0 We voeren nu het be~ip 'hoektekort' in, dat is hoeveel de samenvoeging in een hoekpunt tekort komt om een plat vlak (of; op een bol, een boloppervlak) te vormen. Dit hoektekort bedraagt: ' x m(n - 2)/n = 720~ x Po + ~ nm/2= lh,, Hieruit blijkt dat de som van de,hoektekorten voor alle hoekp~ten 7200 (41t) bedraagt (dit geldt overigens ook voor niet-:regelmatige veelvlakken). Met dit gegeven is het zeer gemakkelijk om het aantal hoekpunten (als deze gelijk zijn) uit het hoektekort te, berekenen. Voor een hoekpunt waar drie regelniatige vijfvlakken samenkomen is het,, ",' 3 tekort x = 36 0 dus H = 720/36 =20. Uit (2.1) volgt Z/H = mln ='5 dus Z = 12 en, tevens, R =30. {3A) 3 4 ~(,a 3 3. y 5... ~.v.' {4.3} 4 3 {5.3} 5 3 a, a twintigvlak (icosaeder) zesvlak (kubus) (hexaeder) twaalfvlak (dodekaeder) Ra, R20 R6 ' R12 Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige oi Platonische veelvlakken. Figuur 2,1 geeft van elk een,afbeelding, ie kunnen met verschillende notaties worden aangeduid,, bijvoorbeeld als R4; R8'etc., doch ooknaar de in een hoekpunt samenkomende veelhoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld worden beschreven als (3 333) en R12 als (5 5 5), of ook, in de ve~korte notatie als Iespectievelijk -(3,4),en (5,3 ).,Jo het vervolg van dit boek zullen deze verschillende notaties door elkaar gebruikt worden, om bij de later te, beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde) gemakkelijk aan te sluiten '.., Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het g~d om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, Hen R de verwisselbaarhei~ van de grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met, H verwisselbaar,is met de combinatie van m en :z>dit is een uitvloeisel ván de algemene regel inde stereometrie dat men in elke wetmatj.gbeid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook ' direct uit de tabel: R6 en R8 ({ 4,3) en {3,4}} zijn als het ware elkaars pendant, evenals R12 en R20 ({5,3) en (3,5}),terwijl R4 of {3,3) bij dualê verwisseling in zichzelf overgaat.

20 18 Regelmaat in de ruimte /1\,l, I : I,,.., / \ i \ './1" " j / I \.~ I ' r=r=\ ~ V ~----' Figuur 2.1. De vijf Platonische.veelvlakken. Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat \~ wil zeggen er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan ~ alle zijvlakken raakt \ 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (3 3 3) Het regelmatig viervlak, de tetraeder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakkeof lichaamsdi'agonalen.. Uit formule (l.3) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met a = f3 = y = = 60": cos<p = 1/3 en <p.= 70,53. Hieruit blijkt dat m.et regelmatige viervlakken de. ruimte niet vol te stapelen is, want dan zou op zijn minst 360 /<p een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is. Behalve als ~iramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoide, namelijk doof twee overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2): Uit deze opstelling is onmiddellijk te zien dat een doo~snede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand 'gelegen, een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant. Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakk~n uit karton te vervaardigen; als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot.het eenvoudigst mogelijke lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk, probleem te zijn!

21 ! ""',""" " '... "' " "I!, PI!! 11' '.. ' '. ",,'!...,," H 'II"IImll"Ilt"I1B"""'I tut 1 "111 UI '1"'''111'''''''''''''''''''''' 11111"""""!!1II"'''''''' IIIY Volledige regelmaat 19 Figuur 2.2. Viervlak als prismoide. Viervlakken kuimen.op veei manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde... I.' ruimtelijke lichamen; een der aardigste mogelijkhedenis om ze aaneen te rijgen tot een. buis; de bijna in elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuqf 2.3) / '/ Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken Zesvlak (kubus) of hexaeder;r6 of {4,3} of (4 4 4), De kubus is wel het bekendste regelmatige veelvlak, waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons gemakkelijke waarden van 90 hebben. Het is IJ9vendien ruimtevullend, met 8 kubussen samenkomend ineen hoekpunt.. De kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de lichaaiilsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken :.. (figuur 2:4). Dè twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige driehoeken, de doorsnede met een vlak op hiuve hoogte is een regelmatige zeshoek. Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze starid is in te zien dat er een'gat met. vierkante doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige. afmeting dat door dat gat een even grote, en zelfs nog een iets.grotere kubus kan schuiven! De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.

22 20 Regelmaat in de ruimte Figuur 2.4. Kubus op punt. Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken. blijkt dat er twee R4's in een R6 ingepast kunnen worden, waarvan de hoekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6 samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4's door<b"ingen elkaar gedeeltelijk en hebben als gemeenschappelijke ],cern de in R6 ingeschreven R8 (zie par. 2.4). De.twee tetraeders vormen de achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler (figuur 2.6). ~ '. \" ~,.... \.. ":'-... I \... '\., \, \ \ " 1/ \. ' 1/., \' I!,, \', I!, 'v - Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus. Figuur 2.6. De Kepler-ster Achtvlak of okt~eder, R8 of {3,4} of ( ) Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige vierzijdige piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn gelijkwaardig.

23 Volledige regelmaat 21 De oktaeder kan ook als prismoide beschouwd 'Worden, waarbij twee overstaande zijvlakken grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de,. '., doorsnede met een vlak halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige, zeshoek., -:~/-_ _ ,!._......_-_..._...-- Figuur 2.7. De oktaeder als prismo(de.,, Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangre~nde zijvlakken gegeven zijn door cos <p = -1/3, dus <p =.109,47. HetbIljkt dus dat de standhoeken van tetraeder en oktaeder elkaars s~pplement zijn. De oktaeder in figuur 2.7 kan dus ' gecompleteerd worden tot e'en parallelopipedum door bovenop en aan de onderkant een tetraeder te plaatsen. Met een combinatie van oktaeders en tetraeders kait ~en dus ' door opstapelen de ruimte vullen, everiàls men 4it m,et kubussen kan doen~ De zo.verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef(escher: 'Platwormen')., '. In par. 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 enr8 al genoemd. Deze relatie komt 'O.a. hierin tot uiting, dat de middens van de zijvlakken van R8 de hóekpunten van een R6 vormen en omgekeerd (figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid om een combinatie-~eelvlak te VOrmen, waàrbij de middens van R6 en Figuur 2,.B. Dualiteit R6 en RB. ' Figuur 2.9. 'Compound' R6 en RB.

24 22 Regelmaat in de ruimte R8 samenvallen en de ribben elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan. danken de rhombendodekaeder en de kubo-oktaeder (zie hoofdstuk 3) hun ontstaan.. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds gebleken in par 23: R8 kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8.vlakken samenvallen met de vlakken Vall R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R Twaalfvlak of dodekaeder, R12 of {5,3} of (5 5 5) De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we totdusver bij de andere regelmatige veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst 'de 5- hoek zijn intree doet. Van de 12 vijfhoeken waaruitr12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere plaats toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee groepen van vijf te verdelen, waarvan er een serie aan het ooven- en een aan het ondervlak grenst. De scheidingslijn tusse~ de.twee series wordt door een niet-vlakke lo-h~k gevonnd (figuur 2.10). ".,, Figuur,2, 10. De dodekaeder. De dodekaeder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaeder R20; deze verwantschap zal in par. 2.6 besproken worden. Echter ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele zelfs, want wwel in als om de R12 past een kubus! In figuur 2.11 is een kubus in een dodekaeder geplaatst; de hoekpunten van de kubus ~allen samen. met 8 van de 20 hoekpunten van dedodekaeder en de ribben van de kubus worden gevonnd door diagonalen van de zijvlakken van R12. Daar de 12 zijvlakken van R12 samen 60 diagonalen bezitten, is er op deze ' wijze 1/5 deel van de diagonalen en 2/5 deel van de hoekpunten 'verbruikt'. Het is gemakkelijk in te zien dat er totaal 5 kubussen in R12 op deze manier ondergebracht trunnen worden; elk hoekpunt maakt dan deel uit van twee kubussen. In figuur 2.13 is dat te zien. De vijf

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

Grafentheorie voor bouwkundigen

Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen A.J. van Zanten Delft University Press CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Zanten, A.J. van Grafentheorie voor bouwkundigen /

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

Van aardgas naar methanol

Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol J.A. Wesselingh G.H. Lameris P.J. van den Berg A.G. Montfoort VSSD 4 VSSD Eerste druk 1987, 1990, 1992, 1998, licht gewijzigd 2001 Uitgegeven door: VSSD

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003 Handleiding Paint 2003 www.dubbelklik.nu Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand dan wel openbaar gemaakt in enige

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

Inleiding Administratieve Organisatie. Opgavenboek

Inleiding Administratieve Organisatie. Opgavenboek Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek drs. J.P.M. van der Hoeven Vierde druk Stenfert Kroese, Groningen/Houten Wolters-Noordhoff bv voert

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2009 tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

De Kern van Veranderen

De Kern van Veranderen De Kern van Veranderen #DKVV De kern van veranderen marco de witte en jan jonker Alle rechten voorbehouden: niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand,

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)

i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

2.5 Regelmatige veelhoeken

2.5 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 De tentoonstelling Ruimte en Reliëf in Kasteel Groeneveld te Baarn, waar Popke

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN c 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) c Met twee latten die

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen

Nadere informatie

Handleiding Programmeren en bewerken CAM (graveermachine) Aan de slag. in beroep en bedrijf. Handleiding Programmeren en bewerken CAM (graveermachine)

Handleiding Programmeren en bewerken CAM (graveermachine) Aan de slag. in beroep en bedrijf. Handleiding Programmeren en bewerken CAM (graveermachine) Aan de slag in beroep en bedrijf Handleiding Programmeren en bewerken CAM (graveermachine) Branche Uitgevers 1 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in

Nadere informatie

Samenvatting in het nederlands

Samenvatting in het nederlands Samenvatting in het nederlands Wat voorkennis Stel dat van een oppervlak in de ruimte een golffront komt - het kan om licht gaan, of om geluid. Is het oppervlak een ellipsoide en breidt de golf zich uit

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Fiscale Jaarrekening. Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN. Tweede druk

Fiscale Jaarrekening. Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN. Tweede druk Fiscale Jaarrekening Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN Tweede druk Fiscale jaarrekening Uitwerkingen opgaven Fiscale jaarrekening Uitwerkingen opgaven Henk Fuchs Yvonne van de Voort Tweede

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Welke ongelijkheid is juist? (A) 3 5 < 2 6 (C) 5 6 < 3 (B) 3 7 < 2 (D) 5 7 < 2 10 (E) 5 < 6 7 2 Hoeveel vierkante meter is 1600 vierkante centimeter?

Nadere informatie

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde 1, (nieuwe stijl) Eamen HV Hoger lgemeen Voortgezet nderwijs Tijdvak Woensdag 18 juni 1.0 16.0 uur 0 0 Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen; het eamen bestaat uit 18 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010. 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012

Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010. 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012 Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012 ISBN: 978-90-817910-1-4 Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet

Nadere informatie

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 009 Datum: 14 jan 009 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal te

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

opgaven- en werkboek GECONSOLIDEERDE JAARREKENING Henk Fuchs 1e druk

opgaven- en werkboek GECONSOLIDEERDE JAARREKENING Henk Fuchs 1e druk opgaven- en werkboek Henk Fuchs GECONSOLIDEERDE JAARREKENING 1e druk Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Henk Fuchs Eerste druk Noordhoff

Nadere informatie

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie