Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016"

Transcriptie

1 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel mogelijk dezelfde eigenschap moesten hebben. We gebruikten uitslagen voor de invarianten en beschouwden die als linten. Nu gaan we een stapje verder en beschouwen de uitslagen van dezelfde invarianten niet meer als linten, maar als gesloten banden. door William Verspaandonk GESLOTEN BANDEN In het artikel Losse eindjes (Pythagoras 55-6, juni 06) maakten we gebruik van invarianten: holle ruimtelijke figuren die na het binnenstebuiten keren weer dezelfde figuren opleveren. Vervolgens plaatsten we piramides op de invarianten zodat het grondvlak van iedere piramide samenviel met een zijde van de invariant. De hoogte van de piramides is hierbij van groot belang. Na omkering van de invarianten moeten de piramides namelijk in de invarianten passen. Om de invarianten om te kunnen keren, maakten we er uitslagen van in de vorm van een lint. Ieder vlak zit dan aan twee andere vlakken bevestigd, behalve de twee buitenste natuurlijk. Hierbij moest ieder vlak op dezelfde manier aan twee andere vlakken worden bevestigd. In dit artikel willen we niet gebruikmaken van een lint als uitslag van de invarianten, maar van een gesloten band. Wat je je dan kunt afvragen, is of het mogelijk is om de linten te gebruiken en dan de uiteinden aan elkaar bevestigen. Met de drie invarianten die eerder zijn besproken (tetraëder, octaëder en kubus) lukt dit niet. Je kunt dit eenvoudig nagaan door de uitslagen op papier te tekenen, uit te knippen en vervolgens de uiteinden aan elkaar bevestigen. Een van de redenen waarom dit omkeren niet lukt, is dat er niet voldoende ruimte is. De band moet geleidelijk door het binnenste van deze zelfde band worden gehaald en daar is ruimte voor nodig. We zullen dus extra ruimte moeten creëren. Hoe we dit gaan doen bespreken we later. Wat verder van belang is om een invariant om te kunnen keren, is de rangschikking van de vlakken ten opzichte van elkaar en het aantal vlakken waaruit de invariant bestaat. De figuren, en 3 zijn niet allemaal uitslagen van ruimtelijke figuren, het zijn slechts gesloten banden. Hiermee willen we alleen maar verduidelijken dat de rangschikking van de vlakken, de ruimte en het aantal vlakken van belang is. De rode lijnen in de figuren geven aan waar en hoe de uiteinden aan elkaar moeten worden bevestigd. Met de uitslag in figuur krijgen we een band die je niet kunt omkeren. Als we hetzelfde zouden doen met bijvoorbeeld 0 vierkanten, dan kan je de band nog steeds niet omkeren zonder de vlakken te vervormen. Er is dan weliswaar voldoende ruimte om de band om te kunnen keren, maar door de rangschikking van de vlakken gaat het toch niet. De vouwlijnen van de vierkanten staan immers loodrecht op de lange zijden van de band en daardoor kan je alleen maar in de lengerichting van de band vouwen. Met een andere rangschikking van de vierkanten (figuur ) kan met 0 vierkanten een omkeerbare band worden gemaakt. Nu staan de vouwlijnen van de vierkanten onder een hoek van 45 graden ten opzichte van het hart van de band (stippellijn). Trouwens, met minder dan 0 vierkanten gaat het omkeren niet, omdat er dan niet voldoende ruimte is. In figuur 3 zie je een uitslag waarbij, net als in figuur, de vierkanten op dezelfde manier ten opzichte van de lengterichting van de band zijn gerangschikt. Ze zijn echter wel op een andere manier aan elkaar bevestigd. De vouwlijnen lopen evenwijdig en loodrecht op de lengterichting van de band. Door de evenwijdige vouwlijn en de rangschikking van de vlakken is de band omkeerbaar. Ook de vorm van de delen speelt een rol bij het kunnen keren van een band. Tot nu toe hebben we Figuur Figuur PYTHAGORAS SEPTEMBER 06

2 Figuur 4 Figuur 5 Figuur 6 Figuur 7 Figuur 8 alleen maar vierkanten gezien, maar met bijvoorbeeld gelijkzijdige driehoeken kunnen we vergelijkbare dingen doen. Bij de constructies die we gaan maken, zijn we gebonden aan het aantal vlakken van de invariant. We kunnen dus niet zomaar een paar extra vlakken toevoegen, want dit zou de vorm van de invariant veranderen. We kunnen de vlakken wel in kleinere vlakken snijden en de vlakjes op een andere manier rangschikken. Natuurlijk moet dit zo gebeuren dat nog steeds de invariant kan worden gemaakt en dat een gesloten band kan worden gevormd. DE SNIJMETHODE In het artikel De binnenkant van de tetraëder (Pythagoras 55-, september 06) bespraken we de snijmethode. De vlakken van de tetraëder sneden we doormidden zodat rechthoekige driehoeken onstaan. Zo kan de oorspronkelijke uitslag, bestaande uit vier gelijkzijdige driehoeken, worden omgevormd tot een uitslag bestaande uit 8 rechthoekige driehoeken. Vervolgens werd met de uitslag een gesloten band gemaakt. In Losse eindjes in de vorige Pythagoras legden we uit dat we bij een lint (dit is de uitslag van de invariant) alle vlakken zoveel mogelijk dezelfde eigenschap willen geven. Verbinden we de twee uiteinden aan elkaar, zodat een band ontstaat, dan willen we ook dat de twee buitenste vlakken van het lint dezelfde eigenschap hebben. Dit betekent voor een lint zonder losse flapjes dat ieder tussenliggend vlak aan precies twee andere vlakken grenst. Maken we van het lint een band, dan geldt dit voor alle vlakken. Gaan we vervolgens vlakken in kleinere vlakken snijden, dan ontstaan nieuwe zijden. Hieraan kunnen geen vlakken worden bevestigd. Alleen het deel dat eerst aan het vlak vast zat, zou hieraan kunnen worden bevestigd, maar dan krijg je het oorspronkelijke vlak terug. Er kan alleen maar aan één van Figuur 3 de al bestaande zijden een andere al bestaande zijde worden gekoppeld. Om zo een lint of band te kunnen vormen, moet je bij het snijden van de kleinere vlakken rekening houden met het feit dat er minstens twee zijden van het oorspronkelijke vlak aanwezig zijn. Bij slechts één oorspronkelijke zijde kan dus maar één ander vlak aan het vlak worden bevestigd en dan kan geen lint of band worden gevormd. We gaan er bij de snijmethode van uit dat de invariant uit gelijkzijdige veelhoeken bestaat. Niet alle vlakken hoeven noodzakelijk te bestaan uit evenveel zijden. Dit is afhankelijk van de ruimtelijke figuur (dit is de invariant). Nu kan een vlak op verschillende manieren in kleinere vlakken worden gesneden. Hierbij willen we dat de vlakjes zoveel mogelijk gelijke vormen krijgen of dat ze gespiegeld zijn ten opzichte van elkaar. Het snijden van een vlak kan beginnen in een hoek of in het midden van een zijde en de snede eindigt in het zwaartepunt van het vlak. Er zijn zo minstens twee snedes nodig om een vlak in kleinere vlakjes te verdelen. Twee snedes kunnen een rechte lijn vormen, maar dit hoeft niet. Als je in het midden van een zijde begint met snijden, dan zal het aangrenzende vlak, dat dus een ribbe deelt, ook een snede moeten hebben die begint in het midden van dezelfde ribbe. Zijn de oorspronkelijke vlakken bijvoorbeeld gelijkzijdige driehoeken, dan kun je die zo snijden, dat twee gespiegelde rechthoekige driehoeken ontstaan (zie figuur 4). Als je de gelijkzijdige driehoeken in drie gelijke delen wilt snijden, dan kan dat door vanuit iedere hoek naar het zwaartepunt te snijden. Maar dan kan geen lint of band worden gevormd, omdat er dan slechts één oorspronkelijke zijde is overgebleven en hier kan maar één ander vlak aan worden bevestigd. Driehoeken kunnen ook nog anders worden gesneden. Door vanuit de middens van de zijden te snijden, ontstaan drie vliegers (zie figuur 5). Iedere vlieger heeft dan twee originele zijden. Hiermee kan dan mogelijk wel een lint of band worden gevormd. Zo kan bijvoorbeeld een vierkant over een diagonaal doormidden worden gesneden (twee snedes; zie figuur 6). Dan ontstaan twee gelijkbenige driehoeken. Ook dan heeft ieder deel twee originele PYTHAGORAS SEPTEMBER 06 3

3 Figuur 9 Figuur 0 Figuur 4 zijden. Een vierkant kan ook zo doormidden worden gesneden, dat twee rechthoeken ontstaan (zie figuur 7). Dan heeft ieder deel drie originele zijden. Een vierkant kan ook in vier kleinere vierkanten worden gesneden (zie figuur 8). Ook dan heeft ieder deel twee originele zijden. Op soortgelijke wijze kun je vijfhoeken, zeshoeken of andere willekeurige n-hoeken snijden. De snijmethode werkt het beste als je vanuit de ruimtelijke figuur werkt en niet vanuit de uitslag met de oorspronkelijke, gelijkzijdige vlakken, omdat in de ruimtelijke figuur duidelijker is te zien hoe je de vlakken moet snijden om tot een lint of band als uitslag te komen. DE CONSTRUCTIEMETHODE Eigenlijk is de constructiemethode niets anders dan de methode die we in het vorige nummer bespraken. We gebruiken dezelfde principes als voorheen. We hebben een invariant en hierop plaatsen we consequent aan een zijde of beide zijden piramides op alle vlakken. We moeten nu echter rekening houden met het feit dat vlakken tot kleinere vlakken zijn versneden. Dat betekent dat de piramides ook tot kleinere objecten moeten worden versneden. De snedes van het grondvlak van de piramides moeten samenvallen met de snedes van de invariant. Daarna worden de piramides loodrecht op hun grondvlak doorgesneden. VAN TETRAËDER NAAR TRIAKISTETRAË- DER In figuur 9 zie je een gebruikelijke uitslag van een tetraëder. Als de twee rode zijden aan elkaar worden bevestigd, dan ontstaat meteen de tetraëder. Er is geen ruimte om de tetraëder om te keren. We gaan kijken welke mogelijkheden er zijn voor het snijden van de vlakken. We kunnen, zoals we hebben gezien, vlakken in tweeën snijden (zie figuur 4) of in drieën (zie figuur 5). Als we alle vlakken in drieën snijden, kunnen we geen uitslag maken die uit één geheel bestaat. Er ontstaan zo vier losse delen. Als drie vlakken in drieën worden gesneden, dan moet het laatste vlak ook in drie delen worden gesneden, omdat drie snedes van de andere vlakken uitkomen bij dit ene vlak. En iedere snede moet dan doorlopen. Als we twee van de vier vlakken in drieën snijden, dan moeten ook de andere twee vlakken in drieën worden gesneden. Dit heeft opnieuw te maken met het feit dat een snede in het ene vlak moet doorlopen in het andere vlak. Als we slechts een vlak in drieen snijden, dan is het mogelijk om de overige vlakken in tweeën te snijden. Maar ook dan kunnen we geen uitslag uit een geheel maken. Dit komt omdat de sneden die de drie vlakken in tweeën snijden, samenkomen in een hoek van de tetraëder. Zo ontstaan drie losse delen. We kunnen wel alle vlakken in tweeën snijden en zo een aaneengesloten uitslag maken (zie figuur 0 en ). In figuur 0 is met blauwe lijnen aangegeven hoe je de vlakken moet snijden en verder is aangegeven hoe de piramide (in rood) in de tetraëder past. In figuur zie je de uitslag. Als we de rode zijden aan elkaar bevestigen, krijgen we een band waarmee we de tetraëder kunnen vormen, maar zoals we al eerder hebben gezien (Pythagoras 55-) is de band zo niet om te keren. Daarvoor zouden we extra vouwlijnen moeten aanbrengen. En dit werkt alleen maar voor een band zonder dikte. Als we piramides op de invariant zouden plaatsen, dan kan het omkeren niet meer. Maar we gaan toch piramides op de invariant plaatsen en gebruiken het lint zoals in figuur ; met andere woorden, we maken er geen gesloten band van. De piramides moeten doormidden worden gesneden om ze op de rechthoekige driehoeken te laten passen. Om de halve piramides te kunnen maken, hebben we de snedelengtes nodig in de piramide. In figuur 0 is de snede in de piramide te zien. In de vorige Pythagoras hebben we de lengte van de topribben van de piramides al bepaald. Alleen de snedelengtes door het grondvlak en door een van de zijvlakken van de piramide zijn nog niet bekend. Maar omdat we de lengte weten van de zijden van het grondvlak (die hebben we zelf gekozen en hadden we genomen) en de lengtes van de topribben ( 6), kun je eenvoudig de lengte van de snedes bepalen. In figuur 4 zie je de situatie waarbij het grondvlak doormidden wordt gesneden. Met de stelling van Pythagoras vind je dan de lengte van de snede dit rekenwerk laten we aan jezelf over. In figuur zie je een zijvlak van een piramide met de bekende lengtes. De waarde van s kennen we nog niet, maar die kun je ook zelf met de stel- PYTHAGORAS SEPTEMBER 06

4 6 s 6 Figuur Figuur 3 Figuur 4 ling van Pythagoras berekenen. Het kan trouwens ook anders, zonder gebruik te maken van de ribbenlengtes (gebruik de kubus als hulpmiddel het blijkt dat s de halve hoogte van de kubus is). VAN KUBUS NAAR ROMBENDODECAËDER Van de kubus is in figuur 3 een gebruikelijke uitslag gegeven. Hiermee is geen omkeerbare band te maken. Als we hier de rode zijden aan elkaar bevestigen, ontstaat meteen de kubus. En er is dan geen ruimte voor het omkeren. Om dit mogelijk te maken, zullen we de vlakken in kleinere vlakken moeten snijden. Dat kan op een aantal manier snijden. Zoals we zagen, kan een vlak in vier kleinere vierkanten worden gesneden of in twee rechthoeken of in twee rechthoekige driehoeken. Natuurlijk kan een vlak nog op andere manieren worden gesneden, bijvoorbeeld als in figuur 4, maar dan krijgen we te veel verschillen en dat willen we niet. Het is mogelijk om alle vlakken in twee rechthoeken te snijden en zo een aaneengesloten lint te maken. Maar dan moet nog extra over vier ribben worden gesneden. En hiermee kun je een band maken die omkeerbaar is. We bespreken deze manier hier niet, omdat er een extra eis wordt gesteld bij het snijden. Wel bespreken we de manier waarbij alle vlakken in rechthoekige driehoeken worden gesneden. Daarmee is ook een gesloten band te maken. We nemen een willekeurige hoek van de kubus. Deze hoek wordt gevormd door drie vierkanten. Vanuit deze hoek snijden we vervolgens de drie vlakken diagonaalsgewijs. We doen hetzelfde bij de hoek die op de dezelfde hoofddiagonaal van de kubus ligt. Dus ook hier worden vanuit de hoek de drie vlakken diagonaalsgewijs gesneden. In figuur 5 hebben we in blauw aangegeven hoe we de kubus moeten snijden. Zo krijgen we de uitslag van figuur 6. Nu moeten de piramides nog op de halve vlakken worden geplaatst. Dus ook de piramides moeten we diagonaal door het grondvlak snijden. In figuur 5 zie je in rood hoe de piramide in de kubus is gepositioneerd en in geel de snede in de piramide. Nu hoeft er niets aan de snedes te worden gerekend, omdat de piramides precies door de topribben worden gesneden; deze ribben hebben we in het vorige nummer al bepaald. De vermoedelijke bedenker van deze constructie is Yoshimoto; hij heeft deze constructie in de vorm van een puzzel in 988 op de markt gebracht. VAN KUBUSSENOCTAËDER NAAR ROM- BENDODECAËDER In figuur 7 zie je een uitslag van de octaëder. Als de rode zijden aan elkaar worden bevestigd, krijgen we een band, maar de octaëder ontstaat nog niet automatisch zoals bij de uitslagen van de tetraëder en de kubus. Er moet wat worden gevouwd om de figuur te krijgen. Er is dus ruimte aanwezig, maar die is niet voldoende om de invariant om te kunnen keren. We zullen de vlakken daarom moeten snijden. Het is niet mogelijk, zoals bij de tetraëder, om alle vlakken doormidden te snijden en zo een aangesloten lint te krijgen. De sneden lopen dan van de top van de octaëder naar de hoek die op dezelfde hoofddiagonaal ligt. Dit is dus de onderste hoek. Zo ontstaan vier losse delen. Alle vlakken in drieën snijden gaat ook niet: dan krijgen we acht losse delen. Wel kunnen we twee tegenover elkaar gelegen vlakken in drieën snijden. De overige vlakken worden dan in tweeën gesneden (zie figuur 8). Met blauwe lijnen zijn de snedes weergegeven. In figuur 9 zie je de uitslag: deze is veel langer dan de gebruikelijke uitslag! Als we op de uitslag piramides willen plaatsen, zullen we zes piramides doormidden moeten snijden en twee in drie delen. 5 Figuur 5 Figuur 6 PYTHAGORAS SEPTEMBER 06

5 Figuur 7 Figuur 8 6 In de vorige Pythagoras hebben we bij deze invariant aan beide zijden piramides geplaatst. Aan de ene kant van de invariant hadden de piramides de maximale hoogte en aan de andere kant werden piramides geplaatst die waren gebruikt bij de tetraeder. Deze piramides waren minder hoog en hiermee kon de rombendodecaëder worden gevormd. Ook nu gaan we aan beiden zijden van de invariant dezelfde piramides plaatsen. In figuur 8 zie je in de octaëder een rode piramide die de maximale hoogte heeft. Aan de buitenzijde zie je eveneens een rode piramide, maar die is minder hoog (en afkomstig van de tetraëder). Van de kleinste piramides hebben we hierboven ( van tetraëder naar triakistetraëder ) de snedelengtes (grondvlak en zijvlak) van de halve piramides al bepaald. Alleen de snedelengtes van de driedelige piramides moeten we nog bepalen. De snede van het zijvlak is even lang als bij de tweedelige piramide, omdat de lengte alleen wordt bepaald door het midden van de ribbe van het grondvlak en de top. De snedelengtes in het grondvlak bespreken we straks. Eerst kijken we naar de grotere piramides. De snede van het grondvlak bij de halve piramides is bij de grote piramides even lang als bij de kleine piramides, want die wordt alleen bepaald door de grootte van de vlakken van de invariant. De snede van het zijvlak is anders, maar niet moeilijk te berekenen. De lengte van de topribben en het grondvlak weten we al van het vorige artikel. De topribben hebben lengte en de ribben van het grondvlak hebben lengte (zie figuur 0). Opnieuw kun je s met Pythagoras berekenen. Het kan overigens ook door de helft van de ribbelengte van de octaëder te nemen. Het enige dat nog moet worden bepaald, is de snedelengtes in het grondvlak als de grote en kleine piramide in drieën worden gesneden (zie figuur 5). Bij driehoeken is bekend dat het zwaartepunt op een derde van de hoogte ligt. En omdat de driehoeken gelijkzijdig zijn, loopt de hoogtelijn van de top door het zwaartepunt naar het midden van de zijden. Daarom liggen de snedes op de hoogtelijn en hebben een lengte die een derde is van de hoogte. Hiermee hebben we alle maten en afmetingen en kunnen we naar de bouwtekeningen van de drie constructies kijken. Veel plezier bij het construeren van de figuren! BOUWTEKENINGEN Figuur is de bouwtekening van de tetraëder als invariant. Op de eerste foto van figuur zie je hoe je de halve piramides aan elkaar moet bevestigen. Ter verduidelijking kan je de uitslag van figuur erbij nemen. Op de tweede foto zie je de tetraëder en op de derde de triakistetraëder. Figuur 3 is de bouwtekening van de kubus als invariant. De eerste en tweede foto van figuur 4 (en de uitslag van figuur 6) laten zien hoe je de halve piramides onderling aan elkaar moet bevestigen. Zo kunnen de kubus (derde foto) en de rombendodecaëder (vierde foto) worden gemaakt. Figuur 5 is de bouwtekening van de octaëder als invariant. Omdat de invariant bij deze constructie geheel in de constructie valt en daardoor helemaal niet zichtbaar is, kun je niet goed gebruikmaken van de uitslag in figuur 9 als hulpmiddel bij het in elkaar zetten van de band. Daarom zijn op de bouwtekeningen letters aangebracht. Na het in elkaar lijmen van de delen, kun je de delen op de juiste manier aan elkaar bevestigen door overeenkomstige letters bij elkaar te zoeken, zie de eerste foto van figuur 6. Op de tweede foto zie je de rombendodecaëder en op de derde foto de kubussenoctaëder. s Figuur 9 Figuur 0 PYTHAGORAS SEPTEMBER 06

6 c d a b e e f f f e f d c d c e Figuur Figuur Bouwtekening invariant tetraëder; 4 keer nodig Figuur 3 Bouwtekening invariant kubus; keer nodig Figuur 4 7 c d b a h g Figuur 5 Bouwtekening invariant octaëder; 3 keer nodig g h Figuur 6 PYTHAGORAS SEPTEMBER 06

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

2. Antwoorden meetkunde

2. Antwoorden meetkunde 2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg

Nadere informatie

AFSTANDEN IN PERSPECTIEF

AFSTANDEN IN PERSPECTIEF ESECTIEFTEKENEN AFLEVEING 2 In de eerste aflevering over perspectieftekenen, afgelopen november in ythagoras, hebben we het tekenen van evenwijdige lijnen geïntroduceerd. In deze aflevering denken we na

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] 8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande

Nadere informatie

Teken een diagonaalvlak naar keuze in de originele kubus. Teken dit diagonaalvlak plat op je blad op ware grootte.

Teken een diagonaalvlak naar keuze in de originele kubus. Teken dit diagonaalvlak plat op je blad op ware grootte. Deze toets bestaat uit 11 opgaven. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Er zijn 2 punten te behalen. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21.

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21. Hoofdstuk 1 OPPERVLAKTE HAVO 1.1 INTRO 15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: 1 Oppervlakte snelweg = 0 km 18 m = 0.000 m 18 m = 360.000 m. Zijde

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

handleiding pagina s 241 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies 2 Werkboek

handleiding pagina s 241 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies 2 Werkboek week 8 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 2 tot 29 nuttige informatie Handleiding. Kopieerbladen pagina 59: wandelplannen pagina 60: grondplannen constructies.2 Huistaken huistaak 5: bladzijde

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

Opvouwbare kubus (180 o )

Opvouwbare kubus (180 o ) Workshop Verpakkingen NWD 18 februari 2012 hm / rvo Opvouwbare kubus (180 o ) - Een bouwplaat van de kubus en een voorbeeldfoto - Als je een mooi wilt maken: een A4-tje 160 g wit papier en een schutblad,

Nadere informatie

in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde

in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Stellingenboekje in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Laat het kind met de latjes voor de geometrie een paars, lichtbruin en een geel latje pakken en hiermee een driehoek

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets: Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

handleiding passen en meten

handleiding passen en meten handleiding passen en meten inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 Vierhoeken 4 2 Met passer en geodriehoek 5 3 Tegelvloertjes 5 4 Onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500.

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. Estafette-opgave 1 (30 punten, rest 470 punten) Uitgeveegd In de cirkeltjes heeft iemand de

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN c 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) c Met twee latten die

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl) Wiskunde B (oude stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1330 1630 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen

Nadere informatie

Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje

Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje Indien van toepassing: schrijf je berekening op. Tekening altijd met geodriehoek en potlood. Omtrek rechthoek

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal vier vierkantjes schrijft iemand letters. In iedere rij en in iedere kolom komt zo één A, één B en één C, zodat

Nadere informatie

Overzicht Sangaku s. Pentapuzzel 8. Hoekenjagen 9. Vijfde wiel aan de wagen. Gulden molentje. Tweelingcirkels van. Archimedes

Overzicht Sangaku s. Pentapuzzel 8. Hoekenjagen 9. Vijfde wiel aan de wagen. Gulden molentje. Tweelingcirkels van. Archimedes Overzicht Sangaku s Fordcirkels 1 Pythagoras revisited 2 Zonsopgang 3 Cirkelzaag 4 Pac-man 5 Pentapuzzel 8 Hoekenjagen 9 Vijfde wiel aan de wagen 10 Gulden molentje 11 Tweelingcirkels van Archimedes Stelling

Nadere informatie

Doorsnede inhoud vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74250

Doorsnede inhoud vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74250 Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 24 mei 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/74250 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden lok - Vaardigheden Extra oefening - asis -a Het hellingsgetal is 60 = = 0,065. -a De hellingshoek is tan (0,065),6. c De hellingshoek van Raymond is tan ( 60 c 960 tan = geeft tan 6 = 600 = 600 tan 6 9

Nadere informatie

Examen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. xamen VMO-GL en TL 2013 tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CS GL en TL ij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl)

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl) Twee functies en hun som In figuur 1 zijn de grafieken getekend van de functies f ( x) = 2x + 12 en g ( x) = x 1 figuur 1 y Q f g O x De grafiek van f snijdt de x-as in en de y-as in Q 4p 1 Bereken de

Nadere informatie

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Homogene groepen, de balk

Homogene groepen, de balk Volgende week mag je zelf een les van ongeveer 20 minuten geven aan je medeleerlingen over de balk, cilinder of kegel. Een goede les bevat veel leerlingactiviteit. Zorg er dus voor dat je je leerlingen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart.

1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart. Uitwerkingen wizprof 2014 1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart. 2. A 75 km = 75000 m;. 3. C 2013, 2012, 2011 en 2010 hebben de

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde 1 Op de figuur stellen de getallen de grootte van de hoeken voor De waarde van x in graden is gelijk aan 2x 90 x 24 (A) 22 (B) 1 (C) (D) 8 (E) 57 2 Welke

Nadere informatie

G&R havo B deel 3 10 Aanzichten en doorsneden C. von Schwartzenberg 1/16. 1a Het bovenaanzicht van het voorwerp is een cirkel. 3

G&R havo B deel 3 10 Aanzichten en doorsneden C. von Schwartzenberg 1/16. 1a Het bovenaanzicht van het voorwerp is een cirkel. 3 & havo deel 0 anzichten en doorsneden. von chwartzenberg / a et van het voorwerp is een cirkel. b Je moet tegen het (rechter of linker) zijaanzicht aankijken. rechterzijaanzicht I (opg. ) vooraanzicht

Nadere informatie

WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN

WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN 55ste JAARGANG - NUMMER 6 - JUNI 016 Op vrijdag 3 september zal Nijmegen voor de 5e keer op rij overladen worden door gretige middelbare scholieren die vastberaden zijn

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde lympiade 200-20: eerste ronde. Waaraan is xyz + xyz + xyz gelijk? () 3xyz () 27xyz () x 3 y 3 z 3 () 3x 3 y 3 z 3 () 27x 3 y 3 z 3 2. Welke van volgende ongelijkheden is waar? () 2 > 0,5

Nadere informatie

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer. ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten

Nadere informatie

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is.

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is. 1 2 1 Wiskunde, zeker duimstok Timmerman Hoe lang iets is. Blokhaak: Timmerman Of een hoek haaks is. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. Zeven munten: een van 1-eurocent, twee van 2-eurocent,

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2009 tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten

Nadere informatie

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw . Bij een weerspiegeling in het water staat een beeld op zijn kop. ntwoord is dus zeker fout. De stand van de maan ten opzichte van de boom moet dezelfde blijven. Zo moet de holle kant van de maan het

Nadere informatie

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden

7.1 Symmetrie[1] Willem-Jan van der Zanden 7.1 Symmetrie[1] Al de drie figuren hierboven zijn lijnsymmetrisch; Je kunt ze op één of meerdere manieren dubbelvouwen zodat de ene helft het spiegelbeeld van de andere helft is; De vouwlijn heet de symmetrieas/spiegelas;

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie