HET BENADEREN VAN DE NORMALE VERDELING. J.R. Maassen

Transcriptie

1 NN NTA 048 aprl 978 BBLï?--; 9 r f* "-» * f Drevcnda^lscsk-e»* : >a Pstbus A Wagenngen HT BNADRN VAN D NRMAL VRDLING J.R. Maassen Nta's vanhet Insttuut zjn n prncpe nterne cmmuncatemddelen, dus geen ffcële publkates. Hun nhud vareert sterk en kan zwel betrekkng hebbenp een eenvudge weergave van cjferreeksen, als p een cncluderende dscusse van nderzeksresultaten, In de meeste gevallen zullen de cncluses echter van vrlpge aard zjn mdat het nderzekng net s afgeslten. Bepaalde nta's kmen net vr verspredng butenhet Insttuut n aanmerkng (^If "L

2 INHUD bla. INLIDING! BNADRINGVLGNSHASTINGS HT VRBAND MTDNRMAL VRDLING 5 DINVRS FUNCTI 6 TPASBAARHID 7 PRGRAMMARRR 9 LITRATUUR 0 BIJLAGN

3 à INLIDING Het berekenen van kansen van een nrmale verdelng kan net rechtstreeks.de rzaak hervan shet fet dat de ntegraal de de verdelng beschrjft net plsbaar s. De numereke waarde van kansen van een nrmale verdelng s te verkrjgen ut numereke ntegrate f ut benaderngsfrmules. Her werd gewerkt met benaderngsfunctes zals de ntwkkeld zjn dr HASTINGS (955). BNADRING VLGNS HASTINGS Hastngs geeft een benaderngsfrmule vr de nde fysca bekend zjnde zgenaamde errr-functe welkemet de nrmale verdelng verwant s. $ (x) = [*-t Z TTT e C dt () waarbj x f pstef reëel en endg e»bass van het natuurljk lgarthmenstelsel De benaderngsfuncte s alsvlgt pgebuwd: Inden waarn p = cnstante (ze fg-, en )

4 *() = /TT -t dt < < n = + p **() = - UjT + a^n + a n ) *'() p = a ] = a = a = fut 0 \ \.5 J / ' \.0 \ l l.s/^".0 r\rrr\ r > Fg.. Benaderngvandeerrr-functe meteene~graadsfuncte van n (vlgenshastings)

5 M) = _ VTT f -t'dt e 0 < < n = l + p $*() = - (ajn + a n +a n" + a 4 n A )«'() P =.8965 fut j =.7758 a = a = a. = Fg..Benaderngvandeerrr-functemeteen4e-graadsfuncte van n (vlgenshastings)

6 *() = "AT -tdt < < «+ D 4 5 $*() = - (an + a n + an + a 4 n + a 5 n ) $'() p =.759 a l = a = a = a 4 = a r = fut, r u - Fg..Benaderngvandeerrr-functemeteen5e-graadsfuncte van n (vlgenshastings)

7 dan wrdtalsbenaderngvrdeerrr-functegegeven $*(x) = -c(n).$'(x) () waarn $'(x) deafgeledes van $(x) naar x en c =eenfuncte van r In ()sdan $' (x) = -r e VTT -x Afhankeljkvandegewenstenauwkeurghed,wrdtdrHastngs een e-,4e-f5e-graadsfuncte van r\ gegeven.infg., en sdezefunctenaderutgewerkt.tevenss bjelkefguurdefut weergegevendebjdebetreffendebenaderngwrdtgemaakt. pvallend sdatbj waarden van xdegrterzjndan,50 de gemaaktefutzeersnelnaar 0 lpt. HT VRBAND MT DNRMAL VRDLING Deerrr-functe $hudtalsvlgtverbandmetdecumulateve nrmaleverdelngf: $(x) = F(x/) - (4) waarn F (...) =verdelngsfunctevandenrmaleverdelng met verwachtng 0en varante dus F(x/) =4( + *(x)} (5) Metdebenaderngenvr $ dr $*geeftdt F*(x/) = (\ + <S>*(x)} en,n verbandmet (.), = {{ - c(n).*'(x)}

8 Stelnudat _u nrmaalverdeeld s metparameters Wen, dan sdetransfrmatenaardestandaard-nrmaleverdelngdefuncte F(z) waarn a (6) Ut (4) vlgt x = 7 zdat Verdersgegevendat n = TTTö j +p dus de benaderng wrdt F* ( H_) = {- c ( n ).*» >} l, WT (^j DINVRS FUNCTI Utgaande vandenrmaleverdelng shetmgeljkmvaneen verschrjdngskansdebjbehrendedrempelwaardex(q)terugte berekenen. x(q) Fg.4. p =kanspeen waarde $ x(q) q = > x(q)

9 As wede kansdateen varabeleeen waaddeklenerfgeljk x, aanneemtgeljkstellenaan p, dansdekansdatdtnetgebeurt geljkaan-p, hetgeen we qnemen (gearceerd n fg. 4) Nugeldt an (q) e rt ' (?) DrHASTINGSwrdtgestelddatals n «/Ïnl-L) (8) q een benaderngvr x(q) gegevenkan wrdendr *(q) = n - d(n) 9) Herns deenratneleegraad«functe vann. Infg- 5s determ d gegevenensdefutweergegevende bj debenaderngwrdt gemaakt. TPASBAARHID Geblekensdatdetepasbaarhedvandefunctes vanhastings grts. Bvendenzjndefunctesgemakkeljkengedkpte prgrammeren.dtwasaanledng tenbeheve vaneenneers^ag-rnderzek hetprgrammarrrte ntwkkelen. Vrhetbepalen van kansenneennrmaleverdelngbleekdefrmule vanhastngseen zeergedebenaderng tezjn. Zelfsznauwkeurgdathetnet mgeljkbleekpdecnventnele maner,dts vanumereke ntegrate vlgensdesymplex^meçhde, eenevennauwkeurgresultaat te verkrjgen, bnnendezelfdegrenzen,zwelwatbetreftcmputertjd alscmputerksten.bjstapgrtte van 0 bleekdecybr-»cmputer vaniwis-tnal meer dan uurrekentjd ndgte hebbenmvaneen relatefklenntervaldecumulatevekanste berekenen.zelfs dan

10 kwamerngeen vrjgrtennauwkeurghed n deresultaten vr, DebenaderngvanHastngssdaarentegenaltjd tt mnstens 6 decmalennauwkeurg, wrdtdrektberekend engaatbnneneen fracte vandetjdbendgdvrhetntegreren. I - t dt 0 < q <.5 x(q) n / In *(q) = n - a Q +ajh + a n + b n + b n + b n a Q = Hj =.8085 b =.8969 a = ,0004 fut Fg.5.Benaderngvandedrempelwaardemeteene-*graads functe van n (vlgenshastings)

11 PRGRAMMARRR HetprgrammaRRRszdangntwkkelddat menerkansenen drempelwaarden meekan berekenenvrverdelngendeal dannet afgekntzjn. Vrwaardesdatde verdelngenwelnrmaalzjn. Tevensshet mgeljkdeverwachtngswaardevanafgekntte verdelngente berekenen. Vrhetberekenen vankansens debenaderng utfg. gebrukt,mdatdezehetnauwkeurgst s. Hetberekenen vandeverwachtngswaardenderafknttng,zalaandehandvan fg. 6 dudeljk wrden. Fg.6.Vrbeeldvaneenafgekntte verdelng Stelwehebbeneennrmaleverdelngmetverwachtngswaarde p. Alsnubekendsdat waardendeklener zjndan x netkunnen vrkmen,dankunnen wedeverdelngbeschuwenalszjndeafgeknt n hetpunt x. Hets dankdudeljk,datalshetgearceerde gedeeltenfg. 6 net 'meedet', hetgemddelde, dusde verwachtngswaarde (x),naarrechtspschuft.dezeneuwewaarde(x) wrdtn prgrammarrrk berekend. Afhankeljkvanwat menndeeerstegegeven-kaartpgeeft, wrdt eenaantalberekenngenutgeverd.indezeeerstegegeven-kaartwrden glbalegegevensaan de cmputerverstrekt,den vlgendekaarten gespecfceerdmetenwrden. Wrdtb.v.ndeeerstegegeven-kaart pgegevendatde verdelngnetstandaard-nrmaals, dan meten

12 ndetweedegegeven-kaartdeparametersvande verdelngwrden gespecfceerd.wrdtpgegevendatde verdelng s afgeknt, dan met neen vlgendekaartpgegevenwrden n welkpuntde verdelngs afgeknt.venzmetn deeerstegegeven-kaartpgegeven wrdenwelkebewerkng menutgeverdwlhebben:het berekenen vannderschrjdngskansen,hetberekenen vande verwachtngswaardenderafknttng,fhetuteenptegeven verschrjdngskans terugberekenenvande drempelwaarde. Wl meneencmbnatevanbewerkngenutlaten veren, dan sdtk mgeljk.aandehandvanvrbeeldenndebjlagen wrdtdt verdudeljkt. LITRATUUR HASTINGS, C, 955. Apprxmatnsfrdgtal cmputers, Prncetn UnverstyPress, Prncetn, New Yersey, pp.0 0

13 bjlage Terverdudeljkngvandepste vandegegevensppnskaart staandekaartklmnummersvermeld pdenput-vrbeelden. vrbeeld nr. vann/utputprgrammarrr Indeprgramma-besturngskaart wrdtpgegevendatallebewerkngen gewenstzjn. Indee kaartwrdendeparameters vande verdelngpgegeven Indeekaartwrdtpgegevenwaarde verdelng safgeknt Inde4ekaartwrdteenaantalwaardenpgegevenwaarvrde nderschrjdngskansmetwrdenberekend In de5e kaartwrdtdeverschrjdngskans pgegeven, waarvr de bjbehrendedrempelwaarde metwrdenberekend.

14 bjlage vervlg s c S N. -e CG ;!! «CM ; _! S T -z.! r C J C t <S CM ; LL! F! _ :! S 0-- _l C CM I CC _ C <! et: -r : j"t"t <C CM <C SI S C L

15 vervlg bjlage s! t- C : es «es l KS * * n - M rn y _l a et I> Cl «I > CTJ Ä - uj ce a. ^r!"r"' <x,. : 0_ et A- U r>!: en!:! cr a. Lu a :! "*"> LÜ! -..' c r> ts a ** -. dl u!ü r> V en :! G! II n H- -^ h- : ü U. <T C Z ( _j C5 cc: :> s K K' es; 5 0".: -r: N. - - % N. (S c «- - G-I -? T L0 CK S a T" I - r 0- c - 0 CM œ -0 ««<«r S M «W S c S!! l. Lf. C C N. - K «h- cc 0 Q S h- : ID a. - Z:! :! r- H- z. ü Lu <I CC : er: œ en : M l CJ <z et a -T N. <! 0 cc zs _l a. CC Û Û I-- CC "*- < ;_ *; : :> Lü _j - LL L. L «>- C 0. : 0 0 x en ac <* ; K -< LL. Q Û <Z cc n 0 M Cd x C: cc: CJ -. cc: ; es TJ z> : Q >~ n 0 - UJ ca

16 bjlage vrbeeld nr. van n/utputprgrammarrr Indeprgramma-besturngskaart wrdtpgegevendatdeverdelng standaard-nrmaal ennetafgeknts. Gevraagdwrdtkansenen dedrempelwaarde,behrendbjeenpte gevenverschrjdngskans, te berekenen. Indeekaartwrdteenaantalwaardenpgegevenwaarvrde nderschrjdngskansmetwrdenberekend Indeekaartwrdtdeverschrjdngskans pgegeven, waarvr debjbehrendedrempelwaardemetwrdenberekend. 5

17 bjlage vervlg C I! r--,»»!! s; : I w Cl C *-! Lü! I «! I n -r! I!!! I II!!! I C I Z.! I *-* I I! I H- I! «-!!! C! «h N I -! I CL. " Z.! j! UJ I N I -t. n! U *.*** n' LL Lu H» r"[ * * IlC N. ï «f-l C * <c c <L" CV v; -"!!! <C! * U.! < C! * * N! L t I ü.! J^ ;! 6

18 bjlage vervlg c L C >C I CC C* S! S ( «r HH C : II s* z n M N C z _J Û ce UJ > Û z :> c ce: U ~ Lu c «r ü_ U cc <z <x _! U Cu UJ U U Cu U _J C cc z> -. * «Z Z > _ U c <c h- c z <z f z ÏC U <c H- Ul t- C t-t Z u-< _l cc U D- Cl» UJ Cs CC < -T l>» _l «-T Ld CM CV. fv rx cccc Û Lü Û -" hs H- cc -T *- c -r C S LTJ SD CM L «L *- -0 C L T «- L CM N. CM CM» N. CN CK * c c -<-» Ill M CU a. >- CC Û U H- U H- Ul Û """I «<«- -J L _J «- ««T* C CC»- z U ^ C Z Z CC CC ce: cc - a < - - * u z z U _ *~ S Lu U L > c _ z u y c cc «Z h- Hllû Û cc n -H Q ce:u u x ce:ce: U c *- - CC Z u n > CJ z U U -4 n M C 7

19 bjlage vrbeeld nr. van n/utputprgrammarrr Indeprgramma-besturngskaartwrdtpgegevendat vandestandaardnrmaleverdelngde verwachtngswaardenderafknttng met wrden berekend. In dee kaartwrdtpgegeven waarde verdelng s afgeknt. 9

20 bjlage vervlg Gl 0 C U0 _! Ld S UJ -z. Sl 00 f- Z. -l n S-l _J U Ü a: Û IS C* _l C N. ü H L ce: *r f CM Ï *- * * * u 0

21 bjlage vervlg ca es c < ca es cc C a I! C «*-* L C I- UJ CL H => z w.. H H- _J «M z zu. n >- >- x HH C D U. U N <t C- : K H- Q. w CJ Û _l u u z u H- H u u cc «- CC Û ÛH :> CC u. -IL _l L <t <CC -J'*" _J ^ <C.0 "«- <" 0 0 : : C V Z C CC CC < ZU Z> CCCC WH-- H- ZC C H-C H- C CC U I- h- 4 U H- -Z.-Z.-Z.-Z. Z U CC CC CC U <c 0 0 > w CC CC CC < CCCC CC CC 0. <C U < U

22 bjlage 4 vrbeeldnr. 4 van n/utputprgrammarrr In deprgramma-besturngskaart wrdtpgegevendatallebewerkngen gewenstzjn In deekaartwrdendeparametersvandeverdelng pgegeven Indeekaartwrdtpgegevenwaarde verdelng safgeknt Inde4ekaartwrdteenaantalwaardenpgegevenwaarvrde nderschrjdngskans metwrdenberekend Inde5ekaartwrdtdeverschrjdngskanspgegeven, waarvr debjbehrendedrempelwaardemetwrdenberekend.

23 bjlage 4 vervlg es c N. C S ' I w ^v. { c LJ ~J! _l! ÜJ z. \ H- c n. z.! U "*.'" n _J uu V. U! a S L! f { S) ' **! t SI «! C!! I S «CM! S «0- _ C N, ^ <! 5- L u -* <Ic <I CvJ ^ x-! I L S «r - W t! <CCVI! < C Lu Lu C L! <t I Ld Lü < ^ S ^ 4

24 bj lafe 4 vervlg ts (S a L l : c LÜ e cv!l n at z n ~-> N t û cc: IJ- c> <c :> en tx fc Lü <I.->- A z Lü Cf.' Lu. Lu cc Cl : Lü Z> a. : _l C ^> Q ce: r> IS c L -, S IS «04 > < ^ : ~*k _j C H- c <C "' l C! n -! V^ u. <C C -! _ C-j : *"> -a-! 04 S 0- > <c- C - Cs - «r a CC 0- fv s *r- 04 N. L S -T a s c S c SlIN S *- L Hf C 8 S - " " f 0 «œ S e S C * 55 < «0 s *«- 5! N. c MT 8 C C C " «S l» 0 S s l! Cu -T" S C C V** 9 C <c Cf Cl ca S V C! f Z. H- LÜ h- h-. LL. : U Cl Lu f^: S <c <c C ï U tx Z> Q CN - Cs II 04 Lü C' cc <x -J CL. tx cc r- l! R L * a 04 l_: < Z> Q S _l lt- u_ Lu L n -jc. *? *u t e "f Lu - M U_ a cc n M Û U CC x. cetx U D - CC* l > CJ Lu' >-f,n M 5