De Mathematische Slinger in zijn relatie tot Elektrische Trillingskringen.

Transcriptie

1 1 De Matheatische Slinger in zijn relatie tot Elektrische Trillingskringen. F. De Bisschop, ON4BIF 1. INLEIDING De studie van de z.g. Matheatische Slinger kadert in de fysica opleiding als toepassing van de allerbelangrijkste wet, et nae deze van behoud van energie : bij fysische/cheische processen tree ogelijks/algeeen ozetting plaats van een energievor naar een andere, zoals daar zijn de potentiele, kinetische, cheische, elektrische, therische energie, doch zonder enig verlies. energie Zo is het slingeren/vibreren van voorwerpen een proces waarbij enkel ozetting van kinetische in potentiele energie optree, vandaar dat en in dit verband spreekt van behoud van echanische energie en conservatieve krachten. Nota: Een andere - evenzeer belangrijke fysische wet - naelijk de tweede hoofdwet van de therodynaica, leert iers dat energie eenaal ogezet in warte, nooit volledig kan worden gerecupereerd et het oog op het leveren van arbeid/energie. In het geval van slingers is aan het behoud van echanische energie voldaan voor zover wrijving (in het ophangpunt en et de ogeving) en ozetting van echanische energie in warte verwaarloosbaar is. Het slingeren van een bolvorige assa (een z.g. kogel) opgehangen door iddel van een assaloze draad aan een wrijvingsloos ophangpunt en in een wrijvingsloos ediu (Fig. 1) gel in dit verband als voorbeeld. Fig. 1 : Links: assa () opgehangen aan een gewichtsloze en wrijvingsloze draad, slingerend in het gravitatieveld. Kleine uitwijkingen uit de evenwichtstoestand (x=0) zijn bij benadering gelijk aan de x- coördinaat : x(t). Rechts: slingerende assa (M) gedragen door een juk steunend op een draagvlak door iddel van een es.

2 Fig. 1 links betreft een geïdealiseerde situatie die in de loop der jaren bij staande/hangende klokken en ook bij balansen benaderd is, eer bepaald door inialisatie van de wrijving : dit wor bereikt door gebruik van een es vervaardigd uit hard etaal of edelsteen : dit laat toe het contact oppervlak zo klein ogelijk te aken: bij de studie van wrijvingskrachten leert en iers dat die wrijvingskrachten proportioneel zijn et de grootte van het contact oppervlak. Andere toepassingen hiervan vin en in de constructie van polsuurwerken ( jewels lagers vervaardigd uit industriële diaant) en zij het enigszins andere vor in het gebruik van kogellagers. De slingerbeweging in een dergelijk geïdealiseerd systee - zoals dat voorgesteld in Fig. 1 - kan dan worden onderzocht op grond van behoud van echanische energie zoals hierna verduidelijkt. Voorafgaand dient evenwel de exacte betekenis van een paar begrippen verduidelijkt: 1. De kinetische energie (U k ): dit is de energie die een voorwerp bezit uit hoofde van zijn assa () en zijn snelheid (v). Het is in feite de arbeid die een uitwendige krachtbron oet leveren o het voorwerp te versnellen van uit rust (begin snelheid) tot de eindsnelheid (v). Op grond van de wet van Newton bekot en inzake de daartoe vereiste kracht F u : F u =. a =. dv (1) De verplaatsing (x) voldoet verder aan : = v. () Zodat dv duk F u... v..v. dv (3) De kinetische energie (U k ) is dus de so/integraal van dergelijke bijdragen du k tussen de voorkoende snelheidsgrenzen (0, v).a.w. : U k = V v v. dv = (4) 0. De potentiele energie (U p ) (ogelijks terug winbaar.) is de arbeid te leveren door een uitwendige krachtbron o een voorwerp van uit een referentie positie in een welbepaalde (andere) positie te brengen. In een context van elastische krachten is U p gekend op basis van de wet van Hooke. Deze (epirische) wet leert dat de (uitwendige) kracht F u (x) vereist o een elastisch voorwerp uit zijn evenwichtstoestand (x = 0) te verplaatsen over een afstand x, proportioneel is et die verplaatsing :

3 3 F u (x) = k. x (5) waarin k de z.g. veerconstante voorstelt. De potentiele energie van de assa verplaatst over een afstand x is dan per definitie het product van dergelijke verplaatsingen () et de kracht die daarvoor vereist is, gesoeerd over de totale verplaatsing : 1 Up k x k x x (6) 0. HET MATHEMATISCH MODEL. De wet van behoud van echanische energie kan op grond van het voorgaande in deze context worden saengevat als: 1 1 v k x const. (7) Voor de tijdsafgeleide van (7) bekot en aldus: d 1 1 v k x 0 of dv. v. k. x. 0 (8) Daar per definitie v en a dv d x volgt hieruit de z.g. bewegingsvergelijking, i.e. een forulering van de wet van Newton : k. x of d x k.x (9) Deze betrekking leert dat de verplaatsing x(t) als tijdsfunctie oet voldoen aan de vereiste dat de tweede afgeleide op een constante na gelijk is aan de functie zelf. Bovendien dient die functie ook nog periodiek te zijn. O die redenen kan enkel een sinusoïde en/of cosinusoïde voldoen, vandaar dat en stelt : x(t) X sin( t ) (10) et X : aplitude; pulsatie fase-constante. Met het oog op het invoeren van (10) in (9) bekot en dan achtereenvolgens:

4 4 X cos( t ) (11) En : waaruit, op grond van (9) : X sin( t ). x(t) (1) k of k (13) T waar T de slingerperiode voorstelt. Volledigheidshalve bepalen we nu ook nog de constante k voor de slinger in Fig.1. In Fig. is die figuur vervolledigd et aanduiding van de krachten aanwezig op de slingerende assa en die zodoende de terugroepende kracht F res. bewerkstelligen. Aan de hand van die figuur erken we op dat verits de hoek en de uitwijking x klein zijn, gel dat : x sin L waar L de lengte van de ophangdraad voorstelt, en waar de hoek a uitgedrukt is in radialen. Fig. : Kleine verplaatsingen uit de evenwichtstoestand (de booglengte afgesneden op de kogelbaan) zijn bij benadering gelijk aan de x-coördinaat van de assa. De resulterende kracht is dan parallel et de x as. Verder beerken we dat de resulterende kracht F res. (de terugroepende kracht ) te vinden is als : x (15) F res.. g. sin. g. L

5 5 Hierbij beerkt en dat de resulterende kracht tegengesteld gericht is aan de verplaatsing. Na vergelijking et het eerder resultaat in (9) volgt inzake de gezochte constante k en de slingerperiode: k g en dat L g (16) T L Dit is precies het verband waarop het functioneren van verschillende types van uurwerken en hun afregeling is gebaseerd. Aan de hand van ditzelfde verband blijkt dan ook de ogelijkheid o de verandering van de gravitatieversnelling te onderzoeken, op grond van etingen van de periode T. 3. VERDERE SULTATEN a. De Gedepte Trilling In het voorgaande is aangetoond dat de wet van behoud van energie en de wet van Newton beide leiden tot het foruleren van de z.g. bewegingsvergelijking, i.e. vgl. 9., en dat op grond van die vergelijking relevante inforatie bekoen wor inzake de krachtconstante (k) en de periode (T) van de ideale/atheatische slinger (vgl. 16). Van groot belang is het feit dat inzake niet-ideale slingers,.a.w. inzake reële assa - veer systeen, op grond van dezelfde bewegingsvergelijking opnieuw de gezochte inforatie bekoen wor. Zo lui de bewegingsvergelijking (i.e. de wet van Newton) voor een gedepte trilling zoals die voorkot bij aanwezigheid van wrijvingskracht: d x kx b (17) waarin de ter b de wrijvingskracht voorstelt, tegengesteld aan de snelheid. In dit geval verwachten we een oplossing voor x(t) van de gedaante : t x(t) X e sin( 't ) (18) waarin de exponentiele ter de deping in rekening brengt (Fig. 3).

6 6 Fig. 3: Gedepte trilling x(t). De pulsatie ' is kleiner (periode T is groter) dan in het geval van de niet gedepte trilling (zie vgl. 19 hierna). De tijdsconstante voldoet aan b. Net zoals in het voorgaande (vgl. 11, 1 en 13) kan et de voorgestelde oplossing (vgl. 18) inbrengen in vgl. 17, o na enig rekenwerk het volgende resultaat te bekoen, analoog et vgl. 17 : k b ' T (19) Deze analyse van de gedepte trilling kent tal van toepassingen in huishoudelijke apparatuur, o.. in het functioneren van balansen en in de beoordeling van de staat van de vering van otor voertuigen ( k : veerkracht; b : staat v.d. schokdepers). a) De Gedwongen Trilling. Onderhouden en/of gedwongen trillingen treden op wanneer een uitwendige periodieke kracht F(t) de energieverliezen ingevolge wrijving copenseert en zodoende een trilling veroorzaakt et constante aplitude. De pulsatie ( " ), de aplitude (F ) en de fase van de uitwendige kracht zijn vrij te kiezen, zodat de bewegingsvergelijking (i.e. de wet van Newton) te noteren is als : d x k x b F sin "t (0) waar in het rechter lid van de vgl. de terugroepende kracht, respectievelijk de wrijvingskracht en de pulserende kracht te herkennen zijn. De verplaatsing x(t) is zoals verwacht proportioneel et de grootte (F ) van de drijvende kracht en synchroon hieree :

7 7 F x(t) cos( "t ) (1) G waar de grootheid G vereist is voor diensie aanpassing en waar de fase constante eree rekening hou dat de verplaatsing x(t) en de drijvende kracht een fase verschil kunnen vertonen (start-tijdstip..). Het verder verloop van de analyse is precies zoals in de voorgaande gevallen : de voorgestelde oplossing (vgl. 1) wor ingevoerd in de bewegingsvergelijking, waarbij na enig rekenwerk volgende betrekking inzake de grootheid G bekoen wor : G ( " ) b " 1/ () Belangrijk in dit verband is dat in deze betrekking het sybool de pulsatie van de ongedepte trilling voorstelt. Meer nog : in die gevallen waar de deping gering is (i.e. bij kleine b-waarden) neet de grootheid G en de noeer in het rechter lid van vgl. 1 zeer kleine waarden aan zodra " de pulsatie benadert : in die ostandigheden wor de aplitude van de gedwongen trilling zeer groot en is er sprake van resonantie. De wijze/ate waarop de aplitude van de gedwongen trilling afhangt van de pulsatie en van de grootte van de wrijving is op grond van vgl. 1 en vgl. te berekenen, b.v. voor verschillende waarden van de wrijvingscoëfficiënt (b) : zodoende bekot en de frequency response (Fig. 4) van het systee. Fig. 4: Trilling aplitude als functie van de pulsatie d van de drijvende kracht in verhouding tot de pulsatie van de ongedepte trilling, voor verschillende waarden van de deping coëfficiënt (b) (cfr. Fundaentals of Physics, Halliday & Resnick & Walker, 5th. Ed.pp , ISBN ).

8 8 Het resultaat voorgesteld in Fig. 4 kot de electronicus bekend voor : deze inforatie en het bovenstaande was wel degelijk de aanloop tot een gelijkaardige analyse van elektrische trillingskringen, et finaal de forulering van begrippen zoals de kwaliteitsfactor van die kringen als resultaat. Finale operking: het bovenstaande heeft niets te aken et het resonantie verschijnsel in gespannen kabels, touwen, snaren en evenin et resonantie van luchttrillingen, waarbij (in beide gevallen) het voorplantingsediu van golfverschijnselen een belangrijke rol speelt. ================================