Toegepaste mechanica 1. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Transcriptie

1 Toegepaste mechanica 1 Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar 29-21

2 Inhoudsopgave Vectorrekenen 5 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Statica van enkelvoudige lichamen 14 Oefening Statica van samengeselde lichamen 16 Oefening Kinematica van een punt 18 Oefening Oefening Oefening Kinematica van een lichaam 22 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening

3 Oefening Oefening Oefening Oefening Postulaten van Newton 37 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Impulswet - Energiewet 5 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening

4 Vlakke dynamica van voorwerpen 7 Oefening Oefening Oefening Oefening Virtuele arbeid 75 Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening

5 Vectorrekenen Oefening 1 Vectoren a = e x + e y + e z en b = 3 e x + 2 e y + e z zijn gegeven. 1. Bepaal de richtingscosinussen van a en b 2. Bepaal 3 a 2 b 3. Bepaal a b 4. Bepaal a b 5. Welke hoek maken de vectoren a en b met elkaar? 6. Zoek een eenheidsvector loodrecht op a en b. 7. Bepaal de loodrechte projectie a b van de vector a op de as die de richting en zin heeft van de vector b. Oplossing - 1 Om de richtingscosinussen van a en b te bepalen, hebben we de grootte van deze vectoren nodig. a = = 3 b = = 14 (1) 5

6 De richtingscosinussen van a en b zijn dan de verhoudingen van de respectievelijke componenten tot de grootte van de vector. Voor a wordt dit dus: cos(α) = = 3 cos(β) = = 3 cos(γ) = 1 3 (2) = 3 3 En voor b wordt dat: cos(α) = 3 14 = cos(β) = = 7 cos(γ) = 1 14 (3) = Oplossing a b = = 1 1 = 3 e x e y + e z (4) Oplossing - 3 a b = = 6 (5) 6

7 Oplossing - 4 a e x e y e z b = = ( ) e x + ( ) e y + ( ) e z (6) = e x + 2 e y e z Oplossing - 5 Uit de definitie van het inwendig product ( a b = a b cos(α)) kunnen we de hoek α tussen de twee vectoren halen. a b cos(α) = 6 6 cos(α) = α = cos 1 ( 7 ) α = 22 (7) Oplossing - 6 Een vector loodrecht op 2 andere vectoren is te vinden door het vectorieel product van beide vectoren te nemen. Er is een eenheidsvector gevraagd, dus delen we deze vector door zijn lengte. Dit geeft dus: c = a b a b = e x + 2 e y e z a b 6 = 6 ( e x + 2 e y e z ) (8) Oplossing - 7 De loodrechte projectie van a op b is gelijk aan een vector in de richting van b met als lengte het inwendig product van a met een eenheidsvector in de richting van b. Dit geeft dus: a b = ( a b b ) b b = 6 14 (3 e x + 2 e y + e z ) (9) = 9 7 e x e y e z 7

8 Oefening 2 Welke hoek maken de vectoren a = e x + 2 e y + 3 e z en b = 3 e x 2 e y e z met elkaar? Oplossing Uit de definitie van het inwendig product ( a b = a b cos(α)) kunnen we de hoek α tussen de twee vectoren halen. a b cos(α) = veca b ( 1) 2 + ( 2) 2 + ( 3) 2 cos(α) = 1 ( 3) + 2 ( 2) + 3 ( 1) cos(α) = 1 14 α = cos 1 ( 5 7 ) α = 136 (1) Oefening 3 De vector a heeft een lengte 7 en a x = 2, a y = 3. Bepaal a z en de drie hoeken met de coördinaatassen α (met de x-as), β (met de y-as) en γ (met de z-as). Oplossing a = a x2 + a y2 + a z2 = a 2 z = 49 a 2 z = 36 a z = ±6 (11) De hoeken met de coördinaatassen kunnen we bepalen aan de hand van de richtingscosinussen. Voor de hoek met de x-as geeft dit dus: cos(α) = 2 7 α = cos 1 ( 2 7 ) (12) α = 73 8

9 Voor de hoek met de y-as wordt dat: cos(β) = 3 7 β = cos 1 ( 3 7 ) (13) β = 65 Voor de hoek met de z-as wordt dat: cos(γ) = ±6 7 γ = cos 1 ( ±6 7 ) γ = 31 of 149 (14) Oefening 4 De vector a heeft een lengte 7 en maakt een hoek van 3 met de x-as. a y = 3. Bepaal a x, a z, β (de hoek met de y-as) en γ (de hoek met de z-as). Welke zijn de richtingscosinussen van deze vector? Oplossing Uit de hoek met de x-as kunnen we a x halen: cos(α) = a x a cos(3 ) = a x 7 3 a x = 7 2 a x = (15) Uit de definitie van de lengte van een vector kunnen we a z halen: a = a x2 + a y2 + a z2 = a 2 z = 49 4 a 2 z = 3.25 a z = ±1.83 (16) 9

10 β kunnen we uit de richtingscosinus met de y-as halen: cos(β) = 3 7 β = cos 1 ( 3 7 ) (17) β = 65 γ kunnen we uit de richtingscosinus met de z-as halen: ±1, 83 cos(γ) = 7 γ = cos 1 ( ±1.83 ) 7 γ = 75 of 15 (18) Bij het berekenen van de hoeken vinden we ook meteen de richtingscosinussen. Deze zijn: cos(α) = cos(3 ) = 3 2 cos(β) = cos(65 ) = 3 7 cos(γ) = ±cos(75 ) = ±1,83 7 Oefening 5 Welke hoek vormt de vector a = b + c met het xy-vlak? b = 2 e x e y + 3 e z en c = 2 e x + e y + 3 e z. Oplossing De hoek van een vector met het xy-vlak is gelijk aan het complement van de hoek van deze vector met de z-as. Deze hoek kunnen we bepalen aan de hand van de richtingscosinus van γ. Hiervoor moeten we allereerst a bepalen. Dit geeft dus: a = b + c a = (2 + 3) e x + ( 1 + 1) e y + (3 + 1) e z (19) a = 5 e x + 4 e z 1

11 Hieruit kunnen we nu γ berekenen: cos(γ) = γ = cos 1 ( 4 41 ) (2) γ = 51 De hoek met het xy-vlak is het complement van γ. Dit is dus: θ = 9 γ θ = 39 (21) De vector a maakt dus een hoek van 39 met het xy-vlak. Oefening 6 Ontbind de vector G uit nevenstaande figuur in zijn componenten volgens e x en e y. Schrijf het resultaat als functie van G en de hoek α. Oplossing Als we G laten aangrijpen in de oorsprong van het assenstelsel, kunnen we de componenten aflezen zoals op een goniometrische cirkel. Dit wordt dus: G x = G sin(α) G y = G cos(α) G is dus gelijk aan G sin(α) e x + G cos(α) e y. 11

12 Oefening 7 Ontbind de vector G uit nevenstaande figuur in zijn componenten volgens e x en e y. Schrijf het resultaat als functie van G en de hoek α. Oplossing Als we G laten aangrijpen in de oorsprong van het assenstelsel, kunnen we de componenten aflezen zoals op een goniometrische cirkel. Dit wordt dus: G x = G cos(α) G y = G sin(α) G is dus gelijk aan G cos(α) e x + G sin(α) e y. Oefening 8 Ontbind de vector G uit nevenstaande figuur in zijn componenten volgens e x en e y. Schrijf het resultaat als functie van G en de hoek α. 12

13 Oplossing Als we G laten aangrijpen in de oorsprong van het assenstelsel, kunnen we de componenten aflezen zoals op een goniometrische cirkel. Dit wordt dus: G x = G cos(α) G y = G sin(α) G is dus gelijk aan G cos(α) e x G sin(α) e y. Oefening 9 De vector v raakt aan de cirkel met middelpunt O en straal R. Ontbind deze vector in zijn componenten volgens e x en e y. Schrijf het resultaat als functie van v en de hoek θ. Oplossing Als we v laten aangrijpen in de oorsprong van het assenstelsel, kunnen we de componenten aflezen zoals op een goniometrische cirkel. Aangezien de vector raakt aan de cirkel, moeten we er wel rekening mee houden dat de hoek gelijk is aan θ + 9. Dit wordt dus: v x = v cos(θ + 9 ) = v sin(θ) v y = v sin(θ + 9 ) = v cos(θ) v is dus gelijk aan v sin(θ) e x + v cos(θ) e y. 13

14 Statica van enkelvoudige lichamen Oefening 8 Een rechthoekig deksel ABCD met massa 4 kg wordt door het tegengewicht Q omhooggehouden onder een hoek van 6 met het horizontaal vlak. Bepaal de massa Q en de reactiekrachten in de scharnieren A en B. E ligt verticaal boven A en AC = AE. De scharnieren zijn driedimensionale scharnieren die een rotatie rond elke as toelaten. Oplossing De krachten die op het deksel inwerken zijn de volgende: de reactiekracht R A in A met een component in de x-, de y- en de z-richting de reactiekracht R B in B met een component in de x-, de y- en de z-richting het gewicht G in het midden van het deksel met een component in de z-richting de spankracht S in C in de richting van het touw met als grootte het gewicht van Q Dit geeft de volgende krachtenvergelijking: R Ax R Bx R Ay + R By + R Az R Bz 4 R A + R B + G + S = S cos(α) + = S sin(α) (22) 14

15 De hoek α is de hoek die EC maakt met de horizontale. De grootte hiervan is gelijk aan: α = AC 6 α = 75 6 (23) α = 15 De momentenvergelijking ten opzichte van A wordt: = ( r C r A ) S + ( r D r A ) G + ( r B r A ) R B e x e y e z = AC cos(6) AC sin(6) S cos(15) S sin(15) + e x e y e z AC cos(6) 2 4 e x e y e z + AB R Bx R By R Bz AC sin(6) 2 (24) = AC S sin(75) e y 2 AB e x + 2 AC cos(6) e y + AB R Bz e x AB R Bx e z Uit de x-component halen we: 2 AB + AB R Bz = R Bz = 2 (25) Uit de z-component halen we: R Bx = (26) Uit de y-component halen we: AC S sin(75) + 2 AC cos(6) = S = 13.5 (27) Aangezien S gelijk is aan de grootte van het gewicht van Q, weegt Q 1.35 kg. De reactiekrachten in de scharnieren worden dan: R Ax = S cos(15) R Bx = 1 R Ay = R By R Az = 4 S sin(15) R Bz = 173 R Bx = (28) R By = R Ay R Bz = 2 R A is dus gelijk aan (1, R Ay, 173) en R B is gelijk aan (, R By, 2). 15

16 Statica van samengeselde lichamen Oefening 9 De hefboom ABC wordt belast zoals aangegeven op de figuur. Het uiteinde A werd door middel van een veer aan de vloer verbonden. Hoe groot moet de veerkracht zijn om de hefboom in de getekende stand in evenwicht te houden? Het gewicht van de hefboom is te verwaarlozen. AB =.2 m, BC =.5 m, M = 5 Nm, F 1 = 5 N, F 2 = 4 N Oplossing De krachten die op de hefboom inwerken zijn de volgende: de veerkracht F v in A in de richting van de veer de reactiekracht in R B B de gegeven krachten F 1 en F 2 in C Als we de momentenvergelijking ten opzichte van B opstellen, geeft dat: = ( r A r B ) F v + ( r C r B ) ( F 1 + F 2 ) + M e x e y e z = AB F v e z + BC cos(3) BC sin(3) e z =.2 F v + 2 cos(3) 25 sin(3) 5 F v = 5535 (29) 16

17 De veerkracht moet dus 5535 N groot zijn. 17

18 Kinematica van een punt Oefening 1 Het v x (t)-diagram van een beweging ziet er uit zoals aangegeven op de figuur hiernaast. Welk van de vier onderstaande a x (t)-grafieken stemt hiermee overeen. Oplossing Aangezien de snelheid eerst constant is (versnelling is ), dan redelijk snel stijgt over een lang tijdsinterval (versnelling is positief), dan weer constant is (versnelling is ), en dan snel daalt over een kort tijdsinterval (versnelling is negatief), is dit de laatse grafiek. 18

19 Oefening 6 Een satelliet beweegt in een cirkelbaan rond de aarde. De hoeksnelheid ω van de satelliet is constant en gelijk aan.12 rad/s. De afstand r van de satelliet tot het middelpunt O van de aarde is 648 km. 1. Bepaal de snelheid en de versnelling van de satelliet in cartesische coördinaten op het ogenblik dat de satelliet zich in A bevindt (bij θ = 3 ). 2. De satelliet wordt vervolgens in een nieuwe baan gebracht. De satelliet bevindt zich nog steeds in A, maar krijgt bijkomend een tangentiële component van de versnelling a t + 1 m/s 2. Bepaal de componenten van de versnelling van de satelliet volgens x en y op dat moment. Oplossing - 1 De grootte v van de snelheid is gelijk aan de straal maal de hoeksnelheid (v = r ω). Dit geeft dus: v sin(θ) v = v cos(θ) sin(3) v = cos(3) (3) 3888 v =

20 De versnelling is de afgeleide van de snelheid. Dat geeft dus: a = d dt v v cos(θ) ω a = v sin(θ) ω cos(3).12 a = sin(3) a = 4.67 (31) Oplossing - 2 De bijkomende tangentiële versnelling heeft een grote van 1 m/s 2. Vectorieel wordt dit: 1 sin(3) a t = 1 cos(3) (32) 5 a t = 86.6 Als we dit optellen bij de versnelling verkregen in deel 1 van de oplossing, wordt dat: a = a n + a t a = a = (33) Oefening 9 In een 3 meter hoge kamer wordt vanuit een punt P (1 m boven de vloer) een bal gegooid met een beginsnelheid 7 2 m/s onder een hoek van 45 met de horizontale. De bal botst tegen het plafond in een punt Q. Zoek de afstand P Q. 2

21 Oplossing De enige kracht die op de bal inwerkt is zijn gewicht. De versnelling van de bal is dus gelijk aan: a = 1 (34) Dit integreren geeft de snelheid van de bal: v = a dt v x v = 1 t + v y 7 v = 1 t + 7 (35) Dit integreren geeft de positie van de bal: r = v dt 7 t + r x r = 5 t t + r y 7 t r = 5 t t + 1 (36) Het punt Q met als coördinaten (x, 3) is een punt van de baan. Dit geeft dus: { 7 t = x Q r(t) 5 t t + 1 = 3 (37) Dit uitwerken geeft: 5 t t + 1 = 3 5 ( x 7 )2 + 7 x = x2 x + 2 = x = 2.8 (38) De afstand tussen P en Q is dan gelijk aan: P Q = (2.8 ) 2 + (3 1) 2 P Q = 3.44 (39) 21

22 Kinematica van een lichaam Oefening 1 Op een roterende stang is een pin P bevestigd die glijdt in de verticale gleuf in het blok. Bepaal absolute snelheid, relatieve snelheid en sleepsnelheid van P indien het bewegende assenstelsel xy bevestigd is aan het blok. θ = 45, ω = 3 rad/s, OP =.5 m. Oplossing De sleepsnelheid is gelijk aan de snelheid van het bewegende assenstelsel ten opzichte van het wereldassenstelsel. Deze snelheid is dus gelijk aan de snelheid van het blok: v S = v S (4) De relatieve snelheid is de snelheid van P ten opzichte van het bewegende assenstelsel. Dit is dus de snelheid waarmee P omhoog of omlaag gaat in de gleuf: v R = v R (41) De absolute snelheid is de snelheid van P ten opzichte van O. Aangezien P aan de stang 22

23 vasthangt, is dit dus een cirkelbeweging: e x e y e z v A = ω OP cos(θ) OP sin(θ) ω OP sin(45 ) v A = ω OP cos(45 ) (42) Aangezien de absolute snelheid gelijk is aan de som van de sleepsnelheid en de relatieve snelheid wordt dat: v A = v S + v R ω OP sin(45 ) S ω OP cos(45 ) = v + v R (43) Of als we dat uitwerken: 2 v S = = v R = = 1.6 (44) Dit wordt dus: v A = 1.6 e x 1.6 e y v S = 1.6 e x v R = 1.6 e y Oefening 2 Op het blok is een pin P bevestigd die glijdt in de gleuf in de roterende stang. Bepaal absolute snelheid, relatieve snelheid en sleepsnelheid van P indien het bewegende assenstelsel xy bevestigd is aan de stang. θ = 45, ω = 3 rad/s, OP =.5 m. 23

24 Oplossing De sleepsnelheid gaat volgens een cirkelbeweging van P rond O. Dit is: e x e y e z v S = ω OP cos(θ) OP sin(θ) ω OP sin(45 ) v S = ω OP cos(45 ) (45) De relatieve beweging van P is naar rechtsboven volgens de gleuf. De relatieve snelheid wordt dan: v R cos(45 ) v R = v R sin(45 ) (46) De absolute snelheid is de som van de vorige twee en staat horizontaal geöriënteerd. Dit wordt dus v A = v S + v R A ω OP sin(45 v ) v R cos(45 ) = ω OP cos(45 ) + v R sin(45 ) (47) Dit uitwerken geeft: ω OP cos(45) v R = sin(45) = 1.5 v A = ω OP cos(45 ) + v R cos(45 ) = 2.12 (48) 24

25 De relatieve snelheid is dus gelijk aan: v R cos(45 ) v R = v R sin(45 ) 1.6 v R = 1.6 (49) Dit wordt dus: v A = 2.12 e x v S = 1.6 e x 1.6 e y v R = 1.6 e x e y Oefening 3 De stang OP roteert met hoeksnelheid ω en drijft zo het blok aan. Bepaal absolute snelheid, relatieve snelheid en sleepsnelheid van P indien het bewegende assenstelsel xy bevestigd is aan het blok. θ = 45, ω = 3 rad/s, OP =.5 m. Oplossing De sleepsnelheid van P is gelijk aan de snelheid van het bewegende blok: v S = v S (5) De relatieve snelheid van P gaat volgens een cirkelbeweging van P rond het punt waarmee de stang aan het blok hangt. Dit wordt dus: e x e y e z v R = ω x cos(θ) x sin(θ) (51) ω x sin(45 ) v R = ω x cos(45 ) 25

26 met x de lengte van de stang die P met het blok verbindt. De absolute snelheid van P gaat volgens een cirkelbeweging van P rond O. Dit wordt dus: e x e y e z v A = ω OP cos(θ) OP sin(θ) (52) ω OP sin(45 ) v A = ω OP cos(45 ) Deze absolute snelheid is gelijk aan de som van de vorige twee: v A = v S + v R ω OP sin(45 ) S ω x sin(45 ω OP cos(45 ) = v ) + ω x cos(45 ) (53) Als we dit uitwerken geeft dat: v Rx = v Ry = ω OP sin(45 ) = 1.6 v S = v Ax v Rx = = 2.12 (54) Dit wordt dus: v A = 1.6 e x 1.6 e y v S = 2.12 e x v R = 1.6 e x 1.6 e y Oefening 4 Een stang roteert met hoeksnelheid ω en drijft zo het blok aan. Op het blok is een pin P bevestigd. Bepaal absolute snelheid, relatieve snelheid en sleepsnelheid van P indien het bewegende assenstelsel xy bevestigd is aan de stang. θ = 45, ω = 3 rad/s, de lengte van de aandrijvende stang =.483 m, de lengte van de korte stang =.129 m. 26

27 Oplossing De sleepsnelheid van P is een cirkelbeweging van P rond O. Om deze beweging vectorieel uit te drukken, moeten we eerst de afstand van P tot O en de hoek met de horizontale berekenen. Dit wordt (volgens de stelling van Pythagoras): OP = OP =.5 (55) Om de hoek met de horizontale te berekenen, moet eerst de hoek P OA = α (met A het punt in de scharnier tussen de lange en korte staaf) berekend worden. Dit geeft (volgens de sinusregel): sin(α) = sin(oap ) AP OP sin(9).129 sin(α) =.5 α = sin 1 (.258) α = 15 (56) De hoek met de horizontale wordt dan = 3. Aangezien de lange stang naar onder draait, wordt de sleepsnelheid gelijk aan: e x e y e z v S = ω OP cos(α) OP sin(α) OP ω sin(45 α) v S = OP ω cos(45 α) v S = v S = 1.29 (57) De relatieve snelheid is een cirkelbeweging van P rond A. Aangezien AP loodrecht staat op OA, staat de relatieve snelheid evenwijdig met OA gericht. Aangezien P aan het blok vasthangt, is de absolute snelheid van P evenwijdig aan de horizontale gericht. 27

28 Aangezien we de grootte en richting van v S, de richting van v R en de richting van v A kennen, en we weten dat de absolute snelheid de som is van de relatieve en sleepsnelheid, kunnen we een snelheidsdriehoek opstellen. Hieruit kunnen we (via de sinusregel), de grootte van de relatieve en absolute snelheid halen. De snelheidsdriehoek ziet er als volgt uit: de grootte van de sleepsnelheid is = 1.5 de hoek tussen de absolute snelheid en sleepsnelheid is 9 + α = 12 de hoek tussen de absolute en relatieve snelheid is 45 de hoek tussen de relatieve snelheid en sleepsnelheid is = 15 De grootte van de relatieve snelheid wordt dan: v R sin(12) = v S sin(45) v R = 1.84 (58) Vectorieel wordt dit dan: v R cos(45) v R = v R sin(45) 1.29 v R = 1.29 (59) De absolute snelheid wordt dan: v A = v S + v R v A = v A = (6) Alles samen wordt dat dan: v A = 2.4 e x v S =.75 e x 1.29 e y v R = 1.29 e x e Y 28

29 Oefening 5 De staaf AB roteert in een verticaal vlak rond zijn uiteinde A met hoeksnelheid ω = 3 rad/s in de getekende stand. De puntmassa C glijdt tegelijkertijd over de staaf en over de cirkelvormige geleiding met straal R = 2 cm. Bepaal de absolute snelheid van C op het ogenblik dat θ gelijk is aan 6. Oplossing Als we het midden van de cirkel O noemen en het bewegende assenstelsel laten bewegen met de staaf AB geldt dat: v S is volgens een cirkelbeweging van C rond A v R is volgens de staaf AB v A is volgens een cirkelbeweging van C rond O Aangezien de hoeksnelheid ω gelijk is aan 3 rad/s, de hoek θ gelijk is aan 6 en AC = R en de driehoak AOC gelijkzijdig is, geldt dat: e x e y e z v S = ω AC cos(θ) AC sin(θ) AC ω sin(θ) v S = AC ω cos(θ) (61) v S = v S =.3 29

30 De grootte van de sleepsnelheid is dan gelijk aan: v S = v S =.6 (62) De richting en zin van de relatieve snelheid zijn gekend (naar onder volgens AB). Vectorieel wordt dit: v R cos(6) v R = v R sin(6) (63) De richting van de absolute snelheid is rakend aan de cirkel in C. Dit wil dus zeggen loodrecht op OC. Aangezien OC een hoek van 18 6 = 12 maakt met de horizontale, maakt de absolute snelheid een hoek van 3 met de horizontale. Vectorieel wordt dit: v A cos(3) v A = v A sin(3) (64) Uit deze gegevens kunnen we de snelheidsdriehoek opstellen. Dit wordt: de grootte van de sleepsnelheid is.6 de hoek tussen de absolute snelheid en de sleepsnelheid is = 6 de hoek tussen de absolute en relatieve snelheid is 9 6 = 3 de hoek tussen de relatieve snelheid en de sleepsnelheid is 9 Met behulp van de sinusregel kunnen we de grootte van de absolute snelheid als volgt berekenen: v A sin(9) = v S sin(3) v A =.6 (65).5 v A = 1.2 Uit de richting van de absolute snelheid kunnen we de vectoriële componenten halen: v A cos(3) v A = v A sin(3) 1.4 v A =.6 (66) Oefening 6 De staaf OA van een vierstangenmechanisme heeft een hoeksnelheid ω van 6 rad/s (tegenwijzerzin). Bepaal voor de aangegeven stand (AB evenwijdig met OC) de hoeksnelheid van de staaf BC. OA = 35 cm en AB = 6 cm. 3

31 Oplossing Laat het bewegende assenstelsel met OA mee bewegen. Dan geldt: de sleepsnelheid is volgens een cirkelbeweging van B rond O de relatieve snelheid is volgens een cirkelbeweging van B rond A de absolute snelheid is volgens een cirkelbeweging van B rond C Om de sleepsnelheid te berekenen moeten we dus eerst de afstand OB en de hoek BOC = α berekenen. Voor de lengte wordt dit (volgens de cosinusregel): OB 2 = OA 2 + AB 2 2 OA AB cos(oab) OB = OB =.883 (67) En voor α wordt dit (volgens de sinusregel): sin(45 α) AB = sin(oab) OB sin(45 α) = α = sin 1 (.48) α = 16.3 (68) Aangezien de sleepsnelheid rakend is aan de cirkel van B rond O, kunnen we dit vectorieel uitdrukken als: e x e y e z v S = ω OB cos(α) OB sin(α) OB ω sin(α) v S = OB ω cos(α) (69) 1.49 v S = 5.8 De grootte van de sleepsnelheid wordt dan: v S = v S = 5.3 (7) 31

32 De richting en zin van de relatieve snelheid zijn gekend. Aangezien dit volgens een cirkelbeweging van B rond A is, staat deze recht naar onder. Vectorieel wordt dit: v R = v R (71) De richting en zin van de absolute snelheid zijn gekend. Aangezien dit volgens een cirkelbeweging van B rond C is, wordt dit vectorieel: v A sin(6) v A = v A cos(6).87 v A (72) v A =.5 v A Uit deze gegevens kunnen we de snelheidsdriehoek opstellen. Dit wordt: de grootte van de sleepsnelheid is 5.3 de hoek tussen de absolute snelheid en de sleepsnelheid is = 43.7 de hoek tussen de absolute en de relatieve snelheid is = 12 de hoek tussen de relatieve snelheid en sleepsnelheid is 16.3 Met behulp van de sinusregel kunnen we de grootte van de absolute snelheid als volgt berekenen: v A sin(16.3) = v S sin(12) v A = (73).87 v A = 1.71 Om de hoeksnelheid te weten moeten we volgende formule toepassen: v A = ω R (74) met R de straal van de cirkel waarin de hoeksnelheid plaatsvindt. In dit geval wil dat zeggen BC. Om deze lengte te berekenen, moeten we eerst de afstand h tussen de twee horizontalen weten. Dit wordt: h = OA sin(45) h =.247 (75) Volgens de sinusregel wordt de lengte BC dan: BC sin(9) = h sin(6) BC = BC =.28 (76) 32

33 De hoeksnelheid wordt dan: v A = ω R ω = ω = 6 rad/s (77) Oefening 7 In het vlakke stangenmechanisme voorgesteld in de figuur draait OA rond het vaste scharnier O. AB is scharnierend verbonden met OA in A en met BC in B. BC draait rond het scharnier C, die verbonden is aan een schuif die glijdt langs OC. Indien OA rond O draait met een hoeksnelheid ω = 15 rad/s en de snelheid van C naar rechts gericht is en een grootte v C = 4.5 m/s heeft, bereken dan de absolute snelheid van B. OA = BC = 3 cm, AB = 4 cm. Oplossing Dit systeem bestaat uit twee samengestelde bewegingen. Eën waarbij B bekeken wordt ten opzichte van O en A, en ëën waarbij B bekeken wordt ten opzichte van C. Als we een bewegend assenstelsel in C zetten, dan is de sleepsnelheid van B gelijk aan: v S1 = v C 4.5 v S1 = (78) De relatieven snelheid van B is gelijk aan een cirkelbeweging van B rond C. Dit wordt dus: e x e y e z v R1 = ω BC cos(θ) BC sin(θ) (79).3 sin(3) ω v R1 =.3 cos(3) ω Deze relatieve snelheid is gelijk aan de samengestelde beweging van B rond O en A. Als we 33

34 een bewegend assenstelsel met OA laten meebewegen, is de sleepsnelheid gelijk aan: e x e y e z v S2 = ω OA cos(θ) OA sin(θ) ω.3 sin(3) v S2 = ω.3 cos(3) 2.25 v S2 = 3.9 (8) De relatieve snelheid van B rond A staat loodrecht op AB. Vectorieel wordt dit dus: v R2 = v R2 (81) De som van deze twee is gelijk aan de eerder bekomen relatieve snelheid. Dit wordt dus: Als we hier ω uithalen, wordt dat: v R1 = v S2 + v R2.3 sin(3) ω cos(3) ω = v R2.3 sin(3) ω = ω 2.25 =.3 sin(3) ω = 15 (82) (83) De hoeksnelheid is dus tegengesteld aan ω maar met dezelfde grootte. De absolute snelheid van B wordt dan: sin(3) ω v B = +.3 cos(3) ω (84) 2.25 v B = 3.9 Oefening 8 Een mechanisme bestaat uit een arm AB die draait rond A en via de staaf BC een wieltje doet rollen over een horizontaal vlak op 1 m onder A. Bereken de hoeksnelheid van de staaf BC (ten opzichte van AB) en van het wieltje op het ogenblik dat C verticaal onder A passeert. AB = BC =.5 m, R =.2 m, ω AB = 2 rad/s 34

35 Oplossing Als we een bewegend assenstelsel met AB laten meebewegen, is de sleepsnelheid gelijk aan: e x e y e z v S = ω.8.8 ω v S = (85) 1.6 v S = Aangezien de absolute snelheid van C horizontaal is, is dit gelijk aan de sleepsnelheid, en is de relatieve snelheid dus gelijk aan m/s. v C B De hoeksnelheid van de staaf BC is gelijk aan. Aangezien BC snelheid van C, is de hoeksnelheid van de staaf BC gelijk aan rad/s. v C B gelijk is aan de relatieve De hoeksnelheid van het wieltje kunnen we uit de absolute snelheid van C en de straal ven het wieltje halen. Dit wordt dus; v C = R ω ω = rad/s ω = 8 rad/s (86) Oefening 9 Op het wiel met straal r =.2 m dat zuiver rolt, is een pin P bevestigd op een afstand.1 m van het middelpunt C. De pin glijdt in de verticale gleuf die in het blok is aangebracht en brengt zo het blok in beweging. Op een bepaald ogenblik is de snelheid van het middelpunt van het wiel gelijk aan.6 m/s. De hoek θ is op dat moment 6. Hoe groot is dan de snelheid v van het blok? r =.2 m, CP =.1 m, θ = 6, v C =.6 m/s 35

36 Oplossing De snelheid v van het blok is gelijk aan de horizontale snelheid van de pin P. De snelheid daarvan is gelijk aan: v P = v C + v P C.6 e x e y e z v P = + ω.1 sin(θ).1 cos(θ).6 ω.1 cos(6) v P = + ω.1 sin(6) (87) Aangeizen het wiel zuiver rolt kunnen we ω uit de snelheid van C en de straal halen. Dit wordt dus: v C = r ω ω =.6.2 rad/s ω = 3 rad/s (88) De snelheid van P wordt dan: v P = v P =.26 (89) De snelheid v van het blok is dus gelijk aan v P x =.45 m/s. 36

37 Postulaten van Newton Oefening 1 Iemand duwt horizontaal tegen een kast. De massa van de kast is 36 kg. De wrijvingscoëfficiënt is µ s =.2. De persoon duwt met een kracht van 4 N. De kast komt niet in beweging. Hoe groot is de wrijvingskracht op dat ogenblik? Oplossing Aangezien de kast niet in beweging komt, wil dat zeggen dat de wrijvingskracht even groot en tegengesteld is aan de kracht die de persoon uitoefent. Dit is dus 4 N. Oefening 2 Een locomotief trekt drie wagons met massa s m 1 = 6 kg, m 2 = 9 kg en m 3 = 1 kg voort op een horizontale weg met een versnelling met grootte a = 2 m/s 2. Luchtweerstand en wrijving mogen verwaarloosd worden. De massa van de kabels 1, 2 en 3 zijn te verwaarlozen. Wat zijn de trekkrachten S 1, S 2, S 3 in de kabels 1, 2 en 3? 37

38 Oplossing De trekkrachten kunnen we uit het tweede postulaat van Newton ( F = m a) halen. Voor de trekkracht in kabel 1 wordt dat: S 1 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a S 1 = 25 2 N S 1 = 5 N (9) Voor de trekkracht in kabel 2 wordt dat: S 2 = (m 2 + m 3 ) a S 2 = 19 2 N S 2 = 38 N Voor de trekkracht in kabel 3 wordt dat: S 3 = m 3 a S 3 = 1 2 N S 3 = 2 N (91) (92) Oefening 3 Een monovolume met massa m 1 = 16 kg en een personenwagen met massa m 2 = 8 kg botsen frontaal en zonder te remmen met elkaar. De monovolume rijdt 18 km/u en de personenwagen rijdt 72 km/u. De twee chauffeurs zijn allebei even zwaar (m = 7 kg) en zitten stevig vast met hun veiligheidsgordel. De wagens bestaan uit hetzelfde materiaal. Men meet de versnelling van de monovolume op het ogenblik van de botsing en die is a 1 = 1 g. Welke van de twee chauffeurs is het best beschermd? Oplossing Aangezien de auto s frontaal tegen elkaar botsen, oefent auto 1 een kracht F 21 uit op auto 2 en oefent auto 2 een kracht F 12 uit op auto 1. Volgens het derde postulaat zijn deze twee krachten gelijk en tegengesteld. De versnelling van de monovolume is a 1 = 1 g. De grootte van de kracht wordt dus (volgens het tweede postulaat van Newton): F = m 1 a 1 F = 16 1 g F = 16 g (93) 38

39 De versnelling van de personenwagen wordt dan: F = m 2 a 2 a 2 = 16 g 8 a 2 = 2 g (94) Deze versnelling is dubbel zo groot als die van de monovolume. De chauffeur in de monovolume is dus het best beschermd. Oefening 4 Een blok met massa m rust op een wrijvingsloos oppervlak. Het oppervlak vormt een hoek θ met de horizontale. Het blok is met een touw vastgemaakt aan de wand. 1. Welke krachten werken op het blok? Stel m = 1 kg en θ = 3. Welke grootte hebben de krachten op het blok? 2. Veronderstel dat we het touw doorknippen. Wat is dan de versnelling van het blok? Oplossing - 1 Op het blok werken de volgende krachten: de zwaartekracht G, recht naar onder de normaalkracht N, loodrecht op het oppervlak de spankracht S in het touw, evenwijdig met het oppervlak 39

40 Als we de x-as evenwijdig met het oppervlak stellen (en de y-as daar loodrecht op), kunnen we de krachten vectorieel voorstellen als: 1 g cos( 12) G = 1 g sin( 12) 5 = 86.7 (95) N = N S S = Aangezien de som van alle krachten moet zijn. krijgen we de volgende vectoriële vergelijking: G + N + S = 5 S N + = (96) Hieruit kunnen we rechtstreeks de grootte van de normaalkracht en de spankracht aflezen: N = 86.6 N S = 5 N Oplossing - 2 Als we het touw doorknippen krijgt het blok een versnelling volgens de negatieve x-as. De kracht die hiermee gepaard gaat is even groot als de spankracht in het touw voor het doorknippen. De grootte van de versnelling wordt dan (volgens het tweede postulaat van Newton): F = m a a = 5 1 m/s2 a = 5 m/s 2 (97) Oefening 5 Een ideale veer (veerconstante k, onbelaste lengte l ) verbindt twee massa s m 1 en m 2 die zonder wrijving over een horizontaal vlak bewegen. Op massa m 1 laat men de horizontale 4

41 kracht F aangrijpen die van aangroeit tot 1 N en dan constant blijft, zodat de massa s versnellen zonder te trillen. Wat is de lengte van de veer bij de constante kracht van 1 N? m 1 = 9 kg, m 2 = 1 kg, l = 1 m, k = 2 N/m Oplossing Uit de kracht die op het geheel werkt, kunnen we de versnelling van het geheel halen. Dit wordt: F = m a a = m/s2 e x a = 1 m/s 2 e x (98) Als we de opstelling in zijn onderdelen vrijmaken geeft dat op massa 2: het gewicht G de normaalkracht N de veerkracht F v Aangezien het gewicht en de normaalkracht elkaar opheffen, wil dat zeggen dat de veerkracht de enige kracht is die voor de versnelling zorgt: F v = m 2 a 2 F v = 1 1 kg = m/s 2 F v = 1 N (99) De lengte van de veer bij de constante kracht F kunnen we dan halen uit de volgende formule: Voor deze veer wordt dat: F v = k (l l) (1) F v = k (l l) 1 = 2 (1 l) N l =.5 m (11) 41

42 Oefening 6 Een kogel (massa m = 5 kg) hangt aan een touwtje met lengte l = 2 cm. Iemand brengt de kogel aan het draaien rond een verticale as. Met welke hoeksnelheid ω moet hij de kogel doen draaien opdat het touw een hoek van 6 zou maken met de verticale en hoe groot is dan de spankracht in het touw? Oplossing Op de kogel werken de volgende krachten: het gewicht G de spankracht in het touw S Aangezien de resulterende kracht gelijk moet zijn aan de massa maal de versnelling. geeft dat de volgende vectoriële vergelijking: G + S = m a n S cos(3) 5 a n 5 + S sin(3) = (12) Hieruit kunnen we de grootte S van de spankracht en a n van de normaalversnelling halen. Voor S wordt dit: 5 + S sin(3) = S = 1 N (13) 42

43 En voor a n : 5 a n + S cos(3) = a n = m/s 2 a n = m/s 2 (14) Om de grootte van de hoeksnelheid ω te weten, moeten we ook nog de straal van de cirkel waarin de baan van de kogel ligt, weten. Dit wordt: R = l cos(3) R =.17 m (15) De hoeksnelheid ω wordt dan: a n = R ω 2 17 ω =.17 rad/s ω = 1 rad/s (16) Oefening 7 De blokken A en B hebben massa s m A en m B, m A = 2 m B, en zijn verbonden door een gewichtsloos soepel koord dat over een gewichtsloze wrijvingsloze katrol in C loopt. De trekkrachten in het touw links en rechts van de katrol zijn in grootte gelijk. A glijdt wrijvingsloos over het horizontale tafelblad. Bepaal de versnellingen van A en B en de grootte van de trekkracht in het touw. Oplossing De krachten die in de onderdelen werken, zijn als volgt. Voor A: het gewicht G A de normaalkracht N A 43

44 de trekkracht F in het touw En voor B: het gewicht G B de trekkracht F (waarvan de grootte gelijk is aan F ) in het touw De versnelling van A is gelijk aan die van B. Dit geeft dus voor A: F + G + N = m A a F = 2 m B a (17) En voor B: F + G = m B a F + G = m B a 2 m B a 1 m B = m B a (18) 3 m B a = 1 m B a = 1 3 m/s2 De grootte F van de trekkracht in het touw wordt dan: F = 2 m B a F = 6.66 m B (19) Oefening 8 Een lift met massa M valt verticaal. Zij wordt hierbij afgeremd door een constante kracht F. In deze lift is een massa m opgehangen aan een veer. In onbelaste toestand heeft deze veer een lengte l, terwijl ze met de massa eraan gehangen in de stilstaande lift een lengte l 1 heeft. Bepaal de lengte l die de veer in de nieuwe evenwichtstoestand aanneemt zolang de kracht F werkt. M = 99 kg, m = 1 kg, l =.2 m, l 1 =.25 m, F = 4 kg Oplossing Allereerst moeten we de versnelling van het geheel berekenen. Aangezien op de lift de volgende krachten inwerken: de kracht F 44

45 het gewicht G van het geheel M + m wordt dat: a tot = a + F /m a tot = m/s2 (11) a tot = 6 m/s 2 Om de lengte van de veer in de nieuwe evenwichtstoestand te berekenen, hebben we de veerconstante k nodig. Deze halen we uit l en l 1 : k (l 1 l ) = F v k.5 m = 1 1 N k = 2 M/m (111) Op de massa m werken de volgende krachten: het gewicht Gm de veerkracht F v Uit het feit dat de resulterende kracht gelijk is aan het product van de massa met de versnelling, kunnen we hieruit de grootte van de veerkracht halen: De lengte van de veer wordt dan: 1 G m + F v = m a + F v = F v = 4 N 1 6 (112) k (l l ) = F v 2 (l.2) = 4 l = m l =.22 m (113) 45

46 Oefening 9 Een kegel draait rond een verticale as met een hoeksnelheid ω van 4 rad/s. Op de kegel ligt een puntmassa m die met een touw vastgemaakt is aan de top van de kegel. 1. Bereken de spankracht in het touw bij ω = 4 rad/s. 2. Bij welke hoeksnelheid zal de puntmassa loskomen van de kegel? m = 75 g, l =.5 m, θ = 3 Oplossing - 1 Op de kogel werken de volgende krachten in: het gewicht G de normaalkracht N de spankracht S De resulterende kracht is gelijk aan het product van de massa met de versnelling. De versnelling a kunnen we uit de hoeksnelheid halen: a = R ω 2 a =.5 cos(3) 4 2 a = 6.93 m/s 2 (114) Als we de x-as evenwijdig laten lopen met het touw en de y-as daar loodrecht op wordt de vectoriële vergelijking van de versnelling dan: G + N + S = m a 7.5 cos( 12) S cos( 3) 7.5 sin( 12) + N + = sin( 3) (115) 3.75 S N + = De grootte S van de spankracht wordt dan: S = N S = 8.25 N (116) 46

47 Oplossing - 2 Als de puntmassa loskomt van de kegel, wil dat zeggen dat de normaalkracht wegvalt. De vectoriële vergelijking van de versnelling wordt dan: G + S = m a 7.5 cos( 12) S.75 a cos( 3) 7.5 sin( 12) + =.75 a sin( 3) (117) De grootte a van de versnelling wordt dan: 6.5 =.375 a a = m/s 2 (118) De grootte van de hoeksnelheid wordt dan: a = R ω ω =.5 cos(3) ω = 6.33 rad/s (119) Oefening 1 Twee puntmassa s m 1 en m 2 zijn met behulp van staven (beide met lengte.5 m) scharnierend aan mekaar vastgemaakt. Het geheel draait rond een verticale as met hoeksnelheid ω. men stelt vast de de hoeken θ en φ respectievelijk gelijk zijn aan 3 en 45. Bepaal ω en de verhouding m 1 m 2. 47

48 Oplossing Op massa m 1 werken de volgende krachten: de kracht S 1 volgens de staaf naar linksboven de kracht S 2 volgens de staaf naar rechtsonder het gewicht G 1 De grootte a 1 van de versnelling van m 1 is gelijk aan de straal van de cirkel maal de hoeksnelheid in het kwadraat. Deze staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel (dus enkel volgens de x-as). Dit wordt dus: a 1 = R 1 ω 2 Volgens het tweede postulaat van Newton wordt dit dus: a 1 =.5 sin(3) ω 2 a 1 =.25 ω 2 (12) S 1 S 2 + G 1 = m 1 a 1 S 1 sin(3) S 2 cos(45) m 1.25 ω 2 S 1 cos(3) + S 2 sin(45) + 1 m 1 = (121) Op massa m 2 werken de volgende krachten: de kracht S 2 volgens de staaf naar rechtsboven het gewicht G 2 De grootte a 2 van de versnelling van m 2 is gelijk aan de straal van de cirkel maal de hoeksnelheid in het kwadraat. Deze staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel (dus enkel volgens de x-as). Dit wordt dus: a 2 = R 2 ω 2 a 2 =.5 (sin(3) + sin(45)) ω 2 a 2 =.6 ω 2 (122) Volgens het tweede postulaat van Newton wordt dit dus: S 2 + G 2 = m 2 a 2 S 2 cos(45) m 2.6 ω 2 S 2 sin(45) + 1 m 2 = (123) 48

49 Als we de x-componenten van 121 en 123 door elkaar delen, geeft dat: S 1 sin(3) + S 2 cos(45) = m 1.25 ω 2 S 2 cos(45) m 2.6 ω 2 m 1 = (1 m m 2 ) tan(3) + 1 m 2.6 m 2 1 m 2.25 m 1 = 2.59 m 2 De hoeksnelheid ω is dan gelijk aan: (124) m 1.25 ω 2 = S 1 sin(3) + S 2 cos(45) ω 2 = 1 m 2 1 m 1 tan(3) 1 m 2 tan(3) m 1.25 ω = 4 m tan(3) + 4 m 2 tan(3) m 1 m 1 ω = 4.7 rad/s (125) 49

50 Impulswet - Energiewet Oefening 1 Welke stoot heeft een tennisbal nodig opdat deze, vertrekkend uit rust, kan weggeslagen worden met een snelheid van 4 m/s? De massa van de tennisbal is.6 kg. Als de contacttijd van de bal met de racket s is, wat is dan de gemiddelde kracht op de bal? Oplossing Volgens de impulswet is N = p II p I. Voor de tennisbal wordt dat: N = p II p I N = m v II m v I N = Ns N = 2.4 Ms (126) Aangezien N = dus: II I F dt geldt volgens de middelwaardestelling dat N = F gem t. Dit wordt N = F gem t F gem = N F gem = 48 N (127) Oefening 2 Een puntmassa van.5 kg beweegt op t = met een snelheid van 1 m/s in de x-richting. Twee krachten F 1 en F 2, waarvan de grootte varieert in de tijd volgens de aangegeven grafiek, werken erop in. Welke stoot werkte op de puntmassa? Bepaal ook de eindsnelheid (op t = 3 s) van de puntmassa. 5

51 Oplossing De totale stoot is de integraal van de som van de krachten over de tijd. Aangezien F 1 en F 2 beide stuksgewijs continue functies van de tijd zijn, kunnen we ze als volgt voorstellen: { 4 als t [, 1] F 1 (t) = 2 als t > 1 { (128) 1 als t [, 2] F 2 (t) = 2 t 3 als t > 2 Als we deze functies integreren over de tijd geeft dat de volgende waarden. Voor F 1 : N 1 = 3 F 1 N 1 = (4 1 4 ) + ( ) N 1 = 8 Ns (129) En voor F 2 : N 2 = 3 F 2 N 2 = (1 2 1 ) + (( ) ( )) N 2 = 4 Ns (13) Aangezien F 1 volgens de negatieve x-as ligt, en F 2 volgens de positieve y-as, geeft dat voor de totale stoot: N = N 1 e x + N 2 e y N = 8 e x + 4 e y (131) Om de eindsnelheid te bepalen, kunnen we de volgende formule gebruiken: N = p II p I (132) 51

52 Als we dit invullen, geeft dat: 8 v x = m v y v x = m = 3.5 = 6 m/s (133) De eindsnelheid is dus gelijk aan: v y = 4 m = 4.5 = 8 m/s v = 6 e x + 8 e y m/s (134) Oefening 3 Een blok met massa M ligt in rust op een helling. Tussen het blok en de helling is geen wrijving. Er wordt een puntmassa m in het blok geschoten met snelheid v. De botsing tussen het blok en de puntmassa duurt zeer kort en de puntmassa dringt in het blok en blijft erin vastzitten. Bepaal de snelheid waarmee het blok na de botsing beweegt. m =.3 kg, M = 2 kg, v = 1 m/s, θ = 3 Oplossing De snelheid van het blok kunnen we uit de eerste behoudswet (behoud van impuls) halen. Dit wordt dus: m v = (m + M) v.3 1 cos(3) = 2.3 v v = 1.28 m/s Aangezien de snelheid van het blok evenwijdig is met de helling wordt dat: (135) v = 1.28 cos(3) e x sin(3) e y v = 1.11 e x +.64 e y (136) 52

53 Oefening 4 Een voorwerp van 5 kg glijdt zonder wrijving over een horizontaal oppervlak met een snelheid van 2 m/s. Het krijgt een slag tegen zijn beweging in waarvan de kracht kan benaderd worden door de stippellijn in de grafiek. Welke stoot werkte op het voorwerp. Bereken de eindsnelheid van het voorwerp. Oplossing De grafiek van de kracht als functie van de tijd is ongeveer een driehoek. Als we deze functie willen integreren over de tijd om de grootte van de totale stoot te weten, moeten we de oppervlakte van deze driehoek bepalen: N =.9 F dt.5 (.9.5) 6 N = 2 N = 12 Ms (137) Deze stoot is gelijk aan de verandering van impuls. Dat wordt dus: N = p II p I 12 m v 1 = v = 5 v = 4 m/s (138) De eindsnelheid van het voorwerp is dus 4 m/s in de tegengestelde richting. 53

54 Oefening 5 Twee auto s A en B botsen op een beijzeld kruispunt. Ze glijden samen weg in een richting zoals aangegeven op de figuur. De verhouding m A m B = 1.2. Bereken de verhouding v A vb. Op het kruispunt ondervinden de auto s geen wrijving. Oplossing Aangezien er geen uitwendige krachten op het systeem inwerken, kunnen we de wet van behoud van impuls gebruiken. Dit wordt dsu: m A v A + m B v B = (m A + m B ) v 1.2 m B v A 2.2 m B v cos(3) + m B v B = 2.2 m B v sin(3) 1.2 m B v A m B v B 1.2 v A = cot(3) v B v A = 2.2 m B v cos(3) 2.2 m B v sin(3) = cot(3) v B 1.2 v A = 1.44 v B (139) Oefening 6 Twee puntmassa s m 1 en m 2 kunnen wrijvingsloos bewegen over een horizontaal vlak, hier samenvallend met het vlak van de figuur. In het begin ligt m 1 in rust in positie A. Punt m 2 botst ertegen met snelheid v zoals aangegeven. Na de botsing krijgt m 1 een snelheid v 1. Dit punt botst tegen een verticale wand MN in B en botst terug zoals aangegeven. Er is geen wrijving tussen punt en wand. Punt m 2 krijgt de niet gegeven snelheid v 2. Bereken alle stoten, die in A op m 1 en m 2 gewerkt hebben en v 2 en v 3. m 1 = 2 g, m 2 = 5 g, v = 2 m/s, v 1 = 2.5 m/s 54

55 Oplossing Aangezien er geen uitwendige krachten op dit systeem inwerken, kunnen we de snelheid v 2 uit de wet van behoud van impuls halen. Dit wordt dus: p II = p I m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 2 v cos(12) 5 v 2x sin(12) + 5 v vy = v 2x =.5 = 15 m/s v 2y =.5 3/2.5 = 5 3 m/s (14) Dit is dus: v 2 = 15 e x e y (141) De stoot die in A op m 1 werkt, is dan: N = p II p I N x m 1 v 1 cos(6) N y = m 1 v 1 sin(6) (142) N =.25 e x e y De snelheid v 3 wordt dan: p III = p II.2 v 3 cos(3).25.2 v 3 sin(3) = v 3 =.2 cos(3) v 3 = 1.44 m/s (143) De snelheid v 3 is dus gelijk aan: v 3 = 1.44 cos(3) e x 1.44 sin(3) e y v 3 = 1.25 e x.72 e y (144) 55

56 Oefening 7 Een slee met massa M = 7 kg glijdt met een constante snelheid v over een horizontaal vlak. Er is geen wrijving tussen de slee en het horizontaal vlak. Uit de tegenovergestelde richting komt een vliegtuig met een snelheid v 1 aangevlogen. Het vliegtuig dropt een pakketje met massa m = 3 kg, dat op de slee valt en op de slee blijft liggen. 1. Wat is de snelheid v 2 van slee en pakketje, nadat het pakketje op de slee gedropt is? 2. Wat gebeurt er met de snelheid v 2 van slee en pakketje als de hoogte h van waarop het vliegtuig het pak dropt, verdubbelt? 3. in het geval dat slee en pakketje stilstaan na de botsing van het pakketje op de slee ( v 2 = ), wat was dan de verhouding van de grootte van de snelheid van het vliegtuig tot de grootte van de snelheid van de slee ( v 1 v )? v = 4 m/s en v 1 = 7 m/s Oplossing - 1 Op tijdstip t = I (voor dat het pakketje de slee raakt) geldt er voor de impuls het volgende: p I = M v + m v 1 p Ix = Ns e x (145) p Ix = 7 Ns e x Op tijdstip t = II (wanneer het pakketje op de slee ligt) geldt er voor de impuls het volgende: p II = (M + m) v 2 (146) p IIx = 73 v 2 Ns e x Uit de wet van behoud van impuls geldt dat p I en p II aan elkaar gelijk moeten zijn. Dit geeft dus: p Ix = p IIx 7 Ns = 73 v 2 Ns v 2 =.96 m/s e x (147) 56

57 Oplossing - 2 Aangezien enkel de horizontale snelheid van het pakketje invloed heeft op de snelheid van de slee (die horizontaal beweegt), heeft de hoogte h geen invloed op de snelheid v 2 van de slee. Oplossing - 3 Als v 2 gelijk is aan, wil dat zeggen dat p II en dus ook p I gelijk moet zijn aan. Dit geeft dus: p I = = M v m v 1 M v = m v 1 v 1 v = 7 (148) 3 v 1 v = Oefening 8 Een man in een stil liggen de kano gooit een zware zak weg volgens de lengteas van de boot, onder een hoek van 3 met de horizontale en met een snelheid van 3 m/s. De zak weegt 15 kg, de ma 75 kg, de kano 3 kg. Bereken de horizontale snelheid van de kano (in de veronderstelling dat de kano zonder wrijving kan bewegen op het water) als de gegeven 3 m/s de 1. grootte van de absolute snelheid van de zak is. 2. grootte van de snelheid van de zak tegenover de kano is. Oplossing - 1 Op tijdstip t = I (voordat de man de zak gooit), is de totale impuls gelijk aan Ns (alles ligt stil). Op tijdstip t = II (nadat de man de zak gegooid heeft), is de totale impuls gelijk aan: p II = (m kano + m man ) v 1 + m zak v 2 cos(3) 3 p II = 15 v Ns (149) Volgens de wet van behoud van impuls is p II gelijk aan p I en dus gelijk aan Ns. Dit wordt dus: 3 p II = = 15 v v 1 = 45 3 (15) 2 m/s 15 v 1 =.37 m/s De horizontale snelheid van de kano is dus gelijk aan v 1 =.37 m/s e x. 57

58 Oplossing - 2 Als de snelheid van de zak ten opzichte van de kano gelijk is aan 3 m/s, dan is de absolute snelheid van de zak gelijk aan v 2 = v rel + v 1 = 3 cos(3) + v 1. De totale impuls op tijdstip t = I is weer gelijk aan Ns. Op tijdstip t = II is de totale impuls gelijk aan: p II = (m kano + m man ) v 1 + m zak (3 cos(3) + v 1 ) 3 p II = 15 v v (151) Volgens de wet van behoud van impuls is p II gelijk aan p I en dus gelijk aan Ns. Dit wordt dus: 3 p II = = 15 v v v 1 = m/s (152) v 1 =.325 m/s De horizontale snelheid van de kano is dus gelijk aan v 1 =.325 m/s e x. Oefening 9 Twee mannen (beide met massa 8 kg) staan op een vlot (massa 3 kg) dat stilligt op het water. Ze duiken er na elkaar af in dezelfde richting met een horizontale snelheid van 3 m/s tegenover het vlot. Bereken de eindsnelheid van het vlot in de veronderstelling dat het zonder horizontale weerstand kan bewegen. Oplossing Op tijdstip t = I (wanneer beide mannen nog op het vlot staan), is de totale impuls gelijk aan Ns (er beweegt niets). Op tijdstip t = II (wanneer de eerste man eraf duikt), wordt de totale impuls gelijk aan: p II = (m vlot + m man ) v 1 + m man v abs p II = 38 v (3 + v 1 ) Ns p II = 46 v Ns (153) Volgens de wet van behoud van impuls is p II gelijk aan p I en dus gelijk aan Ns. Dit wordt dus: p II = = 46 v Ns v 1 = m/s v 1 =.52 m/s (154) 58

59 De impuls p man van de man die van het vlot springt is dus gelijk aan 8 (3 + v 1 ) = 198 Ns. Op tijdstip t = III (wanneer de tweede man eraf duikt), wordt de totale impuls gelijk aan: p III = m vlot v 2 + m man v abs + p man p III = 3 v (3 + v 2 ) Ns p III = 38 v Ns (155) Volgens de wet van behoud van impuls is p II gelijk aan p I en dus gelijk aan Ns. Dit wordt dus: p III = = 38 v Ns v 2 = m/s v 2 = 1.15 m/s (156) De eindsnelheid van het vlot is dus gelijk aan 1.15 m/s e x. Oefening 11 Gegeven drie situaties. In de eerste situatie staat een persoon met massa M op een stilliggend vlot met massa 3M. Op 5 meter van de persoon bevindt zich in het water een (vaste) boei met een kat erop. De persoon op het vlot begint naar de kat toe te lopen met een snelheid v van 1 m/s tegenover het vlot. In de tweede situatie staat er nog iemand anders op de andere kant van het vlot. Deze persoon heeft een massa 2M en staat ook op een afstand van 5 meter van de boei (zie figuur). Deze persoon heeft echter geen zin om naar de kat toe te lopen. In de derde situatie staan dezelfde personen op het vlot, maar ditmaal bewegen ze allebei in de richting van de kat, mat een snelheid v van 1 m/s tegenover het vlot. Rangschik de drie situaties volgens de tijd die nodig is om de kat te bereiken. In de drie situaties is er geen wrijving tussen het vlot en het water. Oplossing Alle drie de situaties vertrekken vanuit rust, dus de initiële impuls is steeds gelijk aan Ns. Er werken geen uitwendige krachten op het systeem in, dus kunnen we de wet van behoud van impuls gebruiken. In de eerste situatie heeft de man een relatieve snelheid van 1 m/s. Het vlot met de man heeft een absolute snelheid van v 1. Als we dit invullen in de wet van behoud van impuls (in de horizontale richting) geeft dat: p I = p II = M v + 4 M v 1 v 1 = 1 4 m/s (157) 59

60 De absolute snelheid van de man is dan de som van zijn relatieve snelheid en de snelheid van het vlot. Dit is dus: v man = v + v 1 v man =.75 m/s (158) In de tweede situatie is het enige echte verschil met de eerste situatie dat het vlot verzwaard is met 2M. Dit geeft dus: p I = p II = M v + (4 + 2) M v 2 v 2 = 1 6 m/s (159) De absolute snelheid van de man is dan de som van zijn relatieve snelheid en de snelheid van het vlot. Dit is dus: v man = v + v 2 v man =.83 m/s (16) In de derde situatie heeft ook de tweede man een relatieve snelheid v tegenover het vlot. De totale massa is dezelfde als in de tweede situatie. Dit geeft dus: p I = p II = M v + 2 M ( v) + (6) M v 3 v 3 = 1 (161) 6 m/s De absolute snelheid van de man is dan de som van zijn relatieve snelheid en de snelheid van het vlot. Dit is dus: v man = v + v 3 v man = 1.17 m/s (162) De tijd t = x v man 1. t = 5.75 = 6.67 s 2. t = 5.83 = 6 s 3. t = = 4.29 s die nodig is om de kat te bereiken, is dan in elke situatie gelijk aan: Oefening 16 Een blok van 3 kg wordt uit rust losgelaten in A en glijdt zonder wrijving langs een staaf in een verticaal vlak. De veer heeft een veerconstante van 35 N/m en een rustlengte van.6 m. Bepaal de snelheid van het blok als het in B passeert. 6

61 Oplossing Op tijdstip T = I (wanneer het systeem nog in rust is) is de totale energie gelijk aan de som van de potentiële energie door de zwaartekracht en de potentiële energie door de veerkracht. Dit is gelijk aan: E I = m g h k ( x)2 E I = J E I = J E I = 81 J (163) Op tijdstip T = II (wanneer het blok in B passeert) is de totale energie gelijk aan de som van de kinetische energie en de potentiële energie door de veerkracht. Dit is gelijk aan: E II = 1 2 k ( x)2 + m v2 2 E II =.5 35 ( ) v 2 J E II = v 2 J (164) Uit de wet van behoud van energie kunnen we dan de snelheid v halen: E I = E II 81 = v v = m/s 1.5 v = 6.84 m/s (165) Oefening 17 Welke snelheid bereikt het wagentje in B als het uit rust losgelaten wordt in A? De rustlengte van de veer bedraagt.4 m. De veerconstante is 8 N/m en de massa van het wagentje is.1 kg. Er is geen wrijving tussen het wagentje en de geleiding. Oplossing Op tijdstip T = I (wanneer het systeem nog in rust is) is de totale energie gelijk aan de potentiële energie door de veerkracht. Dit is gelijk aan: E I = 1 2 k ( x)2 E I =.5 8 ( ) 2 J E I = 3.24 J (166) 61

62 Op tijdstip T = II (wanneer het wagentje in B passeert) is de totale energie gelijk aan de som van de kinetische energie en de potentiële energie door de veerkracht. Dit is gelijk aan: E II = 1 2 k ( x)2 + m v2 2 E II =.5 8 (.5.4) v 2 J E II = v 2 J (167) Uit de wet van behoud van energie kunnen we dan de snelheid v halen: E I = E II 3.24 = v v = m/s.5 v = 8 m/s (168) Oefening 18 Een man in een stilliggende kano gooit een zware zak weg volgens de lengteas van de boot, onder een hoek van 3 met de horizontale. De man levert een arbeid van 15 J, terwijl hij de zak weggooit. De zak weegt 15 kg, de man 75 kg, de kano 3 kg. Je mag veronderstellen dat de kano zonder wrijving op het water beweegt. Bereken de snelheid v z van de zak en de snelheid v k van de kano. Oplossing De totale energie op tijdstip T = I is gelijk aan J (alles is in rust). De totale energie op tijdstip T = II (wanneer de zak is weggegooid) is gelijk aan de som van de kinetische energie van de zak en de kinetische energie van de kano met de man. Dit is gelijk aan: E II =.5 15 v 2 z v 2 k J E II = 7.5 v 2 z v 2 k J (169) Er wordt een arbeid van 15 J geleverd, dus de verandering van de totale energie is gelijk aan 15 J. Dit wordt dus: E = 15 J E II = 15 J 7.5 v 2 z v 2 k = 15 (17) De totale impuls op tijdstip T = I is gelijk aan Ns. Op tijdstip T = II is deze gelijk aan de som van de impuls van de zak en de impuls van de kano met de man. Voor de horizontale richting is dit gelijk aan: p II = 15 v z cos(3 ) + 15 ( v k ) (171) 62

63 Aangezien er geen uitwendige krachten op het systeem werken, geldt de wet van behoud van impuls. Dit geeft dus: p I = p II = 15 v z cos(3 ) + 15 ( v k ) v z = 8.8 v k (172) Als we dit invullen in 17 geeft dat: 7.5 v 2 z v 2 k = (8.8 v k ) vk 2 = v k = m/s v k =.526 m/s (173) De snelheid v z van de zak is dan gelijk aan: v z = 8.8 v k v z = m/s v z = 4.25 m/s (174) Oefening 21 Een wagentje (massa m 1 ) kan wrijvingsloos bewegen over de horizontale. De puntmassa m 2 is met een ideale staaf (lengte l) aan het wagentje bevestigd en kan vrij roteren rond A ten opzichte van het wagentje. We laten het systeem los uit de rusttoestand, met de slinger in de beginpositiet θ = 9. Bepaal, voor het ogenblik waarop de slinger voor de eerste maal doorkomt bij θ = 3, de snelheid van het wagentje en de snelheid van de puntmassa. m 1 = 1 kg, m 2 = 5 kg, l = 1 m Oplossing In de begintoestand (t = I) is de totale impuls en de kinetische energie gelijk aan Ns (er is geen beweging). Als we de nullijn op dezelfde hoogte stellen als de laagst mogelijke positie van de puntmassa, dan is de potentiële energie gelijk aan: V I = m 2 g h 1 V I = J V I = 5 J (175) 63

64 Op tijdstip t = II (het ogenblik waarop de slinger voor de eerste maal doorkomt bij θ = 3 ), is er wel beweging. Als we de snelheid van het wagentje gelijkstellen aan v 1, dan is de snelheid van de puntmassa v 2 gelijk aan (volgens de samengestelde beweging): v rel cos(3) + v 1 v 2 = v rel sin(3) (176) met v rel de relatieve snelheid van de puntmassa ten opzichte van het wagentje. Deze is dus rakend aan de cirkelbaan die de puntmassa beschrijft. De potentiële energie op tijdstip t = II is gelijk aan: V II = m 2 g h 2 V II = 5 1 (1 cos(3)) J V II = J (177) De kinetische energie op tijdstip t = II is gelijk aan: T II = m 1 v1 2 + m 2 v T II = 5 v v2 2 J (178) Uit de wet van behoud van energie halen we dan de volgende vergelijking: T I + V I = T II + V II 5 = 5 v v (179) 25 3 = 5 v v 2 2 De totale impuls (in de x-richting) op tijdstip t = II is gelijk aan: p II = m 1 v 1 + m 2 ( v rel cos(3) + v 1 ) 3 p II = 15 v v rel (18) Uit de wet van behoud van impuls (in de x-richting) halen we de volgende vergelijking: p I = p II = 15 v v 1 = 2 v rel 3 2 v rel (181) De grootte van v 2 is dan gelijk aan: v 2 2 = ( v rel cos(3) + v 1 ) 2 + ( v rel sin(3)) 2 v 2 2 = v 2 rel cos 2 (3) 2 v rel cos(3) v 1 + v v 2 rel sin 2 (3) v 2 2 = v 2 rel 2 3 v 1 v 1 + v 2 1 (182) v 2 2 = v 2 rel 5 v

65 Als we dit invullen in de vergelijking van de wet van behoud van energie geeft dat: 25 3 = 5 v v = 5 v (v 2 rel 5 v 2 1) 25 3 = 5 v v v 2 rel 25 3 = 7.5 v vrel = 7.5 ( v rel cos(3) ) vrel 2 3 (183) 25 3 = vrel v rel = v rel = 4.81 m/s v 1 wordt dan: v 1 = v 1 e x v 1 = v rel cos(3) e x (184) 3 v 1 = 1.39 m/s e x v 2 wordt dan: v rel cos(3) + v 1 v 2 = v rel sin(3) 2.77 v 2 = 2.41 (185) Oefening 22 Een prisma met massa m 3 rust op een wrijvingsloos horizontaal vlak. Op de zijden van dit prisma rusten 2 blokken met massa m 1 en m 2, die verbonden zijn via een touw dat over een ideale katrol loopt. Beide blokken kunnen wrijvingsloos schuiven ten opzichte van de zijden van het prisma. Bereken de snelheden van m 1, m 2 en m 3 op het ogenblik dat m 3 op de grond komt. Het geheel wordt uit rust losgelaten, waarbij m 2 zich op een hoogte h boven de grond bevindt. m 1 = 2 kg, m 2 = 5 kg, m 3 = 1 kg, h = 1 m. 65

66 Oplossing Op tijdstip t = I (voordat het systeem wordt losgelaten) is de totale impuls en kinetische energie gelijk aan Ns. De potentiële energie is dan gelijk aan: V I = m 1 g a + m 2 g h V I = 2a + 5 J (186) Op tijdstip t = II (wanneer m 2 de grond raakt) heeft m 3 een snelheid v s naar links. De absolute snelheden van m 1 en m 2 worden dan: v 3 v 1 = v 1,rel v 2,rel cos(3) v 3 (187) v 2 = v 2,rel sin(3) De totale impuls op tijdstip t = II wordt dan (in de x-richting): p II = m 1 ( v 3 ) + m 2 (v 2,rel cos(3) v 3 ) + m 3 ( v 3 ) p II = 17 v v 2,rel (188) Volgens de wet van behoud van impuls is dit gelijk aan p I en dus gelijk aan Ns. Dit wordt dus: p II = = 17 v v 2,rel v 2,rel = 17 v (189) Aangezien m 1 en m 2 met een touw aan elkaar verbonden zijn, is v 1,rel gelijk aan v 2,rel. Op tijdstip t = II is de totale kinetische energie gelijk aan: T II = m 1 v m 2 v m 3 v (19) Op tijdstip t = II is de totale potentiële energie gelijk aan: V II = m 1 g a V II = 2 a (191) Hierbij is a a gelijk aan de afstand die m 2 heeft afgelegd. Dit is dus gelijk aan: h a = sin(3) a = 2 (192) 66

67 Uit de wet van behoud van energie halen we dan de volgende vergelijking: T I + V I = T II + V II 2a + 5 = m 1 v1 2 + m 2 v2 2 + m 3 v a (a a ) = 1 (v3 2 + v1,rel) (v2,rel 2 2 v 2,rel cos(3) v 3 + v3) v = 1 v ( 17 v ) ( 17 v )2 17 v v v = v 2 3 v 3 = 1.9 v 3 =.47 (193) De snelheid van m 3 is dus gelijk aan.47 m/s e x. De snelheid van m 1 wordt dan: v 3 v 1 = v 1,rel.47 v 1 = 1.84 (194) De snelheid van m 2 wordt dan: v 2,rel cos(3) v 3 v 2 = v 2,rel sin(3) 1.13 v 2 =.92 (195) Oefening 23 Een slede met massa m 1 = 2 kg, rust op een horizontaal vlak. Op de slede is een katapult gemonteerd die, met het volledige systeem in rust, een kogel met massa m 2 = 5 kg wegschiet in horizontale richting. Op de slede is een hellend vlak bevestigd. Wanneer de kogel op het hellen vlak een hoogte h =.3 m bereikt, heeft hij nog een snelheid v = 4 m/s ten opzichte van de slede. De katapult heeft een veerconstante k = 2 N/m. Bereken de indrukking van de veer voor het afschieten van de kogel. Er is nergens wrijving. 67

68 Oplossing Op tijdstip T = I (voor het afschieten) is er geen beweging. De kinetische energie is dus gelijk aan J. De enige potentiële energie is afkomstig van de ingedrukte veer. Deze is gelijk aan: V I = k ( L)2 2 V I = 1 ( L) 2 J (196) Op tijdstip T = II (wanneer de kogel op hoogte h is) is de potentiële energie gelijk aan: V II = m 2 g h V II = 15 J (197) De kinetische energie is dan gelijk aan; T II = m 1 v m 2 v (198) Met v 1 de snelheid van de slee (naar links geöriënteerd) en v 2 de absolute snelheid van de kogel. Deze is gelijk aan: v 2 = v 1 + v 2 1 v 1 4 cos(6) v 2 = + 4 sin(6) 2 v 1 v 2 = 2 3 (199) Uit de wet van behoud van impuls (in de x-richting) kunnen we de grootte van de snelheid van de slee halen. Dit wordt dus: m 1 v 1 + m 2 v 2 = 2 v 1 = 5 (2 v 1 v 1 = 1 25 m/s v 1 =.4 m/s (2) 68

69 Als we dit invullen in de wet van behoud van energie, geeft dat: T I + V I = T II + V II 1 ( L) 2 = m 1 v m 2 v ( L) 2 = ((2.4) 2 + (2 3) 2 ) L = 1 m L =.23 m (21) 69

70 Vlakke dynamica van voorwerpen Oefening 4 De homogene staaf AB is in D scharnierend opgehangen. In het uiteinde B grijpt een horizontale kracht P aan. Bepaal de hoekversnelling van de staaf en de verbindingskracht in D als de staaf uit rust vertrekt. De staaf weegt 1 kg en AD = L 4. Oplossing De krachten die op de staaf inwerken zijn de volgende: De reactiekracht R in D De kracht P in B Het gewicht G in het massacentrum C Uit het tweede postulaat van Newton volgt: R x R y + R + P + G = m a P m a x G + = m a y (22) Aangezien B loodrecht onder D staat is a y gelijk aan m/s en is R y gelijk aan G. Het moment rond D van de resulterende kracht is gelijk aan: M D = ( r C r D ) G + ( r B r D ) P M D = 3 4 L P (23) Het impulsmoment rond D is gelijk aan: I D = I C + m d 2 I D = 1 12 m L2 + m ( L 4 )2 (24) 7

71 Als we dit invullen in 23, dan geeft dat: M D = I D α 3 4 L P = ( 1 12 m L2 + m ( L 4 )2 ) α α = 3 4 P L 7 rad/s 2 48 (25) α = 5.14 P L rad/s2 Aangezien a = R α geeft dit in 22: R x + P = m a x R x = L P L P (26) R x =.29 R is dus gelijk aan.29 e x + G e y. Oefening 5 Een homogene cilinder van m = 2 kg en met straal r = 1 cm draait rond een excentrisch geplaatste horizontale as. In de getekende stand heeft de schijf een hoeksnelheid van ω = 3 rad/s. Bepaal de hoekversnelling van de schijf en de verbindingskracht in O in deze stand. Oplossing De krachten die op de cilinder werken zijn de volgende: De verbindingskracht R in O Het gewicht G in het massacentrum C Uit het tweede postulaat van Newton volgt: R + G = m a R x G cos(6 ) 2 a x R y + G sin(6 ) = 2 a y (27) Hierin is a x gelijk aan de tangentiële versnelling van het massacentrum en a y gelijk aan de normaalversnelling. 71

72 Uit de vergelijking van het traagheidsmoment volgt: M O = I O α.5 G cos(6 ) = ( ) α α = 5.15 rad/s2 α = 33.3 rad/s 2 (28) Aangezien a t = a x gelijk is aan R α geeft dat als we dit invulllen in 27: R x + G cos(6 ) = 2 a x R x = R x = (29) De normaalversnelling a n = a y is gelijk aan R ω 2. Als we dit invullen in 27 geeft dat: R y G sin(6 ) = 2 a y R y = R y = (21) De reactiekracht R in O is dus gelijk aan e x e y. Oefening 9 De gewichtsloze staaf OA (lengte l = 1 m) en de cilindervormige schijf (massa m = 6 kg en straal r =.5 m) vormen een star geheel. De staaf OA is in O scharnierend met de omgeving verbonden. Het geheel bevindt zich in een verticaal vlak en wordt uit rust losgelaten uit de getekende stand (met φ = 6 ). Bereken de snelheid van het punt A op het ogenblik dat het in zijn laagste stand doorkomt. Oplossing Op tijdstip T = 1 (wanneer de schijf nog boven is) is totale energie gelijk aan: E I = T I + V I E I = + m g (l + l sin(6)) E I = 112 J (211) Op tijdstip T = II (wanneer de schijf in zijn laagste stand voorbijkomt) is de totale energie gelijk aan: E II = T II + V II E II = m v2 2 + I ω2 2 (212) 72

73 De snelheid v van A is gelijk aan de straal maal de hoeksnelheid: v = R ω v = ω (213) De waarde van ω kunnen we dan uit de wet van behoud van energie halen; E I = E II 112 = m v2 + I ω2 2 2 ω = 3 + 1/ ω = 33.2 rad/s ω = 5.76 rad/s (214) Oefening 1 De horizontale homogene staaf AB is in A en in B scharnierend met een wiel verbonden. De staaf weegt m 1 = 24 kg en heeft een lengte van.7 m. Elk wiel is een cilinder met straal r = 3 cm en gewicht m 2 = 16 kg. Het systeem vertrekt uit de getekende positie uit rust. Bereken de maximale hoeksnelheid die de wielen zullen bereiken. De wielen rollen zonder te glijden onder invloed van de zwaartekracht. Oplossing Op tijdstip T = I (voordat de wielen in beweging zijn) bevat enkel de staaf (potentiële) energie. De totale energie is dan gelijk aan: E I = m 1 g h E I = 72 J (215) 73

74 Op tijdstip T = II (wanneer de staaf op zijn laagste positie is en de hoeksnelheid dus maximaal is) bevat de staaf geen energie meer. Hij is op zijn laagste punt (dus geen potentiële energie) en de snelheid is m/s (hij kan niet lager zakken). Beide wielen bezitten dezelfde kinetische energie. De totale energie is dus gelijk aan: E II = 2 ( m 1 v 2 + I ω2 ) 2 2 (216) E II = 16 v ω 2 De snelheid v van A en B is gelijk aan de straal maal de hoeksnelheid: v = r ω v =.3 ω (217) De waarde van ω kunnen we dan uit de wet van behoud van energie halen; E I = E II 72 = 16 v ω 2 72 = ω ω 2 ω 2 72 = ω = rad/s ω = 5.77 rad/s (218) 74

75 Virtuele arbeid Oefening 1 Gegeven nevenstaande figuur met b = 1 m, h =.5 m, M = 1 Nm ez, m = 5 kg. Bereken de reactiekrachten met de omgeving gebruik makend van de methode van de virtuele arbeid. Oplossing De krachten die op deze constructie inwerken, zijn de volgende: de reactiekracht R A in A met een component in de x- en de y-richting de reactiekracht R B in B met een component in de x-richting het gewicht G Volgens de stelling van de virtuele arbeid geldt: R A δua + R B δu B + G δug + M δθ = (219) 75

76 Als we een virtuele verplaatsing definiëren als een rotatie rondom A, dan geeft dat: δu A = e x e y e z δu B = δθ b h h δθ = b δθ e x e y e z δu G = δθ 2 b 3 = 2 b δθ 3 (22) Als we dit invullen in de stelling van de virtuele arbeid, geeft dat: R A δua + R B δu B + G δug + M δθ = + (R B ) ( h δθ) G 2 b δθ + M δθ = 3 R B h = R B = 647 (221) Als we een virtuele verplaatsing definiëren als een verschuiving in de y-richting, dan geeft dat: δu A = δu B = δu G = δu A e y δθ = Als we dit invullen in de stelling van de virtuele arbeid, geeft dat: R A δua + R B δu B + G δug + M δθ = R Ay δu A 5 δu A = R Ay = 5 (222) (223) Als we een virtuele verplaatsing definiëren als een verschuiving in de x-richting, dan geeft dat: δu A = δu B = δu G = δu A e x δθ = Als we dit invullen in de stelling van de virtuele arbeid, geeft dat: R A δua + R B δu B + G δug + M δθ = R Ax δu A 647 δu A = R Ax = 647 (224) (225) Alles samen wordt dit dus: R A = (647, 5, ) R B = (, 647, ) 76

77 Oefening 2 Gegeven het gewicht G aan de losse katrol, hoe groot is de kracht F waarmee aan de vaste katrol moet getrokken worden opdat het systeem in evenwicht is? Gebruik het principe van de virtuele arbeid om F te bepalen. r =.2 m, G = 5 N Oplossing Als we een virtuele verplaatsing definiëren als een verplaatstin van F in de y-richting, dan zijn de enige krachten die van belang zijn: F G Aangezien het touw over twee katrollen loopt is de grootte van de virtuele verplaatsing van F het dubbele van die van G. Dit geeft dus: F δuf + G δug = F δu G δu G = (226) F = 25 De grootte van de kracht F is dus gelijk aan 25 N. 77

78 Oefening 3 Luc haalt een volle emmer water uit een waterput naar boven met behulp van een windas. Welke kracht moet Luc minstens op het uiteinde van de kruk aanwenden om de emmer naar boven te hijsen? De kracht F staat loodrecht op de hendel van de windas. m = 45 kg, r =.2 m, d =.36 m Oplossing Als we een virtuele verplaatsing definiëren als een rotatie rond de windas, dan geldt: δu F = d δθ =.36 δθ δu G = r δθ =.2 δθ (227) Volgens de stelling van de virtuele arbeid, wordt dat dan: F δuf + G δug =.36 F δθ.2 45 δθ =.2 45 F =.36 F = 25 N N (228) 78

79 Oefening 5 De staven AB, BC, CD van het voorgestelde stangensusteem zijn homogeen, hebben een gewicht G en een lengte L. Welke horizontale kracht moet er in het midden van de staaf CD aangrijpen om het susteem onder een gegeven hoek θ in evenwicht te houden? Oplossing Stel het midden van staaf AB gelijk aan E, van BC aan F en van CD aan G. De krachten die op het systeem inwerken zijn de volgende: het gewicth G in E, F en G de kracht Q in G de reactiekracht R A in A de reactiekracht R D in D Als we dan een virtuele verplaatsing definiëren als een rotatie rond A en D, dan geldt: δu A = δu E = δu D = δu e z e y e z G = δθ L cos(θ) L sin(θ) 2 2 L sin(θ) δθ 2 = L cos(θ) δθ 2 δu F = δu B = e z e y e z δθ L cos(θ) L sin(θ) L sin(θ) δθ = L cos(θ) δθ (229) 79

80 Als we dit invullen in de stelling van de virtuele arbeid, dan geeft dat: R A δua + R D δu D + G δu E + G δuf + G δug + Q δug = 2 ( G L 2 cos(θ) δθ) G L cos(θ) δθ + Q L 2 sin(θ) δθ = 2 G cos(θ) + Q 2 sin(θ) = Q = 4 G cos(θ) sin(θ) Q = 4 G cot(θ) (23) Oefening 6 In het voorgestelde systeem heeft de veer een rustlengte van 15 cm en een veerconstante van 3 N/cm. Onder welke hoek θ is dit systeem in evenwicht? De massa van de staven is te verwaarlosen. F 1 = 2 N, F 2 = 1 N Oplossing De krachten die op het systeem werken, zijn de volgende: de reactiekracht R A ina de veerkracht F v in B de kracht F 1 in C de veerkracht de kracht F 2 in E F v in D 8