2 GEDWONGEN TRILLINGEN

Transcriptie

1 GEDWONGEN TRILLINGEN.0 INLEIDING Onder de titel gedwongen trillingen bekijken we de trillingen van een zwak gedempte harmonische oscillator die ontstaan als deze niet zelfstandig trilt, maar wor aangedreven door een externe invloed. We doen dit zowel voor een mechanisch systeem als voor een elektrisch systeem. Van belang zijn vooral de stationaire toestanden, waarbij harmonische trillingen een centrale rol spelen. De frequentie van de aandrijving in relatie tot de systeemgrootheden is bepalend voor het gedrag van het systeem. Als deze frequentie in de buurt ligt van de eigenfrequentie die het systeem zonder demping zou hebben zullen er resonantieverschijnselen optreden: het systeem reageert dan relatief sterk op de aandrijving. Daarnaast kijken we naar inslingerverschijnselen, die voorkomen tijdens het bereiken van stationaire toestanden. Deze kunnen worden beschreven met het begrip superpositie. Met name bij de kwantitatieve beschrijving van het gedrag van het aangedreven elektrische systeem maken we gebruik van het begrip (complexe) impedantie. Hiermee kunnen overdrachtsfuncties van dit systeem worden beschreven.. MECHANISCH SYSTEEM.. bewegingsvergelijking bij externe aandrijving We kunnen de mechanische gedempte oscillator uit sectie.. onderwerpen aan een periodiek variërende uitwendige kracht Ft die als een externe aandrijving gaat fungeren. We nemen hiervoor de eenvoudige vorm Ft F 0 cos t [.] 33

2 Dit betekent dat een nieuwe term aan de bewegingsvergelijking wor toegevoegd, waardoor [.33] overgaat in m d x dx kx F 0 cos t [.] Met behulp van [.6] en [.34] wor dit m d x dx m m 0 x F 0 cos t [.3] Dit is de differentiaalvergelijking voor de gedwongen harmonische oscillator.letop:de hoekfrequentie wor bepaald door de aandrijving, en heeft dus in het algemeen een andere waarde dan de hoekfrequenties 0 uit [.6] of uit [.38]. Het is interessant om na te gaan hoe het gedempte massa-veersysteem bij vaste F 0 reageert voor verschillende waarden van. Het zal blijken dat de oscillator bij elke ingestelde waarde van na enige tijd inslingeren een harmonische beweging met hoekfrequentie aanneemt, waarbij de amplitude en de faseachterstand ten opzichte van Ft beide van de keuze van afhankelijk zijn. We spreken dan van een stationaire toestand. De eigenschappen van stationaire toestanden zullen we hieronder nader bekijken. Zullen amplitude en faseachterstand van de gedwongen trilling in een stationaire toestand, behalve van F 0 en van, ook afhangen van de systeemgrootheden van de gedempte oscillator? En van de begincondities van waaruit de stationaire toestand wor bereikt? stationaire oplossing Een stationaire oplossing van [.3] is te brengen in één van de vormen xt Acost Ý xt acos t bsin t [.4a] [.4b] waarbij a Acos, b Asin [.5] Volgens [.] en [.4a] stelt de faseachterstand voor die de uitwijking xt van de stationaire oplossing heeft ten opzichte van de externe kracht Ft. Als bijvoorbeeld [.4b] in [.3] wor ingevuld ontstaan er twee algebraïsche vergelijkingen waaruit a en b (en dus via [.5] ook A en ) kunnen worden opgelost. De resultaten zijn: a F 0 m b F 0 m 0 Ý 0 Ý 0 Ý [.6a] [.6b] 34

3 A F 0 m 0 Ý [.7a] tan 0 Ý [.7b] Controleer met de hierboven aangegeven procedure de resultaten [.6a] en [.6b]. Als op een gedempt systeem met gegeven m, en 0 een externe kracht werkt met constante amplitude F 0 en instelbare hoekfrequentie kunnen we dus A en opvatten als functies van. Hierbij valt op te merken dat we A en b voor elke waarde van als positief kunnen beschouwen (zie [.7a] en [.6b]), zodat uit [.5] voor de faseachterstand van xt op Ft volgt dat 0 [.8] Het is instructief om A en voor enkele vaste waarden van uit te zetten tegen ; dit is gedaan 0 in figuur. (met 0, 3 0 F en 0 terwijl 0 ). m 0 figuur. Zolang de demping zwak is vertoont de amplitude A een maximum dat duidelijker herkenbaar is en ook dichter bij 0 ligt naarmate de demping zwakker is. Bij 0 is de faseachterstand voor elke waarde van gelijk aan ; voor andere waarden van wijkt meer af van naarmate de demping zwakker is. In deze context wor 0 ook wel de resonantiehoekfrequentie genoemd. Voor welke waarden van 0 zijn uitwijking en uitwendige kracht ongeveer in fase? Voor welke waarden ongeveer in tegenfase? Geef een kwalitatieve verklaring met behulp van de differentiaalvergelijking [.3]. 35

4 .. resonantie Uit het voorgaande blijkt dat het hoekfrequentiegebied à 0 speciale aandacht verdient. De termen m d x en m 0 x in [.3] zijn dan nagenoeg tegengesteld gelijk, zodat Ft steeds bijna in fase is met de snelheid dx. De amplitude A bereikt dan bij geringe demping relatief grote waarden, terwijl door de oscillator relatief veel vermogen wor opgenomen en weer afgestaan. Deze verschijnselen dui men aan met resonantie. gemiddeld vermogen als functie van de frequentie Een goed uitgangspunt om de resonantieverschijnselen iets nauwkeuriger te beschrijven is het opstellen van een uitdrukking voor het gemiddelde vermogen dat in een stationaire toestand door de uitwendige kracht Ft aan de oscillator wor geleverd. Het (tijdsafhankelijke) vermogen Pt wor gegeven door Pt Ftvt Ft dx [.9] Het gemiddelde vermogen èpè is het tijdsgemiddelde van Pt over één periode T : èpè T T Þ Pt T 0 T Þ dx Ft 0 [.0] Uit [.4b] volgt dx Ýasint bcost [.] Invullen van [.], [.] en [.6b] in [.0] lei tot èpè T T Þ F0 cost Ýasint bcost 0 Ý F 0 a ècostsintè F 0 b ècos tè 0 F 0 F 0 m 0 Ý F 0 4m 0 Ý [.] Aan [.] is te zien hoe èpè zich bij vaste m,, 0 en F 0 gedraagt als functie van. De laatste factor in [.] bereikt een maximale waarde voor 0,zodatèPè een maximum èpè 0 F 0 4m [.3] heeft voor 0. Bij de resonantiehoekfrequentie wor dus gemiddeld over de tijd het grootste vermogen door de externe kracht aan het systeem geleverd (zie ook figuur.). 36

5 halfwaardebreee In figuur. is, bij wijze van voorbeeld, èpè èpè 0 tegen 0 uitgezet voor de waarde 0 3.In verband met het optredende maximum spreken we van een resonantiecurve.letop:in tegenstelling tot de curves voor A uit figuur. hebben alle resonantiecurves voor èpè een maximum, ook voor grote waarden van. Bovendien liggen al deze maxima exact bij 0. figuur. In figuur. zijn ook de twee waarden van 0 aangegeven waarvoor èpè èpè 0. Het verschil 0 tussen deze twee waarden is een maat voor de breee van de resonantiecurve, en wor de halfwaardebreee genoemd. Evenzo is in een niet-genormeerd diagram, waarin èpè voor zekere direct tegen is uitgezet, de halfwaardebreee gelijk aan de bandbreee. Dit is dus het verschil tussen de twee hoekfrequenties en waarvoor het gemiddeld overgedragen vermogen de helft van het maximum (bij die ) bedraagt. Eenvoudig kan worden afgeleid dat Ý [.4] Ga met behulp van [.] en [.3] na dat Ý 0 en 0. Hoe liggen en ten opzichte van 0 bij zwakke demping? kwaliteitsfactor Hoe kleiner is ten opzichte van 0, des te smaller is de resonantiepiek. Daarom wor 0 de kwaliteitsfactor Q genoemd, die verschillend geschreven kan worden: Q 0 0 m 0 mk [.5] Een zwak gedempt systeem heeft dus een hoge kwaliteitsfactor. Het reageert met betrekking tot 37

6 het opnemen van vermogen selectief (met een scherpe piek) als de aangeboden frequentie gevarieerd wor. In figuur.3 is, op de manier van figuur., een verzameling resonantiecurves uitgezet voor verschillende waarden van. Voor kleine liggen en vrijwel symmetrisch ten opzichte van 0. figuur.3..3 inslingerverschijnselen superpositiebeginsel Stel we nemen de vergelijkingen Hxt Hxt Hxt F t F t F t F t [.6a] [.6b] [.6c] waarin Hxt steeds dezelfde lineaire veelterm in xt en afgeleiden van xt voorstelt. Neem aan dat x t een oplossing is van [.6a], en x t een oplossing van [.6b]. Dan gel: Hx t x t Hx t Hx t F t F t [.7] ofwel, x t x t is een oplossing van [.6c]. We noemen dit het superpositiebeginsel: vanwege de lineariteit van H worden de oplossingen opgeteld (gesuperponeerd) als de rechterleden worden opgeteld. overgangsoplossing Het bovenstaande passen we nu als volgt toe. Voor [.6a] én voor [.6c] nemen we de 38

7 differentiaalvergelijking voor de gedwongen harmonische oscillator [.3], en voor [.6b] die voor de vrije gedempte harmonische oscillator, zoals die volgt uit [.33]: m d x m d x dx m dx m m 0 x F 0 cos t m 0 x 0 [.3] [.33] Het superpositiebeginsel zegt nu dat elke superpositie van een willekeurige oplossing x vrij t van [.33] en een stationaire oplossing x stat t van [.3] xt x vrij t x stat t [.8] opnieuw een oplossing is van [.3]. Volgens [.4] en [.4a] wor dit bij zwakke demping: xt e Ý t A cos t Ý Acost Ý [.9] waarbij A en bepaald worden door de begincondities, maar A en door [.7]. Deze oplossingen voor het gedwongen systeem zijn dus algemener dan een stationaire oplossing, en niet periodiek. De uitstervende term x vrij t wor, in tegenstelling tot de periodieke term x stat t, beheerst door de hoekfrequentie. Het resultaat voor de superpositie xt kan er bijvoorbeeld uitzien zoals in figuur.4 (Let wel: x vrij t is op zich zelf géén oplossing van [.3], maar draagt tijdens het inslingeren wel bij aan xt). figuur.4 Druk de tijdconstante voor het inslingerverschijnsel uit in. Geef in het geval van figuur.4 de grootste frequentie aan: of. 39

8 . ELEKTRISCH SYSTEEM.. analogie met mechanisch systeem stationaire oplossing voor de stroom Als een LRC-kring wor aangesloten op een wisselspanning Vt V 0 cost (figuur.5) zal er een gedwongen elektrische trilling optreden, waarbij in de praktijk heel snel een stationaire toestand intree. figuur.5 Op de manier van [.] en [.3] krijgt de differentiaalvergelijking één van de vormen L d q L d q R dq L dq q C V 0 cost L 0 q V 0 cost [.0a] [.0b] De stationaire oplossing voor de lading op de condensator ziet er dan uit als qt Acost Ý [.] waarin, analoog met [.7], 40

9 A V 0 L 0 Ý [.a] tan 0 Ý [.b] terwijl en 0 met R, L en C samenhangen volgens [.47] en [.9]. Uit [.] volgt voor de stationaire stroom It in de kring: It Ý Asint Ý Acost Ý [.3] waarbij de faseachterstand van de stroom op de aangelegde spanning Vt moet voldoen aan Ý [.4] zodat uit [.8] volgt: Ý [.5] Dit laatste betekent dat It, afhankelijk van de waarde van 0, in werkelijkheid vóór of achter kan lopen op Vt. Voor de maximale waarde I m A en voor de faseachterstand van It op Vt volgt uit [.] en [.4] I m V 0 L 0 Ý tan Ý 0 [.6a] [.6b] Om formules te krijgen in termen van R, L en C vullen we [.47] en [.9] in, met als resultaat: I m V 0 R L Ý C [.7a] tan L Ý C R [.7b] Voor welke waarden van 0 loopt It vóór op Vt, voor welke waarden achter? We zullen straks zien dat het handig is om het kwadraat van de maximale stroom als functie van te beschouwen. In figuur.6 zetten we I m en uit tegen 0 voor vaste waarden van L en C en voor verschillende waarden van R. 4

10 figuur.6 vermogen en kwaliteitsfactor Het gemiddelde vermogen dat de spanningsbron aan de kring levert is, analoog aan [.0] en [.]: èpè T Þ 0 T Pt T Þ 0 T VtIt V 0 4L 0 Ý [.8] Bij variatie van geeft dit aanleiding tot resonantiecurves zoals in figuur [.3], met kwaliteitsfactor Q 0 0 L 0 R R L C [.9] gedrag van I m Uit [.6a] volgt: I m V 0 4L 0 Ý [.30] Vergelijken van [.8] en [.30] leert dat èpè LI m RI m [.3] Waarom was het resultaat [.3] te verwachten? 4

11 Dit betekent dat I m en èpè zich voor een vaste waarde van R op dezelfde manier gedragen als functie van. De curves voor I m zoals in figuur.6 zijn dan ook gelijkvormig met vermogensresonantiecurves. Uit curves voor I m als functie van kan dus, net als uit èpè als functie van, op 50% van de piekhoogte een halfwaardebreee of bandbreee Ý R L [.3] van hoekfrequenties worden afgelezen waarvoor het gemiddeld overgedragen vermogen meer dan de helft van het maximum is. (Let op: uit I m als functie van kan dezelfde bandbreee dus worden afgelezen op 00% à 70% van de piekhoogte). De waarden en waarbij voor een bepaalde LRC-kring gel dat èpè èpè 0 heten ook wel de 3dB-punten van het systeem, omdat daar de verzwakking in db gelijk is aan Ý 0 0 log à 3. èpè Deze verzwakking is een logaritmische maat voor èpè. Een afname met 3 db komt dus ongeveer 0 overeen met een factor in het vermogen. Hoe groot is de verzwakking in db als èpè èpè 0 0., hoe groot als èpè èpè 0 0.0?.. complexe rekenwijze Bij de complexe rekenwijze vervangen we cosinusvormige spanningen en stromen door complexe functies via de substitutie cost Ý Û e itý [.33] Zo komt bijvoorbeeld in Vt V 0 cost Vt V 0 e it [.34a] [.34b] de complexe functie Vt in de plaats voor een werkelijke spanning Vt die daarvan het reële deel is. Hebben we nu een differentiaalvergelijking van de vorm H q t Vt [.35] met H q t een lineaire veelterm in q t en afgeleiden van q t met reële coëfficiënten, dan zullen hieruit dezelfde oplossingen voor het reële deel qt van q t komen als uit Hqt Vt [.36] vectorvoorstelling Het is dus mogelijk om lineaire bewerkingen zoals (delen van) H eerst toe te passen op een complexe functie xt met reëel deel xt en daarna te stellen dat H(xt Re H(xt. Daarbij kunnen de resultaten H(xt als vectoren in het complexe vlak worden weergegeven. 43

12 Zo schrijven we in plaats van [.0a] voor de differentiaalvergelijking van de aangedreven LRC-kring L d q R dq q C V 0e it [.37] Volgens [.] en [.3] moeten hieruit als complexe oplossingen volgen (let op: i e i ): q t Ae itý It dq di d q i q t Ae itý Ý q t Ý Ae itý [.38a] [.38b] [.38c] waarbij A, en weer voldoen aan [.] en [.4]. Hierbij gel voor de complexe spanningen over condensator, weerstand en spoel: V C q t C V R R dq V L L d q irqt Ý L q t [.39a] [.39b] [.39c] Vergelijking [.37] is de wet van Kirchhoff in complexe vorm, toegepast op de schakeling van figuur.5. Daarom is deze vergelijking op elk tijdstip voor te stellen door een vectoroptelling van spanningen in het complexe vlak, zoals in figuur.7 op het tijdstip t. figuur.7 44

13 impedanties Als we [.37] delen door de complexe stroom I ontstaat een vergelijking waarin elke complexe term de dimensie heeft van een weerstand. Links staan de complexe weerstanden (impedanties) Z L, Z R en Z C van de componenten L, R en C; rechts de impedantie Z van de hele serieschakeling: V L It V R It V C It Z L Z R Z C Z Vt It [.40a] [.40b] Volgens [.38] en [.39] gel Z L il Z R R Z C ic Z V 0 e it Ae itý V 0 I m e i Z e i [.4a] [.4b] en dus gaat [.37] bij het invullen van deze oplossingen over in de gelijkheid R i L Ý C Z ei [.4] die consistent is met [.7]. Ook vergelijking [.40b] voor de impedanties kan als een vectoroptelling in het complexe vlak getekend worden; deze is echter niet tijdsafhankelijk. Ook deze optelling is weergegeven in figuur.7. Leg uit dat de vectoroptelling van spanningen in het complexe vlak ronddraait met hoeksnelheid. overdrachtsfuncties en systeemkarakteristieken In dit hoofdstuk kijken we naar het gedrag van zwak gedempte harmonische oscillatoren die worden aangedreven door een externe invloed. We kunnen dit gedrag ook opvatten als de respons van een e orde-systeem (geregeerd door een e orde differentiaalvergelijking) in termen van input-outputrelaties. In het elektrische geval van de LRC-kring is de sinusvormige input de bronspanning Vt. Als sinusvormige output nemen we bijvoorbeeld de spanning V R t over de weerstand of de spanning V C t over de condensator. Omdat de output sterk afhangt van noemen we het aldus gekozen elektrische systeem een filter. Als we werken met complexe spanningen kunnen we de respons telkens beschrijven via een dimensieloze complexe overdrachtsfunctie F die volgt uit de e orde differentiaalvergelijking [.37]. Deze functie wor gedefinieerd als de complexe verhouding van output en input: F V out V in Z out Z in [.43] Deze verhouding hangt niet af van de tijd, en bevat alle informatie die nodig is om amplitude-en fasekarakteristieken te tekenen. De amplitudekarakteristiek (AK) is de grafiek van de amplitudeverhouding, de fasekarakteristiek (FK) die van de fasevoorsprong: 45

14 amplitude van de output F Û AK amplitude van de input argf fasehoek van de output Ý fasehoek van de input Û FK [.44a] [.44b] stroomresonantie Nemen we V R t als output dan gedraagt deze output zich als It in [.38b]. Daarom spreken we hier van stroomresonantie. Uit [.43] en [.4b] volgt F F V R Z R R V Z Z eýi Z R R R L Ý C argf Ý (mettan L Ý C R ) [.45a] [.45b] [.45c] Ga na dat het gedrag van F en Ý argf voor verschillende waarden van R wor weerspiegeld door figuren.3 en.6. Waarom wor de schakeling met V R t als output een bandfilter genoemd? Bereken F 0 en argf 0. spanningsresonantie Nemen we V C t als output dan gedraagt deze output zich als q t in [.38a]. We noemen dit spanningsresonantie. Uit [.43] en [.4b] volgt nu F V C V F C Z Z C Z ic Z eýi C Z eýi C R L Ý C argf Ý (mettan R C Ý L ) [.46a] [.46b] [.46c] Ga na dat het gedrag van F en Ý argf voor verschillende waarden van R wor weerspiegeld door figuur.. Waarom is de schakeling met V C t als output een hoogafsnijdend filter? Laat zien dat F 0 Q en argf 0 Ý. 46

15 .3 SAMENVATTING. De vergelijking voor de uitwijking van een mechanische gedwongen harmonische oscillator als functie van de tijd is m d x dx m m 0 x F 0 cos t [.3]. De oplossingen zijn superposities van de vorm xt x vrij t x stat t [.8] Hierin is de blijvende (stationaire) oplossing x stat t onafhankelijk van de begincondities, terwijl met de toevoeging x vrij t een inslingerverschijnsel wor beschreven. 3. In de limiet x vrij t Û 0 (stationaire toestand) gel xt Acost Ý [.4a] met A F 0 m 0 Ý [.7a] tan 0 Ý [.7b] 4. Het door de uitwendige kracht aan de oscillator geleverde gemiddelde vermogen èpè als functie van is maximaal voor 0. Dit noemen we (vermogens)resonantie. 5. De bandbreee is de halfwaardebreee van de vermogensresonantiepiek èpè, gemeten op de halve piekhoogte: Ý [.4] Een zwak gedempt systeem geeft een scherpe resonantiepiek. 6. Een LRC-kring aangesloten op een wisselspanning Vt V 0 cos t zal een 47

16 gedwongen elektrische trilling uitvoeren. De maximale stroom en de faseachterstand van de stroom op de spanning worden in de stationaire toestand gegeven door I m V 0 R L Ý C L Ý tan C R [.7a] [.7b] 7. De (complexe) impedantie Z van de serieschakeling van de componenten L, R en C is Z Z L Z R Z C [.40b] waarbij Z L il Z R R Z C ic [.4a] 8. Bij stroomresonantie (V R t als output) worden amplitude-en fasekarakteristiek bepaald door de (complexe) overdrachtsfunctie F volgens F argf R Z Ý [.45b] [.45c] 9. Bij spanningsresonantie (V C t als output) worden amplitude-en fasekarakteristiek bepaald door de (complexe) overdrachtsfunctie F volgens F C Z argf Ý [.46b] [.46c] 48