2 GEDWONGEN TRILLINGEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2 GEDWONGEN TRILLINGEN"

Transcriptie

1 GEDWONGEN TRILLINGEN.0 INLEIDING Onder de titel gedwongen trillingen bekijken we de trillingen van een zwak gedempte harmonische oscillator die ontstaan als deze niet zelfstandig trilt, maar wor aangedreven door een externe invloed. We doen dit zowel voor een mechanisch systeem als voor een elektrisch systeem. Van belang zijn vooral de stationaire toestanden, waarbij harmonische trillingen een centrale rol spelen. De frequentie van de aandrijving in relatie tot de systeemgrootheden is bepalend voor het gedrag van het systeem. Als deze frequentie in de buurt ligt van de eigenfrequentie die het systeem zonder demping zou hebben zullen er resonantieverschijnselen optreden: het systeem reageert dan relatief sterk op de aandrijving. Daarnaast kijken we naar inslingerverschijnselen, die voorkomen tijdens het bereiken van stationaire toestanden. Deze kunnen worden beschreven met het begrip superpositie. Met name bij de kwantitatieve beschrijving van het gedrag van het aangedreven elektrische systeem maken we gebruik van het begrip (complexe) impedantie. Hiermee kunnen overdrachtsfuncties van dit systeem worden beschreven.. MECHANISCH SYSTEEM.. bewegingsvergelijking bij externe aandrijving We kunnen de mechanische gedempte oscillator uit sectie.. onderwerpen aan een periodiek variërende uitwendige kracht Ft die als een externe aandrijving gaat fungeren. We nemen hiervoor de eenvoudige vorm Ft F 0 cos t [.] 33

2 Dit betekent dat een nieuwe term aan de bewegingsvergelijking wor toegevoegd, waardoor [.33] overgaat in m d x dx kx F 0 cos t [.] Met behulp van [.6] en [.34] wor dit m d x dx m m 0 x F 0 cos t [.3] Dit is de differentiaalvergelijking voor de gedwongen harmonische oscillator.letop:de hoekfrequentie wor bepaald door de aandrijving, en heeft dus in het algemeen een andere waarde dan de hoekfrequenties 0 uit [.6] of uit [.38]. Het is interessant om na te gaan hoe het gedempte massa-veersysteem bij vaste F 0 reageert voor verschillende waarden van. Het zal blijken dat de oscillator bij elke ingestelde waarde van na enige tijd inslingeren een harmonische beweging met hoekfrequentie aanneemt, waarbij de amplitude en de faseachterstand ten opzichte van Ft beide van de keuze van afhankelijk zijn. We spreken dan van een stationaire toestand. De eigenschappen van stationaire toestanden zullen we hieronder nader bekijken. Zullen amplitude en faseachterstand van de gedwongen trilling in een stationaire toestand, behalve van F 0 en van, ook afhangen van de systeemgrootheden van de gedempte oscillator? En van de begincondities van waaruit de stationaire toestand wor bereikt? stationaire oplossing Een stationaire oplossing van [.3] is te brengen in één van de vormen xt Acost Ý xt acos t bsin t [.4a] [.4b] waarbij a Acos, b Asin [.5] Volgens [.] en [.4a] stelt de faseachterstand voor die de uitwijking xt van de stationaire oplossing heeft ten opzichte van de externe kracht Ft. Als bijvoorbeeld [.4b] in [.3] wor ingevuld ontstaan er twee algebraïsche vergelijkingen waaruit a en b (en dus via [.5] ook A en ) kunnen worden opgelost. De resultaten zijn: a F 0 m b F 0 m 0 Ý 0 Ý 0 Ý [.6a] [.6b] 34

3 A F 0 m 0 Ý [.7a] tan 0 Ý [.7b] Controleer met de hierboven aangegeven procedure de resultaten [.6a] en [.6b]. Als op een gedempt systeem met gegeven m, en 0 een externe kracht werkt met constante amplitude F 0 en instelbare hoekfrequentie kunnen we dus A en opvatten als functies van. Hierbij valt op te merken dat we A en b voor elke waarde van als positief kunnen beschouwen (zie [.7a] en [.6b]), zodat uit [.5] voor de faseachterstand van xt op Ft volgt dat 0 [.8] Het is instructief om A en voor enkele vaste waarden van uit te zetten tegen ; dit is gedaan 0 in figuur. (met 0, 3 0 F en 0 terwijl 0 ). m 0 figuur. Zolang de demping zwak is vertoont de amplitude A een maximum dat duidelijker herkenbaar is en ook dichter bij 0 ligt naarmate de demping zwakker is. Bij 0 is de faseachterstand voor elke waarde van gelijk aan ; voor andere waarden van wijkt meer af van naarmate de demping zwakker is. In deze context wor 0 ook wel de resonantiehoekfrequentie genoemd. Voor welke waarden van 0 zijn uitwijking en uitwendige kracht ongeveer in fase? Voor welke waarden ongeveer in tegenfase? Geef een kwalitatieve verklaring met behulp van de differentiaalvergelijking [.3]. 35

4 .. resonantie Uit het voorgaande blijkt dat het hoekfrequentiegebied à 0 speciale aandacht verdient. De termen m d x en m 0 x in [.3] zijn dan nagenoeg tegengesteld gelijk, zodat Ft steeds bijna in fase is met de snelheid dx. De amplitude A bereikt dan bij geringe demping relatief grote waarden, terwijl door de oscillator relatief veel vermogen wor opgenomen en weer afgestaan. Deze verschijnselen dui men aan met resonantie. gemiddeld vermogen als functie van de frequentie Een goed uitgangspunt om de resonantieverschijnselen iets nauwkeuriger te beschrijven is het opstellen van een uitdrukking voor het gemiddelde vermogen dat in een stationaire toestand door de uitwendige kracht Ft aan de oscillator wor geleverd. Het (tijdsafhankelijke) vermogen Pt wor gegeven door Pt Ftvt Ft dx [.9] Het gemiddelde vermogen èpè is het tijdsgemiddelde van Pt over één periode T : èpè T T Þ Pt T 0 T Þ dx Ft 0 [.0] Uit [.4b] volgt dx Ýasint bcost [.] Invullen van [.], [.] en [.6b] in [.0] lei tot èpè T T Þ F0 cost Ýasint bcost 0 Ý F 0 a ècostsintè F 0 b ècos tè 0 F 0 F 0 m 0 Ý F 0 4m 0 Ý [.] Aan [.] is te zien hoe èpè zich bij vaste m,, 0 en F 0 gedraagt als functie van. De laatste factor in [.] bereikt een maximale waarde voor 0,zodatèPè een maximum èpè 0 F 0 4m [.3] heeft voor 0. Bij de resonantiehoekfrequentie wor dus gemiddeld over de tijd het grootste vermogen door de externe kracht aan het systeem geleverd (zie ook figuur.). 36

5 halfwaardebreee In figuur. is, bij wijze van voorbeeld, èpè èpè 0 tegen 0 uitgezet voor de waarde 0 3.In verband met het optredende maximum spreken we van een resonantiecurve.letop:in tegenstelling tot de curves voor A uit figuur. hebben alle resonantiecurves voor èpè een maximum, ook voor grote waarden van. Bovendien liggen al deze maxima exact bij 0. figuur. In figuur. zijn ook de twee waarden van 0 aangegeven waarvoor èpè èpè 0. Het verschil 0 tussen deze twee waarden is een maat voor de breee van de resonantiecurve, en wor de halfwaardebreee genoemd. Evenzo is in een niet-genormeerd diagram, waarin èpè voor zekere direct tegen is uitgezet, de halfwaardebreee gelijk aan de bandbreee. Dit is dus het verschil tussen de twee hoekfrequenties en waarvoor het gemiddeld overgedragen vermogen de helft van het maximum (bij die ) bedraagt. Eenvoudig kan worden afgeleid dat Ý [.4] Ga met behulp van [.] en [.3] na dat Ý 0 en 0. Hoe liggen en ten opzichte van 0 bij zwakke demping? kwaliteitsfactor Hoe kleiner is ten opzichte van 0, des te smaller is de resonantiepiek. Daarom wor 0 de kwaliteitsfactor Q genoemd, die verschillend geschreven kan worden: Q 0 0 m 0 mk [.5] Een zwak gedempt systeem heeft dus een hoge kwaliteitsfactor. Het reageert met betrekking tot 37

6 het opnemen van vermogen selectief (met een scherpe piek) als de aangeboden frequentie gevarieerd wor. In figuur.3 is, op de manier van figuur., een verzameling resonantiecurves uitgezet voor verschillende waarden van. Voor kleine liggen en vrijwel symmetrisch ten opzichte van 0. figuur.3..3 inslingerverschijnselen superpositiebeginsel Stel we nemen de vergelijkingen Hxt Hxt Hxt F t F t F t F t [.6a] [.6b] [.6c] waarin Hxt steeds dezelfde lineaire veelterm in xt en afgeleiden van xt voorstelt. Neem aan dat x t een oplossing is van [.6a], en x t een oplossing van [.6b]. Dan gel: Hx t x t Hx t Hx t F t F t [.7] ofwel, x t x t is een oplossing van [.6c]. We noemen dit het superpositiebeginsel: vanwege de lineariteit van H worden de oplossingen opgeteld (gesuperponeerd) als de rechterleden worden opgeteld. overgangsoplossing Het bovenstaande passen we nu als volgt toe. Voor [.6a] én voor [.6c] nemen we de 38

7 differentiaalvergelijking voor de gedwongen harmonische oscillator [.3], en voor [.6b] die voor de vrije gedempte harmonische oscillator, zoals die volgt uit [.33]: m d x m d x dx m dx m m 0 x F 0 cos t m 0 x 0 [.3] [.33] Het superpositiebeginsel zegt nu dat elke superpositie van een willekeurige oplossing x vrij t van [.33] en een stationaire oplossing x stat t van [.3] xt x vrij t x stat t [.8] opnieuw een oplossing is van [.3]. Volgens [.4] en [.4a] wor dit bij zwakke demping: xt e Ý t A cos t Ý Acost Ý [.9] waarbij A en bepaald worden door de begincondities, maar A en door [.7]. Deze oplossingen voor het gedwongen systeem zijn dus algemener dan een stationaire oplossing, en niet periodiek. De uitstervende term x vrij t wor, in tegenstelling tot de periodieke term x stat t, beheerst door de hoekfrequentie. Het resultaat voor de superpositie xt kan er bijvoorbeeld uitzien zoals in figuur.4 (Let wel: x vrij t is op zich zelf géén oplossing van [.3], maar draagt tijdens het inslingeren wel bij aan xt). figuur.4 Druk de tijdconstante voor het inslingerverschijnsel uit in. Geef in het geval van figuur.4 de grootste frequentie aan: of. 39

8 . ELEKTRISCH SYSTEEM.. analogie met mechanisch systeem stationaire oplossing voor de stroom Als een LRC-kring wor aangesloten op een wisselspanning Vt V 0 cost (figuur.5) zal er een gedwongen elektrische trilling optreden, waarbij in de praktijk heel snel een stationaire toestand intree. figuur.5 Op de manier van [.] en [.3] krijgt de differentiaalvergelijking één van de vormen L d q L d q R dq L dq q C V 0 cost L 0 q V 0 cost [.0a] [.0b] De stationaire oplossing voor de lading op de condensator ziet er dan uit als qt Acost Ý [.] waarin, analoog met [.7], 40

9 A V 0 L 0 Ý [.a] tan 0 Ý [.b] terwijl en 0 met R, L en C samenhangen volgens [.47] en [.9]. Uit [.] volgt voor de stationaire stroom It in de kring: It Ý Asint Ý Acost Ý [.3] waarbij de faseachterstand van de stroom op de aangelegde spanning Vt moet voldoen aan Ý [.4] zodat uit [.8] volgt: Ý [.5] Dit laatste betekent dat It, afhankelijk van de waarde van 0, in werkelijkheid vóór of achter kan lopen op Vt. Voor de maximale waarde I m A en voor de faseachterstand van It op Vt volgt uit [.] en [.4] I m V 0 L 0 Ý tan Ý 0 [.6a] [.6b] Om formules te krijgen in termen van R, L en C vullen we [.47] en [.9] in, met als resultaat: I m V 0 R L Ý C [.7a] tan L Ý C R [.7b] Voor welke waarden van 0 loopt It vóór op Vt, voor welke waarden achter? We zullen straks zien dat het handig is om het kwadraat van de maximale stroom als functie van te beschouwen. In figuur.6 zetten we I m en uit tegen 0 voor vaste waarden van L en C en voor verschillende waarden van R. 4

10 figuur.6 vermogen en kwaliteitsfactor Het gemiddelde vermogen dat de spanningsbron aan de kring levert is, analoog aan [.0] en [.]: èpè T Þ 0 T Pt T Þ 0 T VtIt V 0 4L 0 Ý [.8] Bij variatie van geeft dit aanleiding tot resonantiecurves zoals in figuur [.3], met kwaliteitsfactor Q 0 0 L 0 R R L C [.9] gedrag van I m Uit [.6a] volgt: I m V 0 4L 0 Ý [.30] Vergelijken van [.8] en [.30] leert dat èpè LI m RI m [.3] Waarom was het resultaat [.3] te verwachten? 4

11 Dit betekent dat I m en èpè zich voor een vaste waarde van R op dezelfde manier gedragen als functie van. De curves voor I m zoals in figuur.6 zijn dan ook gelijkvormig met vermogensresonantiecurves. Uit curves voor I m als functie van kan dus, net als uit èpè als functie van, op 50% van de piekhoogte een halfwaardebreee of bandbreee Ý R L [.3] van hoekfrequenties worden afgelezen waarvoor het gemiddeld overgedragen vermogen meer dan de helft van het maximum is. (Let op: uit I m als functie van kan dezelfde bandbreee dus worden afgelezen op 00% à 70% van de piekhoogte). De waarden en waarbij voor een bepaalde LRC-kring gel dat èpè èpè 0 heten ook wel de 3dB-punten van het systeem, omdat daar de verzwakking in db gelijk is aan Ý 0 0 log à 3. èpè Deze verzwakking is een logaritmische maat voor èpè. Een afname met 3 db komt dus ongeveer 0 overeen met een factor in het vermogen. Hoe groot is de verzwakking in db als èpè èpè 0 0., hoe groot als èpè èpè 0 0.0?.. complexe rekenwijze Bij de complexe rekenwijze vervangen we cosinusvormige spanningen en stromen door complexe functies via de substitutie cost Ý Û e itý [.33] Zo komt bijvoorbeeld in Vt V 0 cost Vt V 0 e it [.34a] [.34b] de complexe functie Vt in de plaats voor een werkelijke spanning Vt die daarvan het reële deel is. Hebben we nu een differentiaalvergelijking van de vorm H q t Vt [.35] met H q t een lineaire veelterm in q t en afgeleiden van q t met reële coëfficiënten, dan zullen hieruit dezelfde oplossingen voor het reële deel qt van q t komen als uit Hqt Vt [.36] vectorvoorstelling Het is dus mogelijk om lineaire bewerkingen zoals (delen van) H eerst toe te passen op een complexe functie xt met reëel deel xt en daarna te stellen dat H(xt Re H(xt. Daarbij kunnen de resultaten H(xt als vectoren in het complexe vlak worden weergegeven. 43

12 Zo schrijven we in plaats van [.0a] voor de differentiaalvergelijking van de aangedreven LRC-kring L d q R dq q C V 0e it [.37] Volgens [.] en [.3] moeten hieruit als complexe oplossingen volgen (let op: i e i ): q t Ae itý It dq di d q i q t Ae itý Ý q t Ý Ae itý [.38a] [.38b] [.38c] waarbij A, en weer voldoen aan [.] en [.4]. Hierbij gel voor de complexe spanningen over condensator, weerstand en spoel: V C q t C V R R dq V L L d q irqt Ý L q t [.39a] [.39b] [.39c] Vergelijking [.37] is de wet van Kirchhoff in complexe vorm, toegepast op de schakeling van figuur.5. Daarom is deze vergelijking op elk tijdstip voor te stellen door een vectoroptelling van spanningen in het complexe vlak, zoals in figuur.7 op het tijdstip t. figuur.7 44

13 impedanties Als we [.37] delen door de complexe stroom I ontstaat een vergelijking waarin elke complexe term de dimensie heeft van een weerstand. Links staan de complexe weerstanden (impedanties) Z L, Z R en Z C van de componenten L, R en C; rechts de impedantie Z van de hele serieschakeling: V L It V R It V C It Z L Z R Z C Z Vt It [.40a] [.40b] Volgens [.38] en [.39] gel Z L il Z R R Z C ic Z V 0 e it Ae itý V 0 I m e i Z e i [.4a] [.4b] en dus gaat [.37] bij het invullen van deze oplossingen over in de gelijkheid R i L Ý C Z ei [.4] die consistent is met [.7]. Ook vergelijking [.40b] voor de impedanties kan als een vectoroptelling in het complexe vlak getekend worden; deze is echter niet tijdsafhankelijk. Ook deze optelling is weergegeven in figuur.7. Leg uit dat de vectoroptelling van spanningen in het complexe vlak ronddraait met hoeksnelheid. overdrachtsfuncties en systeemkarakteristieken In dit hoofdstuk kijken we naar het gedrag van zwak gedempte harmonische oscillatoren die worden aangedreven door een externe invloed. We kunnen dit gedrag ook opvatten als de respons van een e orde-systeem (geregeerd door een e orde differentiaalvergelijking) in termen van input-outputrelaties. In het elektrische geval van de LRC-kring is de sinusvormige input de bronspanning Vt. Als sinusvormige output nemen we bijvoorbeeld de spanning V R t over de weerstand of de spanning V C t over de condensator. Omdat de output sterk afhangt van noemen we het aldus gekozen elektrische systeem een filter. Als we werken met complexe spanningen kunnen we de respons telkens beschrijven via een dimensieloze complexe overdrachtsfunctie F die volgt uit de e orde differentiaalvergelijking [.37]. Deze functie wor gedefinieerd als de complexe verhouding van output en input: F V out V in Z out Z in [.43] Deze verhouding hangt niet af van de tijd, en bevat alle informatie die nodig is om amplitude-en fasekarakteristieken te tekenen. De amplitudekarakteristiek (AK) is de grafiek van de amplitudeverhouding, de fasekarakteristiek (FK) die van de fasevoorsprong: 45

14 amplitude van de output F Û AK amplitude van de input argf fasehoek van de output Ý fasehoek van de input Û FK [.44a] [.44b] stroomresonantie Nemen we V R t als output dan gedraagt deze output zich als It in [.38b]. Daarom spreken we hier van stroomresonantie. Uit [.43] en [.4b] volgt F F V R Z R R V Z Z eýi Z R R R L Ý C argf Ý (mettan L Ý C R ) [.45a] [.45b] [.45c] Ga na dat het gedrag van F en Ý argf voor verschillende waarden van R wor weerspiegeld door figuren.3 en.6. Waarom wor de schakeling met V R t als output een bandfilter genoemd? Bereken F 0 en argf 0. spanningsresonantie Nemen we V C t als output dan gedraagt deze output zich als q t in [.38a]. We noemen dit spanningsresonantie. Uit [.43] en [.4b] volgt nu F V C V F C Z Z C Z ic Z eýi C Z eýi C R L Ý C argf Ý (mettan R C Ý L ) [.46a] [.46b] [.46c] Ga na dat het gedrag van F en Ý argf voor verschillende waarden van R wor weerspiegeld door figuur.. Waarom is de schakeling met V C t als output een hoogafsnijdend filter? Laat zien dat F 0 Q en argf 0 Ý. 46

15 .3 SAMENVATTING. De vergelijking voor de uitwijking van een mechanische gedwongen harmonische oscillator als functie van de tijd is m d x dx m m 0 x F 0 cos t [.3]. De oplossingen zijn superposities van de vorm xt x vrij t x stat t [.8] Hierin is de blijvende (stationaire) oplossing x stat t onafhankelijk van de begincondities, terwijl met de toevoeging x vrij t een inslingerverschijnsel wor beschreven. 3. In de limiet x vrij t Û 0 (stationaire toestand) gel xt Acost Ý [.4a] met A F 0 m 0 Ý [.7a] tan 0 Ý [.7b] 4. Het door de uitwendige kracht aan de oscillator geleverde gemiddelde vermogen èpè als functie van is maximaal voor 0. Dit noemen we (vermogens)resonantie. 5. De bandbreee is de halfwaardebreee van de vermogensresonantiepiek èpè, gemeten op de halve piekhoogte: Ý [.4] Een zwak gedempt systeem geeft een scherpe resonantiepiek. 6. Een LRC-kring aangesloten op een wisselspanning Vt V 0 cos t zal een 47

16 gedwongen elektrische trilling uitvoeren. De maximale stroom en de faseachterstand van de stroom op de spanning worden in de stationaire toestand gegeven door I m V 0 R L Ý C L Ý tan C R [.7a] [.7b] 7. De (complexe) impedantie Z van de serieschakeling van de componenten L, R en C is Z Z L Z R Z C [.40b] waarbij Z L il Z R R Z C ic [.4a] 8. Bij stroomresonantie (V R t als output) worden amplitude-en fasekarakteristiek bepaald door de (complexe) overdrachtsfunctie F volgens F argf R Z Ý [.45b] [.45c] 9. Bij spanningsresonantie (V C t als output) worden amplitude-en fasekarakteristiek bepaald door de (complexe) overdrachtsfunctie F volgens F C Z argf Ý [.46b] [.46c] 48

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition

Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition Chapter Hoofdstuk 13 13 Lecture Essential University Physics Richard Wolfson nd Edition Trillingen Slide 13-1 13.1 Trillingen Een systeem voert een trilling uit (of oscilleert) als het een periodieke beweging

Nadere informatie

PRACTICUM TRILLINGSKRINGEN onderdeel van het vak Trillingen en Golven

PRACTICUM TRILLINGSKRINGEN onderdeel van het vak Trillingen en Golven PRACTICUM TRILLINGSKRINGEN onderdeel van het vak Trillingen en Golven Inleiding In dit practicum worden experimenten gedaan aan elektrische trillingskringen, bestaande uit weerstanden, condensatoren en

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Trillingen & Golven. Practicum 1 Resonantie. Door: Sam van Leuven 5756561 Jiri Oen 5814685 Februari 2008-02-24

Trillingen & Golven. Practicum 1 Resonantie. Door: Sam van Leuven 5756561 Jiri Oen 5814685 Februari 2008-02-24 Trillingen & Golven Practicum 1 Resonantie Door: Sam van Leuven 5756561 Jiri Oen 5814685 Februari 2008-02-24 In dit verslag wordt gesproken over resonantie van een gedwongen trilling binnen een LRC-kring

Nadere informatie

9.2 Bepaal de harmonische tijdsfuncties die horen bij deze complexe getallen: U 1 = 3 + 4j V; U 2 = 3e jb/8 V; I 1 =!j + 1 ma; I 2 = 7e!jB/3 ma.

9.2 Bepaal de harmonische tijdsfuncties die horen bij deze complexe getallen: U 1 = 3 + 4j V; U 2 = 3e jb/8 V; I 1 =!j + 1 ma; I 2 = 7e!jB/3 ma. Elektrische Netwerken 21 Opgaven bij hoofdstuk 9 9.1 Geef de complexe weergave van deze tijdsfuncties: u 1 =!3.sin(Tt+0,524) V; u 2 =!3.sin(Tt+B/6) V; u 3 =!3.sin(Tt+30 ) V. (Klopt deze uitdrukking?) 9.2

Nadere informatie

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003 Oefening 11 (p29) BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN Bereken de stromen in de verschillende takken van het netwerk

Nadere informatie

5.12 Afgerond op twee decimalen, is de effectieve waarde van deze spanning: a: U eff = 4,18 V b: U eff = 5,00 V c: U eff = 5,70 V d: U eff = 5,98 V

5.12 Afgerond op twee decimalen, is de effectieve waarde van deze spanning: a: U eff = 4,18 V b: U eff = 5,00 V c: U eff = 5,70 V d: U eff = 5,98 V Elektrische Netwerken 17 Opgaven bij hoofdstuk 5 De volgende twee vragen hebben beide betrekking op de hiernaast weergegeven periodieke wisselspanning. 5.12 Afgerond op twee decimalen, is de effectieve

Nadere informatie

Bepaal van de hieronder weergegeven spanningen en stromen: de periodetijd en de frequentie, de gemiddelde waarde en de effectieve waarde.

Bepaal van de hieronder weergegeven spanningen en stromen: de periodetijd en de frequentie, de gemiddelde waarde en de effectieve waarde. Elektrische Netwerken 13 Opgaven bij hoofdstuk 5 Bepaal van de hieronder weergegeven spanningen en stromen: de periodetijd en de frequentie, de gemiddelde waarde en de effectieve waarde. 5.1 5.2 5.3 5.4

Nadere informatie

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen

Vandaag. Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Vandaag Uur 1: Differentiaalvergelijkingen Uur 2: Modellen Diferentiaalvergelijkingen Wiskundige beschrijving van dynamische processen Vergelijking voor y(t): grootheid die in de tijd varieert Voorbeelden:

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren 8C120-2011 6 april 2011, 09:00-12:00

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren 8C120-2011 6 april 2011, 09:00-12:00 Tentamen Inleiding Meten en Modelleren 8C20-20 6 april 20 09:00-2:00 Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel

Nadere informatie

Trillingen en Golven

Trillingen en Golven College-aantekeningen Trillingen en Golven vijfde kwartaal Natuur- en Sterrenkunde, Natuurwetenschappen najaar 008 F. Filthaut Experimentele Hoge-Energie Fysica Institute for Mathematics, Astrophysics,

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan. Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een

Nadere informatie

Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2, Versie 1

Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2, Versie 1 Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2, Versie 1 Datum: 16 september 2009 Tijd: 10:45 12:45 (120 minuten) Het gebruik van een rekenmachine is niet toegestaan. Deze toets telt 8 opgaven en een bonusopgave Werk systematisch

Nadere informatie

Condensator. Het hellingsgetal a is constant. Dit hellingsgetal noemen we de capaciteit van de condensator C. Er geldt dus: C = Q U

Condensator. Het hellingsgetal a is constant. Dit hellingsgetal noemen we de capaciteit van de condensator C. Er geldt dus: C = Q U Inhoud Condensator... 2 Het laden van een condensator... 3 Het ontladen van een condensator... 5 Opgaven... 6 Opgave: Alarminstallatie... 6 Opgave: Gelijkrichtschakeling... 6 Opgave: Boormachine... 7 1/7

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

Opgaven bij hoofdstuk 12

Opgaven bij hoofdstuk 12 32 Meerkeuze-opgaven Opgaven bij hoofdstuk 12 12.6 Van een lineaire tweepoort is poort 1 als ingang en poort 2 als uitgang op te vatten. Bij de Z-parametervoorstelling van deze tweepoort geldt dan: a:

Nadere informatie

Elektronicapracticum. een toepassing van complexe getallen. Lesbrief

Elektronicapracticum. een toepassing van complexe getallen. Lesbrief Elektronicapracticum een toepassing van complexe getallen Lesbrief 2 Inleiding Bij wiskunde D heb je kennisgemaakt met complexe getallen. Je was al vertrouwd met de reële getallen, de getallen die je op

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E020 22 april 2009, 9.00-12.00 uur

Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E020 22 april 2009, 9.00-12.00 uur Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 9, 9. -. uur Dit tentamen bestaat uit opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel van de punten opleveren.

Nadere informatie

Leereenheid 4. Diagnostische toets: Serieschakeling. Let op!

Leereenheid 4. Diagnostische toets: Serieschakeling. Let op! Leereenheid 4 Diagnostische toets: Serieschakeling Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden aan. Vragen gemerkt met: J O. Sommige van

Nadere informatie

Oefeningen Elektriciteit II Deel II

Oefeningen Elektriciteit II Deel II Oefeningen Elektriciteit II Deel II Dit document bevat opgaven die aansluiten bij de cursustekst Elektriciteit II deel II uit het jaarprogramma van het e bachelorjaar industriële wetenschappen KaHo Sint-ieven.

Nadere informatie

Impedantie V I V R R Z R

Impedantie V I V R R Z R Impedantie Impedantie (Z) betekent: wisselstroom-weerstand. De eenheid is (met als gelijkstroom-weerstand) Ohm. De weerstand geeft aan hoe goed de stroom wordt tegengehouden. We kennen de formules I R

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Practicum complexe stromen

Practicum complexe stromen Practicum complexe stromen Experiment 1a: Een blokspanning over een condensator en een spoel De opstelling is al voor je klaargezet. Controleer of de frequentie ongeveer op 500 Hz staat. De vorm van het

Nadere informatie

2de bach HIR. Optica. Smvt - Peremans. uickprinter Koningstraat Antwerpen EUR

2de bach HIR. Optica. Smvt - Peremans. uickprinter Koningstraat Antwerpen EUR 2de bach HIR Optica Smvt - Peremans Q uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen www.quickprinter.be 231 3.00 EUR Trillingen 1. Eenparige harmonische beweging Trilling =een ladingsdeeltje beweegt herhaaldelijk

Nadere informatie

Bijlage 2: Eerste orde systemen

Bijlage 2: Eerste orde systemen Bijlage 2: Eerste orde systemen 1: Een RC-kring 1.1: Het frequentiegedrag Een eerste orde systeem kan bijvoorbeeld opgebouwd zijn uit de serieschakeling van een weerstand R en een condensator C. Veronderstel

Nadere informatie

Condensator. Het hellingsgetal a is constant. Dit hellingsgetal noemen we de capaciteit van de condensator C. Er geldt dus: C = Q U

Condensator. Het hellingsgetal a is constant. Dit hellingsgetal noemen we de capaciteit van de condensator C. Er geldt dus: C = Q U Inhoud Condensator... 2 Het laden van een condensator... 3 Het ontladen van een condensator... 6 Het gedrag van een condensator in een schakeling... 7 Opgaven... 8 Opgave: Alarminstallatie... 8 Opgave:

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Leereenheid 3. Diagnostische toets: Enkelvoudige wisselstroomkringen

Leereenheid 3. Diagnostische toets: Enkelvoudige wisselstroomkringen Leereenheid 3 Diagnostische toets: Enkelvoudige wisselstroomkringen Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden aan. Vragen gemerkt met:

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Harmonische stromen en resonantie..zx ronde 30 augustus 2015

Harmonische stromen en resonantie..zx ronde 30 augustus 2015 Harmonische stromen en resonantie..zx ronde 30 augustus 2015 Ons elektriciteitsnet wordt bedreven met wisselspanning en wisselstroom. Als bij een lineaire belasting een sinusvormige wisselspanning aangeboden

Nadere informatie

De leraar fysica als goochelaar. lesvoorbeeld: harmonische trillingen

De leraar fysica als goochelaar. lesvoorbeeld: harmonische trillingen De leraar fysica als goochelaar lesvoorbeeld: harmonische trillingen Stan Wouters Docent Fysica aan de Faculteit Industriële Ingenieurs Fi² (= KHLim en Xios) VLAAMS CONGRES VAN LERAARS WETENSCHAPPEN zaterdag

Nadere informatie

Elektrische Netwerken 59

Elektrische Netwerken 59 Elektrische Netwerken 59 Opgaven bij hoofdstuk 17 17.12 We beschouwen de spanningen en stromen in een willekeurig RLC-netwerk. Op het tijdstip t=0 wordt geschakeld, zodat deze spanningen en stromen veranderen.

Nadere informatie

Een mogelijke oplossing verkrijgen we door het gebruik van gyratoren. In de volgende figuur zien we het basisschema van een gyrator.

Een mogelijke oplossing verkrijgen we door het gebruik van gyratoren. In de volgende figuur zien we het basisschema van een gyrator. 1.1.1 Oplossing met gyratoren Een mogelijke oplossing verkrijgen we door het gebruik van gyratoren. In de volgende figuur zien we het basisschema van een gyrator. Figuur 36.2 Het basisschema van een gyrator

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen

Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f

Nadere informatie

Magnetische toepassingen in de motorvoertuigentechniek (3)

Magnetische toepassingen in de motorvoertuigentechniek (3) Magnetische toepassingen in de motorvoertuigentechniek (3) E. Gernaat, ISBN 978-90-808907-3-2 1 Theorie wisselspanning 1.1 De inductieve spoelweerstand (X L ) Wanneer we een spoel op een wisselspanning

Nadere informatie

Opgaven bij hoofdstuk 9

Opgaven bij hoofdstuk 9 24 Meerkeuze-opgaven Opgaven bij hoofdstuk 9 9.14 Gegeven de complexe spanning: û = +12 + 5j [V]. Deze komt overeen met een wisselspanning: a: u(t) =!13.cos(Tt! 0,39) [V] b: u(t) = +13.cos(Tt! 0,39) [V]

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel

Nadere informatie

Antwoorden bij Deel 1 (hfdst. 1-8)

Antwoorden bij Deel 1 (hfdst. 1-8) Elektrische netwerken Oefenopgaven: open vragen Hints en Antwoorden Antwoorden bij Deel 1 (hfdst. 1-8) Hoofdstuk 1 1.1 15 S 1.2 4,5 A 1.3 2 A, 4 A, 6 A 1.4 5 ma,!2,5 ma 1.5 B: in strijd met de stroomwet;!1

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

LABORATORIUM ELEKTRICITEIT

LABORATORIUM ELEKTRICITEIT LABORATORIUM ELEKTRICITEIT 1 Proef RL in serie... 1.1 Uitvoering:... 1.2 Opdrachten... 2 Proef RC in serie... 7 2.1 Meetschema... 7 2.2 Uitvoering:... 7 2.3 Opdrachten... 7 3 Proef RC in parallel... 11

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN

WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN WERKBOEK TRILLINGEN EN GOLVEN Cursusjaar 2015 / 2016 Tom Hijmans, Ben van Linden van den Heuvell en Marcel Vreeswijk 2 Hoofdstuk 2 Opgaven Taylor en Complexe getallen Opgave 2.1 Laat met behulp van Taylor-ontwikkeling

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten) Q2-1 Niet-lineaire dynamica in elektrische schakelingen (10 punten) Neem voor het begin van deze opgave de algemene instructies uit de aparte enveloppe door! Inleiding Bistabiele niet-lineaire halfgeleider

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2016 TOETS APRIL :15 12:15 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2016 TOETS APRIL :15 12:15 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2016 TOETS 1 20 APRIL 2016 10:15 12:15 uur Enige constanten en dergelijke 1. AAN DE REKSTOK 5 pt Een man van 75 kg laat de rekstok los in een volledig gestrekte positie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Elektrische Netwerken

Elektrische Netwerken Elektrische Netwerken 1 Project 1 Info te verkrijgen via: http://www.hanese.nl/~jonokiewicz/ Programma Week 1: DC stromen en spanningen Week 2: Serie en parallel, l stroomdeling, spanningsdeling Week 3:

Nadere informatie

Tentamen Analoge- en Elektrotechniek

Tentamen Analoge- en Elektrotechniek Verantwoordelijke docent: R. Hoogendoorn, H.J. Wimmenhoven Cursus Analoge- en Elektrotechniek Code MAMAET01 Cursusjaar: 2014 Datum: 2-6-2014 Tijdsduur: 90 min. Modulehouder: R. Hoogendoorn Aantal bladen:

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Schakelingen, 2 e deel (EE1300-B)

Tentamen Lineaire Schakelingen, 2 e deel (EE1300-B) Tentamen Lineaire Schakelingen, 2 e deel (EE1300-B) Plaats: DTC tentamenzaal 2 Datum: 28 januari 2014 Tijd: 09:00-12:00 uur Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Gebruik voor elk vraagstuk een nieuw blad.

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Passieve filters. - Inleiding - Zelfinductie - Parallel LC-kring. - De serie RLC-kring. - Het gebruik van de serie RLC-kring

Passieve filters. - Inleiding - Zelfinductie - Parallel LC-kring. - De serie RLC-kring. - Het gebruik van de serie RLC-kring Passieve filters Passieve filters - Inleiding - Zelfinductie - Parallel LC-kring - De serie RLC-kring - Het gebruik van de serie RLC-kring - Het ontwerp van de serie RLC-kring - Passieve hoogdoorlaatfilter

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

HOGESCHOOL ROTTERDAM:

HOGESCHOOL ROTTERDAM: HOGESCHOOL ROTTERDAM: Toets: Natuurkunde Docent: vd Maas VERSIE B Opgave A: Een kogel wordt vertikaal omhoog geschoten met een snelheid van 300km/h. De kogel heeft een gewicht van 10N. 1. Wat is de tijd

Nadere informatie

Zelf een hoogspanningsgenerator (9 kv gelijkspanning) bouwen

Zelf een hoogspanningsgenerator (9 kv gelijkspanning) bouwen Zelf een hoogspanningsgenerator (9 kv gelijkspanning) bouwen Inhoud De schakeling Een blokspanning van 15 V opwekken De wisselspanning omhoog transformeren Analyse van de maximale stroom door de primaire

Nadere informatie

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling

Nadere informatie

Antwoorden bij Deel 3 (hfdst )

Antwoorden bij Deel 3 (hfdst ) A20 Open opgaven Antwoorden bij Deel 3 (hfdst. 17-23) Hoofdstuk 17 t < 0 : t > 0 : grafiek : 17.1 i(t) = I o i(t) = I o.e!t/j A J = L/R s 17.2 u(t) = 0 u(t) = (I o /C).t V 17.3 u(t) = 0 u(t) = ½U o.(1!e!t/j

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

In veel gevallen is het nodig om specifieke materiaalconstanten te kennen. Een voor de hand liggende en gemakkelijke bron hiervoor is Wikipedia.

In veel gevallen is het nodig om specifieke materiaalconstanten te kennen. Een voor de hand liggende en gemakkelijke bron hiervoor is Wikipedia. Algemeen Anders dan bij eerdere practica moet er bij deze experimenten meer uitgevoerd worden dan alleen een gedetailleerde lijst met opdrachten. Gebruik een deel van de tijd om de lijst 'minimale opdracht'

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30 TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.

Nadere informatie

-- IX (q)e - ie 2 t/h

-- IX (q)e - ie 2 t/h -- IX - -- HOOFDSTUK IX TIJDSAFHANKELIJKE PROCESSEN Dit oofdstuk is bedoeld om enig inzict te geven in de manier waarop de intensiteiten van de lijnen in een spectrum berekend kunnen worden. Omdat een

Nadere informatie

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010)

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) 2 Juli, 2010, 14:00 17:00 uur Opmerkingen: 1. Dit tentamen bestaat uit 4 vragen met in totaal 19 deelvragen. 2. Werk nauwkeurig en netjes. Als ik het antwoord niet kan

Nadere informatie

Studievoorbereiding. Vak: Natuurkunde voorbeeldexamen. Toegestane hulpmiddelen: Rekenmachine. Het examen bestaat uit: 32 meerkeuzevragen

Studievoorbereiding. Vak: Natuurkunde voorbeeldexamen. Toegestane hulpmiddelen: Rekenmachine. Het examen bestaat uit: 32 meerkeuzevragen Studievoorbereiding VOORBLAD EXAMENOPGAVE Vak: Natuurkunde voorbeeldexamen Tijdsduur: Toegestane hulpmiddelen: Rekenmachine Het examen bestaat uit: 32 meerkeuzevragen Aantal pagina s: 10 Beoordeling van

Nadere informatie

****** Deel theorie. Opgave 1

****** Deel theorie. Opgave 1 HIR - Theor **** IN DRUKLETTERS: NAAM.... VOORNAAM... Opleidingsfase en OPLEIDING... ****** EXAMEN CONCEPTUELE NATUURKUNDE MET TECHNISCHE TOEPASSINGEN Deel theorie Algemene instructies: Naam vooraf rechtsbovenaan

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Leereenheid 7. Diagnostische toets: Vermogen en arbeidsfactor van een sinusvormige wisselstroom

Leereenheid 7. Diagnostische toets: Vermogen en arbeidsfactor van een sinusvormige wisselstroom Leereenheid 7 Diagnostische toets: Vermogen en arbeidsfactor van een sinusvormige wisselstroom Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden

Nadere informatie

NETWERKEN EN DE WETTEN VAN KIRCHHOFF

NETWERKEN EN DE WETTEN VAN KIRCHHOFF NETWERKEN EN DE WETTEN VN KIRCHHOFF 1. Doelstelling van de proef Het doel van deze proef is het bepalen van de klemspanning van een spanningsbron, de waarden van de beveiligingsweerstanden en de inwendige

Nadere informatie

Wisselstromen. Benodigde voorkennis Elektriciteit (deel 2) Paragraaf 1 t/m 8 Elektronica Paragraaf 4 t/m 6

Wisselstromen. Benodigde voorkennis Elektriciteit (deel 2) Paragraaf 1 t/m 8 Elektronica Paragraaf 4 t/m 6 Wisselstromen 1 Effectieve waarden 2 Spoel en condensator 3 Harmonisch variërende signalen optellen 4 Complexe getallen 5 Complexe impedantie 6 Filters 7 Opgenomen vermogen 8 Extra opgaven Benodigde voorkennis

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Naam: Klas: Repetitie natuurkunde voor havo (versie A) Getoetste stof: elektriciteit 1 t/m 5

Naam: Klas: Repetitie natuurkunde voor havo (versie A) Getoetste stof: elektriciteit 1 t/m 5 Naam: Klas: Repetitie natuurkunde voor havo (versie A) Getoetste stof: elektriciteit 1 t/m 5 OPGAVE 1 Teken hieronder het bijbehorende schakelschema. Geef ook de richting van de elektrische stroom aan.

Nadere informatie

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook

Nadere informatie

Oefeningenexamen Fysica 2 1ste zit 2006-2007

Oefeningenexamen Fysica 2 1ste zit 2006-2007 Oefeningenexamen 2006-2007 12 januari 2007 Naam en groep: Aantal afgegeven bladen, dit blad niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de vermelding 12/01/2007 alsook

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Uitwerking LES 10 N CURSSUS

Uitwerking LES 10 N CURSSUS 1) B De resonantiefrequentie van een afstemkring wordt bepaald door: A) uitsluitend de capaciteit van de condensator B) de capaciteit van de condensator en de zelfinductie van de spoel (zowel van de condensator

Nadere informatie

Elektro-magnetisme Q B Q A

Elektro-magnetisme Q B Q A Elektro-magnetisme 1. Een lading QA =4Q bevindt zich in de buurt van een tweede lading QB = Q. In welk punt zal de resulterende kracht op een kleine positieve lading QC gelijk zijn aan nul? X O P Y

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen

Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen Invloeden van schok en trillingen op product en verpakkingen Er zijn diverse invloeden die schade kunnen veroorzaken aan producten tijdens transport. Temperatuur, luchtvochtigheid, trillingen en schokken.

Nadere informatie

Inhoudsopgave. - 2 - De condensator

Inhoudsopgave.  - 2 - De condensator Inhoudsopgave Inhoudsopgave...2 Inleiding...3 Capaciteit...3 Complexe impedantie...4 De condensator in serie of parallel schakeling...4 Parallelschakeling...4 Serieschakeling...4 Aflezen van de capaciteit...5

Nadere informatie

P ow er Quality metingen: Harmonischen

P ow er Quality metingen: Harmonischen P ow er Quality metingen: n Focus Power Quality is een begrip dat de laatste decennia enorm aan belangstelling heeft gewonnen. Power Quality behelst het garanderen van een sinusvormige spannings en stroomgolfvorm,

Nadere informatie

Elektrische stroomnetwerken

Elektrische stroomnetwerken ntroductieweek Faculteit Bewegings- en evalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Elektrische stroomnetwerken Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik

Nadere informatie

Module 1: werken met OPAMPS. Project 1 : Elementaire lineaire OPAMP schakelingen.

Module 1: werken met OPAMPS. Project 1 : Elementaire lineaire OPAMP schakelingen. Vak: Labo elektro Pagina 1 / / Module 1: werken met OPAMPS. Project 1 : Elementaire lineaire OPAMP schakelingen. 1. Opgaven. - Zoek de bijzonderste principe schema s en datagegevens. Meet de opstellingen

Nadere informatie

Leereenheid 1. Diagnostische toets: Soorten spanningen. Let op!

Leereenheid 1. Diagnostische toets: Soorten spanningen. Let op! Leereenheid 1 Diagnostische toets: Soorten spanningen Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden aan Vragen gemerkt met: J O Sommige

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Theorie elektriciteit - sem 2

Theorie elektriciteit - sem 2 Theorie elektriciteit - sem 2 Michael De Nil 11 februari 2004 Inhoudsopgave 1 Basisbegrippen 2 1.1 Wisselspanning/stroom gelijkspanning/stroom......... 2 1.2 Gemiddelde waarde effectieve waarde..............

Nadere informatie

Deze toets bestaat uit 3 opgaven (30 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Veel succes!

Deze toets bestaat uit 3 opgaven (30 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Veel succes! NAUURKUNDE KLAS 5 INHAALPROEFWERK HOOFDSUK 15: RILLINGEN 9/1/010 Deze toets bestaat uit 3 opgaven (30 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Veel succes! Opgave 1 (3p+ 5p) Een

Nadere informatie