kommagetallen en verhoudingen

DC 8Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen 1 Inleiding Dit thema gaat over rekenen en rekendidactiek voor het oudere schoolkind en voor het voortgezet onderwijs. Beroepscontext: als onderwijsassistent in de bovenbouw van de basisschool en in het voortgezet onderwijs kun je worden ingezet bij rekenlessen en rekenkundige activiteiten. Je hebt kennis en inzicht nodig over de opbouw van de leerstof en de wijze van aanbieden. Dit thema helpt je daarbij. Centraal in de didactiek voor rekenen staat steeds, dat je handelingen en begrippen niet aanbiedt, maar dat de leerlingen zelf ontdekken hoe je problemen kunt oplossen. De problemen gaan steeds over echte situaties. We bespreken de volgende onderwerpen: In dit thema komen aan de orde: Verhoudingen, paragraaf 2 Breuken, paragraaf 3 Procenten, paragraaf 4 Kommagetallen, paragraaf 5 1 Dit thema is een zeer beknopte en onvolledige weergave van breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen, door het Tal-team ontwikkeld. Doel is je inzicht te geven in waar het om gaat, niet om een volledige weergave te zijn van het genoemde boek. 1

Dit thema heeft geen handreikingen voor de beroepspraktijk. Bij ieder onderwerp staan activiteiten beschreven. Deze beschrijvingen zijn zodanig praktisch,, dat je er direct mee aan de slag kunt in je beroepspraktijk. 2 Verhoudingen Verhoudingen komen overal in het leven voor. Als je het hebt over een op de vier leerlingen houdt van skaten. En je gebruikt het bijvoorbeeld als je een grote tekening in het klein wilt natekenen om hem naar je tante in Amerika te kunnen sturen. Een belangrijk hulpmiddel bij verhoudingen is de verhoudingstabel. Het is handig als de leerlingen begrijpen hoe een verhoudingstabel werkt. Ze zullen dan zonder veel moeite met een verhoudingstabel kunnen werken en zelf kunnen bedenken wanneer ze er een kunnen gebruiken. Vooraf laten we jou zien hoe een verhoudingstabel eruit ziet. Hieronder zie je er een. Aantal Prijs Als je in de bovenste rij iets verandert, verandert de onderste rij mee. Hier staan aantal en prijs. Deze verhoudingstabel gaat over de prijs en het aantal van iets. Het kunnen bijvoorbeeld appels zijn. Of snoepjes. Maar er kan ook iets heel anders staan. Bijvoorbeeld afstand en tijd. Gewicht en prijs kan ook. Afstand 1 km 10 km 25 km 17 km 123 km Tijd 5 min. In deze tabel kunnen de leerlingen uitrekenen hoe lang je er over doet als je 1 km aflegt, of 25 km. 17 km, 123 km. Het is verstandig om zelf een paar keer te oefenen met de verhoudingstabel voor je ermee gaat werken. Als je ermee vertrouwd bent, kun je hem op het bord gebruiken. Let op! Het is dan niet nodig om uit te leggen hoe hij werkt. Dat wordt in de situatie hierna duidelijk. 2 OA Digitale Content

Stel, de leerlingen krijgen een probleem voorgelegd. Bijvoorbeeld: ik heb een zak snoep gekocht van 250 gram. Die kost 80 cent. Hoeveel kost een zak snoep van 1 kilo 1 ons 1,5 kilo 1,2 kilo? De leerlingen gaan op hun kladblok het probleem oplossen. Mogelijke oplossingen: 250 gram = 80 cent Dat gaat 4 keer in een kilo, 4x80=320. Een kilo kost dus 3,20 1 ons is 1 kilo gedeeld door 10, dus een ons kost 32 cent of 0,32 1,5 kilo is 15 ons. 10 ons kost 3,20. Plus de helft, 1,60. Samen 4,80. Een leerling schrijft de oplossing op het bord. Jij noteert de oplossing ook op het bord, maar in een verhoudingstabel. In de linkerklom noteer je de eenheden, dus gewicht en prijs. Je doet dit omdat het handig is. Het zal geen vragen oproepen. Mocht er een vraag komen, dan antwoord je gewoon: Ik vind dit een handige manier van opschrijven. Gewicht 1 ons 250 gram 1 kilo 1,2 kilo 1.5 kilo Prijs 0,32 0,80 3,20 3,84 4,80 Als de leerlingen dit regelmatig zien, gaan ze vanzelf deze notatie overnemen. Maar een andere notatie mag ook, als de redenering maar klopt. De leerlingen die de notatie van de verhoudingstabel overnemen, doen dat omdat ze hem handig vinden. Het is dus niet de bedoeling om de verhoudingstabel als onderwijsdoel aan te bieden. Het is een hulpmiddel. Het doel is werken met verhoudingen. En dat doen de leerlingen ook als ze de verhoudingstabel niet gebruiken. Je biedt geen opgaven aan waar de verhoudingstabel al bij getekend is. Het is beter als de leerlingen zelf ontdekken wanneer hij handig is. De leerlingen ontdekken al doende het volgende: wat je boven doet, doe je beneden ook. 250 gram gaat 4 keer in een kilo, dat is de bovenste rij. Het gewicht. Dus je betaalt ook 4 keer zoveel. Dat is de onderste rij, de prijs. 3

3 Breuken In het dagelijks leven gebruiken we breuken niet zo veel meer. We gebruiken meer kommagetallen en procenten. Maar breuken zijn wel de basis om kommagetallen en procenten te kunnen begrijpen. Daarom komen ze toch aan bod. Een andere reden is dat jonge kinderen al veel gebruik maken van breuken, zelfs zonder dat ze als leerstof geïntroduceerd zijn. Denk maar aan begrippen als de helft, een kwart, een derde. Een van de benaderingen van breuken werkt met de zogenoemde breukenstroken. Hiermee kunnen de leerlingen ontdekken welke breuken makkelijk zijn en welke moeilijk. Gemakkelijke breuken zijn breuken, waarbij je het getal steeds door twee kunt delen. Voorbeelden: 1/2, 1/4, 1/8. De bedoeling van de activiteit is redeneren, en niet een trucje aanleren. Daarom krijgen de leerlingen stroken papier, die ze gaan verdelen in gelijke stukken. Een strook in twee stukken. Een strook in drie stukken. Een strook in vier stukken. Enzovoort. Je kunt die stroken aanbieden aan de hand van een verhaaltje. Bijvoorbeeld, Jenny heeft een heel lange dropveter die ze wil verdelen. Ze wil haar vier vriendinnetjes en zichzelf allemaal even veel geven. Lotte heeft zes vriendinnetjes waar ze haar dropveter mee wil delen. Ze willen eigenlijk wel een handige papieren strook hebben waar je precies mee kunt uitmeten hoeveel iedereen krijgt. Maak die stroken voor Jenny en Lotte. Alle leerlingen krijgen stroken papier, zo lang als de dropveter. Je laat geen voorbeeld zien, maar vraagt hoe de leerlingen handig even grote delen kunnen maken. Sommige leerlingen zullen streepjes zetten. De meeste leerlingen beginnen dan vooraan en naar het einde toe worden de stukjes steeds korter. Sommige leerlingen zullen eerst een strook in twee delen en een in drie delen vouwen. De strook in twee delen wordt gemakkelijk in vieren gevouwen. De strook in drie delen geeft gemakkelijk een strook in zes delen. 4 OA Digitale Content

Het belangrijkste deel van deze activiteit is dat de leerlingen vertellen hoe ze het gedaan hebben. Geef ze papier waarop ze per opgave kunnen vertellen hoe ze het gedaan hebben. Laat de leerlingen ook redeneren welke opdracht ze makkelijk vinden en welke moeilijk. Waarom vinden ze dat? 1 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/4 1/4 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 Deze strokenborden laat je niet zien. Je kunt ze wel vast maken voor latere lessen, als de leerlingen vaak hebben ervaren hoe je makkelijk kunt verdelen. Werken met de breukenstrook levert een getal op, bijvoorbeeld eentiende deel of 1/10. Of een kwart. Een kwart van de Nederlandse mensen houdt van patat. In Nederland wonen 16 miljoen mensen. De leerlingen kunnen nu ook de verhoudingstabel gebruiken om uit te rekenen hoeveel mensen dat zijn. 5

4 Procenten Bij de eerste kennismaking met procenten is het belangrijk dat de leerlingen al vertrouwd zijn met het begrip eenhonderdste of 1/100. Het voordeel van procenten, vergeleken met breuken, is dat je het altijd over een zelfde soort breuk hebt, namelijk../100. Alleen de teller, het bovenste getal, verandert. Daardoor is het gemakkelijker om met procenten te rekenen. De leerlingen moeten wel weten dat 1% hetzelfde is als 1/100, en dat bijvoorbeeld 25% betekent 25/100. Alle leerlingen hebben wel eens gezien dat je in de uitverkoop korting krijgt op je aankopen. Dat is dus een geschikte aanleiding om procenten te introduceren. We nemen een voorbeeld: Er hangt een mooie merkspijkerbroek in de winkel. Op het label staat met rode letters: 25% kassakorting. De broek kost normaal 120. De verhoudingstabel kan de leerlingen helpen om uit te rekenen hoeveel de broek nu kost. Ze verdelen de 100 procent in delen. Wat ze boven, bij de procenten doen, doen ze onder ook. Procent 100% 50% 25% 75% Prijs 120 60 30 90 De broek was 120. Er gaat 25% af, nu is hij dus nog 75 % van de prijs en kost 90. Een korting van 25% kan ook als 1/4 eraf gezien worden. Dat is een erg makkelijke som. We maken het iets moeilijker. De broek hangt in de winkel met een korting van 15%. Procent 100% 10% 5% 15% 85% Prijs 120 12 6 18 102 Het is belangrijk dat leerlingen procenten kunnen vertalen naar breuken. Want in het dagelijks leven doen we dat ook vaak. Bijvoorbeeld, een korting van 18% vertalen we vaak naar bijna een vijfde goedkoper. Of 72% wordt vaak gezegd als bijna driekwart. In het echte leven komen we ook vaak procentsituaties tegen die minder eenvoudig zijn. Het deel van de Nederlandse bevolking dat van patat houdt, is bijvoorbeeld 13 procent. En 13% van 16 miljoen uitrekenen is een stuk lastiger. Toch is het belangrijk dat zulke opgaven ook aan bod komen. Want het dwingt de leerlingen om globaal te rekenen. Rekenen met procenten is juist bedoeld om lastige situaties globaal te kunnen uitrekenen. 6 OA Digitale Content

Voorbeeld: Een mooi truitje is afgeprijsd van 80 naar 53. Maar in de winkel daarnaast hangt een truitje dat is afgeprijsd van 63 naar 48. Welk truitje heeft de grootste korting?in euro s is dat makkelijk te zien. Maar van welk truitje is nu het grootste deel van de prijs af? Met andere woorden, hoeveel procent korting hebben de truitjes? Om dit op te lossen, hebben de leerlingen twee procentenstroken nodig. Procent 100% 10% 5% 1% Prijs 80 8 4 0,80 Het eerste truitje kostte eerst 80 en nu 53. Het eerste truitje is dus 27 goedkoper. Tien procent van 80 is 8. Hoeveel keer past 8 (10%) in 27? 3 keer 8 is 24. Dat is al 30 procent. Dan blijft er nog over 3. 4 is 5%. Dat is bij elkaar 35 procent. Dat is teveel. De korting is dus iets minder dan 35%. Het tweede truitje kostte eerst 63 en nu 48. Het is dus 15 goedkoper. Procent 100% 10% 5% 1% Prijs 63 6,30 3,15 0,63 Het goedkopere truitje kostte eerst 63 en nu 48. Dit truitje is dus 15 goedkoper. Tien procent is 6,30 Hoeveel keer past 6,30 in 15? De leerlingen zien snel dat het in ieder geval twee keer gaat. Twee keer 6,30 is 12,60. Dat is 20%. Dan blijft er nog over 2,40. 3,15 is 5%. Dat is bij elkaar 25 procent. Dat is teveel. De korting is dus iets minder dan 25%. 7

De korting voor het duurste truitje is iets minder dan 35%. De korting is voor het goedkopere truitje is iets minder dan 25% Het duurste truitje heeft de grootste korting. Niet alleen in euro s, maar ook in procenten. 5 Kommagetallen Leerlingen kennen al lang kommagetallen, omdat die gebruikt worden in de notatie van prijzen. Maar ze weten nog niet (bewust), dat de getallen achter de komma tienden en honderdsten weergeven. Dat kun je zien als je vraagt: welk getal is groter, 1,65 of 1,9? Sommige leerlingen denken dat 1,65 groter is, want 65 is groter dan 9. Kommagetallen zijn moeilijk te begrijpen voor basisschoolleerlingen. En ook in het voortgezet onderwijs ondervinden veel leerlingen moeilijkheden. Daarom is het belangrijk dat de leerlingen gaan begrijpen wat de betekenis van de getallen achter de komma is. Daar is deze aanpak op gericht. We bespreken de volgende aspecten van werken met kommagetallen: kommagetallen introduceren in een meetactiviteit direct met getallen werken optellen en aftrekken met kommagetallen Kommagetallen introduceren in een meetactiviteit Het Tal-team stelt voor om de kommagetallen te introduceren in de context van een meetprobleem. In de lagere leerjaren hebben de leerlingen al gemeten met natuurlijke maten zoals voeten. Ook hebben ze kennis gemaakt met een meter als eenheid. Je kunt een touw laten zien dat een meter lang is. Dat vertel je er niet bij. De leerlingen meten hun tafeltjes op. Ze ontdekken dat twee tafeltjes samen (met de lange kant tegen elkaar) bijna twee lengtes lang zijn. Ongeveer 1 en 4/5. Hoe kun je nou preciezer meten? Als de leerlingen het niet weten, kun je voorstellen om streepjes op het touw te zetten. Zo maak je delen van de touwlengte. Hoeveel delen is handig? Sommige leerlingen zullen zeggen: acht, want acht kun je verdelen in twee en in vier. Of zes, want zes kun je delen door twee en door drie. Vraag steeds waarom een leerling kiest voor een bepaald aantal delen. Vraag argumenten. 8 OA Digitale Content

Na verloop van tijd vertel je dat de mensen in het verleden op allerlei manieren hebben verdeeld. Op een gegeven moment hebben ze een afspraak gemaakt over het verdelen en ze hebben ervoor gekozen tien delen te nemen.. In een volgende les geef je alle leerlingen een strook papier die een tiende is van het touw uit de vorige les. Ze meten nu kleinere voorwerpen op, bijvoorbeeld hun schrift, het potloodetui. Ook nu komt de vraag wat een handige onderverdeling is als je preciezer wilt meten. Aan het eind vertel je weer dat de mensen hebben besloten opnieuw een verdeling in tienden te maken. De leerlingen zetten streepjes op de strook, zodat er tien stukjes ontstaan. Nu kun je vragen hoe het zit met zo n heel klein stukje en het touw. Hoeveel van die kleine stukjes passen in het touw? De leerlingen ontdekken zelf dat er 100 in passen. 1/10 deel van het strookje is 1/100 van het touw. Nu keer je terug van het meetinstrument naar getallen. Zoals je meters kunt verdelen in decimeters en centimeters, kun je ook getallen verdelen. Je zet een stukje getallenlijn op het bord en zet er de getallen op van 22 tot 25. Let op! Je hoeft hierbij het woord meter, decimeter en centimeter niet te gebruiken, het mag wel. Je kunt over het touw praten en de strook papier, maar ook alleen over getallen. Het getal 23 staat naast het getal 24 op de getallenlijn. 22 23 24 25 Het stuk tussen 23 en 24 wil je verdelen, net zoals centimeters verdeeld worden. Je vraagt de leerlingen of dat kan. Natuurlijk kan dat, dat vinden zij ook. Als je het stukje in 10 verdeelt, heb je tiende delen. Ofwel 1/10. Dat is een breuk. Je kunt ook schrijven 0,10. Dat is een kommagetal. In overleg kom je tot een notatie van de tienden tussen 23 en 24. Vraag de leerlingen hoe ze die tussengetallen zouden opschrijven. Dat neem je over op het bord. Er zullen breuken en kommagetallen komen. 9

Bijvoorbeeld: 23 en 1/10. Jij noteert: 23 1/10. Als een leerling zegt: 23, 10, schrijf je dat op. Als een leerling 23,1 zegt, schrijf je dat op. Daar laat je het bij. Direct met getallen werken De introductie van het Tal-team begint dus met een meetactiviteit. Je kunt er ook voor kiezen om niet eerst te meten. Er zijn namelijk argumenten om deze maner van introduceren over te slaan. Leerlingen vanaf groep 5 of 6 zijn al zo vertrouwd met centimeters (en ook met centen als honderdsten van euro s), dat het meten met een touw onnodig lijkt. Mogelijk vinden de leerlingen het kinderachtig. Je kunt ook direct beginnen met de verdeling van getallen zelf. Je kunt de leerlingen herinneren aan centimeters (1.10 m) of aan prijzen ( 2, 35). Je activiteit begint dan met een getallenlijn op het bord (bijvoorbeeld de lengte van de leerlingen), en als vergelijkingsmateriaal een rolmaat of meetlat. Verder handel je zoals hierboven beschreven. Het is verstandig om met de leraar te overleggen welke benadering voor deze leerlingen te verkiezen is. Optellen en aftrekken met kommagetallen Je kunt pas gaan optellen en aftrekken met kommagetallen als de leerlingen begrijpen hoe ze in elkaar zitten. Het besef dat het verdelingen zijn van een eenheid, moet vaak op allerlei manieren ervaren worden. In het begin is het goed om breuken te maken van een optelling met kommagetallen. Bijvoorbeeld: 0,14 + 0,7 Laat de leerlingen daar een breuk van maken. Ze doorzien dan 0,14 hetzelfde is als 14 honderdsten. En 0,7 is 7 tienden. Daar moet je dus eerst ook honderdsten van maken. 10 OA Digitale Content

Het is dus niet genoeg om alleen maar te zeggen dat de leerlingen een 0 achter de 7 moeten zetten. Dat is een trucje. Ze moeten dat zelf ontdekken. En dat ontdekken ze als ze er een breuk van maken. Je kunt ook weer een vergelijking maken met meten. Hoe lang is 0,14 meter? Dat is 14 centimeter. En hoeveel is 0,7 meter? Dat is veel meer, 70 centimeter! Als de leerlingen dit vaak ervaren hebben, heeft het zin om te vertellen dat bij optellen van kommagetallen de komma s onder elkaar moeten staan. Literatuur: Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen, Wolters-Noordhoff 11