De Fysische Oorsprong van Structuur

De Fysische Oorsprong van Structuur Verslag van Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde Tom Opdam (5696011) Onder begeleiding van dr. Jan Pieter van der Schaar Tweede beoordelaar prof. dr. Jan de Boer omvang 12 EC. Project uitgevoerd in de periode 02-02-2010 tot 22-07-2010 Universiteit van Amsterdam Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Instituut voor Theoretische Fysica Amsterdam

Samenvatting In dit verslag wordt gekeken naar een verklaring voor de oorsprong van structuur in het universum. Gegeven door een combinatie van de quantum mechanica en het kosmologische inflatie model. Begonnen wordt met een korte samenvatting van de big bang kosmologie en de problemen die hebben geleid tot de introductie van inflatie. Vervolgens wordt gekeken naar scalarvelden kosmologie en de dynamica van het mechanisme achter inflatie, het inflatonveld. Aan de hand van de slow-roll benadering van inflatie zal het Gaussische spectrum van vacuum fluctuaties in een vrij inflatonveld worden berekend. Waarna besproken zal worden hoe een inflatonveld met zelfinteractie de fluctuatie verdeling niet-gaussisch kan maken. 1

Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Standaard Kosmologie 4 3 Inflatie 8 3.1 Flatness probleem................................ 8 3.2 Horizon probleem................................. 9 3.3 Wat startte de expansie?............................. 10 3.4 Basis van inflatie................................. 10 3.5 Scalar veld kosmologie.............................. 11 3.5.1 De actie.................................. 11 3.5.2 De energie-momentum tensor...................... 13 3.5.3 De bewegingsvergelijking van een scalar veld............. 14 3.5.4 Dynamica van een homogeen scalar veld................ 15 3.6 Slow-roll inflatie................................. 16 3.7 Einde inflatie................................... 18 3.8 Comoving horizon en comoving Hubble straal tijdens inflatie........ 18 3.9 Flatness en Horizon probleem opgelost..................... 19 4 Quantum fluctuaties als oorsprong van structuur 19 4.1 Analogie scalar veld en harmonische oscillator................. 20 4.1.1 De harmonische oscillator gequantiseerd................ 20 4.2 Quantum fluctuaties in de Sitter ruimte.................... 25 4.2.1 De subhorizon limiet........................... 29 4.2.2 De superhorizon limiet.......................... 29 4.2.3 Horizon crossing............................. 30 4.3 Dichtheidsfluctuaties............................... 32 4.3.1 Gaussische verdeling en niet-gaussische correcties.......... 35 4.4 Padintegraal.................................... 36 4.5 Padintegraal niet-vrij veld............................ 39 5 Conclusie 41 6 Populair wetenschappelijke samenvatting 42 7 Appendix 43 2

1 Inleiding De succesvolle Big Bang theorie moet op een aantal fundamentele vragen het antwoord schuldig blijven. Waarom is het universum op grote schaal geometrisch vlak? Hoe kunnen regio s die niet causaal met elkaar verbonden zijn dezelfde temperatuur hebben? Wat startte de Big Bang? In de jaren tachtig van de vorige eeuw werd een idee geintroduceerd om een oplossing te geven voor deze problemen. Een snelle exponentiële expansie van het universum gedurende een fractie van een seconde, het kosmologische inflatie model. Inflatie is geen vervanging van het big bang model, maar een toevoeging. Een periode die vlak voor de big bang heeft plaats gevonden en de begin voorwaarden van de big bang theorie verklaart. Snel na zijn introductie werd gerealiseerd dat inflatie in combinatie met de quantum mechanica een elegant mechanisme beschrijft voor de oorsprong van structuur in het universum. Als dit mechanisme correct is heeft alle structuur in het universum, sterrenstelsels, sterren, planeten en onze eigen lichamen zijn bestaan te danken aan kleine quantum fluctuaties gedurende de inflatie periode. Een prachtig voorbeeld van de relatie tussen fysica op de kleinste en grootste schaal. Dit verslag volgt, tot aan de sectie over niet-gaussische fluctuaties, grotendeels de structuur van het artikel van Daniel Baumann [1]. Voor bachelorstudenten nieuwe begrippen als, de actie, scalarvelden en padintegralen worden uitgediept. Het verslag begint, in paragraaf 2, met een kleine samenvatting van de standaard (big bang) kosmologie. In paragraaf 3 worden de problemen die hebben geleid tot het inflatie model bekeken. Vervolgens zal de dynamica van de benodigde materie voor inflatie, in de vorm van een scalarveld, worden besproken. Paragraaf 3 eindigt met de door inflatie gegeven oplossingen voor de big bang problemen. In paragraaf 4 zal aan de hand van de slow-roll benadering van inflatie worden ingegaan op quantumfluctuaties als oorsprong van structuur. Een belangrijk resultaat van de berekeningen is het spectrum van de fluctuaties. Met behulp van padintegralen zal gekeken worden naar de verdeling van deze flucutaties. Een Gaussische verdeling wanneer van een vrij scalarveld wordt uitgegaan en een niet-gaussische verdeling wanneer mogelijke zelf-interacties van het veld worden beschouwd. Tot slot zal worden besproken of de slow-roll benadering van inflatie voorspellingen doet over de grootte van eventuele niet- Gaussische correcties op het spectrum van quantumfluctuaties en wat de gevolgen voor het slow-roll model zijn wanneer niet-gaussische correcties worden gemeten. 3

2 Standaard Kosmologie Een beschrijving van de expansie van het heelal wordt gegeven door de Friedmann vergelijking H(t) 2 = 8πG κc2 ρ(t) 3 a 2 (t), (1) ȧ a waar H de Hubble parameter is, κ = 1, 0, +1 voor een open, vlak of gesloten universum en a(t) de schaalfactor is. Friedmann leidde zijn vergelijking af met behulp van Einstein s veld vergelijkingen en de Robertson-Walker metriek voor de ruimte-tijd van het heelal: (Zie [2] voor de afleiding.) ds 2 = a 2 dr 2 (t)[ 1 κr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )], (2) waar r een comoving coördinaat is. De corresponderende fysische afstand wordt verkregen door vermenigvuldiging met de schaalfactor, R = a(t)r. Zie figuur 1. Figuur 1: comoving coordinaten expanderen met de ruimte mee. De Robertson-Walker metriek is bepaald vanuit het kosmologisch principe, dat stelt dat het universum isotroop en homogeen. Het heelal ziet er, op hele grote schaal, voor elke waarnemer hetzelfde uit. De Friedmann vergelijking is een vergelijking met twee onbekenden, a(t) en ρ(t). Er is een 4

andere vergelijking nodig om a en ρ als functie van de tijd op te lossen. Deze vergelijking wordt de continuiteitsvergelijking genoemd en kan worden afgeleid uit de eerste wet van de thermodynamica [3] dq = de + P dv, (3) waarin dq de warmtestroom in of uit een bekeken volume met comoving straal r is. de de verandering in interne energie, P de druk en dv de verandering van het volume is. Wanneer het universum homogeen is, hier wordt vanuit gegaan in het kosmologisch principe, geldt dat er geen netto warmtestroom in of uit een volume is, dq = 0. Als dq = 0 voor een comoving volume, kan de eerste wet van de thermodynamica toegepast op een expanderend universum worden geschreven als Ė + P V = 0. (4) De fysische straal van het expanderend universum gerepresenteerd door een bol is R(t) = a(t)r. Het volume wordt gegeven door dus de verandering van de bol als functie van de tijd is V (t) = 4π 3 r3 a 3 (t), (5) V = 4π 3 r3 (3a 2 ȧ) = V 3ȧ a. (6) Door gebruik te maken van E = mc 2 volgt voor de interne energie van de bol E(t) = V (t)ρ(t)c 2, (7) de verandering van de energie van de bol als functie van de tijd is Ė = V (t) ρc 2 + V ρc 2 = V c 2 ( ρ + 3ȧ ρ). (8) a De formules (4), (6) en (8) combinerend, geven de eerste wet van de thermodynamica in een expanderend (of samentrekkend) universum de vorm of V c 2 ( ρ + 3ȧ a ρ + 3ȧ a P ) = 0 (9) ρ + 3ȧ (ρ + P ) = 0, (10) a de continuiteitsvergelijking. Uit de Friedmann vergelijking en de continuiteitsvergelijking kan een derde vergelijking 5

worden afgeleid, afhankelijk van de eerste twee. Deze vergelijking zegt iets over de versnelling of vertraging van de expansie van het universum, de acceleratievergelijking. De Friedmann vergelijking vermenigvuldigd met a 2 wordt ȧ 2 = 1 3 ρa2 κ. (11) (Voor het gemak worden constantes geschreven als = c 1 en 8πG 1.) Door de tijdsafgeleide te nemen volgt delen door 2ȧa geeft 2ȧä = 1 3 ( ρa2 + 2ρaȧ) (12) Met (10) kan de substitutie ä a = 1 6 ( ρȧ + 2ρ) (13) a ρ ȧ a = 3(ρ + P ) (14) worden gebruikt om de acceleratie vergelijking te vinden: ä a = 1 (ρ + P ). (15) 6 Nu hebben we hebben een systeem met twee vergelijkingen en drie onbekenden. Om de schaalfactor, de dichtheid en de druk als functie van de tijd op te lossen is een toestandsvergelijking nodig, een relatie tussen de druk en de dichtheid. Deze toestandsvergelijking wordt gedefinieerd door w P ρ. (16) waarin w een dimensieloos getal is. Het universum bevat niet-relativistische materie, straling (relativistische materie) en een kosmologische constante waarvoor geldt w = 0, w = 1 3 en w = 1. De totale dichtheid en totale druk kunnen worden geschreven als de som van de dichtheid en druk van de verschillende structuren: ρ = ρ w (17) w en P = w wρ w. (18) Uit de continuiteitsvergelijking (10) en de toestandvergelijking (16) kan een verband tussen 6

de dichtheid en de schaalfactor worden gevonden. Vergelijking (10) kan worden geschreven als hieruit volgt ρ + 3ȧ (1 + w)ρ = 0 (19) a dρ ρ = 3(1 + w)da a (20) als aangenomen wordt dat w constant is, dan geldt ρ(a) a 3(1+w). (21) De ontwikkeling van de schaalfactor wordt op de volgende manier verkregen. De Friedmann vergelijking is met (21) te schrijven als: ȧ 2 = 1 3 a (1+3w) (22) Om deze vergelijking op te lossen is het handig te bedenken dat de schaalfactor een power law vorm a t q heeft. De linkerkant van vergelijking (22) is dan t 2q 2, de rechterkant is t (1+3w). Hieruit volgt 2q 2 = (1 + 3w)q q = 2 3 + 3w (23) 2 a t 3(1+w) w 1 (24) In het bijzonder geldt, a(t) t 2 3 en a(t) t 1 2 voor de schaalfactor van een vlak (κ = 0) universum gedomineerd door niet-relativistische materie (w = 0) en straling (w = 1 3 ). In het geval van een vlak universum gedomineerd door de kosmologische constante (w = 1) krijgt de Friedmann vergelijking de vorm ȧ 2 = ρ Λ 3 a2 (25) ȧ = Ha (26) waar H = ( ρ Λ 3 ) 1 2 (27) 7

de oplossing van vergelijking (26) en de schaalfactor van een door de kosmologische constante gedomineerd vlak universum is a(t) = e Ht. (28) Een door de kosmologische constante gedomineerde vlakke ruimte wordt een de Sitter ruimte genoemd, naar de Nederlander Willem de Sitter. Kosmologen gebruiken vaak de dimensieloze dichtheidsparameter Ω(t) in plaats van de dichtheid ρ. De dichtheidparameter is gedefineerd als de ratio tussen de dichtheid en de kritische dichtheid Ω i ρi 0 ρ crit (29) Hier staat i voor de verschillende structuren (niet-relativistische materie, straling of de kosmologische constante). Het subscript 0 staat voor een quantiteit op dit moment, t 0. De kritische dichtheid is gedefinieerd als de benodigde dichtheid die de geometrie van het universum vlak maakt, ρ crit 3H 2 0. 3 Inflatie Ondanks alle successen zijn er een aantal fundamentele vragen en problemen die niet kunnen worden beantwoord met het standaard Big Bang model. Het inflatie model werd geintroduceerd om een verklaring te geven voor die problemen. 3.1 Flatness probleem Waarom is het universum op grote schaal vlak, κ = 0, terwijl de algemene relativiteits theorie stelt dat ruimte-tijd dynamisch is, gekromd door aanwezige materie? Een uitleg van het probleem in formules: De Friedmann vergelijking H(t) 2 = 1 3 ρ(a) κ a 2 (30) kan, gebruikmakend van worden geschreven als Ω(a) ρ(a) ρ crit (a), ρ crit(a) 3H 2 (a) (31) 8

1 = ρ(a) ρ crit (a) κ (ah) 2 (32) 1 Ω(a) = κ (ah) 2 (33) In standaard kosmologie groeit de comoving Hubble straal, (ah) 1, met de tijd en zou Ω 1 als gevolg van vergelijking (33) divergeren met de tijd. De huidige waargenomen waarde voor Ω(a 0 ) 1 vereist een extreem nauwkeurig afgestelde waarde van Ω, dichtbij 1 in het vroege universum. Men heeft berekend dat in het hele vroege universum de kwantiteit Ω 1 heeft moeten voldoen aan Ω(a) 1 (10 16 ). Dit is een onwaarschijnlijk klein bereik waarin de dichtheidsparameter zich moest bevinden. Een kleine afwijking zou tot een compleet ander universum hebben geleid. 3.2 Horizon probleem Het Horizon probleem komt voort uit een belangrijke eigenschap van de kosmische achtergrondstraling (CMB); zijn uniformiteit. Licht van de CMB heeft met een zeer grote nauwkeurigheid dezelfde temperatuur, 2.725 K. Dit is karakteristiek voor een thermisch evenwicht en deze waarneming zou uitgelegd kunnen worden als de verschillende regio s van het last scattering oppervlak, het oppervlak waar de CMB zijn oorsprong heeft, met elkaar zouden kunnen hebben gecommuniceerd. De kern van het probleem zit in de eindige leeftijd van het universum. Dit betekent dat een comoving afstand, τ, kan worden gedefinieerd als de causale horizon of de maximale afstand die licht kan hebben afgelegd tussen tijd 0 en tijd t. Deze afstand wordt de comoving horizon genoemd. In een tijd dt reist licht een comoving afstand dx = cdt/a, dus de totale comoving afstand wordt gegeven (met c = 1) door τ t 0 dt a a(t ) = da 0 Ha 2 = a 0 ( 1 )d ln a. (34) ah De tweede stap wordt gemaakt door de teller en de noemer van de integrand met da dt = ah te vermenigvuldigen. De comoving horizon is de logaritmische integraal van de comoving Hubble straal, 1/(aH). De comoving horizon τ kan ook worden gezien als een tijdsvariabele, hij groeit immers monotoon, net als de tijd. Als tijdsvariabele wordt τ de conformal time genoemd. De comoving horizon is belangrijk omdat informatie nooit een grotere afstand kan hebben afgelegd dan τ. Gebieden waartussen de onderlinge afstand groter is dan τ zijn niet causaal met elkaar verbonden. Het CMB licht dat wij zien is onderweg sinds de ontkoppeling, niet lang na de Big Bang (t = 0 in standaard kosmologie), en heeft een afstand afgelegd die iets kleiner is dan τ. De afstand tussen twee tegenovergestelde regio s is dus groter dan τ. 9

Deze regio s zijn niet causaal met elkaar verbonden. Zie figuur 2. Berekend kan worden dat gebieden gescheiden door een hoek groter dan 2 graden, gezien van aarde, niet met elkaar in causaal contact staan. Zie [4]. Figuur 2: CMB straling afkomstig van punten A en B staat niet in causaal contact. De onderbroken cirkels rond A en B staan voor de causale horizon van A en B. Als verschillende regio s van het last scattering oppervlak niet causaal met elkaar verbonden zijn, hoe kan dan de homogeniteit van de CMB worden verklaard? 3.3 Wat startte de expansie? De acceleratie vergelijking wordt gegeven door Omdat voor normale materie geldt (ρ + 3P ) > 0, moet gelden ä a = 1 (ρ + P ). (35) 6 ä = a (ρ + 3P ) < 0 (36) 6 De vraag die hieruit volgt is wat de expansie deed beginnen. 3.4 Basis van inflatie In 1981 werd kosmologische inflatie geintroduceerd als oplossing voor bovenstaande problemen. Inflatie wordt gedefinieerd als een periode in de evolutie van het universum waarin 10

de schaalfactor versnelt groter wordt Inflatie ä > 0. (37) De corresponderende conditie is dat de comoving Hubble straal kleiner wordt tijdens inflatie d 2 a dt 2 = d dt (aȧ a ) = d (ah) > 0. (38) dt Wanneer (ah) groter wordt, wordt de comoving Hubble straal,(ah) 1, kleiner. Vergelijking (36) laat zien dat dit leidt tot negatieve druk (energie dichtheid is altijd positief), P < 1 3 ρ. (39) Inflatie moet voldoen aan bovengenoemde condities. Men maakt hiervoor gebruik van een scalarveld, een theoretisch veld dat in experimenten nog niet is gedetecteerd. 3.5 Scalar veld kosmologie Inflatie vereist materie met een negatieve druk. Deze merkwaardige eigenschap wordt gevonden in de vorm van een scalarveld. Een scalarveld relateert elk punt in de ruimte aan een bepaalde waarde. Het scalarveld verantwoordelijk voor inflatie wordt het inflatonveld genoemd. 3.5.1 De actie Het startpunt bij het bepalen van de eigenschappen van een fysisch systeem is de actie, een functionaal van een bepaald pad q(t) S[q(t)] = dtl(q, q, t) (40) waar L = T V de Lagrangiaan is. Omdat in velden theorie gekeken wordt naar de waarde van elk punt in de ruimte, moet in de Lagrangiaan geintegreerd worden over een oneindig aantal punten, L = d 3 xl (41) waar L de Lagrangiaan dichtheid is. De actie voor een scalar veld kan dus worden geschreven als 11

S[φ] = d 4 xl(φ, µ φ) (42) x µ. waar d 3 xdt = d 4 x, x µ (t, r) (x 0, x i ) en µ De relativistisch invariante Lagrangiaan dichtheid voor een reëel scalar veld φ(x) in een vlakke ruimte-tijd heeft de vorm L(φ, µ φ) = 1 2 ηµν φ,µ φ,ν V (φ) (43) waar η µν diag(1, 1, 1, 1) de Minkowski metriek is en V (φ) een potentiaal die de zelfinteractie van het veld beschrijft. Voor een vrij veld met massa m wordt de potentiaal gegeven door V (φ) = m2 φ 2 2. Om de Lagrangiaan te generaliseren naar een gekromde ruimte-tijd met een arbitraire metriek g µν moeten er een aantal dingen in vergelijking (43) worden aangepast [5]: (i) De Minkowski metriek η µν wordt vervangen door de metriek g µν. (ii) De gewone afgeleides moeten worden vervangen door covariante afgeleides. Overigens is de eerste covariante afgeleide van een scalarfunctie gelijk aan de gewone afgeleide van die scalarfunctie. (iii) In plaats van het normale volume element d 3 xdt moet het covariante volume element d 4 x g worden gebruikt, waarin g detg µν. Dit is op de volgende manier in te zien: Beschouw een twee dimensionaal euclidisch vlak met curvilineaire coördinaten x, ỹ. In deze coördinaten is de metriek g ij, waar i = 1, 2, over het algemeen anders dan de euclidische metriek δ ij. Een oppervlakte element dat correspondeert met een infinitesimaal parallellogram wordt opgespannen door de vectoren l 1 = (d x, 0) en l 2 = (0, dỹ). De lengte van de vectoren wordt gegeven door l 1 = g ij l1 i lj 1 = g 11 d x (44) en op dezelfde manier geldt l 2 = g 22 dỹ. (45) Het inproduct tussen de twee vectoren is l 1 l 2 = g ij l i 1l j 2 = g 12d xdỹ. (46) Het inproduct kan ook worden uitgedrukt in een hoek θ tussen de vectoren 12

l 1 l 2 = l 1 l 2 cos θ = g 11 g 22 d xdỹ cos θ. (47) Hieruit volgt cos θ = g 12 g11 g 22. (48) Het infinitesimale oppervlakte element van het parallellogram wordt gegeven door da = l 1 l 2 sin θ (49) gebruikmakend van de goniometrische regel sin θ = 1 cos 2 θ kan da worden geschreven als da = g 11 g 22 (g 12 ) 2 d xdỹ = det g ij d xdỹ. (50) In n dimensies generaliseert deze formule tot dv = d n x g(x). In een vier dimensionale ruimte-tijd, waar de determinant g altijd negatief is, is het volume element d 4 x g. De resulterende actie die de dynamica van een scalar veld, minimaal gekoppeld aan de zwaartekracht, beschrijft wordt vervolgens gegeven door S = d 4 x g [ ] L φ (51) S = d 4 x g [ 1 2 gµν µ φ ν φ V (φ) ] (52) 3.5.2 De energie-momentum tensor De grootheid die de dichtheid en flux van energie en impuls in ruimte-tijd weergeeft heet de energie-momentum tensor. De energie-momentum tensor van een scalar veld is gedefinieerd als (zie [2], [5]) T µν 2 δs g δg µν = 2 [ g [ ] ] Lφ g g µν. (53) De afgeleide van de Lagrangiaan naar de metriek is 13

De afgeleide van g naar de metriek is L φ g µν = 1 2 µφ ν φ. (54) g g µν = 1 1 g 2 g g µν = 1 1 (det g) 2 g g µν, (55) want g det g. De afgeleide van een determinant wordt gegeven door Vergelijking (55) wordt det A A ij = det(a)(a 1 ) ji. (56) 1 1 g det(g)(g 1 ) νµ = 2 g 2 gµν. (57) Uiteindelijk leidt dit tot de energie-momentum tensor van een scalarveld ( 1 ) T µν = µ φ ν φ g µν 2 σ φ σ φ V (φ). (58) 3.5.3 De bewegingsvergelijking van een scalar veld De bewegingsvergelijking van het veld wordt verkregen door de variatie van S gelijk aan 0 te stellen. (Hamilton s variatie principe, zie [6]). Met L = 1 2 gµν µ φ ν φ V (φ) = 1 2 ν φ ν φ V (φ) wordt Met behulp van de volgende handige formule δs δφ = 0 L φ L µ ( µ φ) = 0 (59) L ( µ φ) = µ φ. (60) µ ( µ φ) = 1 g µ ( g( µ φ)) (61) 14

volgt δs δφ = 1 µ ( g( µ φ)) + V (φ) = 0 (62) g 3.5.4 Dynamica van een homogeen scalar veld Wanneer men de FRW-metriek gebruikt g µν = diag(1, a 2, a 2, a 2 ) (63) en er van uitgegaan wordt dat de structuur van het universum kan worden geparametriseerd door de energie-momentum tensor voor een perfecte fluid T µ ν = diag(ρ, P, P, P ) (64) worden de volgende energie dichtheid en druk voor een homogeen scalarveld (alle ruimtelijke afgeleiden zijn 0) gevonden. De energie dichtheid, de tijd-tijd component van de energie-momentum tensor (58) is ρ φ = T 00 = 1 2 φ 2 + V (φ). (65) De druk van het homogene veld P = T ii (geen sommatie over de ruimtelijke index i) is P φ = T ii = 1 2 φ 2 V (φ). (66) De toestandsvergelijking (16) w = P φ ρ φ = 1 2 φ 2 V (φ) 1 2 φ 2 + V (φ) (67) laat zien dat wanneer de potentiaal V (φ) groter is dan de kinetische energie 1 2 φ, dit leidt tot negatieve druk P < 0 en dus tot versnelde expansie, want ä = a (ρ + 3P ). (68) 6 De Friedmannvergelijking (1) (met κ = 0), die de expansie van het heelal beschrijft, wordt voor een homogeen scalarveld 15

H 2 = 1 3 ρ φ = 3( 1 1 2 φ ) 2 + V (φ). (69) De bewegingsvergelijking wordt gevonden door in vergelijking (62) een homogeen scalarveld φ(t) in te vullen φ + 3H φ + V,φ = 0 (70) 3.6 Slow-roll inflatie Aan de conditites voor inflatie wordt voldaan wanneer de potentiaal domineert over de kinetische energie 1 2 φ. Om deze situatie even in stand te houden moet de tweede tijdsafgeleide van φ klein zijn. Om de tweede tijdsafgeleide voldoende lang klein te houden moet de derde tijdsafgeleide van φ ook klein zijn, enz. Dit leidt tot de volgende slow-roll condities: φ 2 V (φ) (71) φ 3H φ, V (φ). (72) Om aan deze condities te voldoen worden twee parameters gedefiniëerd, de slow-roll parameters (constantes zijn niet weggelaten) ɛ(φ) 1 2 (V,φ ) 2 (73) V η(φ) V,φφ V. (74) Zie de appendix voor de afleiding van bovenstaande slow-roll parameters. In principe zijn er oneindig veel slow-roll parameters, die steeds een hogere orde afgeleide van V naar φ bevatten, echter uit de eerste twee parameters kunnen de hogere orde parameters worden afgeleid. Een Taylorexpansie van de potentiaal rond een punt φ 0 maakt inzichtelijk waar de slowroll parameters vandaan komen V (φ) = V (φ 0 ) + V φ φ=φ 0 (φ φ 0 ) + 1 2 V 2 φ 2 φ=φ 0 (φ φ 0 ) 2 +... (75) De slow-roll parameters zorgen ervoor dat de helling van de potentiaal zo vlak mogelijk blijft. Zie figuur 3 voor een voorbeeld van een mogelijke slow-roll inflatie potentiaal met vlakke helling. Voor beide parameters geldt in het slow-roll regime: 16

ɛ is per definitie positief. ɛ, η 1 (76) Figuur 3: Een mogelijke slow-roll potentiaal met vlakke heling om inflatie een bepaalde periode in stand te houden. Tijdens slow-roll inflatie, wanneer de slow-roll condities gelden, kunnen enkele termen in de vergelijkingen (69) en (70) worden verwaarloosd en worden de nieuwe bewegingsvergelijkingen H 2 1 V (φ) const. (77) 3 en φ V,φ 3H. (78) Deze vergelijkingen beschrijven de dynamica van het homogene inflaton veld. Omdat de 17

Hubble parameter tijdens inflatie bij benadering constant is (77), is de ruimte-tijd bij benadering de Sitter. 3.7 Einde inflatie a(t) e Ht, H const. (79) De inflatie periode eindigt wanneer de potentiele energie niet langer domineert over de kinetische energie. Er wordt dan niet meer aan de slow-roll conditites voldaan. In figuur 3 is te zien dat dit het geval is wanneer het inflaton veld aan het eind van het relatief vlakke gedeelte is en op het punt staat in de put te vallen en te oscilleren rond het diepste punt van de potentiaal. Deze periode, waarin inflatie overgaat op de standaard big bang theorie, wordt reheating genoemd. Het einde van inflatie is een nog niet heel goed begrepen proces, mede omdat men nog niet precies weet wat het inflaton veld is. Aangenomen wordt dat de potentiele energie van het veld vervalt in conventionele materie en het universum vult met elektro-magnetische straling. 3.8 Comoving horizon en comoving Hubble straal tijdens inflatie 1 In de standaard kosmologische expansie (na inflatie) worden de comoving Hubble straal ah en de comoving horizon τ beide groter. Tijdens inflatie is dit niet het geval. De comoving Hubble straal wordt kleiner, terwijl de comoving horizon groter blijft worden. Dit is de basis voor de oplossing van het Horizon probleem. Het is mogelijk dat τ op dit moment veel groter is dan (ah) 1, zodat deeltjes nu niet causaal verbonden zijn, maar in een eerder stadium van het universum dat wel waren. Uit vergelijking (34) volgt dat dit zou kunnen als de comoving Hubble straal in een vroeg universum veel groter was, zodat de contributie van de comoving hubble straal in de integraal vooral afkomstig is uit het vroege heelal. Als de comoving Hubble straal vroeger veel groter was dan nu, betekent dit dat er een fase moet zijn geweest waarin de comoving Hubble straal kleiner werd. Dit gebeurde tijdens inflatie. H bleef bij benadering constant terwijl a(t) exponentieel toenam, zodoende werd 1 de comoving Hubble straal ah kleiner. Zie figuur 4. 18

Figuur 4: Evolutie van de comoving Hubble straal. kleiner tijdens inflatie en expandeert na inflatie. De comoving Hubble straal wordt 3.9 Flatness en Horizon probleem opgelost De Friedmann vergelijking kan geschreven worden als vergelijking (33) 1 Ω(a) = 1 (ah) 2. (80) Tijdens inflatie is H const. en groeit a exponentieel, a = e Ht. De comoving Hubble 1 straal ah wordt kleiner. Hieruit volgt dat 1 Ω(a) convergeert tijdens inflatie. Inflatie zorgt ervoor dat het universum zo vlak is aan het begin van de Big Bang. 1 Tijdens de versnelde expansie blijft de fysische Hubble straal H ongeveer gelijk, want H is bij benadering constant tijdens inflatie. Dit betekent dat deeltjes die eerst causaal verbonden waren, tijdens en na inflatie, wanneer ze buiten de Hubble straal komen, niet meer causaal verbonden zijn. Op deze manier kan het zo zijn dat gebieden gescheiden door enorme afstanden, nu niet in causaal contact staan, maar voor inflatie wel konden communiceren. Dit is een verklaring voor de uniformiteit en homogeniteit van de CMB. 4 Quantum fluctuaties als oorsprong van structuur Quantum mechanica voorspelt dat het vacuum of een een lege ruimte nooit helemaal leeg is. Er is altijd een waarschijnlijkheid dat deeltjes en anti-deeltjes uit het niets ontstaan om 19

elkaar even later te annihileren. Interessante effecten treden op wanneer dit tijdens inflatie in een gekromde ruimte-tijd gebeurt. Een deeltje en een anti deeltje worden gecreeerd, maar worden voordat ze elkaar kunnen annihileren door inflatie uit elkaar gedreven, waardoor ze niet meer met elkaar kunnen communiceren. De twee deeltjes blijven bestaan. Het zijn deze deeltjes die de quantum perturbaties veroorzaken en uiteindelijk verantwoordelijk zijn voor dichtheidsfluctuaties. 4.1 Analogie scalar veld en harmonische oscillator Een vrij scalarveld, V (φ) = 1 2 m2 φ 2, voldoet aan de Klein-Gordon vergelijking (zie [5]) φ 2 φ + m 2 φ = 0. (81) Het scalarveld kan worden ontbonden in Fourier-componenten φ(x, t) = d 3k (2π) 3/2 eik x φ k (t) (82) waar k het drie-dimensionale golfgetal is, de inverse golflengte van de toestand φ k. Door de Fouriercomponenten te substitueren in de Klein-Gordon vergelijking wordt een oneindige set ontkoppelde gewone differentiaal vergelijking gevonden φ k + (k 2 + m 2 )φ k = 0 (83) een vergelijking voor elke k. De vorm van deze vergelijking is identiek aan de vorm van een harmonische oscillator vergelijking met frequentie ω k k 2 + m 2. Een vrij scalarveld kan dus worden gezien als een verzameling van oneindige veel harmonische oscillatoren. Omdat het quantiseren van een vrij scalarveld wiskundig equivalent is aan het quantiseren van een oneindige set ontkoppelde harmonische oscillatoren, loont het de moeite om te kijken naar de quantisatie van een harmonische oscillator. 4.1.1 De harmonische oscillator gequantiseerd De actie van een harmonische oscillator met tijds-afhankelijke frequentie is S dtl = dt ( 1 2ẋ2 1 2 ω2 (t)x 2). (84) Voor het gemak stellen we m 1. De klassieke bewegingsvergelijking wordt verkregen door de variatie van de actie naar x te 20

nemen. δs δx = 0 L x d L dt ẋ = ẍ + ω2 (t)x = 0 (85) De impuls van het deeltje is gedefinieerd als p = ẋ. (86) De klassieke variabelen x en p worden quantum operatoren ˆx en ˆp die voldoen aan de commutatierelatie [ˆx, ˆp] = i. (87) In het klassieke geval zou de toestand zonder beweging, x(t) = 0, kunnen worden gezien als de grondtoestand, maar de commutatierelatie tussen plaats en impuls die optreedt bij quantisatie verbiedt deze oplossing. De operator ˆx kan worden geschreven in de volgende toestandsexpansie ˆx = v(t)â + v (t)â (88) waar â en â creatie en annihilatie operatoren zijn die werken op de toestand van het systeem en de toestandsfunctie v een oplossing moet zijn van de klassieke bewegingsvergelijking v + ω 2 (t)v = 0. (89) De commutatierelate (87) kan vervolgens geschreven worden als v, v [â, â ] = 1 (90) waar de bracket notatie is gedefinieerd als v, w i (v t w ( t v )w). (91) Uit bovenstaande kan worden afgeleid dat de creatie en annihilatie operatoren geschreven kunnen worden als â = v, ˆx (92) â = v, ˆx. (93) 21

Een vacuum toestand van het systeem wordt gedefinieerd door â 0 = 0. (94) Geexciteerde toestanden worden verkregen door de creatie operator herhaaldelijk te laten werken op de vacuumstoestand n 1 n! (a ) n 0. (95) Voor een simpele harmonische oscillator met tijds-afhankelijke frequentie is er geen uniek bepaalde toestandsfuntie v(t). Dit betekent dat er ook geen uniek bepaalde operator â is, want de oplossing x(t) moet onveranderd blijven. Dit heeft tot gevolg dat verschillende oplossingen voor v(t) verschillende vacuum toestanden geven. In het speciale geval dat de harmonische oscillator een tijds-onafhankelijke frequentie heeft, ω(t) = ω, kan een unieke oplossing voor v(t) worden gevonden. De vaccuum toestand 0 moet dan de grondtoestand zijn van de Hamiltoniaan Ĥ = 1 2 ˆp2 + 1 2 ˆx2. De Hamiltoniaan werkend op de grondtoestand geeft Ĥ 0 = 1 2 ( v2 + ω 2 v 2 ) â â 0 + 1 2 ( v 2 + ω 2 v 2 ) 0. (96) Omdat 0 een eigentoestand van Ĥ moet zijn, en â â 0 0, moet gelden 1 2 ( v2 + ω 2 v 2 ) = 0 (97) Hier volgt uit v = ±iωv. (98) Gebruikmakend van de definitie (91) voor de bracket notatie, krijgt men de volgende norm v, v = 2ω v 2. (99) Normalisatie, v, v = 1, selecteert het min teken in vergelijking (98) v = iωv v(t) = Ae iωt (100) en leidt tot 22

2ω v 2 = 1 v 2 = 2ω A 2 e iωt e iωt = A 2 = 2ω A = 2ω (101) (102) Uiteindelijk is de oplossing van de bewegingsvergelijking v(t) = 2ω e iωt. (103) Met deze toestandsfunctie kan de Hamiltoniaan geschreven worden als Ĥ = ω ( â â + 1 2). (104) De vaccuum toestand 0 is gedefinieerd als de toestand met de minste energie, ω 2. De variantie van de plaatsoperator ˆx staat voor de amplitude van de quantumfluctuaties en wordt in de grondtoestand gegeven door ˆx 2 0 ˆx ˆx 0 = 0 (v â + vâ)(vâ + v â ) 0. Omdat â 0 = 0, verdwijnt de eerste term in de tweede set haakjes. Ook de eerte term in de eerste set haakjes verdwijnt, omdat 0 â = (a 0 ) = 0. Wat overblijft is ˆx 2 = v(ω, t) 2 0 ââ 0 = v(ω, t) 2 0 0 [â, â ] + â â 0. De tweede term verdwijnt, omdat â het vaccuum annihileert. De eerste term in de tweede term is gelijk aan 1, want [â, â ] 1. De amplitude van de quantum fluctuaties van ˆx in het vaccuum is ˆx 2 = v(ω, t) 2 = 2ω. (105) De golffuncties die de toestanden representeren van de harmonische oscillatoren worden 23

gevonden m.b.v. de definitie van de operatoren â, â, vergelijkingen (92), (93) en de vergelijkingen (94) en (95), â 0 = âψ 0 = 1 2 ω (iˆp + ωˆx)ψ 0 = 0 (106) hieruit volgt de genormaliseerde golffunctie voor de grondtoestand ψ 0 (x) = ( ω ) 1 4 e ω 2 x2 (107) π dit is een Gaussische golffunctie. Om de golffuncties van de geexciteerde toestanden te krijgen moet de creatie operator herhaaldelijk worden toegepast op de grondtoestand ψ n = 1 n! (â ) n ψ 0. (108) Zie figuur 5 voor de vorm van de eerste paar golffuncties. Figuur 5: De eerste acht toestanden van de harmonische oscillator. 24

4.2 Quantum fluctuaties in de Sitter ruimte Het vaccuum is een toestand gedefinieerd als de toestand met de laagste energie. In het geval van een klassiek veld, zou dat betekenen dat er geen veld is, φ(x, t) = 0. Dit is een oplossing van de klassieke bewegingsvergelijkingen. Wanneer het veld gequantiseerd wordt voldoet de oplossing, net als in het geval van de harmonische ocillator, niet meer aan de bewegingsvergelijkingen en de commutatierelaties. Dit betekent dat het veld altijd fluctueert en in een toestand met minimale energie toch een waarde kan hebben. Een gequantiseerd veld kan worden ontbonden in een homogene achtergrond en een niet homogene verstoring. φ(x, t) = φ(t) + δφ(x, t). (109) Eerder hebben we gekeken naar de dynamica van een homogeen scalarveld in een FRWmetriek. Nu kijken we naar de eigenschappen van het inflatonveld, een niet-homogeen scalarveld φ(x, t) dat veronderstelt wordt het mechanisme achter inflatie te zijn. Dit veld kan worden ontleed in een homogene achtergrond φ(t) en een verstoring δφ(x, t). δφ is analoog aan de positie coordinaat x in de harmonisch oscillator en kan worden geexpandeerd in Fourier componenten δφ k. Hier is k de inverse golflengte van de toestand, k a = λ 1. In berekeningen die volgen zullen we zien dat φ k voldoet aan de vergelijking δφ k + 3Hδφ k + k2 a 2 δφ k = 0. (110) Dit is gelijk aan de vorm van een harmonische oscillator vergelijking met m 1, een dempingscoefficient 3H en een variabele veerconstante k a. Wanneer de golflengte van een toestand, a k, veel kleiner is dan de Hubble straal H 1, k a H, zal de toestand zich gedragen als een normale harmonische oscillator. Wanneer de golflengte veel groter is dan de Hubble straal, k a H, zal de toestand zich gedragen als een zwaar gedempte oscillator waarvan de amplitude uiteindelijk zal bevriezen. De variabelen x en δφ hebben beiden quantum fluctuaties in de grondtoestand. De fluctuatie van de positie in de vacuum toestand wordt gegeven door vergelijking (105), ˆx 2 1 ω. De frequentie uit het voorbeeld van de harmonische oscillator is analoog aan de inverse goflengte, ω k a, verwacht wordt dus dat de quantum fluctuaties van δφ in de vacuum toestand evenredig zijn met de golflengte: (δφ k ) 2 1 k/a λ. Quantum fluctuaties in δφ ontstaan wanneer de golflengte van de toestand kleiner is dan de Hubble straal. De amplitude van de fluctuaties is evenredig met de golflengte. Wanneer de golflengte, uitgerekt door inflatie, even groot is als de Hubble straal, k = ah, bevriest de amplitude op een constante waarde. (δφ k ) 2 1 a 3 (k/a ), (111) 25

De normalisatiefactor a 3 komt uit het volume element g in de Lagrangiaan voor φ. a is de schaalfactor op het moment dat de golflengte van de toestand even groot is als de Hubble straal k = a H. (112) Bovenstaande vergelijkingen combineren leidt tot (δφ k ) 2 H2 k 3. (113) Dit is het spectrum van fluctuaties in het inflaton veld. Nu een algebraische afleiding na deze kwalitatieve inleiding. De actie voor een scalar veld wordt gegeven door vergelijking (51) S d 4 x g [ ] L φ = d 4 x g [ 1 2 gµν µ φ ν φ V (φ) ]. (114) waarin g = det g µν = a 3 (t) als gebruikt wordt gemaakt van de FRW metriek voor een vlak universum. Inflatie speelt zich af in een de Sitter ruimte dus de schaalfactor is a(t) = e Ht. De bewegings vergelijking van het veld φ volgt uit de variatie van de actie naar het veld. δs δφ = 0 δ( [ ] g Lφ ) = 1 µ ( g µ φ) + V (φ) = 0. (115) δφ g 1 g µ ( g µ φ) = 1 g µ ( gg µν ν φ) = 1 a 3 µ(a 3 g µν ν φ) = 1 a 3 [ t (a 3 t φ) + a 3 i g ii i φ ] = 1 a 3 [ 3a2ȧ φ + a 3 φ a 3 a 2 2 φ ] = φ 1 a 2 2 φ + 3H φ 26

De bewegingsvergelijking van het veld wordt gegeven door φ 1 a 2 2 φ + 3H φ + V (φ) = 0. (116) Het inflaton veld wordt ontleed in een homogene achtergrond en een verstoring φ(x, t) = φ(t) + δφ(x, t). (117) De bewegingsvergelijking voor δφ in de Fourierruimte wordt gevonden door zijn Fouriercomponenten te substitueren in (116). δφ(x, t) = d 3 k (2π) 3/2 (δφ k)e ik x. (118) δφ 1 a 2 2 δφ + 3Hδφ + V (φ) d 3 k = (2π) 3/2 t t [(δφ k )e ik x ] 1 a 2 = 0 d 3 k (2π) 3/2 2 [(δφ k )e ik x ] + 3H d 3 k (2π) 3/2 t[(δφ k )e ik x ] + V (δφ) δφ k + 3Hδφ k + k2 a 2 δφ k + V,φφ δφ k = 0. (119) De laatste term V,φφ krijgt men door V (δφ) te expanderen rond het punt φ 0 = 0 V (δφ) = V (φ 0) φ Door gebruik te maken van de slow-roll condities (74) en (77) versimpelt de bewegingsvergelijking voor δφ k tot + 2 V (φ 0 ) φ 2 δφ... (120) η = V,φφ V 1 V,φφ H 2 (121) δφ k + 3Hδφ k + k2 a 2 δφ k = 0. (122) 27

Met de introductie van de Mukhanov variabele v aδφ (123) en de overgang op conformal time dt = a(t)dτ (124) kunnen de termen van vergelijking (122) geschreven worden als en δφ = t t (v a ) = 1 a τ [1 a τ (v a )] = 1 a τ [1 a (v a va a 2 ) = 1 a τ ( v a 2 va a 3 ) = 1 a [v a 2 2v a a 3 ( v a + va a 3 3v(a ) 2 a 4 )] = v a 3 3v a a 4 va a 4 + 3v(a ) 2 a 5 3Hδφ = 3 1 da v a dt t a = 3 1 a 3 a τ (v a ) = 3 1 a 3 a ( v a va a 2 ) = 3a v a 4 3v(a ) 2 a 5 en k 2 vk2 δφ = a2 a 3. (125) Vergelijking (122) kan uiteindelijk worden geschreven als δφ k + 3Hδφ k + k2 a 2 δφ k (126) = v a 3 3v a a 4 va a 4 + 3v(a ) 2 a 5 + 3a v a 4 3v(a ) 2 a 5 + vk2 a 3 (127) =v + (k 2 a )v = 0. (128) a 28

Deze vergelijking kan meteen worden herkend als een vergelijking met de vorm van een harmonische oscillator. Verschillende limieten van vergelijking (128) kunnen worden bekeken. 4.2.1 De subhorizon limiet Voor toestanden met een golflengte veel kleiner dan de Hubble straal geldt, k ah. In dat geval domineert in vergelijking (128) de k 2 term over de a a term, omdat in de Sitter ruimte geldt Vergelijking (128) wordt τ = 1 Ha (129) a a = 2 Hτ 3 Hτ = 2 τ 2 = 2H2 a 2. (130) v + k 2 v = 0 k ah 1 (131) en heeft de unieke oplossing van een simpele tijds-onafhankelijke oscillator (103) 1 v = 2k e ikt. (132) De toestanden in de horizon fluctueren om een evenwichtstoestand. 4.2.2 De superhorizon limiet Voor toestanden met een golflengte veel groter dan de Hubble straal geldt, k ah. Nu domineert a a over k2 en wordt vergelijking (128) De oplossing voor de vergelijking is v a a v = 0, k ah 1 (133) v a. (134) 29

Dit betekent dat de verstoring van het veld buiten de horizon constant is, want δφ = v a = const. (135) De toestanden met een goflengte groter dan de Hubble straal zijn bevroren. 4.2.3 Horizon crossing Wanneer gekeken wordt naar de situatie waarin de golflengte van de toestand even groot is als de Hubble straal, horizon crossing, moet vergelijking (128) in een de Sitter-ruimte worden opgelost v k + (k2 a a )v k = v k + (k2 2 τ 2 )v k = 0, (136) de gelijkheid a /a = 2/τ 2 volgt uit vergelijking (130). Een exacte oplossing voor deze vergelijking is [1] v k = α e ikt 2k (1 i kτ ) + β eikt 2k (1 + i kτ ). (137) α en β worden bepaald door naar de subhorizon limiet te kijken, k τ 1. De oplossing voor de bewegingsvergelijking in de subhorizon limiet is vergelijking (132) 1 v k = 2k e ikt. (138) Hieruit volgt dat α = 1 en β = 0. De unieke toestandsfuncties worden gegeven door v k = e ikt 2k (1 i kτ ). (139) Analoog aan het geval van de harmonische oscillator kunnen ook de quantum fluctuaties van δφ in de vacuum toestand worden berekend. Net als bij de harmonische oscillator zijn die fluctuaties gelijk aan het kwadraat van de absolute waarde van de toestandsfunctie, de variantie. In de Fourierruimte wordt de amplitude van de bevroren fluctuaties in de superhorizon limiet, kτ 0, gegeven door lim 0 δφ ˆ k 2 0 = lim kτ 0 v k 2 kτ 0 a 2. (140) 30

De factor 1 a 2 is afkomstig van de definitie van de Mukhanov variabele, δφ v a. lim v k 2 = lim kτ 0 kτ 0 = lim kτ 0 = 1 2k 3 τ 2 = a2 H 2 2k 3 1 2k (1 + 1 k 2 τ 2 ) k 2 τ 2 + 1 2k 3 τ 2 lim 0 δφ ˆ k 2 0 = H2 kτ 0 2k 3 (141) Dit zijn de fluctuaties in de Fourier ruimte. In de reële ruimte zijn de fluctuaties 0 δφ ˆ 2 0 = d 3 kd 3 k δφ k δφ k e i(k k ) x (142) want de Fourier getransformeerde van δφ = d 3 kδφ k e ik x. Met behulp van de delta functie in δφ k δφ k = H2 0 δφ ˆ 2 0 = δ (3) (k k ) wordt vergelijking (142) 2k 3 d 3 k δφ k 2 k 2 dk δφ k 2. (143) De laatste stap volgt uit d 3 k = 4πk 2 dk. In het beschrijven van een fluctuatie spectrum uitgedrukt in Fourier componenten is het handig om te definiëren δφ 2 2 δφ (k)d ln k (144) waar 2 δφ (k) een dimensieloos power spectrum is: 2 δφ (k) k3 δφ k 2. (145) Met 2 δφ (k) kan vergelijking (143) worden geschreven als 2 δφ (k)d ln k = k 2 dk δφ k 2 H 2 d ln k. (146) 31

De grenzen van de integraal worden bepaald door de toestanden met goflengten die nooit groter zijn geworden dan de Hubble straal en dus nooit zijn vergroot, k f en toestanden met golflengten die al groter waren dan de Hubble straal voordat inflatie startte, k i. Uiteindelijk komen we aan bij het belangrijke spectrum van de amplitude van inflaton fluctuaties δφ 2 = kf k i 2 δφ (k)d ln k = kf k i H 2 d ln k H 2 ln( k f k i ) H 2. (147) Het spectrum is constant (als van een ideale de Sitter ruimte wordt uitgegaan), het hangt niet van k af. Het is dus een schaalinvariant spectrum. 4.3 Dichtheidsfluctuaties Aan het eind van de inflatie periode wordt veronderstelt dat het scalar veld vervalt in deeltjes en het universum vult met elektromagnetische straling. Dit proces heet reheating. De kosmologen Guth en Pi hebben het time-delay formalisme geintroduceerd. Dit formalisme relateert de verstoring van het inflaton veld, δφ, aan verstoringen in de dichtheid, δρ. Het idee is dat fluctuaties van het veld leiden tot locale verschillen van de tijd waarop inflatie eindigt. Gebieden waar inflatie later eindigt worden groter omdat ze meer tijd hebben gehad om exponentieel te expanderen. Dit heeft tot gevolg dat een plek waar inflatie later eindigt een hogere dichtheid heeft dan een plek waar inflatie eerder eindigt.het verschil in tijd kan worden uitgedrukt als δt = δφ φ Ḣ φ. (148) In de laatste stap wordt gebruik gemaakt van vergelijking (147), δφ = δφ 2 H. (149) Na inflatie domineert relativistische materie het universum waardoor de energie dichtheid zich ontwikkelt als ρ t 2. Uit de Friedmann-vergelijking vlak na inflatie volgt H 2 = ρ 3 H t 1. (150) Hier kan uit worden opgemaakt δρ ρ 6HδH 3H 2 2 δh H Hδt. (151) 32

Met behulp van vergelijking (148) en de slow-roll resulaten H 2 = 1 3 V (φ) en 3H φ = V,φ krijgt men de volgende relatie (δρ) 2 H 4 = ρ φ 2 = V 2 9 φ = V 2 H 2 2 (V ) 2 V 3 V 2 V ɛ, waar in de laatste stap gebruik wordt gemaakt van de slow-roll parameter ɛ 1 ( V,φ ) 2. 2 V Opnieuw kan bij het beschrijven van het fluctuatie spectrum gebruik worden gemaakt van van de definitie ( δρ ) 2 2 ρ S(k)d ln k, (152) waar 2 S (k) een dimesieloos power spectrum is 2 S(k) k3 δ k 2 2π 2 (153) en δ k de Fourier getransformeerde van δρ ρ is, d 3 x ( δρ ) δ k = (2π) 3/2 e ik x. (154) ρ Omdat H(t) (en dus ook V (φ)) niet precies constant is gedurende inflatie, is de amplitude van de verstoringen, δφ H(t), een functie van de tijd. Ook het dimensieloze power spectrum is een functie van de tijd. Het is gebruikelijk het spectrum uit te drukken op het moment dat de golflengten van de toestanden even groot zijn als de Hubble radius, k = ah. 2 S(k) k=ah = 1 V 24π 2 ɛ k=ah k n S 1 (155) 1 De coefficient volgt uit een exacte berekening wanneer alle voorgaande coefficienten 24π 2 worden meegenomen. [1]. De index n s 1 is gedefinieerd als 33

De noemer, d ln k, kan worden geschreven als d ln k = dk k = Hda n s 1 d ln 2 S d ln k. (156) ah = da/dt a dt = ȧ dt = Hdt (157) a dit wordt, gebruikmakend van de slow-roll resultaten 3H φ = V (φ) en 3H 2 = V (φ) Hdt = Hdt H φ = 3H2 H φ V dφ = V dφ. (158) V Vergelijking (156) kan vervolgens worden uitgedrukt in de slow-roll parameters n s 1 = d ln 2 S d ln k = V d ( 1 V ln[ V dφ 24π 2 ɛ ]) = V d ( 1 ln[ V dφ 24π 2 ] + ln[v ɛ ]) = V d ( V ln[ V dφ ɛ ]) = V d ( 2V 3 ln[ V dφ (V ) 2 ]) = V d ( 3 ln 2V 2 ln V ] ) V dφ = V ( 3 V 2V 2V 2 V V ) ( V ) 2 V = 3 + 2 V V 6ɛ + 2η. Dit wordt de scalar spectral index genoemd. n s = 1 is een Harrison-Zel dovich spectrum. Een schaalinvariant spectrum waarin de grootte van de perturbaties op elke lengte schaal hetzelfde is. In andere woorden, de amplitude van de vacuum fluctuaties als functie van de inverse golflengte, k, is constant. Het Harrison-Zel dovich spectrum komt goed overeen met waarnemingen. Te zien in bovenstaande afleiding is dat de slow-roll benadering van inflatie, ɛ, η 1, ook een spectrum voorspelt waarvoor geldt n s 1. 34

4.3.1 Gaussische verdeling en niet-gaussische correcties Het in sectie 4.2.3 gevonden spectrum van inflaton vaccuum fluctuaties (147) heeft een Gaussische verdeling. Dit kan ook niet anders, de bewegingsvergelijkingen voor de perturbatie, vergelijkingen (119) en (128), hebben een vorm identiek aan die van een harmonische oscillator, (85). De grondtoestand van een quantum harmonische oscillator is een Gaussische golffunctie, zie vergelijking (107). Een oneindige verzameling van Gaussische golffuncties, de grondtoestand van δφ k, is ook een Gaussische functie. In de afleiding is aangenomen dat de bewegingsvergelijkingen voor δφ lineair zijn. Deze lineariteit volgt uit het ontbreken van zelfinteractie van het veld, dit wordt een vrij veld genoemd. Voor een vrij veld heeft de potentiaal een vorm V (φ) = 1 2 m2 φ 2. (159) Het zou kunnen zijn dat de zelfinteractie van het veld niet verwaarloosd kan worden, zodat de vacuum fluctuaties van de Fouriertoestanden δφ k met elkaar koppelen. In dat geval komen er in de potentiaal hogere orde termen bij, termen die de zelfinteractie beschrijven. De potentiaal kan de vorm van een polynoom hebben V (φ) = c i φ 2i (160) i=1 of, met de eerste termen uitgeschreven V (φ) = 1 2 m2 φ 2 + λφ 4 + c Λ 2 φ6... (161) Strikt genomen hoeft de potentiaal geen even functie te zijn, maar vaak wordt aangenomen dat moet gelden φ = φ. Wanneer gekeken wordt naar hogere orde termen in de Taylorexpansie van de potentiaal rond een punt φ 0 in de bewegingsvergelijking voor δφ k, vergelijking (119), δφ k + 3Hδφ k + k2 a 2 δφ k + V,φφ δφ k + 1 2 V,φφφδφ 2 k + 1 3! V,φφφφδφ 3 k... (162) ziet men niet-lineaire termen verschijnen wanneer een potentiaal als vergelijking (161) wordt gebruikt. Deze niet-lineaire termen leiden tot een niet-gaussische verdeling van de vacuum fluctuaties. In de slow-roll benadering van inflatie wordt een restrictie gelegd op de grootte van de niet-gaussische correcties. De niet-lineaire termen in vergelijking (162) worden in de slow-roll benadering namelijk geacht klein te zijn om de helling van de potentiaal vlak te houden. Hetzelfde argument werd gebruikt bij de introductie van de 35

slow-roll parameters, zie sectie 3.6. De niet-gaussische correcties zullen proportioneel aan de slow-roll parameters zijn. Om algebraisch in te zien dat de niet-lineaire termen in vergelijking (162) leiden tot een niet-gaussische verdeling is het handig om de padintegraal te introduceren. Met behulp van de padintegraal kan inzichtelijk worden gemaakt hoe vanuit een potentiaal met niet-lineaire termen een golffunctie wordt gevonden die per definitie niet Gaussisch is. 4.4 Padintegraal In de klassieke mechanica beschrijving van een fysisch systeem is er maar één manier om van een punt naar een ander punt te geraken. Namelijk via het klassieke pad dat gegeven wordt door de Euler-Lagrange vergelijkingen, die worden verkregen door de variatie van de actie gelijk aan nul te stellen (Hamilton s variatie principe, zie [6]). In de quantummechanica is dit niet meer het geval. Alle mogelijke paden leveren een bijdrage aan de fase van de golffunctie. De uiteindelijke golffunctie is gelijk aan de som over alle paden, waarbij elk pad gewogen wordt door de waarde van de actie langs dat pad. Nu zal een afleiding van de padintegraal beschrijving volgen. De quantum mechanische golffunctie ψ(q, t) wordt gevonden door de Schrödinger vergelijking op te lossen i ψ t De golffunctie kan op elk moment t worden geschreven als = Hψ. (163) ψ(q, t) = q ψ(t) = q e i Ht ψ(0) (164) De laatste stap wordt als volgt verkregen. De toestandvector ψ(t) verandert als functie van de tijd en kan dus worden geschreven als ψ(t) = ˆX(t) ψ(0), (165) waar ˆX(t) een operator is die de evolutie van de toestandsvector bepaald. Wanneer (165) wordt ingevuld in de Schrödinger vergelijking wordt voor ˆX(t) gevonden ˆX(t) = e i Ht. (166) Door gebruik te maken van de compleetheid van de toestanden q 1 = dq q q (167) 36

kan de golffunctie worden geschreven als ψ(q, t) = dq q e i Ht q ψ(q, 0). (168) Een belangrijke term in bovenstaande vergelijking is de propagator, q e i Ht q. Als een deeltje op tijdstip t = 0 op positie q is, staat de propagator voor de waarschijnlijkheids amplitude dat het deeltje op tijdstip t = T op een positie q is. Wanneer de propagator bekend is kan de golffunctie op elk tijdstip worden berekend. Als het pad in N stappen met tijdsinterval t wordt verdeeld (N t = T ) kan de propagator als volgt worden herschreven q e i Ht q = N 1 i=1 dq i q N e i H t q N 1 q N 1 e i H t q N 2... q 1 e i H t q 0. (169) Waar q N = q en q 0 = q. Door ook gebruik te maken van de compleetheid van de impuls-toestanden 1 = dp p p (170) en dit in elke factor van vergelijking (169) in te vullen wordt in eerste instantie een nog ingewikkelder uitdrukking voor de propagator gevonden N 1 N i=1 j=1 dq i dp j q N p N p N e i H t q N 1... q 1 p 1 p 1 e i H t q 0. (171) Wanneer de Hamiltoniaan de volgende vorm heeft kan worden geschreven, zie [7], H(p, q) = p2 + V (q), (172) 2m p i e i H t q i = e i H(p i,q i ) t p i q i + O( t 2 ). (173) De hogere orde termen komen voort uit het niet commuteren van ˆp2 2m en V (ˆq). In de limiet t 0 en N kan aangenomen worden dat de hogere orde correcties verwaarloosbaar zijn. Zie [8] voor meer uitleg. Door gebruik te maken van q i p i = 1 2π e i p iq i 37

q i p i p i q i 1 = 1 2π e i p i(q i q i 1 ) (174) kan vergelijking (171) worden geschreven als N 1 dpn dq i dp i 2π 2π e i p i(q i q i 1 ) i H t. (175) i=1 Met behulp van de definitie q i q i 1 t q i 1, kan in de limiet t 0 bovenstaande vergelijking worden geschreven als Dq(t)Dp(t)e i (p q H(p,q))dt (176) N 1 2π i=1 dq i dp i 2π. waar Dq(t)Dp(t) dp N Door een verandering in variabelen, p = p m q (zoals gedaan in [9]), kan een gaussische integraal over p worden uitgevoerd. Dit is het makkelijkst te doen in vergelijking (173), voordat de limiet wordt genomen. N 1 dpn 2π i=1 dq i dp i 2π exp( i t(p iq i p2 i 2m V (q))) (177) N 1 d pn dq i d p i = 2π 2π exp( i t( p2 i 2m + m q2 i 2 V (q))) (178) i=1 ( m = 2πi t ) N 1 N i=1 dq i exp ( i t(m q2 i 2 V (q))) (179) waar gebruikt wordt gemaakt van de gaussische integraal ae x2 2c 2 dx = ac 2π. Uiteindelijk kan in de limiet t 0 en N, de propagator als volgt worden uitgedrukt q e i Ht q = Dq(t)e i L(q, q)dt = Dq(t)e i S[q(t]. (180) Waar nu Dq = lim N ( m 2πi t ) N N 1 i=1 dq i. Als het startpunt van alle paden q(t) op t = 0 hetzelfde is geldt ψ(q, 0) = δ(q q ) en kan vergelijking (168) worden geschreven als ψ(q, t) = dq q e i Ht q δ(q q ) = q e i Ht q = Dq(t)e i S[q(t)]. (181) Dus, als de propagator alleen een functie is van de eindpositie en tijd, dan is het niets anders dan de golffunctie van een deeltje met een specifieke beginconditie. 38

4.5 Padintegraal niet-vrij veld Bovenstaande afleiding van de padintegraal is een afleiding die geldig is in de quantum mechanica. De padintegraal die gebruikt wordt in de quantumvelden theorie is een generalisatie naar veel meer vrijheidsgraden. In plaats van integratie over alle mogelijke paden moet er worden geintegreerd over alle mogelijke veld configuraties. Het voert te ver voor deze bachelorscriptie om daar een afleiding van te geven, zie hiervoor [9]. Ik probeer met de padintegraal van de quantum mechanica een soort back of the envelope verklaring te geven voor de niet-gaussische verdeling van vacuumfluctuaties δφ ten gevolge van een niet-vrij veld. Voor fysiche systemen als een vrij deeltje en de harmonische oscillator, systemen met een kwadratische actie, kan de padintegraal in vergelijking (180) exact worden opgelost. Dit komt door de Gaussische integralen waar zo n pad integraal uit bestaat. Echter, in gevallen waar hogere orde termen in de potentiaal voorkomen kan de padintegraal niet exact worden opgelost. Een voorbeeld: de anharmonische oscillator met een kwadratische en bikwadratische term in de potentiaal V (q) = 1 2 ω2 q 2 + λ 4! q4. (182) De padintegraal van de anharmonische oscillator kan niet exact worden opgelost. Dit heeft te maken met het feit dat de integraal I = dq exp( 1 2 q2 + λ 4! q4 ) (183) niet exact kan worden opgelost. Een benadering van de oplossing voor elke padintegraal kan worden gevonden door het scheiden van de padintegraal (180) in twee termen Dq(t)e i S[q(t)] = e i S[q kl(t)] Dy(t)e i S[y(t)]. (184) De eerste term is alleen afhankelijk van het klassieke pad q kl (t). De tweede term is een padintegraal over de afwijkingen y(t) van het klassieke pad. Hoewel alle paden een bijdrage leveren aan de padintegraal, is het klassieke pad, de eerste term, dominant. Vaak wordt een goede benadering van de pad integraal verkregen door alleen naar de eerste term te kijken, en hoeft er niet eens een pad integraal te worden uitgevoerd. Wanneer het beginpunt van alle paden hetzelfde is, is de propagator gelijk aan de golffunctie en kan worden geschreven ψ(q, t) e i S[q kl(t)]. (185) Op deze manier is in te zien dat een kwadratische actie, de harmonische oscillator of 39

een vrij veld, een Gaussische golffunctie geeft. Een niet-vrij veld heeft een actie die niet kwadratisch is door de hogere orde termen in de potentiaal. Dit zorgt voor een niet- Gaussische golffunctie ψ = e i d 4 x( 1 2 ( µφ)2 1 2 m2 φ 2 λ 4! φ4). (186) Met als gevolg dat vaccuum fluctuaties in een niet-vrij inflaton veld niet-gaussisch zijn verdeeld. 40

5 Conclusie Het slow-roll inflatie model dat in dit verslag is gebruikt voorspelt een voornamelijk Gaussische verdeling van perturbaties in het inflaton veld. Toch zou er een beetje nietgaussianiteit aanwezig kunnen zijn als gevolg van de zelf-interactie van het inflaton veld. Verwacht wordt dat deze niet-gaussianiteit erg klein is, omdat het zijn oorsprong heeft in hogere orde afgeleiden van de potentiaal naar het veld, en het juist die termen zijn die in de slow-roll benadering klein moeten zijn om de potentiaal tijdens inflatie vlak te houden, zie sectie 3.6. De beste plek om te zoeken naar niet-gaussische perturbaties is de kosmische achtergrondstraling (CMB). De temperatuur fluctuaties in de CMB zijn direct gerelateert, via de plasmafysica, aan dichtheidsfluctuaties, die op hun beurt gerelateert zijn aan vacuum fluctuaties, via het time-delay formalisme beschreven in sectie 4.3. Niet-Gaussische vacuum fluctuaties moeten leiden tot een niet-gaussische temperatuur distributie van de CMB. De temperatuur fluctuaties van de CMB worden gemeten met satellieten als COBE (Cosmic Backgrond Explorer) en WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Zie figuur 6. Figuur 6: Temperatuur fluctuaties in de CMB, gemeten met WMAP. De fluctuaties hebben een bereik van ±200 microkelvin. Vooralsnog zijn er geen afwijkingen gevonden in de Gaussische verdeling van temperatuur fluctuaties in de CMB. Verwacht wordt dat de nieuwe PLANCK satelliet, de opvolger van WMAP, binnen afzienbare tijd met nauwkeurige data komt die een niet-gaussische verdeling zou kunnen bloot leggen. Slow-roll inflatie voorspelt dat eventuele niet-gaussische fluctuaties zo klein zijn dat ze niet te meten zijn, namelijk proportioneel aan de slow-roll parameters, η 1. Mocht er een niet-gaussische temperatuur verdeling in de CMB worden gevonden, dan kan aangenomen worden dat de slow-roll benadering van inflatie niet de juiste is. 41