Jo van den Brand 10 oktober 2013 jo@nikhef.nl Inhoud Speciale relativiteitstheorie Viervectoren Energie en impuls Quantumfysica Formalisme Verstrooiing Elementaire deeltjes en krachten Standaard model Maandag 24 maart 2014) Symmetrie en wisselwerkingen Behoudwetten, quarkmodel Symmetriebreking Maandag 7 april 2014 Elementaire deeltjes en kosmologie Donderdag 17 april 2014 1
Klassieke mechanica Vectoren Positie Snelheid versnelling Wetten van Newton Eerste wet: indien er geen kracht werkt, dan verandert de bewegingstoestand niet Tweede wet Derde wet: actie en reactie Andere relaties behoudswetten Arbeid en kinetische energie Impuls Baanimpulsmoment Relativiteitsprincipe Geen verschil tussen rust en beweging met constante snelheid Newton 1642-1727 Een foton maakt elektron vrij Fotoelektrisch effect Werkfunctie f Maximum kinetische energie elektron, K m Support voor fotonhypothese Onafhankelijk van intensiteit licht Afhankelijk van frequentie licht Er geldt K m = ev 0 2
Compton effect Een foton botst op een vrij elektron Compton 1927 Compton verschuiving (zie 3.7.10) Handiger met SRT Constante van Planck in de formule Biljarten met fotonen en elektronen Foton wordt behandeld als een deeltje Spectra Licht is elektromagnetische straling Gekarakteriseerd door Golflengte (430 690 nm) Frequentie Snelheid Maar ook Energie Impuls Met behulp van een spectrometer kan men een spectrale decompositie maken: welke frequenties bouwen het licht op Sommige lichtbronnen hebben een continue spectrum De zon Een gloeilamp 3
Atomaire spectra Een atoom bestaat uit een kern en een aantal elektronen Een kern bestaat uit protonen en neutronen (e.g. isotopen) Atoom is elektrisch neutraal en bevat evenveel elektronen als protonen Elektronen zijn geordenend in zogenaamde banen stationaire quantumtoestanden Deze toestanden hebben verschillende discrete energieen Als elektronen van toestand veranderen, dan wordt er straling uitgezonden of geabsorbeerd De spectra zijn discreet Waterstof Helium Absorptiespectra Stel, twee stationaire toestanden zijn met energie E 1 en E 2 Er geldt E 1 > E 2 Bij overgang van toestand 1 2 wordt er een foton uitgezonden Bij overgang van toestand 2 1 wordt er een foton geabsorbeerd bron materiaal Atomair waterstof Absorptielijn Straling van de zon 4
Elementen in de zon Identificeer elementen in sterren Helium ontdekt in spectrum van de zon Pierre Janssen & Norman Lockyer, 1868 24% van de masa-abondantie in Universum Roodverschuiving geeft snelheid van sterrenstelsels Spectra van het melkwegstelsel 5
Oude atoommodel van Bohr Quantumpostulaten Atoom kan bestaan in stationaire toestanden In deze toestanden zendt het atoom geen straling uit Atoom zendt enkel straling uit als het van toestand verandert. De frequentie van de straling wordt gegeven door Bohr 1922 Rutherford had ontdekt dat het atoom bestaat uit een zware kern waaromheen elektronen cirkelen Oude atoommodel van Bohr Tweede wet van Newton Coulombkracht en centripetale kracht Kinetische energie van het elektron Potentiële energie Totale energie Criterium voor quantisatie Baanimpulsmoment is discreet L heeft dezelfde eenheid als h 6
Oude atoommodel van Bohr We vinden Met geeft dit Baanimpulsmoment en Mogelijke stralen Energieniveaux Beperkte precisie (0,02%); geen info over intensiteit van spectraallijnen; He Materiegolven Licht bestaat uit discrete eenheden (fotonen) met deeltjesachtige eigenschappen (energie, impuls) die gerelateerd zijn aan golfachtige eigenschappen (frequentie, golflengte) In 1923 postuleerde Prins Louis de Broglie dat gewone materie golfachtige eigenschappen kan hebben, waarbij de golflengte λ op dezelfde manier met de impuls p in verband staat als bij licht Golflengte hangt van de impuls af Niet van de grootte van het object Voorspelling: diffractie en interferentie van materiegolven h p h De Broglie, 1929 Planck s constante 34 6.63 10 Js 7
De Broglie golflengten Golflengte van een elektron met 50 ev kinetische energie 2 2 p h h 10 K 1.7 10 m 2 2m 2m 2mK e e e Golflengte van een stikstof molecuul op kamertemperatuur 3kT K, Mass 28mu 2 h 11 2.8 10 m 3MkT Golflengte van een rubidium(87) atoom op 50 nk h 3MkT 6 1.2 10 m Davisson-Germer experiment Het Davisson-Germer experiment: verstrooiing van een bundel elektronen aan een Ni kristal θ i a cos i Constructieve interferentie als a(cos cos ) n r i Davisson 1937 G.P. Thomson 1937 θ r a a cos r Bij een vaste hoek worden scherpe pieken in intensiteit gevonden als functie van de elektron energie: interferentie! 8
Twee-spleten experiment Oorspronkelijk uitgevoerd door Young (1801) om het golfkarakter van licht te demonstreren. Het wordt nu gebruikt voor onder andere elektronen, neutronen, He atomen Maxima dsin n Invallende coherente bundel van deeltjes (of licht) d θ d sin D n d d y y D D y d Detectie scherm Alternatieve detectie methode: scan een detector langs het scherm en registreer het aandeel deeltjes dat op elke positie arriveert. Twee-spleten experiment Waarom niet 2x single-slit patroon? 9
Meetresultaten Interferentiepatronen kunnen niet met klassieke fysica verklaard worden Demonstratie van de hypothese van materiegolven He atoms: O Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692 C 60 molecules: M Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682 Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073 Met multiple-slit grating Zonder grating Single elektron events Meetresultaten Twee-spleten experiment 10 Hz, 50 kv, 120.000 km/s, 1 m lengte www.hitachi.com Golf of deeltje? 10
Interpretatie Deeltjesflux kan gereduceerd worden, zodat er steeds slechts een deeltje per keer op het scherm aankomt We zien dan nog steeds interferentie banden! Elk deeltje gaat door beide spleten tegelijkertijd Het golfkarakter kan gedemonstreerd worden voor een enkel object Een materie-deeltje interfereert met zichzelf Als we proberen te ontdekken door welke spleet het deeltje gaat, dan verdwijnt het interferentie patroon! We kunnen golf- en deeltjeskarakter niet tegelijkertijd waarnemen Richard Feynman: a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality it contains the only mystery. Toepassing Elektronenmicroscoop Gebaseerd op golfkarakter van elektronen Gewone microscoop kan details zien ter grootte van de golflengte van het licht De elektronen kunnen versneld worden tot hoge energie en hebben dan een kleine golflengte Vergroting bijvoorbeeld 50 miljoen keer 11
Lokalisatie van een golf Staande golven op een snaar Golflengte gequantiseerd Staande golven Quantumgetal n Frequenties gequantiseerd Golfsnelheid v Lokalisatie leidt tot quantisatie Opgesloten foton Opgesloten foton Twee perfecte spiegels op afstand L Licht is een elektromagnetisch veld E Er geldt E = 0 voor x = 0 = L Energiedichtheid Elk foton heeft energie Waarschijnlijkheid om foton aan te treffen evenredig met het kwadraat van de veldamplitude Waarschijnlijkheidsdichtheid Kans om deeltje aan te treffen tussen positie x en x + dx Er geldt Energie Nulpuntsenergie! E 1 0 12
Les 2 Aantal studenten in een kamer Histogram van leeftijden Totaal aantal Waarschijnlijkheid Kans dat iemand 15 jaar oud is? Er geldt Meest waarschijnlijke leeftijd? 25 jaar Mediane leeftijd? 23 jaar (7 ouder, en 7 jonger) Gemiddelde leeftijd? Algemeen: gemiddelde van functie 13
Waarschijnlijkheid Vergelijk 2 verdelingen Dezelfde mediaan, gemiddelde, meest waarschijnlijke waarde, en aantal elementen Verschillende spreiding Maat voor spreiding Echter Variantie Waarschijnlijkheidsdichtheid Waarschijnlijkheidsdichtheid Kans dat iemand 18 jaar, 243 dagen, 11.928 seconden, 874.231 microseconden oud is? Kans op leeftijd tussen 20 en 25 jaar? Er geldt klassiek Quantummechanica bijvoorbeeld 14
Hilbertruimte Vector en functie Vector a: voor enkel waarde van index i = 1, 2, hebben we een component a i Functie f: voor enkel waarde van argument x, hebben we een functiewaarde f(x) Operaties Optellen vectoren a + b = c en optellen functies f(x) + g(x) = h(x) Inproduct Lengte van een functie Parallelle functies Orthogonale functies Definitie van Hilbertruimte Lineaire vectorruimte met inproduct en oneindig aantal dimensies Hilbertruimte is compleet Toestand van een systeem Alle informatie wordt gegeven door golffunctie We spreken ook over de toestandsvector Toestandsvector leeft in de Hilbertruimte Verzameling van alle polynomen P(N) Op interval -1 < x < 1 Kies als basis Basis in Hilbertruimte I We hebben nu een N-dimensional vectorruimte Deze basis is niet orthonormaal, want Orthonormaliseer met Gram-Schmidt procedure Dat levert de Legendre polynomen Vergelijk met vectoren 15
Basis in Hilbertruimte II Verzameling van alle goniometrische functies T(N) Op interval -1 < x < 1 Kies als orthonormale basis Hierop berust Fourieranalyse We kunnen functies beschrijven door sin(npx) en cos(npx) op te tellen Matrix is een getallenschema Element m ij voor rij i en kolom k Matrices en operatoren Vermenigvuldiging van matrix M met vector a Dit levert een nieuwe vector b Deze actie is lineair Operator A Genereert uit een functie f een andere functie Actie is lineair 16
Eigenfuncties en eigenwaarden Actie van operator A Vergelijkbaar met die van een matrix Hij strekt of krimpt de functie f en/of roteert deze functie In sommige gevallen is er geen rotatie Dan geldt Dit zijn de eigenfuncties en eigenwaarden van operator A Hermitische operator A Hiervoor geldt voor alle functie f en g Bijzondere en belangrijke eigenschappen De eigenwaarden zijn reëel De eigenvectoren (die horen bij verschillende eigenwaarden) zijn orthogonaal De eigenvectoren zijn compleet Axioma s van de quantummechanica 1. Toestand van een systeem wordt door toestandsfunctie voorgesteld 2. Iedere fysische grootheid correspondeert met een hermitische operator 3. Een toestand van een systeem, waarin een fysische grootheid A een nauwkeurig bepaalde (zogenaamde scherpe) waarde heeft, moet door een eigenfunctie van de corresponderende operator beschreven worden. De waarde van de grootheid A in deze toestand is de bijbehorende eigenwaarde a. 4. Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de operator A, voor een systeem dat beschreven wordt door de toestandsfunctie geen scherp bepaalde waarde heeft, dan kan men toch een verwachtingswaarde aangeven, namelijk Indien de metingen aan het systeem in dezelfde toestand meerdere malen worden uitgevoerd, dan vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies de waarde < A >. 17
Toelichting axioma s De toestandsfunctie geeft alle informatie, maar is zelf niet meetbaar Het is een vector in de Hilbertruimte De verwachtingswaarde voor observable A en toestand Verwachtingswaarden moeten reëel zijn, dus geldt Dit is equivalent met Als een operator hieraan voldoet, dan is dat een Hermitische operator Dan geldt ook (voor bewijs, zie dictaat) Axioma s van de quantummechanica Wanneer is het resultaat van een meting uniek? Beschouw spreiding Uniek resultaat betekent Als het systeem zich in een eigentoestand bevindt, dan levert een meting als uniek resultaat de eigenwaarde a die hoort bij deze eigentoestand Fysische operator heeft een spectrum van eigenwaarden Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden a n Na de meting wordt de toestand beschreven door eigenfunctie De eigenfuncties zijn compleet Voor een willekeurige toestand geldt met 18
Operatoren van positie en impuls Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en Lagrange Operator x voor positie x Operator p x voor impulscomponent p x Toestanden met scherpe impuls Reële deel is een harmonische golf Golflengte zoals vereist door de Broglie Definieer golfgetal Toestand met scherp bepaalde positie, bijvoorbeeld x = a Oplossing noemen een delta functie Als geen delta-functie Waarschijnlijkheidsverdeling Onzekerheidsrelaties Beschouw golffunctie Superpositie van golven Golfpakketje van een deeltje Gemiddelde impuls p x Er geldt p x p Voor de breedte geldt Onzekerheidsrelatie van Heisenberg Onzekerheid zit ingebouwd in formalisme 19
Commutatierelaties Laat operatoren voor positie en impuls werken op een functie f en verwissel de volgorde... Het verschil bedraagt Dit geldt voor elke functie f We vinden de operatorvergelijking Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen Dit geldt ook voor de andere component, voor energie en tijd, voor impulsmoment componenten onderling, etc. Voor verdieping zie sectie 4.5 Impulsoperator Schrödingervergelijking Vectoroperator die een gradiënt neemt Operator voor kinetische energie Erwin Schrödinger 1933 Laplace-operator Operator voor potentiële energie Hamiltoniaan Operator voor totale energie Operatorvergelijking Schrödingervergelijking 20
Energieoperator Energieoperator Eigenfuncties Harmonische functies met hoekfrequentie Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben energie Toestandsfunctie met scherpe energie Correspondeert met een harmonische trilling op ieder punt in de ruimte Het is een staande golf! Om de golf te karakteriseren, dienen we de ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking Ook wel Schrödingervergelijking Waterstofatoom Tijdonafhankelijk Coulombpotentiaal Sferische coördinaten Operator Dit geeft Oplossen via scheiden van variabelen Dit bevat Laguerre polynomen en sferisch harmonische functies Quantumgetallen n, l en m 21
Waterstofatoom Energieniveaus Overige effecten: Relativistische correctie -9,045 10-4 ev Spin-baan koppeling fijnstructuur Zn -3 10-4 ev Spin-spin koppeling hyperfijnstructuur 21 cm lijn Darwin term 2nE n2 /m e c 2, Lamb-verschuiving 1 GHz Les 3 22
Harmonische oscillator Systeem wordt verplaatst uit evenwicht 2 dx Toenemende tegenwerkende kracht F ma m kx 2 dt Harmonische oscillaties rond evenwichtspunt x( t) Acos t k 2p Frequentie 2pn m T 1 2 Potentiële energie V ( x) kx 2 x z Hamiltoniaan Quantum harmonische oscillator 2 pˆ 1 Hˆ m xˆ 2m 2 2 2 k 2 k m m 1 V ( x) kx 2 2 Schrödingervergelijking Ĥ E Golffuncties Energieën 1/4 2 m x 1 m m 2 n( x), 0,1,2,... n e H n x n 2 n! p 1 En n 2 H ( x) 1 0 H ( x) 2x 1 H x x 2 2( ) 4 2 H x x 3 3( ) 8 12 H x x x ( ) 16 48 12 4 2 4 H x x x x ( ) 32 160 120 5 3 5 H x x x x ( ) 64 480 720 120 6 4 2 6 H x x x x x ( ) 128 1344 3360 1680 7 5 3 7 23
Huiswerk: opgave 6.5.5 24
Huiswerk: opgave 6.5.5 Huiswerk: opgave 6.5.5 x 25
Huiswerk: opgave 3.5 Huiswerk: opgave 3.5 26
Huiswerk: opgave 3.5 x Huiswerk: opgave 3.5 27
28
Huiswerk: opgave 6.5.5 Voor n = 1 vinden we Huiswerk: opgave 6.5.5 29
Telsnelheid A + B C + D Werkzame doorsnede Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak Najaar 2009 Jo van den Brand 59 Voorbeelden Diverse partiële werkzame doorsneden: fotoelektrisch effect, Compton verstrooiing, paarproductie Foton-koolstof/lood n- 238 U Najaar 2009 Jo van den Brand 30
Voorbeelden Hoe groot is het proton? πd 2 = 0.1 10 28 m 2 n- 238 U Waarom toename bij hogere energie? Najaar 2009 Jo van den Brand Kernsplijting n- 235 U n- 238 U 31
Zwakke wisselwerking Neutrino verstrooiing Najaar 2009 Jo van den Brand Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng Marsden en Geiger rond 1910 Alfa deeltjes: T b = 4 7 MeV Ernest Rutherford 1908 Coulomb potentiaal Najaar 2009 Jo van den Brand 64 32
Rutherford verstrooiïng Coulomb potentiaal Klassieke mechanica Werkzame doorsnede Voor b b < b < b b +db b Najaar 2009 Jo van den Brand 65 Gouden regel van Fermi In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen toestanden Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi s Golden Rule Amplitude bevat alle dynamische informatie en berekenen we met de Feynman regels. Dit bevat de fundamentele fysica. Enrico Fermi 1938 Faseruimte bevat alle kinematische informatie en hangt af van massa s, energieën en impulsen Najaar 2009 Jo van den Brand 66 33
Verstrooiingstheorie Beschouw reactie Gouden regel Beperk discussie tot In zwaartepunt Integreer over dp 2 vector Integreer over dp 1 (slide 103 van SRT de = bcdp = vdp) Impuls in de eindtoestand Verstrooiingstheorie Eerste Born-benadering Vlakke golven en Fourier transformatie: Golfgetal en potentiaal Aanname: sferische symmetry Afgeschermde Coulombpotentiaal Afscherming in de orde van atoomstraal Matrixelement Impulsoverdracht 34
Verstrooiingstheorie Werkzame doorsnede Matrixelement Kinematica van elastische verstrooiing Met in het zwaartepunt Elastische verstrooiing We vinden weer Rutherford formule Scheidend vermogen We vinden direct Rutherford verstrooiïng Geldig voor b > b min =R a + R t ofwel Meet interactieafstand b min versus A Eigenlijk b min R a + R t + R s Najaar 2009 Jo van den Brand 70 35
Rutherford verstrooiïng Plot b min versus A 1/3 Er geldt Goede beschrijving dus - Coulombwet geldig op korte afstand (femtometers) - Sterke WW korte dracht - Alle lading zit in kleine bol Rutherford vond Najaar 2009 Jo van den Brand 71 Elastische elektronen verstrooiing We hadden Uitgebreide ladingsverdeling Ladingsdichtheid r(r) Fourier getransformeerde Modelonafhankelijke meting van de ladingsverdeling Robert Hofstadter 1961 36
Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektronen aan lood: - 502 MeV - 208 Pb spinloos - 12 decaden Model-onafhankelijke informatie over ladingsverdeling van nucleon en kernen Najaar 2009 Jo van den Brand 73 Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden Elektron-goud verstrooiing - energie: 153 MeV ladingsverdeling: Ladingsdichtheid is constant! Najaar 2009 Jo van den Brand 74 37
Elastische elektron-proton verstrooiïng Proton structuur - niet puntvormig - geen Dirac deeltje (g=2) - straal is 0.8 fm - exponentiele vormfactor Ladingsverdeling van het neutron n= p p + n p 0 +... Experiment - 720 MeV elektronen - elektronpolarisatie 0.7 - deuterium atoombundel - D-polarisatie 0.7 - elektron-neutron coincidentie meting 38
Opmerkingen Klassieke: alle problemen zijn deterministisch Quantummechanica: Golffunctie ingevoerd Summatie over amplituden met indentieke eindtoestanden Niet-relatistisch domein Eerste Born-benadering Hogere-orde correcties mogelijk Quantumveldentheorie Volledig relativistisch: QED, QCD, EW Deeltjesaantal is niet bekend: sommeer amplituden over alle mogelijkheiden Van Hilbert- naar de Fock-ruimte We gebruiken Feynmandiagrammen 39