De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi in zijn Sunzi Suanjing, (het rekenkundig handboek van Meester Sun ). De stelling werd opnieuw in 1247 gepubliceerd door de Chinese wiskundige Qin Jiushao, in zijn Wiskundige verhandeling in negen secties. 2. Vertaald ging het over het volgende probleem : Een oude vrouw gaat naar de markt om haar eieren te verkopen. Een paard trapt echter op haar eiermand en breekt haar eieren. De man op het paard biedt de vrouw aan haar te vergoeden en vraagt hoeveel eieren er in de mand zaten. De vrouw kon zich dat niet herinneren, maar ze weet nog wel dat als ze de eieren er per 2 uitnam, ze met één ei overbleef, en hetzelfde gebeurde als ze de eieren er per 3 uitnam, per 4, per 5 of per 6. Als ze de eieren er per 7 uitnam, dan bleef er geen ei meer over. Hoeveel eieren had de vrouw minstens in haar mand? 3. In wiskundige bewoordingen kunnen we dit vraagstuk herformuleren door n het aantal eieren te noemen en te zeggen dat n rest 1 heeft bij deling door 2, bij deling door 3, bij deling door 4, bij deling door 5 en bij deling door 6. Bovendien is n deelbaar door 7. 4. In modulonotatie wordt dat: n 1 mod 2 n 1 mod 3 n 1 mod 4 n 1 mod 5 n 1 mod 6 n 0 mod 7 1
5. De twee vragen die we ons moeten stellen zijn : (a) Bestaat er zo een oplossing? (b) Hoe bepalen we die oplossing? Het is de Chinese reststelling die uiteindelijk een antwoord geeft op beide vragen. 2 Op verkenning 2.1 Voorbeeld 1 1. Los op : { 2. Gewoon proberen geeft als oplossing x = 21, want 21 is deelbaar door 7 en laat bij deling door 5 als rest 1 over. 3. Uit de eerste vergelijking volgt : k Z : x = 7k Invullen in de tweede vergelijking geeft : 7k 1 mod 5 k 1 7 mod 5 Het invers element van 7 modulo 5 is 3, want 7.3 = 21 1 mod 5. Dus geldt er dat: k 3 mod 5 l Z : k = 5l + 3 x = 21 + 35l Het invers element van 7 mod 5 kan je ook vinden door gebruik te maken van de stelling van Bezout. Omdat 5 en 7 als grootste gemene deler 1 hebben geldt : r, s Z : 7r + 5s = 1 Via het algoritme van Euclides vinden we: Modulo 5 geeft dit 7.3 = 1 mod 5. 7.3 + ( 4).5 = 1 2
2.2 Voorbeeld 2 1. Los op : { x 3 mod 5 x 2 mod 7 2. Volgens vorige methode geldt : x = 3 + 5k 3 + 5k 2 mod 7 5k 1 mod 7 k 1. 1 5 mod 7 Omdat 7.3 + ( 4)5 = 1 is 1 5 4 mod 7. Dus: k 4 mod 7 x = 3 + 5(4 + 7l) x = 23 + 35.l 3. We kunnen echter ook twee eenvoudiger stelsels oplossen : { { u 1 mod 5 v 0 mod 5 en u 0 mod 7 v 1 mod 7 Dit geeft u 21 mod 35 en v 15 mod 35 Vanuit deze antwoorden kunnen we dan ook heel eenvoudig de oplosingen vinden van : { u 3 mod 5 u 0 mod 7 en { v 0 mod 5 v 2 mod 7 De oplossingen zijn u = 3u 63 mod 35 en v = 2v 30 mod 35. Nu gaan we deze antwoorden combineren tot de oplossing van het oorspronkelijk stelsel. We tellen ze gewoon bij elkaar op x = u + v 93 mod 35 23 mod 35 4. Via het oplossen van stelsels met rechterleden allemaal 0 behalve één waar het 1 is, kunnen we algemene stelsels oplossen. Dit is niet noodzakelijk een kortere methode. 3
2.3 Voorbeeld 3 1. Los op : x 1 mod 7 2. Om dit stelsel op te lossen zetten we het om in een equivalent stelsel. Vermits x deelbaar moet zijn door 2,3 en 5, moet het ook deelbaar zijn door 30. Het gegeven stelsel is dan equivalent met: { 0 x 1 mod 7 3. Via de stelling van Bezout vinden we dat 4.30 + ( 17).7 = 1. Dus is modulo 7 het invers element van 30 gelijk aan 4. De algemene oplossing van het stelsel wordt dan gegeven door: 2.4 Voorbeeld 4 x = 30(4 + 7k) = 120 + 210k 1. Los op : x 1 mod 2 x 2 mod 5 x 3 mod 7 2. Bepalen we eerst de oplossingen van de stelsels : x 1 mod 2,, en x 1 mod 7 3. We vinden x 1 = 105 + 210k, x 2 = 70 + 210k x 3 = 126 + 210k, x 4 = 120 + 210k 4. De oplossing van het gegeven stelsel is dan x = x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 mod 210 x = 157 + 210k 4
3 De Chinese reststelling Stelling 3.1. Stel dat n 1, n 2,, n k natuurlijke getallen zijn die twee aan twee onderling ondeelbaar zijn. Dan heeft het stelsel x a 1 mod n 1 x a 2 mod n 2. x a k mod n k een oplossing en die oplossing is uniek modulo n = n 1.n 2.n k Noteer m i = n n i. Dan zijn m i en n i onderling ondeelbaar en volgens de stelling van Bezout bestaan er dan gehele getallen r i en s i waarvoor r i n i + s i m i = ggd (n i, m i ) = 1 Stel nu u i = s i m i, dan is { ui = 1 r i n i 1 mod n i u i = s i m i 0 mod n j j i of na vermenigvuldigen met a i : { ai u i a i mod n i a i u i 0 mod n j j i Hieruit volgt dat x = a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a k u k een oplossing is voor het stelsel. Indien x een andere oplossing is voor het stelsel, dn is x x 0 mod n i voor elke i {1, 2,, k}. Met andere woorden n i (x x ). Vermits alle n i twee aan twee onderling ondeelbaar zijn, is ook het product n een deler van x x. Bijgevolg zijn x en x gelijk modulo n. 1. Sommige stelsels zijn zelfs oplosbaar wanneer de getallen n i niet paarsgewijze onderling ondeelbaar zijn. Het exacte criterium is : er bestaat een oplossing x als en slechts als a i a j mod(ggd(n i, n j )) voor alle i en j. Alle oplossingen x zijn congruent module het kleinste gemene veelvoud van de n i. 5
2. Bekijk bijvoorbeeld het volgende stelsel: { x 1 mod 2 x 1 mod 4 De eerste voorwaarde volgt automatisch uit de tweede en kan dus gewoon worden weggelaten. De oplossing is dus x = 1 + 4k. 3. Het stelsel : { x 1 mod 2 x 2 mod 4 heeft echter geen oplossingen. 4. Proberen we nog eens op een wat moeilijker stelsel: x 3 mod 8 x 11 mod 20 x 1 mod 15 De getallen 8 en 20 zijn niet onderling ondeelbaar. Hun grootste gemene deler is 4. De tweede vergelijking betekent dat x 11 3 mod 4 en x 11 1 mod 5 De eerste vergelijking en x 3 mod 4 kunnen herleid worden tot 1 vergelijking: x 3 mod 8 We krijgen dan het stelsel : x 3 mod 8 x 1 mod 15 Jammer genoeg zijn 5 en 15 niet onderling ondeelbaar. Op gelijkaardige manier kan je dan het stelsel herleiden tot : De oplossing is x = 91 + 120k. x 3 mod 8 5. We kunnen nu het probleem over de oude Chinese vrouw en haar eieren oplossen. x 1 mod 2 x 1 mod 4 x 1 mod 6 6
Het stelsel voldoet wel niet aan de beginvoorwaarden van de Chinese reststelling. We zullen dus onze vergelijkingen zo moeten aanpassen dat in de nieuwe situatie alle getallen n i twee aan twee onderling ondeelbaar zijn. Uit x 1 mod 2 en volgt automatisch dat x 1 mod 6 en uit x 1 mod 4 volgt dat x 1 mod 2. Hierdoor kan het gegeven stelsel van zes vergelijkingen herleid worden tot volgend stelsel met vier vergelijkingen : x 1 mod 4 Dit stelsel voldoet wel aan de beginvoorwaarden van de Chinese reststelling. We vinden hier dat n = 3.4.5.7 = 420. We bepalen de verschillende waarden uit het bewijs : n i m i Bezout u i 3 140 1 = 47.3 + ( 1).140 140 4 105 1 = ( 26).4 + 1.105 105 5 84 1 = 17.5 + ( 1).84 84 7 60 1 = ( 17).7 + 2.60 120 Bijgevolg is x = 1.u 1 + 1.u 2 + 1.u 3 + 0.u 4 = 140 + 105 84 = 119. De algemene oplossing is dan : x = 119 + 420k = 301 + 420k De oude vrouw had dus waarschijnlijk 301 eieren bij (maar het hadden er ook 721 kunnen zijn). 7