OPTIMALISATIE VAN EEN GROEPTEST-PROCEDURE VOOR BLOEDMONSTERS

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2009 2010 OPTIMALISATIE VAN EEN GROEPTEST-PROCEDURE VOOR BLOEDMONSTERS Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Lien Denoo onder leiding van prof. dr. ir. H. Bruneel & prof. dr. ir. J. Walraevens

PERMISSION Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding. Lien Denoo

WOORD VOORAF iii Woord vooraf Deze masterproef vormt het sluitstuk van mijn vijfjarige studie Handelsingenieur. Deze masterproef kon echter nooit tot stand gekomen zijn zonder de hulp van enkele personen. Graag zou ik hen dan ook bedanken. Eerst en vooral wil ik mijn thesisbegeleider Dieter Claeys bedanken voor de goede begeleiding en mijn promotor en co-promotor prof. dr. ir. H. Bruneel en prof. dr. ir. J. Walraevens voor het mogelijk maken van dit onderzoek en voor hun begeleiding. Daarnaast wil ik Lieselot De Pauw, Lieven Goddyn, Jeroen Deckers en mijn moeder bedanken voor het nalezen van mijn masterproef. Mijn dank gaat ook uit naar Dieter Vanderfaeillie voor zijn hulp bij het maken van de figuren. Ik wil mijn ouders bedanken voor het financieren van mijn studies en voor de steun doorheen de jaren. Ik wil verder ook al mijn vrienden bedanken, zonder wie deze vijf jaar een volledig andere ervaring zou geweest zijn, en die mij menige avonden plezier en vertier geschonken hebben. Tenslotte wil ik iedereen bedanken wiens naam hier niet vermeld staat, maar die mij op de een of andere manier geholpen heeft bij mijn studies of bij het schrijven van deze masterproef.

INHOUDSOPGAVE iv Inhoudsopgave Woord vooraf Gebruikte afkortingen Lijst van tabellen Lijst van figuren iii vi vii viii 1 Inleiding 1 1.1 Situering....................................... 1 1.2 Overzicht van de literatuur............................ 2 1.2.1 Dorfman: het ontstaan van groeptesten................. 2 1.2.2 Sterrett................................... 3 1.2.3 Groep-subgroep testprocedure...................... 3 1.2.4 Combinatoriële groeptesten........................ 4 1.2.5 Foutvrij testen............................... 4 1.2.6 Volledige identificatie versus onvolledige identificatie.......... 5 1.2.7 Destructieve versus non-destructieve testen............... 6 1.2.8 Dynamische versus statische groeptesten................. 6 1.3 Onderzoeksvraag.................................. 7 1.4 Overzicht...................................... 8 2 Werkwijze 10 2.1 Wachtlijnen..................................... 10 2.2 Genererende functies................................ 11 2.2.1 Begrensdheid................................ 12 2.2.2 Normeringsvoorwaarde........................... 12 2.2.3 Momentgenererende eigenschap...................... 12 2.3 Model........................................ 12 2.4 Testpolicies..................................... 14 2.4.1 Individueel testen............................. 14

INHOUDSOPGAVE v 2.4.2 Groep-individuele testpolicy........................ 15 2.4.3 Groep-subgroep testpolicy......................... 15 2.4.4 Sterrett testpolicy............................. 18 2.5 Poisson aankomstprocedure............................ 21 2.6 Evaluatie...................................... 21 3 Invloed van c, l, λ en p 25 3.1 Maximale groepgrootte c.............................. 25 3.1.1 Gemiddelde wachttijd........................... 25 3.1.2 Utilisatiegraad............................... 26 3.2 Minimale groepgrootte l.............................. 28 3.2.1 Gemiddelde wachttijd........................... 28 3.2.2 Utilisatiegraad............................... 30 3.3 Aankomstintensiteit λ............................... 33 3.3.1 Gemiddelde wachttijd........................... 33 3.3.2 Utilisatiegraad............................... 36 3.4 Besmettingskans p................................. 38 3.4.1 Gemiddelde wachttijd........................... 38 3.4.2 Utilisatiegraad............................... 39 4 Invloed van de testpolicy 42 4.1 Gemiddelde wachttijd............................... 42 4.1.1 Optimale groepgrootte........................... 42 4.1.2 Analyse van de testpolicies........................ 55 4.2 Utilisatiegraad................................... 67 4.2.1 Optimale groepgrootte........................... 67 4.2.2 Analyse van de testpolicies........................ 71 4.3 Invloed aankomstpolicy.............................. 77 4.4 Vuistregels...................................... 77 4.4.1 Gemiddelde wachttijd........................... 78 4.4.2 Utilisatiegraad............................... 80 5 Besluit 82 A Opstellen van een genererende functie voor een testpolicy 86 B Trade-off tussen gemiddelde wachttijd en utilisatiegraad 89 Bibliografie 91

vi Gebruikte afkortingen p p λ c l ρ E[d] f I GI GS2g GS2o GS3 S GSS W gem W util E gem E util besmettingskans kans dat een item niet besmet is aankomstintensiteit maximale groepgrootte minimale groepgrootte load gemiddelde wachttijd utilisatiegraad Individuele testprocedure Groep-individuele testprocedure Groep-subgroep testprocedure met 2 gelijke subgroepen Groep-subgroep testprocedure met 2 ongelijke subgroepen Groep-subgroep testprocedure met 3 gelijke subgroepen Sterrett testprocedure Groep-subgroep testprocedure met Sterrett op de subgroepen wegingsfactor voor de gemiddelde wachttijd in de trade-off functie wegingsfactor voor de utilisatiegraad in de trade-off functie relatieve efficiëntie van de gemiddelde wachttijd in de trade-off functie relatieve efficiëntie van de utilisatiegraad in de trade-off functie

LIJST VAN TABELLEN vii Lijst van tabellen 3.1 Verhouding van gemiddelde wachttijd voor toenemende l bij λ=0.01, 0.5, 1 en 1.4, p=0.05..................................... 30 3.2 Utilisatiegraad voor l tussen 1 en 10, c=20, p=0.05, λ=0.5........... 31 3.3 Ranking van testpolicies met grootst aantal policy-specifieke testen (van groot naar klein)...................................... 32 3.4 Optimale en maximale λ-waarden, c=10, l=10, p=0.01............. 36 4.1 Optimale c-waarde voor variërende p-waarden, λ = 0.4, l=1.......... 50 4.2 Gemiddelde wachttijd voor variërende c-waarden, λ = 1.4, p = 0.029 en p = 0.078 52 4.3 Waarde van l waarvoor de testpolicies een betere gemiddelde wachttijd krijgen dan de Sterrett-testpolicy, λ = 0.5, c=l+3, p=0.05............... 64 4.4 combinatie van c en l met beste utilisatiegraad voor p tussen 0 en 0.15, λ=0.4 70 4.5 Utilisatiegraad voor l tussen 1 en 5, c=5, p=0.05, λ = 0.5........... 70 4.6 Optimale testpolicy en combinatie (c,l) per p en λ voor de gemiddelde wachttijd 79 4.7 Optimale testpolicy en combinatie (c,l) per p en λ voor de utilisatiegraad.. 81 5.1 Overzicht van wanneer welke testpolicy gekozen moet worden - gemiddelde wachttijd De resultaten gelden voor elke c-waarde uit het interval [l, 20] behalve bij *. Daar is, wanneer c > 10, Groep-Sterrett en niet Sterrett de beste testpolicy. 84 5.2 Overzicht van wanneer welke testpolicy gekozen moet worden - utilisatiegraad De resultaten gelden voor elke c-waarde uit het interval [l, 20]......... 84

LIJST VAN FIGUREN viii Lijst van figuren 3.1 Gemiddelde wachttijd voor c tussen 10 en 20, l=10, λ=0.5, p=0.05...... 27 3.2 Gemiddelde wachttijd voor c tussen 10 en 20, l=10, λ=1.4, p=0.05...... 27 3.3 Utilisatiegraad voor c tussen 10 en 20, l=10, λ=1.4, p=0.05.......... 28 3.4 Gemiddelde wachttijd voor l tussen 1 en 20, c=20, λ = 0.5, p=0.05...... 29 3.5 Utilisatiegraad voor l tussen 1 en 20, c=20, λ = 0.5, p=0.05.......... 31 3.6 Gemiddelde wachttijd voor λ tussen 0 en 0.3, c=10, l=1, p=0.01....... 34 3.7 Gemiddelde wachttijd voor λ tussen 0 en 1, c=10, l=1, p=0.01........ 34 3.8 Gemiddelde wachttijd voor λ tussen 0.5 en 3.5, c=10, l=10, p=0.01...... 35 3.9 Utilisatiegraad voor λ tussen 0 en 5, c=10, l=1, p=0.01............ 37 3.10 Gemiddelde wachttijd voor p tussen 0 en 0.25, c=10, l=10, λ=0.05...... 39 3.11 Gemiddelde wachttijd voor p tussen 0 en 1, c=20, l=20, λ=0.5........ 40 3.12 Utilisatiegraad voor p tussen 0 en 0.25, c=20, l=20, λ=0.5........... 41 3.13 Utilisatiegraad voor p tussen 0 en 1, c=20, l=20, λ=0.5............ 41 4.1 Gemiddelde wachttijd voor optimale combinatie van c en l, voor p tussen 0.005 en 0.02, λ = 0.4................................... 43 4.2 Gemiddelde wachttijd voor optimale combinatie van c en l, voor p tussen 0.005 en 0.02, λ = 0.4 (zonder individueel testen)................... 44 4.3 Gemiddelde wachttijd voor optimale combinatie van c en l, per p-waarde, λ = 0.05 (zonder individueel testen).......................... 46 4.4 Optimale c-waarde per p-waarde, λ = 0.4.................... 48 4.5 Optimale gemiddelde wachttijd voor p tussen 0.005 en 0.02, λ = 0.4, l=5... 53 4.6 Optimale c-waarde per p-waarde, λ = 0.4, l=5.................. 54 4.7 Gemiddelde wachttijd voor p tussen 0 en 0.25, c=20, l=20, λ = 0.5...... 56 4.8 Gemiddelde wachttijd voor variërende λ-waarden, c=10, l=1, p=0.01..... 57 4.9 Gemiddelde wachttijd voor c tussen 1 en 20, l=1, p=0.05, λ=1.4....... 58 4.10 Gemiddelde wachttijd voor l tussen 1 en 20, c=20, p=0.05, λ=1........ 59 4.11 Gemiddelde wachttijd voor p tussen 0 en 0.25, c=20, l=20, λ=0.5....... 61 4.12 Gemiddelde wachttijd voor c tussen 1 en 20, l=1, p=0.05, λ=1.4....... 63 4.13 Gemiddelde wachttijd voor l tussen 1 en 20, c=20, p=0.05, λ=0.5....... 64

LIJST VAN FIGUREN ix 4.14 Gemiddelde wachttijd voor p tussen 0 en 0.25, c=10, l=10, λ=0.5....... 65 4.15 Utilisatiegraad voor optimale combinatie van c en l, per p-waarde, λ = 0.4.. 68 4.16 Optimale c-waarde per p-waarde, λ = 0.4.................... 68 4.17 Optimale utilisatiegraad per p-waarde, l=5, λ = 0.4 (zonder individueel)... 72 4.18 Utilisatiegraad voor p tussen 0 en 0.25, c=20, l=20, λ = 0.5.......... 73 4.19 Utilisatiegraad voor l tussen 1 en 20, λ=1, c=20, p=0.05............ 74 4.20 Utilisatiegraad voor p tussen 0 en 0.25, c=20, l=20, λ = 0.5.......... 76

1 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Situering Groeptestprocedures zijn procedures waarbij items niet individueel getest worden, maar in groep. De achterliggende idee is dat op deze manier minder testen moeten uitgevoerd worden om alle items te kunnen classificeren dan wanneer elk item individueel getest wordt. Groeptesten worden voornamelijk toegepast in twee gebieden: enerzijds bij kwaliteitscontrole, anderzijds in de medische sector om bloedstalen te testen. In de kwaliteitscontrole worden groeptesten gebruikt om de kwaliteit van een batch goederen in te schatten. Op deze manier moet niet elk goed individueel getest worden, en kan men toch een idee krijgen over de kwaliteit van de goederen. Meer in het bijzonder kan men op deze manier een schatting krijgen van het aantal defecte goederen en op basis van deze schatting kan men bepalen of men de batch zal aanvaarden of niet. Ook in de medische sector worden groeptestprocedures gebruikt. Zo kan men bijvoorbeeld bij het testen van bloed op de aanwezigheid van een ziekte zoals syfilis of HIV verschillende bloedstalen samen testen. Wanneer dit mengsel van stalen geen sporen van de ziekte vertoont, kan men besluiten dat geen enkel van de individuele bloedstalen besmet is. Op deze manier kunnen een aantal individuele testen bespaard worden. Echter, als de groeptest wel besmetting aantoont, kan men hieruit niet weten welk staal en bijgevolg welk individu besmet is met de ziekte. Om dit nu te kunnen achterhalen, kan men bijvoorbeeld kiezen om elk staal dan toch individueel te gaan testen. Er zijn echter ook andere mogelijkheden. Zo kan men bijvoorbeeld de initiële groep indelen in subgroepen en deze subgroepen testen totdat men uiteindelijk elk staal heeft kunnen classificeren. Het gebruik van groeptestprocedures in de medische sector, meer in het bijzonder bij het testen van bloedstalen, is het onderwerp van deze masterproef. Vooraleer we de onderzoeksvraag en de assumpties van deze masterproef specificeren, wordt eerst een breder beeld geschetst van

1.2. OVERZICHT VAN DE LITERATUUR 2 groeptestprocedures door een overzicht te geven van de literatuur die reeds over dit onderwerp bestaat. 1.2 Overzicht van de literatuur 1.2.1 Dorfman: het ontstaan van groeptesten Het ontstaan van groeptesten wordt algemeen toegeschreven aan Robert Dorfman (Dorfman, 1943; Du & Hwang, 2000). Toen, in WOII, omwille van het rekruteringsproces voor nieuwe soldaten, miljoenen bloedstalen van Amerikaanse mannen getest moesten worden op syfilis, kwam Dorfman op het idee om groeptesten uit te voeren. Miljoenen bloedstalen moesten onderzocht worden, terwijl er slechts enkele duizenden gevallen van syfilis gedetecteerd werden. Dorfman vond het individueel testen van al deze stalen op syfilis een verspilling van tests en middelen en zo ontstond het idee van groeptesten, waarbij bloedstalen van verschillende individuen gemengd worden. Dorfman stelde voor om het bloed van een aantal mannen, bijvoorbeeld vijf, samen te brengen en er zo één staal van te maken. Dit staal wordt dan vervolgens getest op de ziekte. Indien het staal niet besmet is, kan hieruit geconcludeerd worden dat geen van de vijf mannen besmet is met de ziekte en op deze manier worden vier testen bespaard. Als het gepoolde staal wel besmetting vertoont, moet men de stalen individueel gaan hertesten om zo na te gaan welke van de vijf mannen de ziekte vertonen. Deze testprocedure waarbij eerst de groep getest wordt en waarbij vervolgens, in geval van besmetting, elk staal individueel getest wordt, staat bekend onder de term groep-individueel testen. De essentie van deze groeptestprocedure is de vraag of er hierbij nu minder testen nodig zullen zijn dan in het geval van de individuele testprocedure. Het antwoord op deze vraag is afhankelijk van de besmettingskans en de gekozen groepsgrootte. Als slechts een klein aantal bloedstalen gemengd wordt, worden de voordelen van de groeptestprocedure niet volledig benut. Meer stalen zouden kunnen geïdentificeerd worden met een groeptest. Daarentegen, als te veel stalen gemengd worden, wordt de kans dat minstens één van de stalen besmet is aanzienlijk en zal de groeptest bijna altijd besmetting aantonen. In dit geval wordt er dan een test meer uitgevoerd dan nodig zou zijn onder de individuele testprocedure en is de groeptest dus bijna steeds een verspilde test. In zijn werk (Dorfman, 1943) definieerde Dorfman de relatieve kost C van deze groeptestprocedure als de verhouding van het aantal benodigde tests bij een groeptestprocedure ten opzichte van het aantal tests nodig bij een individuele procedure. Het volgende verband tussen de kost, de groepgrootte n en de besmettingskans p werd afgeleid: C = n + 1 n (1 p)n (1.1) Dorfman kwam tot de conclusie dat groeptesten enkel voordelen afwerpen ten opzichte van individueel testen als aan twee voorwaarden voldaan is. Ten eerste de al eerder aangehaalde

1.2. OVERZICHT VAN DE LITERATUUR 3 voorwaarde dat de besmettingskans p voldoende klein moet zijn, zodat bij het mengen van de verschillende stalen de kans dat het gemengde staal de ziekte vertoont niet te groot is. Op die manier zou elk gepoold staal de ziekte vertonen en zou dan toch individueel getest moeten worden, wat dus zou leiden tot een overbodige groeptest. De tweede voorwaarde stelt dat het gemakkelijker of economischer moet zijn om groepen samen te gaan testen dan om elk staal individueel te testen. Voor elke besmettingskans p berekende Dorfman de optimale groepsgrootte en de besparingen van de groeptestprocedure ten opzichte van het individueel testen van alle stalen. Hierbij kwam hij tot de conclusie dat in groep testen significant voordelig kan zijn ten opzichte van individueel testen en dat deze voordelen toenemen naarmate de besmettingskans p kleiner is. De veronderstellingen die Dorfman bij zijn analyse maakte zijn de volgende (Graff & Roeloffs, 1972): de populatie is oneindig, wat betekent dat Dorfman er van uit gaat dat het nemen van steekproeven uit de populatie geen invloed heeft op de populatie zelf. Verder veronderstelt Dorfman dat de besmettingskans p gekend is en dat de testen nooit foute testresultaten opleveren, met andere woorden dat de testresultaten honderd procent betrouwbaar zijn. 1.2.2 Sterrett De volgende die zich wijdde aan onderzoek naar groeptestprocedures, was Sterrett (Sterrett, 1957; Du & Hwang, 2000). Sterrett stelde net als Dorfman voor om eerst een groeptest uit te voeren. Als deze test geen besmetting uitwijst, dan kan men opnieuw concluderen dat elk individueel staal niet besmet is. Het verschil tussen Sterretts en Dorfmans methode situeert zich in het geval dat de groeptest wel besmetting aantoont. Dorfman gaat in dit geval over tot het individueel testen van alle stalen. Sterrett stelt voor dat in dit geval de stalen individueel getest moeten worden, maar enkel totdat er een besmet staal gevonden wordt. Hierna worden alle overige stalen, die nog niet individueel getest waren, opnieuw samengenomen tot een groep en wordt deze nieuwe groep getest op de ziekte. De redenering hierachter is dat, voor een kleine besmettingskans p, de kans groot is dat er in de groep nu geen enkel besmet item meer zit. Als de groeptest opnieuw besmetting aantoont, wordt er weer individueel getest tot een besmet item gevonden wordt, waarna weer overgegaan wordt tot een groeptest. Volgens Sterrett kent deze methode een efficiëntie die 6% hoger ligt dan Dorfmans testprocedure en 86% hoger dan de individuele testprocedure bij een besmettingskans p gelijk aan 0,01. Met efficiëntie wordt het lager aantal benodigde testen bedoeld om alle items te kunnen classificeren. 1.2.3 Groep-subgroep testprocedure Sobel & Groll (Sobel & Groll, 1959; Gupta & Malina, 1999) waren de volgenden om zich te verdiepen in groeptestprocedures. Zij introduceerden een nieuwe aanpak om stalen te classificeren als besmet of onbesmet: ze stelden voor om bij een besmette groep de stalen

1.2. OVERZICHT VAN DE LITERATUUR 4 niet individueel te gaan testen, maar om de besmette groep op te splitsen in subgroepen die vervolgens getest worden op besmetting. Deze procedure staat bekend als groep-subgroep testen. Als een subgroep geen besmetting vertoont, kunnen alle stalen die deel uitmaken van deze subgroep als onbesmet geclassificeerd worden. Wanneer een subgroep wel besmet is, wordt de subgroep verder opgesplitst en wordt deze testprocedure iteratief toegepast tot uiteindelijk alle items geclassificeerd kunnen worden. Het nadeel van deze methode is zijn complexiteit. In elke stap moet namelijk opnieuw opgesplitst worden in subgroepen waarbij de optimale subgroepgrootte bepaald moet worden. Bovendien kan het gebeuren dat een groot aantal testen nodig zijn om de volledige populatie te kunnen classificeren. Een alternatieve methode (Sobel & Groll, 1959, 1966; Gupta & Malina, 1999) is de halving method waarbij elke besmette groep ingedeeld wordt in 2 subgroepen met gelijke grootte. Op deze manier is het indelen in subgroepen niet alleen veel minder complex, maar bovendien is de methode ook bijna even efficiënt als Sobel & Grolls eerder voorgestelde, meer ingewikkelde methode. Bovendien zouden beide methodes efficiënter zijn dan de door Dorfman en Sterret voorgestelde testprocedures. 1.2.4 Combinatoriële groeptesten In 1962 (Li, 1962; Du & Hwang, 2000) werd voor het eerst aandacht besteed aan combinatoriële groeptesten. Tot dan toe was was er enkel aandacht besteed aan probabilistische groeptesten. Bij probabilistische groeptesten is er een zekere gekende besmettingskans p en is het vooral de bedoeling alle besmette stalen te identificeren. Bij combinatoriële groeptesten weet men op voorhand hoeveel stalen besmet zijn en is het de bedoeling om die besmette stalen op een zo efficiënt mogelijke manier te identificeren. In zijn onderzoek concentreerde Li zich op combinatoriële groeptesten bij industriële experimenten waarbij bepaald moet worden welke variabelen belangrijk zijn. Doorgaans bestaan er een beperkt aantal zogenaamde kritieke variabelen wiens invloed op de uitkomst van experimenten veel groter is dan de invloed van de andere variabelen. Aangezien deze kritieke variabelen een grote invloed hebben op de uitkomst van een experiment is het belangrijk om deze variabelen te kunnen identificeren. Li veronderstelde in zijn onderzoek dat er exact d kritieke variabelen aanwezig zijn en het doel van zijn onderzoek was om het verwachte aantal testen, nodig om deze d kritieke variabelen te kunnen identificeren, te minimaliseren. Sindsdien is er zowel onderzoek naar combinatoriële als naar probabilistische groeptesten verricht. 1.2.5 Foutvrij testen Tot dusver werd verondersteld dat de uitkomst van een test altijd correct is, met andere woorden, dat de testprocedure honderd procent juiste resultaten geeft. Maar in werkelijkheid geven testen niet altijd de juiste resultaten. Groeptestprocedures werden daarom uitgebreid

1.2. OVERZICHT VAN DE LITERATUUR 5 om rekening te houden met de foute resultaten die de testen kunnen opleveren. Hierbij kunnen twee soorten fouten optreden. Enerzijds kan de test uitwijzen dat een staal besmet is, terwijl het staal in werkelijkheid niet besmet is. Dit noemt men valse positieven. Anderzijds kan een besmet staal als onbesmet aangeduid worden. Dit staat bekend als valse negatieven. Graff & Roeloffs (1972) houden met deze twee soorten fouten rekening door in hun groeptestprocedure de kost per geclassificeerd staal te minimaliseren. Hierbij wijzen ze kosten toe aan de twee soorten fouten die kunnen optreden, rekening houdend met het verwachte aantal items dat fout geclassificeerd zal worden. Er wordt dus verondersteld dat de kosten verbonden aan valse positieven en valse negatieven gekend zijn. Graff & Roeloffs bouwden hierbij verder op de resultaten van Dorfman en stelden een uitbreiding voor op zijn methode, die dus rekening houdt met fouten bij testen. Hun uitbreiding kent een hoge efficiëntie en is relatief eenvoudig, maar garandeert wel geen optimale resultaten. Ook Gupta & Malina (1999) hebben een variant op de Dorfmanprocedure voorgesteld. Daarenboven wordt ook een variant van Sterretts procedure voorgesteld waarbij rekening gehouden wordt met fouten bij het testen. In Gupta & Malina s model moet een staal meerdere malen besmetting aantonen vooraleer het staal ook effectief als besmet geclassificeerd wordt. Op deze manier worden valse positieven vermeden. Daarentegen, om een staal als onbesmet te kunnen classificeren is slechts 1 test nodig. Dit kan doordat de test zodanig aangepast wordt dat valse negatieven niet meer optreden. Wein & Zenios (1996) wijzen in hun onderzoek op het bestaan van een dilution effect. Dit verdunningseffect dat optreedt als te veel bloedstalen samen gemengd worden, zorgt ervoor dat valse negatieven optreden. Wanneer namelijk te veel stalen gemengd worden, zal een besmet staal zodanig verdund zijn door de aanwezigheid van de andere onbesmette stalen dat de testapparatuur de besmetting niet meer zal detecteren. Analoog aan Graff & Roeloffs methode (Graff & Roeloffs, 1972) kennen Wein & Zenios (Wein & Zenios, 1996; Gupta & Malina, 1999) ook kosten toe aan fout geclassificeerde items en aan het aantal benodigde tests. Hun doelstelling is dan ook om de totale kost te minimaliseren. 1.2.6 Volledige identificatie versus onvolledige identificatie Het is niet steeds nodig om alle items te identificeren die besmet of defect zijn. In een industriële omgeving kan een eis bijvoorbeeld zijn dat een bepaald minimumpercentage van de goederen aan de kwaliteitseisen moet voldoen (Bar-Lev, Stadje & Van der Duyn Schouten, 2004). Hier is het dan niet van belang om precies te weten welke goederen defect zijn en welke niet, maar wel hoeveel van de goederen defect zijn en bijgevolg of er dus aan de minimumeis voldaan zal kunnen worden. Het bovenstaande voorbeeld is een voorbeeld van groeptestprocedures met onvolledige identificatie (Claeys, Walraevens, Laevens & Bruneel, 2008). Volledige identificatie treedt op wanneer het wel wenselijk is om van elk item te weten of het besmet is of niet. Een voorbeeld

1.2. OVERZICHT VAN DE LITERATUUR 6 hierbij is het testen van bloed op HIV. Elk individu wenst namelijk te weten of hij besmet is of niet. Het verschil tussen volledige en onvolledige identificatie situeert zich in het geval dat de groeptest besmetting aantoont. In het geval van volledige identificatie zullen nu alle stalen individueel getest worden, of zal er overgegaan worden tot groep-subgroeptestprocedures totdat van elk item geweten is of het besmet is of niet. Bij onvolledige identificatie zullen in dit geval alle stalen weggegooid worden en wordt de volledige groep afgekeurd. Indien de groeptest geen besmetting aantoont, wordt zowel bij volledige als bij onvolledige identificatie niet meer verder getest aangezien van elk item geweten is dat het niet besmet is. 1.2.7 Destructieve versus non-destructieve testen Bij het testen van bloedstalen moet ook rekening gehouden worden met het feit dat een bloedstaal maar een beperkt aantal keer getest kan worden (Du & Hwang, 2000). Hier is dus sprake van destructieve tests. Hierbij wordt het staal zodanig aangetast dat het niet nogmaals opnieuw kan gebruikt worden voor een test. Dit in tegenstelling tot non-destructieve tests, waarbij een goed wel steeds opnieuw getest kan worden. Bij het testen van bloed moet dus rekening gehouden worden met een beperking, namelijk het maximum aantal keer dat een staal getest kan worden. Een methode die hier expliciet rekening mee houdt is de sequentiële testmethode, voorgesteld door Li (1962) (Du & Hwang, 2000). 1.2.8 Dynamische versus statische groeptesten Abolnikov & Dukhovny (2003) wijzen er in hun werk op dat bijna al het onderzoek dat verricht werd naar groeptesten veronderstelt dat het aantal te testen items vooraf gekend is of oneindig is (Claeys et al., 2008). Deze manier van testen staat bekend als het statische groeptestprobleem. Dynamische groeptesten daarentegen zijn realistischer en maken deze veronderstellingen niet. Zij houden rekening met het dynamische aankomstaspect van stalen. Stalen kunnen in groepen met variërende groottes aankomen op verschillende momenten in de tijd. Aangezien dynamische groeptesten minder veronderstellingen maken, leunen ze dichter aan bij de realiteit, wat ook betekent dat de studie van deze groeptesten complexer is dan de studie van statische groeptesten. Abolnikov & Dukhovny (2003) vermelden ook dat het dynamische karakter van de aankomsten in rekening gebracht kan worden door middel van een wachtlijnmodel. In zo n model komen klanten (items) aan die bediening (tests) vragen. Zolang een klant niet bediend kan worden, wordt deze opgeslagen in de wachtrij. Dynamische aankomsten brengen met zich mee dat in de wachtrij van de testinstallatie een verschillend aantal stalen aanwezig kunnen zijn of ook gewoon geen stalen. Wanneer er getest wordt, kan er dus niet steeds gewerkt worden met de optimale testgroepgrootte door de eenvoudige reden dat er soms niet voldoende stalen aanwezig zijn in de wachtrij. Hierbij stelt zich dus het

1.3. ONDERZOEKSVRAAG 7 probleem: moet de testinstallatie overgaan tot testen of moet ze wachten met testen tot er meer stalen aanwezig zijn in de wachtrij? Bij dynamische groeptesten is er nood aan een nieuwe parameter die het minimum aantal benodigde stalen voorstelt om een groeptest te starten. Wanneer de testinstallatie leeg is en er dus kan overgaan worden tot testen, wordt er eerst gekeken hoeveel stalen er aanwezig zijn in de wachtrij. Als dit aantal minder is dan het vooropgestelde minimum, dan wordt er gewacht tot er nog nieuwe stalen aankomen totdat aan dit minimum voldaan is vooraleer er getest zal worden. Zijn er meer stalen aanwezig dan het vereiste minimum, dan wordt meteen overgegaan tot testen. Als er meer stalen aanwezig zijn dan de optimale groepgrootte, dan wordt er getest met de optimale groepgrootte en moet het teveel aan stalen blijven wachten tot de testinstallatie weer vrij is en er voldoende stalen aanwezig zijn om weer over te gaan tot testen (Claeys et al., 2008). 1.3 Onderzoeksvraag In de vorige paragraaf werd een overzicht geschetst van groeptestprocedures in de literatuur. Verschillende auteurs hebben elk hun eigen groeptestprocedure ontwikkeld of voorgaande groeptestprocedures verfijnd door rekening te houden met meer realistische assumpties. Het doel van deze masterproef is om verschillende groeptestprocedures te bespreken en te vergelijken. Er zal worden nagegaan welke testpolicy in welke situatie het best is. Hierbij zullen zowel bestaande als zelf opgestelde groeptestprocedures aan bod komen. Meer in het bijzonder zal dit onderzocht worden binnen een medisch perspectief, namelijk voor bloedmonsters. Wegens het medisch perspectief wordt in deze masterproef met de volgende zaken rekening gehouden: 1. De destructieve aard van de testen: Een bloedstaal kan slechts een beperkt aantal keer getest worden. Een bloedstaal kan namelijk slechts een beperkt aantal keer opgesplitst worden in deelstalen die dan getest kunnen worden en een deelstaal kan slechts 1 keer getest worden. Bovendien is het in de praktijk niet mogelijk om steeds grotere hoeveelheden bloed af te nemen zodat een staal in meer deelstalen zou kunnen opgesplitst worden. Het is dus duidelijk dat er rekening gehouden moet worden met een beperking, namelijk het maximum aantal keren dat een bloedstaal getest kan worden. Daarom worden in deze masterproef methodes die steeds verder opsplitsen in subgroepen totdat uiteindelijk alle stalen geclassificeerd zijn (zoals bijvoorbeeld de halving method van Sobel & Groll (1959, 1966)), niet in beschouwing genomen. Om het aantal keren dat een staal getest wordt beperkt te houden, wordt na enkele groepen/of subgroeptesten uiteindelijk steeds overgegaan tot individueel testen. In deze masterproef wordt het maximum aantal keer dat een staal getest kan worden vastgelegd op 4. 2. Volledige identificatie: Elke patiënt die bloed laat afnemen om het te laten testen op

1.4. OVERZICHT 8 de aanwezigheid van een ziekte zal het resultaat van zijn test willen kennen. Het is dus belangrijk dat elk staal geclassificeerd kan worden als besmet of onbesmet. 3. Probabilistische groeptestprocedure: Bij het testen van een groep stalen zullen we a priori niet weten hoeveel stalen er besmet zullen zijn. We hebben echter wel een idee van hoe groot de besmettingskans ongeveer is. Het doel zal dus zijn om in zo weinig mogelijk testen alle stalen te kunnen classificeren als besmet of onbesmet. 4. Dynamisch karakter: Een labo zal niet op voorhand weten hoeveel stalen op welk tijdstip zullen aankomen. Bovendien zal het niet zo zijn dat er telkens voldoende stalen in de wachtrij aanwezig zijn dat het labo steeds kan testen in groepen van de optimale groepgrootte. Er zal dus rekening moeten gehouden worden met de onzekerheid op het vlak van aankomsten van bloedstalen waarmee het labo geconfronteerd wordt. Een aspect waar in deze masterproef geen rekening mee gehouden wordt, zijn de valse positieven en negatieven. Vanuit een medisch standpunt is het uiteraard belangrijk dat mensen een juist testresultaat terugkrijgen. Echter, in deze masterproef wordt verondersteld dat de testresultaten 100% juist zijn en er dus geen valse positieven of negatieven optreden. 1.4 Overzicht Gezien het dynamische karakter van het testen van bloedstalen, werd er in deze masterproef gekozen om te werken aan de hand van een model van Claeys et al. (2008). Omdat dit model een wachtlijnmodel is, wordt in hoofdstuk 2 eerst meer informatie gegeven over wachtlijnen vooraleer er dieper wordt ingegaan op dit model. Dit model laat bovendien toe om verschillende groeptestprocedures en aankomstprocessen te implementeren. De verschillende groeptestprocedures die in deze masterproef vergeleken zullen worden, worden in dit hoofdstuk verder toegelicht. Daarnaast zal in hoofdstuk 2 meer uitleg gegeven worden over de twee criteria die gebruikt zullen worden om de verschillende groeptestprocedures te evalueren en hoe deze berekend kunnen worden. Deze twee criteria zijn de gemiddelde wachttijd die een staal doorbrengt in het wachtlijnsysteem en de utilisatiegraad van de testinstallatie. In het model van Claeys et al. (2008) komen verschillende parameters aan bod. In hoofdstuk 3 worden deze parameters verder toegelicht en wordt er nagegaan welke invloed deze parameters hebben op de gemiddelde wachttijd en utilisatiegraad. In hoofdstuk 4 wordt per testpolicy nagegaan wat de optimale groepgroottes zijn voor de gemiddelde wachttijd en utilisatiegraad. Daarnaast wordt er besproken onder welke omstandigheden de verschillende testprocedures hun beste resultaten geven. Tenslotte worden in dit hoofdstuk vuistregels opgesteld die aangeven wanneer (dit is voor welke combinatie van para-

1.4. OVERZICHT 9 meters) welke testpolicy en groepgrootte het best gebruikt worden om een zo laag mogelijke gemiddelde wachttijd en utilisatiegraad te verkrijgen. Hoofdstuk 5 tenslotte, vat de belangrijkste conclusies van deze masterproef samen.

10 Hoofdstuk 2 Werkwijze In het vervolg van deze masterproef wordt er gewerkt aan de hand van een model van Claeys et al. (2008). De opbouw van dit hoofdstuk is als volgt: eerst wordt er meer uitleg gegeven over wachtlijnmodellen, aangezien het model van Claeys et al. (2008) een wachtlijnmodel is. Voor we dan dieper ingaan op dit model, geven we in de tweede paragraaf eerst meer uitleg over genererende functies en hun eigenschappen aangezien het model van Claeys et al. (2008) hier gebruik van maakt. In de derde paragraaf wordt dan uiteindelijk het model zelf besproken. Daarna worden de verschillende testpolicies die in deze masterproef beschouwd zullen worden, besproken. Ten slotte bekijken we de prestatieparameters die gebruikt zullen worden om de verschillende testpolicies te evalueren, en hoe we ze kunnen berekenen. 2.1 Wachtlijnen Wachtlijnsystemen bestaan uit twee onderdelen: een wachtlijn en een bedieningssysteem. De wachtlijn zelf is de plaats waar de klanten aankomen en wachten vooraleer ze bediend kunnen worden. De klanten komen in de wachtlijn aan volgens een bepaalde aankomstverdeling. Het bedieningssysteem of de server is het stuk van het wachtlijnsysteem waar de bediening van de klanten gebeurt. Het is voor deze bediening dat de klanten wachten in de wachtlijn. In deze masterproef is de activiteit van de server het testen van bloedstalen. Het aankomstproces beschrijft de manier waarop klanten aankomen in het systeem. Het aankomstproces wordt gekenmerkt door een bepaalde verdeling, bijvoorbeeld een Poisson verdeling, die op zijn beurt afhankelijk is van de aankomstintensiteit λ, die het aantal aankomsten per tijdseenheid geeft.

2.2. GENERERENDE FUNCTIES 11 Evenwichtsvoorwaarde Een belangrijke voorwaarde bij wachtlijnsystemen is de evenwichtsvoorwaarde. Om de evenwichtsvoorwaarde te begrijpen, moeten we eerst het begrip load definiëren. De load ρ kan gedefinieerd worden als: ρ = λe[t c] (2.1) c met λ de aankomstintensiteit, E[T c ] de gemiddelde tijd die nodig is om c stalen te testen en c het aantal stalen dat maximaal samen getest kan worden. De load kan dus beschouwd worden als het aantal aankomsten in het systeem, vermenigvuldigd met de gemiddelde tijd die de server nodig heeft om c stalen te testen, gedeeld door de maximale groepgrootte. Anders uitgedrukt is de load het aantal stalen λ die per tijdseenheid aankomen in het systeem gedeeld door het aantal stalen die de server kan testen per tijdseenheid en het systeem dus verlaten. Opdat het wachtlijnsysteem in evenwicht zou zijn, moet de load steeds kleiner zijn dan 1. Als de load groter zou zijn dan 1, zouden er per tijdseenheid namelijk meer stalen aankomen in het wachtlijnsysteem dan de server kan testen. Dit levert een instabiel systeem op, aangezien er steeds meer stalen in de wachtrij blijven wachten om getest te worden. Dit leidt op termijn tot oneindig lange wachtlijnen en wachttijden. Een eigenschap van wachtlijnsystemen is dat wanneer de load groter wordt en de waarde 1 nadert, de gemiddelde wachttijd die stalen in het systeem doorbrengen exponentieel toeneemt. Wanneer het systeem dus theoretisch gezien nog in evenwicht is, zullen de gemiddelde wachttijden voor ρ dicht bij 1 toch zeer groot worden. 2.2 Genererende functies Voor een gehele discrete toevalsgrootheid X (Bruneel, 2008-2009) met waarschijnlijkheidsmassafunctie x(n) en z een complexe veranderlijke, kan men de genererende functie van X definieren als X(z) E [ z X] = x(n)z n (2.2) X(z) is de z-getransformeerde van de massafunctie x(n). De genererende functie bepaalt volledig de waarschijnlijkheidsdistributie van de discrete toevalsgrootheid X. Vaak wordt er voor gekozen om met genererende functies in plaats van rechtstreeks met probabiliteiten te werken door een aantal interessante eigenschappen die bestaan voor genererende functies. De eigenschappen van genererende functies die relevant zijn voor deze masterproef komen nu aan bod. n=0

2.3. MODEL 12 2.2.1 Begrensdheid X(z) is een analytische functie van z binnen de eenheidscirkel van het complexe z-vlak, dus voor z < 1. Bovendien is X(z) begrensd voor z 1 (Bruneel, 2008-2009). Deze begrensdheid impliceert dat een genererende functie geen polen kan hebben binnen deze gesloten eenheidscirkel. 2.2.2 Normeringsvoorwaarde De normeringsvoorwaarde (Bruneel, 2008-2009) stelt dat X(1) = x(n) = 1 (2.3) n=0 De normeringsvoorwaarde stelt dus dat elke genererende functie voor z = 1 gelijk is aan 1. Deze eigenschap kan gebruikt worden als een vergelijking wanneer een stelsel van vergelijkingen met onbekenden opgelost moet worden. Wanneer bijvoorbeeld vergelijking 2.6 (infra) opgelost wordt naar de onbekenden q 0 (n) en e(n) door gebruik te maken van de hierboven vermelde eigenschap in verband met begrensdheid, komt men 1 vergelijking tekort om dit stelsel te kunnen oplossen. Hier kan dan gebruik gemaakt worden van de normeringsvoorwaarde, waardoor er evenveel vergelijkingen als onbekenden zijn. Op deze manier kan het stelsel opgelost worden en kunnen we voor elke onbekende uit het stelsel zijn waarde terugvinden. 2.2.3 Momentgenererende eigenschap De momentgenererende eigenschap stelt dat het mogelijk is om door opeenvolgende berekening van de afgeleiden van X(z) voor z = 1 de opeenvolgende momenten van X recursief te berekenen (Bruneel, 2008-2009). E [X] = dx(z) dz E [ X 2] = d2 X(z) dz 2 (2.4) z=1 + dx(z) z=1 dz (2.5) z=1 De momentgenererende eigenschap wordt vaak gebruikt om de verwachtingswaarde van een genererende functie te berekenen. De verwachtingswaarde is namelijk dezelfde als het eerste moment, wat berekend kan worden aan de hand van vergelijking 2.4. 2.3 Model Het model van Claeys et al. (2008) waarmee gewerkt wordt, is een model waar klanten aankomen en in de wachtlijn wachten alvorens ze in groep bediend worden. Het wachtlijnmodel heeft de volgende karakteristieken:

2.3. MODEL 13 De tijdsas is onderverdeeld in slots met een gelijke lengte. Enkel op het einde van een slot wordt nagegaan of een nieuwe groep gescreend kan worden. Het dynamisch karakter van de item-aankomsten wordt in rekening gebracht: het aantal aankomsten in een slot is stochastisch. Verder wordt er verondersteld dat het aantal klanten dat gedurende opeenvolgende slots aankomt independent & identically distributed is (IID). Concreet betekent dit dat het aantal klanten dat gedurende een bepaald slot aankomt, onafhankelijk beschouwd wordt van het aantal klanten dat gedurende een voorgaand slot aankomt (=independent). Dit betekent ook dat het aankomstproces van klanten gedurende elk slot hetzelfde is, met andere woorden dezelfde aankomstdistributie volgt (=identical). Het aantal klanten dat aankomt gedurende een willekeurig slot wordt gekenmerkt door de genererende functie A(z). In deze masterproef zal er enkel gewerkt worden aan de hand van een Poisson aankomstproces. De genererende functie A(z) zal hier dus steeds gelijk zijn aan e λ(z 1). De minimale groepgrootte waarbij overgegaan wordt tot testen wordt aangeduid door de parameter l, en de maximale groepgrootte bij het testen bedraagt c. Wanneer meer dan c klanten wachten in de wachtlijn, wordt een groep van c klanten bediend en blijven de anderen wachten in de wachtlijn. l vloeit voort uit de vaststelling dat er niet altijd voldoende stalen aanwezig zijn bij de testinstallatie om te kunnen voldoen aan het testen in de maximale groepgrootte c. Het is een gevolg van het feit dat dit model een dynamisch wachtlijnmodel is. Vanaf het moment dat er l stalen aanwezig zijn, is het beter om te testen en niet meer te wachten tot er meer stalen aankomen zodat in een groep van c getest kan worden. De bedieningstijd van een groep stalen is afhankelijk van de grootte van de groep. De bedieningstijd is de tijd nodig om elk staal van de groep te classificeren en bestaat uit opeenvolgende tests waarbij elke test meerdere slots in beslag kan nemen. In deze masterproef beperken we ons tot testen die 1 slot duren. De service tijd van een groep van j klanten wordt beschreven door de genererende functie T j (z) en omdat we veronderstellen dat een test 1 slot duurt, stelt T j (z) dus ook de genererende functie voor van het aantal testen nodig om alle stalen correct te classificeren. Doordat T j (z) algemeen gehouden wordt, kan men elke mogelijke testprocedure bestuderen. Hierbij moet enkel T j (z) aangepast worden aan de testprocedure die gebruikt wordt.

2.4. TESTPOLICIES 14 Het model geeft in vergelijking 2.6 de genererende functie voor de systeeminhoud U(z). U(z) is de inhoud van zowel de wachtlijn als de testinstallatie. met 1 U(z) = z c T c (A(z)) [ l 1 T c (A(z))(z c 1) q 0 (n)z n n=l n=0 ] 1 c 1 + e(n)h n (z) 1 A(z) h n (z) =T n (A(z))z c [1 T c (A(z)) z n ] T c (A(z))z n [1 T n (A(z)) z c ] (2.6) Hierbij is U(z), zoals eerder vermeld, de genererende functie voor de systeeminhoud. c is de maximale testgroepgrootte en l de minimale groepgrootte waarbij overgegaan wordt tot testen. Het is duidelijk dat de systeeminhoud afhankelijk is van T n (z) en A(z). Dit zijn de genererende functies voor de testen aankomstpolicies. Door hier verschillende genererende functies in te stoppen, kunnen verschillende test - en aankomstpolicies gecombineerd worden. In de volgende paragrafen worden de testpolicies die in de rest van deze masterproef gebruikt zullen worden, besproken. Zoals eerder vermeld, wordt in deze masterproef enkel gewerkt met een Poisson aankomstproces. 2.4 Testpolicies In deze paragraaf worden de verschillende testpolicies die bestudeerd zullen worden, voorgesteld. Voor elke besproken testpolicy wordt de genererende functie weergegeven, die in vergelijking 2.6 geïmplementeerd kan worden onder de term T j (z). In deze masterproef wordt verondersteld dat een test 1 slot duurt. 2.4.1 Individueel testen Onder deze testprocedure wordt elk staal individueel getest. Dit kan opgevat worden als een testprocedure waarbij de waarden voor de minimumgroepgrootte l en voor de maximumgroepgrootte c tegelijkertijd gelijk zijn aan 1. T j (z) = z j (2.7) Vergelijking 2.7 (Claeys et al., 2008) geeft de genererende functie weer voor de individuele testpolicy. Individueel testen is de traditionele manier van testen en was de facto de standaard tot Dorfman in 1943 met een alternatief naar voren kwam.

2.4. TESTPOLICIES 15 2.4.2 Groep-individuele testpolicy Bij groep-individueel testen wordt eerst de volledige groep getest. Indien de groeptest besmetting aanduidt, wordt overgegaan tot het individueel testen van alle stalen. Dit is de policy die door Dorfman (1943) voorgesteld werd als alternatief voor individueel testen. T j (z) = p j z + (1 p j )z j+1 (2.8) De formule hierboven geeft weer dat het aantal benodigde testen enkel afhankelijk is van de kans op besmetting p. p geeft de kans weer dat een item niet besmet is. Als de groep besmet is, is 1 groeptest vereist en moeten daarenboven alle j items individueel getest worden wat leidt tot j+1 tests. Dit treedt op met kans (1 p j ). Als de groep niet besmet is, wat optreedt met een kans p j, is slechts 1 test vereist (Claeys et al., 2008). 2.4.3 Groep-subgroep testpolicy Bij de groep-subgroep testpolicy zullen verschillende mogelijkheden onderzocht worden. In een eerste geval wordt de initiële groep bij besmetting opgedeeld in twee subgroepen van gelijke grootte. In een tweede geval wordt de groep bij besmetting opgedeeld in twee subgroepen van verschillende grootte, namelijk een groep die een derde van de stalen bevat en een groep die twee derde van de stalen bevat. Een derde scenario bestudeert de situatie waarin de groep opgedeeld wordt in drie subgroepen van gelijke grootte. 2 subgroepen met gelijke grootte Bij deze testpolicy wordt eerst de volledige groep getest. Indien de groeptest besmetting aanduidt, wordt de groep ingedeeld in 2 subgroepen van gelijke grootte. Vervolgens worden deze subgroepen getest. Indien ook de subgroep besmetting aanduidt, worden alle stalen die deel uitmaken van de subgroep individueel getest (Claeys et al., 2008). Deze testpolicy is nauw verwant met de halving method van Sobel & Groll (1959, 1966) maar is toch verschillend doordat in hun methode telkens opnieuw nieuwe subgroepen gevormd worden die 1 2 van de stalen bevatten totdat alle stalen geïdentificeerd zijn. In de methode die hier gebruikt wordt, daarentegen, wordt na 1 maal opsplitsen in subgroepen overgegaan tot individueel testen. Op deze manier wordt het aantal keer dat een staal getest wordt, beperkt gehouden. Dit kadert binnen de medische invalshoek die in deze masterproef aangehouden wordt, waarbij het aantal keer dat een bloedstaal getest kan worden, beperkt is. Vergelijking 2.9 (Claeys et al., 2008) geeft de genererende functie voor deze testpolicy weer. T 1 (z) = z T 2 (z) = p 2 z + (1 p 2 )z 3 T 3 (z) = p 3 z + p 2 pz 3 + (1 p 2 )z 5

2.4. TESTPOLICIES 16 T j (z) =p j z + j/2 pp j 1 + + j/2 pp j 1 + + + j/2 i=2 j i= j/2 +1 {( ) j i ( ) j i j/2 i=2 j/2 i=2 ( j/2 ( ) j/2 p i p j i z j/2 +3 i ( ) j/2 p i p j i z j/2 +3 i i ) ( j/2 i )} p i p j i p i p j i z j+3, voor j 4 (2.9) 2 subgroepen met verschillende grootte Indien de groeptest besmetting vertoont, zal ook bij deze testpolicy de initiële groep opgedeeld worden in twee subgroepen. De eerste subgroep zal nu echter j 3 stalen bevatten en de tweede subgroep 2j 3. Het is intuïtief duidelijk dat het mogelijke voordeel van deze methode ligt in het feit dat wanneer een besmet item in de kleinste subgroep (die een derde van de stalen bevat) ligt, slechts een derde van de stalen individueel getest moeten worden, ten opzichte van de helft van de stalen in de vorige testpolicy. Echter, als een besmet item in de grootste subgroep ligt (die twee derde van de stalen bevat) moeten meer items individueel getest worden dan in een groep-subgroep testpolicy met twee subgroepen die de helft van de stalen bevatten. We hebben deze testpolicy opgesteld om na te gaan of de voordelen de nadelen wel overtreffen en of dit dus een betere testpolicy is dan Groep-subgroep testen met twee gelijke subgroepen. De genererende functie voor deze testpolicy wordt hieronder weergegeven. In appendix A wordt uitgelegd hoe we deze genererende functie opgesteld hebben. T 1 (z) = z T 2 (z) = p 2 z + (1 p 2 )z 3 T 3 (z) = p 3 z + pp 2 z 3 + (1 p 2 )z 5 T j (z) =p j z [ j ( ] j/3 + )p i p j i z j/3 +3 i i=1 [ j ( ] 2j/3 + )p i p j i z 2j/3 +3 i i=1 [ j [( ) ( ) ( )] ] j j/3 2j/3 + p i p j i z j+3, voor j 4 i i i i=2 (2.10)

2.4. TESTPOLICIES 17 3 subgroepen met gelijke grootte Ook bij deze testpolicy wordt eerst de volledige groep getest. In deze situatie wordt de groep opgedeeld in 3 subgroepen met gelijke grootte indien de initiële groeptest besmetting aantoont. Indien de subgroepen besmetting vertonen, worden alle stalen die deel uitmaken van de besmette subgroep individueel getest. Een subgroep bestaat in deze situatie uit een derde van de stalen, en het is duidelijk dat het potentiële voordeel van deze testpolicy ligt in het feit dat hier dus maar een derde van de stalen opnieuw getest moeten worden. In een groep-subgroepprocedure met twee gelijke subgroepen moeten in dit geval de helft van de stalen opnieuw getest worden. Echter, deze situatie kan ook slechtere resultaten opleveren doordat er telkens een test meer moet uitgevoerd worden dan in een groep-subgroeppolicy met twee subgroepen. Er is namelijk een subgroep extra en in geval van besmetting wordt na een groeptest overgegaan tot subgroeptesten. Intuïtief wordt duidelijk dat er dus een tradeoff moet gemaakt worden tussen deze extra subgroeptest en het lagere aantal individuele tests die nodig zullen zijn door de kleinere subgroepgrootte. Het resultaat van deze trade-off zal bepalen of deze testpolicy betere dan wel slechtere resultaten oplevert dan een groepsubgroeppolicy met twee gelijke subgroepen. Ook deze testpolicy hebben we zelf bedacht. Onderstaande functie is de genererende functie van deze testpolicy. Net als alle genererende functies voor testpolicies die nog zullen volgen in dit hoofdstuk, hebben we deze genererende functie op een analoge manier opgesteld als de genererende functie voor groep-subgroep testen met twee subgroepen van ongelijke grootte, die in appendix A opgesteld werd. T 1 (z) = z T 2 (z) = p 2 z + (1 p 2 )z 3 T 3 (z) = p 3 z + (1 p 3 )z 4 T 4 (z) = p 4 z + pp 2 (p + 1)z 4 + (1 p 2 )z 6 T 5 (z) =p 5 z + pp 4 z 4 + (4pp 4 + 6p 2 p 3 + 2p 3 p 2 )z 6 + (1 p 5 pp 4 4pp 4 6p 2 p 3 2p 3 p 2 )z 8

2.4. TESTPOLICIES 18 T j (z) =p j z j ( ) j/3 + p i p j i z j/3 +4 i + + + + + + i=1 j ( ) j j/3 j/3 p i p j i z j j/3 j/3 +4 i i=1 j ( ) j/3 p i p j i z j/3 +4 i i=1 j [( ) j j/3 i i=2 i=2 ( j/3 j [( ) j/3 + j/3 i j [( ) j j/3 i i=2 [ j 1 p 6 i i=1 ( j/3 j ( ) j/3 p i p j i i i=1 j [( ) j j/3 i i=2 i ) ( j/3 i ( j j/3 j/3 ) ( j j/3 j/3 i ) p i p j i ( j/3 j [( ) j/3 + j/3 i i=2 j [( ) j j/3 i i=2 2.4.4 Sterrett testpolicy i ) ( j/3 i i=1 i ( j/3 i ) )] p i p j i z j j/3 +4 )] p i p j i z j/3 + j/3 +4 ( j/3 i )] p i p j i z j j/3 +4 j ( ) j j/3 j/3 p i p j i i ( j j/3 j/3 ) ( j j/3 j/3 i i ( j/3 i ) )] p i p j i )] p i p j i ( )] ] j/3 p i p j i z j+4, voor j 6 i (2.11) Zoals eerder aangehaald stelde Sterrett (1957) een alternatief voor de Dorfmanprocedure (1943) voor: een policy waarbij eerst de groep getest wordt op besmetting. Indien de groeptest besmetting aanduidt, wordt overgegaan tot het individueel testen van stalen totdat het eerste besmette item gevonden wordt. De overige stalen worden dan weer als groep getest. Indien deze groep weer besmetting vertoont wordt opnieuw overgegaan tot individueel testen totdat het eerste besmette item gevonden wordt. Daarna volgt opnieuw een groeptest. Deze procedure wordt herhaald totdat men alle stalen geïdentificeerd heeft.