Werken met de CAS in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com pag. 1 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
1 CAS: EEN COMPUTER ALGEBRASYSTEEM Met de CAS van GeoGebra is het mogelijk om exacte en benaderende berekeningen te maken, getalwaarden van veeltermen te berekenen, vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen, stelsels op te lossen, ontbinden in factoren, Het is geenszins de bedoeling dat het werken op papier achterwege zou blijven! Dit is en blijft heel belangrijk en mag zeker niet in het gedrang komen! Je moet het werken met de CAS zien als ondersteunend en ook kan het nuttig zijn om een bepaald probleem eens zuiver en alleen met ICT op te lossen. In wat volgt werken we een aantal voorbeelden uit. 2 WERKEN MET DE CAS-WERKBLAK EN EEN VIRTUEEL TOETSENBORD De CAS werkbalk ziet er zo uit: Gebruik van de eerste 3 icoontjes van de werkbalk: Hier werd achtereenvolgens op = en op het derde icoontje geklikt. Je kan ook een virtueel toetsenbord oproepen door gepast te klikken in de CASwerkbalk: pag. 2 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
3 GETALWAARDEN VAN VEELTERMEN BEREKENEN Om getalwaarden van veeltermen te berekenen, gebruik het volgende icoontje: Je kan ook gebruik maken van het commando substitueer pag. 3 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
4 BEWERKINGEN MET VEELTERMEN Bemerk dat er in de eerste kolom een aantal blauwe cirkeltjes getekend zijn. Dit betekent dat in het tekenvenster de grafieken van de bijhorende veeltermfuncties getekend zijn. Je kan deze cirkeltjes uitvinken en dan worden de grafieken niet getekend. Bemerk ook dat we in regelnummer 5 op het vijfde icoontje in de werkbalk hebben geklikt, het icoontje voor uitwerken. pag. 4 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
5 QUOTIENT EN REST BEPALEN BIJ DELING VAN VEELTERMEN Om het quotiënt te vinden van A(x) door B(x) gebruiken we het commando quotiënt[ ]. Om de rest te vinden A(x) door B(x) gebruiken we het commando mod[ ]. pag. 5 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
6 ONTBINDEN IN FACTOREN Om dit te bekomen, hebben we de veelterm ingetypt en nadien op het vierde icoontje in de werkbalk geklikt. Je kan ook zo werken: pag. 6 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
Als je echter het volgende intypt, krijg je: Om x² - 2 te ontbinden, moet je het commando ifactor[x^2-2] intypen. pag. 7 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
Ontbind nu zelf in factoren: Het getal 4715 Opmerking Als je wil ontbinden over de complexe getallen dan moet je gebruik maken van de commando s cfactor[ ] en cifactor[ ]. pag. 8 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
7 OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN pag. 9 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
8 OPLOSSEN VAN ONGELIJKHEDEN Bemerk dat de oplossingen ook grafisch getekend worden. Bemerk ook de getekende stippellijnen omdat het over een ongelijkheid < 0 gaat! Oplossen van een stelsel van ongelijkheden: pag. 10 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
9 OPLOSSEN VAN STELSELS Open het tekenvenster1, CAS-venster en het tekenvenster2 Voer in het invoervenster achtereenvolgens in: a = 1, b = 1, c = 1, a = 1, xmin = 1, Dit is een soort initialisatie. Maak tekenvenster2 actief. Klik op invulvak invoegen en klik in tekenvenster2 en kies passende titels en link met de ingevoerde waarden voor a, b, c, a, b en c. Klik op invulvak invoegen en klik in tekenvenster1 en kies passende titels en link met de ingevoerde waarden voor xmin, xmax, Verander nadien de waarden in alle invulvakjes (zie scherm hierboven). Vul dan de commando s in het CAS-venster in. pag. 11 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
Vul bij dit venster voor xmin de waarde xmin in, voor xmax de waarde xmax in, 10 NULWAARDEN VAN TWEEDEGRAADSFUNCTIES pag. 12 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
11 OPLOSSEN VAN PROBLEMEN Gegeven is een driehoek ABC. H is het hoogtepunt van de driehoek. AH snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek ABC in G en BC in D. Toon aan dat HD = DG. Werk dit uit voor A(4,6) B(10,3) C(2,-3). pag. 13 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
pag. 14 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad
INHOUD 1 CAS: een computer algebrasysteem... 2 2 Werken met de CAS-werkblak en een virtueel toetsenbord... 2 3 Getalwaarden van veeltermen berekenen... 3 4 Bewerkingen met veeltermen... 4 5 Quotient en rest bepalen bij deling van veeltermen... 5 6 Ontbinden in factoren... 6 7 Oplossen van vergelijkingen... 9 8 Oplossen van ongelijkheden... 10 9 Oplossen van stelsels... 11 10 Nulwaarden van tweedegraadsfuncties... 12 11 Oplossen van problemen... 13 pag. 15 Van Nieuwenhuyze Roger CAS in de tweede graad