Omgaan met formules Formules invoeren Met Q kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met «Jima. Plcti Je voert de formule = x?-4x + 2 in door achter Yl = in te tikken De variabele.r krijg je met figuur 3. l De variabele x krijg je met Grafieken plotten Voordat je de grafiek laat tekenen, moetje een verstandige schaalverdeling op dejc-as en op de^-as kiezen. Dat gaat met WUIIWBM. Zorg er voor dat Xmin = - 10, Xmax = 10, Xscl = l, Ymin = -10, Ymax = 10 en Yscl = l. Hiermee krijg je een assenstelsel waarin de assen van -10 tot 10 lopen. Met Xscl = l en Yscl = l zorg je er voor dat bij elk geheel getal op de assen een streepje komt. De grafiek van y - x2-4x + 2 verschijnt op het grafiekenscherm. We zeggen dat de grafiek is geplot. w INDUW Xriin=-16 Xnax=10 Xscl=l Vnax=10 Vscl=I Xres=I figuur 3.2 S Afspraak In plaats van "laat de GR de grafiek tekenen" zeggen we kortweg "plot de grafiek". Het standaardscherm De instelling Xmin =-10, Xmax=10, Xscl = l, Ymin =-10, Ymax = 10 en Yscl - l heet de standaardinstelling. Het bijbehorende scherm heet het standaardscherm. De GR heeft een optie waarmee je direct het standaardscherm krijgt. Dat gaat als volgt. Kies de optie ZStandard uit het ZOOM-ZOOM-menu. Dus kies ZStandard door ü in te tikken of door de cursor op 6: ZStandard te zetten en op «' aa te drukken. Ga dit na. figuur 3.3 MEMORV ox 2=Zooh In 3= ZOOM Out aazstandard TÏZTrig figuur 3.4 Het ZOOM-ZOOM-menu 12 Practicum 3
Het standaardscherm krijg je met de optie ZStandard uit het ZOOM-ZOOM-menu. Kies ^9 en voer bij Y2 de formule y = -0,5;t2 + 6* - 5 in. Dus tik achter Y2= in Cfi) *HE1 JJUUiJ JB Q 0 BBEIBI Q O. <?/ o/? de verschillende mintekens! Voer 0,5 in als.5. V Plall Pl*t We zeggen voortaan kortweg "voer in y2 = -0,5x2 + 6x- 5". Afspraak Voer in _y,= -0,5x2 + 6* - 5 betekent datje bij Y2 de formule y = -0,5.x2 + 6x - 5 invoert. figuur 3. 5 Met 1JEH3ÏI krijg je figuur 3.6. Je ziet dat de standaardinstelling niet zo geschikt is voor het plotten van de grafiek van y = -ö,5x2 + 6x - 5. De top van de grafiek is bijvoorbeeld niet te zien. Kies imbiibbi en zorg voor Xmin = -5, Xmax=15, Ymin = -10 en Ymax=15. Na tcth3ü krijg je figuur 3.7. figuur 3.7 Formules uitzetten Voer in _y3 = - ^x2-3x + 6. Om alleen de grafieken van y2 en _y3 te plotten moetje y{ uitzetten. Ga met de cursor op = bij Yl staan en druk op QZQO De donkere achtergrond bij = verdwijnt. Dit geeft aan dat _y, uit staat. / Mail figuur 3.8 v; «uitgezet. Plot de grafieken van ;v; en >> Je ziet datje het venster moet aanpassen. Kies imadjüi en zorg voor Xmin = -15, Xmax-15, Ymin = -10 en Ymax^lS. Pas ook Xscl en Yscl aan. Neem Xscl =2 en Yscl = 2. Afspraak Op de vraag "welk venster heb je gekozen?" vermeld je watje hebt gekozen voor Xmin, Xmax, Ymin en Ymax. Xscl en Yscl hoefje niette vermelden. figuur 3.9 Vuistregel voor Xscl en Yscl Kies Xscl en Yscl zo, dat je op de x-as en dey-as niet meer dan 20 streepjes krijgt. Omgaan met formules 13
a Voer in _y, = 0,9.x2-3x - 4 en plot de grafiek op het standaardscherm. b Voer in y2 = - 0,4x2 + 5x - 2 en plot de grafiek op het scherm van vraag a. c Het standaardscherm is voor de grafiek van y2 niet zo geschikt. Kies Xmin = -5, Xmax= 15, Ymin = -10 en Ymax= 15 en plot de grafieken van y( en y2 nog een keer. d Voer in _y3 = 0,3jr + 2x - 6 en plot de grafieken van y2 en yr Pas de venster instellingen zo aan, dat beide parabolen goed zichtbaar zijn. Pas ook Xscl en Yscl aan. Welk venster heb je gekozen? a Voer in y} = 0,5x2-3x2 + 2x + 5 en plot de grafiek op het standaardscherm. b Voer in y, = -0,5^4-2,lx3 + 8.x - 3 en piot de grafiek van y, op het scherm van vraag a. c Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van y, en y, op het standaardscherm? Gegeven zijn de formules y, = ö,3x~ - lx - 5 en y: = -0,4x2 + 2x + 4. a Plot de grafieken van yt en y, op het standaardscherm. b Druk op iivma De trace-cursor verschijnt en knippert op de grafiek van y, in het punt (O, -5). Met behulp van Q en O loop je over de grafiek van y,. Telkens staat de.t-coördinaat en de y-coördinaat van het punt op de grafiek onder op het scherm. c Zet de trace-cursor zo dicht mogelijk bij het linkersnijpunt van de grafieken. Wat zijn de coördinaten van het snijpunt ongeveer? d Met behulp van O en O springt de trace-cursor heen en weer tussen de grafieken. Probeer dit uit. e Zet de trace-cursor zo dicht mogelijk bij de top van de grafiek van y2. Wat zijn de coördinaten van de top ongeveer? figuur 3.10 De trace-cursor Tn opgave 3 heb je gezien dat je met de trace-cursor over de grafiek kunt lopen. De formule van de grafiek staat linksboven op het scherm. En de coördinaten van het punt waar de trace-cursor zich bevindt staan onder op het scherm. Met de trace-cursorkrijgje schattingen van de coördinaten van snijpunten, maar dat is meestal niet nauwkeurig genoeg. De trace-cursor loopt namelijk met vaste stappen over de grafiek, dus de trace-cursor komt slechts zelden precies in een snijpunt uit. 14 Practicum 3
Met de trace-cursor y-waarden berekenen Hieronder zie je hoe je de trace-cursor gebruikt om de j-coördinaat van een punt van de grafiek te berekenen bij een gegevens-coördinaat. Ga uit van de grafiek van y = 0,8 r -3,2* - 2. Op de grafiek van ƒ ligt het punt/) met x;= 3. Je krijgt j^ als volgt. Plot de grafiek van y = 0,8^ ~3,2x - 2. Druk op Jühaa en je ziet _y = -4,4. De j-coördinaat van A is dus ^ = -4,4. Notatie >'(3) = -4,4. Om vervolgens de _y-coördinaat van het punt B met XB = -2 te berekenen hoefje alleen nog maar in te tikken Je krijgt yb - 7,6 dus y(-2) = 7,6. De trace-cursor en functiewaarden Gegeven is de functie f(x) = 0,6.x3-2,8:^ + 5,6. Je krijgt/(4,5) als volgt. Plot de grafiek van y, = 0,6e3-2,8r + 5,6. f \n v s v figuur 3. 11 7 J 1/1 J Y=-H.H y(3) is de _y-coördinaat die hoort bij jc = 3. Druk op iat'iia:«en je ziet y = 3,575. Dus/(4,5) = 3,575. figuur 3.12 Werkschema voor het berekenen van f (3,7) Bij de functie ƒ krijg je /(3,7) als volgt. Plot de grafiek van ƒ Kies daarbij Xmin en Xmax zo, dat Xmin < 3,7 < Xmax. Gegeven is de functie f(x) = \3x2 + l,8x-3. a Plot de grafiek op het standaardscherm. b Bereken/(-5), f(-1,2). /(0,8) en /(8,3). c Ga na dat de GR een foutmelding geeft als je op deze manier f(\5) wilt berekenen. d De foutmelding in vraag c ontstaat doordat 15 groter is dan Xmax. Kies Winti?! en pas Xmax aan. Bereken/(15). e Bereken ƒ(-! 7), f(51) en ƒ(! 20). ƒ(4) bereken je met op het grafiekenscherm. Gegeven zijn de formules _y, = 0,2/ - l,2x2-3x -l en y2 = -x2 + 1,9* + 3. a Bereken ^,(-3), ^,(0,3), ƒ,(1,8) en ^,(5). b Bereken y2(-3), >>2(0,3), ^(1,8) en y2(5). c Bereken y.(12)en >,(-! 8). d Bereken >*2(12) en y2(~22). Qmy2( 3) te krijgen moet de trace-cursor op y2 staan. Doe dat met O of Q Omgaan mei formules 15
Tabellen maken Bij de formules yt = 0,5x2-3x + 2 en y2 = -2x2 + l,5x + 6 krijg je als volgt tabellen op het scherm. Voer de formules in op het formule-invoerscherm. Kies JJ:imJ (= üiei nnnnwi^ en neem startwaarde TblStart = O en stapgrootte ATbl = l. Je krijgt het tabellenscherm van figuur 3.13. Je ziet bij x = 3 hoort y, = -2,5 en ƒ, = -7,5. Ga in de X-kolom met Q omhoog. Je ziet ook x-waarden kleiner dan 0. Ga in de X-kolom met O omlaag. Je ziet x-waarden groter dan 6. Zet in de Yl-kolom de cursor op Y1. De formule van yl verschijnt onder op het scherm. Zet in de Y2-kolom de cursor op Y2. De formule van _y, verschijnt onder op het scherm. 1 2 s H E E X X=0 v figuur 3.13 Vi ẕ.5-2 -2.5-2 -.5 2 Ï2 6 E.E 1 -?.s -20 -Sfi.S E? TblStart is de startwaarde. ATbl is de stapgrootte. kun je de startwaarde en de stapgrootte van de tabel veranderen. Maak TblStart = 3 en ATbl = 0,5. Maak de tabel. Je ziet bij x = 5,5 hoort y = 0,625 en y, = -46,25. TfiBLE SETUP TblStari=3 *Tbl=.5 Indpni: Depend: X 3.5 H H.E E E.E 6 X=3 Vi. -2 l.ï -.5.fi E -1Ï.2E -20 -Er.?E -ïfi.e -Hfi. E -57 figuur 3.14 Het TABLE SETVP-menu. figuur 3.15 Gegeven zijn yt = Q,5x2 -~3x + 2 en y, = -2x' + l,5x + 6. a Maak een tabel met startwaarde 4 en stapgrootte 0,03. b Zet de cursor op y] (4,15). Onderop het scherm staan meer decimalen dan in de tabel. Geef >',(4,15). c Maak een tabel waaruitje y,(12,74) en _>>,(!2,68) kunt aflezen. Welke startwaarde en welke stapgrootte heb je gekozen? Geef 1^(12,74) enj,(12,68) in vier decimalen nauwkeurig. Gegeven is de functie f(x) = 0,8,r -3x-2. Maak een geschikte tabel op de GR en vul de volgende tabel in. X y -6-4 -2 0 2 A 6 8 16 Practicum 3
Toppen van grafieken De top van de grafiek van y = 0,8x: - 3* - 3 krijg je als volgt. Voer in v = 0,8.r - 3.v - 3 en plot de grafiek op het standaardscherm. Kies de optie minimum uit het CALC-menu ), waarmee de cursor op de grafiek van y} komt te staan. De GR vraagt Left Bound?. Zet de cursor links van de top en druk op De GR vraagt Right Bound?. Zet de cursor rechts van de top en druk op De GR vraagt Guess?. Zet de cursor in de buurt van de top en druk op O Op het scherm staat x= 1,8750022 en y = -5,8125. De top is het punt (1,875;-5,8125). De kleinste_v-waarde is -5,8125. Met Left Bound? en Right Bound? vraagt de GR tussen welke grenzen de.v-coördinaat van de top gezocht moet worden. Je kunt de vragen Left Bound? en Right Bound? beantwoorden met de trace-cursor en dan qapiiati door geschikte v-waarden in te tikken en Ga na dat je hierboven met Left Bound? ':-:-% la^tiaïl Right Bound? en Guess? KM4:i de coördinaten van de top krijgt. figuur 3.16 \m Voer in y^ = -0,75jf -4x + 2. Zorg voor het scherm van figuur 3.17. De top van de grafiek van v, krijg je als volgt. Kies de optie maximum uit de CALC-menu. De trace-cursor staat op de grafiek van yr Zet de trace-cursor op de grafiek van >', met O- Geef de linkergrens, de rechtergrens en een schatting. Je krijgt x = -2,666667 en y= 7,333333. De top is het punt (-2,67; 7,33). In twee decimalen nauwkeurig is de grootste j-waarde 7,33. Met de opties minimum en maximum uit het CALC-menu krijg je de coördinaten van toppen van grafieken. figuur 3.17 Gegeven zijn de formules yl - 0,25jr -.r - 3 en y, = - 0,5jt2 -,v + 6. a Plot de grafieken op het standaardscherm. b Bereken de coördinaten van de toppen van de grafieken van _y, en _y,. Gegeven is de formule _yt = 0,1.x:'1-0,3.r - 4.r + 5. a Plot de grafiek van yr Neem Ymin = -15 en Ymax=15. b De grafiek van _>', heeft twee toppen. Bereken van elke top de coördinaten in twee decimalen nauwkeurig. Gegeven is de formule N = 120r - 24f. Voer de formule Je voert deze formule in als >', = 120.v2-24x\ Plot de grafiek van N. Neem Xmin = 0, Xmax = 5, Ymin = O en N= 120r-24ïMnals y= 120;r-24;t3. Ymax = 500. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de top. c Voor welke / is N maximaal? Geef TV Omgaan met formules 17
Snijpunten van grafieken Voer de formules y{ = Qfix2-3x - 3 en _>., - -ÖJ5x~ -4x + 2 in. Plot de grafieken op het standaardscherm. De coördinaten van het linkersnijpunt van de grafieken van yt en y,, vind je als volgt. Kies de optie intersect uit het CALC-menu door fh in te tikken of door de cursor op 5: intersect te zetten en daarna op é=fll»f=i^ te drukken. De GR vraagt First curve? en steltyt voor. Bevestig dit met laaiat!. De GR vraagt Second curve? en stelt y2 voor. Bevestig dit met inajski. De GR vraagt Guess?. Zet de trace-cursor in de buurt van het linkersnijpunt. De GR geeft x = -2,147372 en y = 7,1310834. In drie decimalen nauwkeurig zijn de coördinaten van het linkcrsnijpunt dus (-2,147; 7,131). figuur 3.18 In plaats van de tracecursor dicht bij het snijpunt te zetten, kun je ook een geschikte v-waarde intikken. Kies opnieuw de optie intersect uit het CALC-menu. Zet de trace-cursor in de buurt van het rechtersnijpunt. Druk drie keer op QQ 33- De GR geeft x= 1,502211 en v = -5,701323. Het rechtersnijpunt is bij benadering (1,502; -5,701). = 1.E02211 V='E. 701323 figuur 3.19 Met de optie intersect uit het CALC-menu krijg je de coördinaten van snijpunten van grafieken. 3 Gegeven zijn de formules y( = 0,5.r2 + 2* - 3 en y2 = -Q,3x + 3. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van y^ en yr \e oplossingen van de vergelijking -0,2;r +x + 5 =4 bereken je met de GR als volgt. Plot de grafieken van _v, =-Q,2x2 + x + 5 en j.,-4. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken. Dit zijn de oplossingen van de vergelijking. Bereken de oplossingen van -0,2r + x + 5-4 in twee decimalen nauwkeurig. Los de volgende vergelijkingen op met de GR. Geef de oplossingen zo nodig in twee decimalen nauwkeurig. a -0,2r + 5 = 3,62-* b 0,5;r -1 = 5-2* c -0,02.v2 + 0,2,\ + 5-2 d 0,4.x3-10 = 5+4x-2x2 a Plot de grafieken van v, = 0,6* - 4, y,, = -0,3x2 + 2x + l en y^ =.r - 4* - 3. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig de r-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van yl en >% c Bereken in twee decimalen nauwkeurig de-r-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van y, en _>,. Om de vergelijking -0,2.r+ 5 = 3,62-* op te lossen, zoek je de ^-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van y^ = -0,2*' + 5 en y =3,62-*. Formules die je niet nodig hebt, zetje uit. v y 18 Practicum 3
Snijpunten van grafieken met dex-as Dex-coördinaten van de snijpunten van de grafiek vany = x2-4x-3 met dex-as krijg je als volgt. Plot de grafiek van v - x2 ~ 4x -3 op het standaardscherm. Kies de optie zero uit het CALC-menu. De GR vraagt Left Bound?. Zet de trace-cursor links van het linkersnijpunt en druk De GR vraagt Right Bound?. Zet de trace-cursor rechts van het linkersnijpunt en De GR vraagt Guess?. DrukopEDO- Op het scherm staat x = -0,6457513 en y = Q. In twee decimalen nauwkeurig is de.r-coördinaat van het linkersnijpunt van de grafiek met de x-as dus -0,65. figuur 3.20 Vervolgens het rechtersnijpunt. Kies de optie zero uit het CALC-menu. Beantwoord de gestelde vragen voor het rechtersnijpunt. Je krijgt x = 4,65. Met de optie zero uit het CALC-menu krijg je de coördinaten van de snijpunten van grafieken met de x-as. a Voer in yt = 0,9x2 + 2x - 3 en y, = -l,3x: + 5x + 4. b Bereken in twee decimalen nauwkeurig de ^-coördinaat van het linker snij punt van de grafiek van ^ met dex-as. c Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van het rechtersnijpunt van de grafiek van yl met dex-as. d Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van jy, met de x-as. Zie de opmerking hiernaast. Snijpunt van y\t de x-as berekenen? Dan eerst de trace-cursor op de grafiek van y^ zetten! De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van y=x2~ 5x -l met de x-as zijn de oplossingen van de vergelijking x: - 5x -l = 0. a Los met de GR op x2-5x - l = 0. Rond af op twee decimalen. b Bereken de oplossingen van de vergelijking -0,8x2-x + 3 = 0 in twee decimalen nauwkeurig. c De vergelijking 0,3*3 - l,2x2 - l,6x + 2 = O heeft drie oplossingen. Bereken deze oplossingen in twee decimalen nauwkeurig. Omgaan mei formules 19
De optie ZoomFit Bij ingewikkelde formules met derde en vierde machten is het opsporen van een geschikt venster geen eenvoudig karwei. Vaak volgen Xmin en Xmax uit de gegevens, maar moet je Ymin en Ymax zelf bepalen. De optie ZoomFit uit het ZOOM-ZOO M-menu kan je hierbij helpen. Bij de formule v = 0,02.x:3 - l,5_r + 16x + 800 met Xmin = O en Xmax = 70 gaat dat als volgt. Voer de formule in bij vr Kies CHÜEü en zorg voor Xmin = O en Xrnax = 70. Neem Xscl = 10. Kies de optie 0: ZoomFit uit het ZOOM-ZOOM-menu. Zie figuur 3.21. Kies ÜH3BÜ. Je ziet Ymin = 303,67442 en Ymax = 1430. Zie figuur 3.22. Bij gegeven Xmin en Xmax kiest de optie ZoomFit voor Ymin en Ymax getallen zo, dat het hoogste en laagste punt op het scherm passen. MEMORV eciroal 6=ZStandard 7:ZTri9 8:ZInte9er W INDUW Xn i n=0 Xnax=70 Xscl=l Vnin=303. 67442... Vscl=l Xres=l SHZoonFit x v figuur 3.21 figuur 3.22 figuur 3.23 Zorg voor mooie getallen bij Ymin en Ymax. Neem bijvoorbeeld Ymin = O, Ymax =1500 en Yscl=150. Na Maaaa krijg je figuur 3.23. J Gegeven is de formule yl = x^ \2x2 + 8x + 250 met x tussen -5 en 15. a Plot de grafiek met behulp van ZoomFit. Welke Ymin en Ymax heb je vervolgens genomen? b De grafiek heeft twee toppen. Bereken de coördinaten van deze toppen. Rond af op twee decimalen. c De grafiek snijdt de.v-as. Bereken de x-coördinaat van dit punt in twee decimalen nauwkeurig. d Voor welke x is yt = 500? Rond af op twee decimalen. J Gegeven is de formule yt = - O, l*4 + 5,75.v' - l,8.v: - 5x + 18 met x tussen -l en 2. a Plot de grafiek van y} met behulp van ZoomFit. Welke Ymin en Ymax heb j e vervolgens genomen? b Vanaf welke x is >>, > 25? Rond af op twee decimalen. c Behalve het snijpunt met de>'-as zijn er nog twee punten op de grafiek van yl met v-coördinaat 18. Bereken de x-coördinaten van deze punten in twee decimalen nauwkeurig. 20 Praclicurn 3