Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a = = = 68 ; dus = S = 80 = = SE us SE = S = 56 ES = 80 56 = 0 us SE = 78 V- + α = 60 Ook geldt + + + = 60 us α= + + V-a = 80 Er geldt: = + = 80 ( + ) = + en = + + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = + + = ( + + ) = 80 = 60 V-a In F geldt: F = F = = 60 dus ook F = 60 us F is gelijkzijdig Net zo valt te ewijzen dat FE gelijkzijdig is e driehoeken F en zijn gelijkzijdig, dus = F = = Net zo is te ewijzen dat E = us en E zijn de middens van en 0 ; 90 V-5a In geldt: = dus = = α us = 80 α, dus = α Ook geldt = = α (F-hoeken), dus is issetrie van E want straal irkel, = E = straal irkel en = E (overstaande hoeken), ZHZ, dus E = Hieruit volgt dat E // (Z-hoeken) E = ladzijde 57 V-6 e raaklijnen staan loodreht op de stralen S en R In vierhoek PRS zijn de hoeken R en S dus samen 80, dus geldt ook dat P+ = 80 V-7 Omdat R (eigenshap raaklijn) en = = straal grote irkel V-8a Hoekensom 8-hoek is 080 us H = 080 = 5 8 5 ; 5 5 =, 5 F = ( 90 + 5) = 5 dus F = 80 5 =, 5 d EF = 5 EF = 80 5 = 67, 5 us FE = F + EF =, 5+ 67, 5= 90 oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 7
8 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen V-9a Omdat E middenparallel is Rehthoek want E = F (gevolg middenparallel) en E // F met verder nog = 90 (geg) us vierhoek EF is parallellogram met een rehte hoek, dus een rehthoek Volgens de omgekeerde stelling van Thales gaat er een irkel door driehoek E met middellijn E Het zelfde geldt voor de driehoeken EG en EF us alle genoemde punten liggen op deze irkel d Het midden van E 6 Hoeken en ogen ladzijde 58 a 85 g 0 = 60 π 5, en g 85 = 85 60 π 59, d keer een draaiing van 85, keer een draaiing van 0 en keer een hoek van 5 a Omdat = = 80 00 = 0 g = 80 d = g en = g e Stel = α = 80 α us g = 80 α Verder geldt dat = 80 α = 90 α us g = ladzijde 59 a Noem het snijpunt van met de irkel Uit opgave volgt g = en g =, dus g = = Trek, deze snijdt de irkel in Uit opgave volgt g = en g = g = 80 g g = 80 us = 90 ( ) = ( 90 ( 90 )) (immers = 90, Thales) us = 90 ( 90 + ) = ( + + ) = a oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
e driehoeken en zijn ongruent, want = = = en = (immers gelijk aan de gelijke ogen); ZHZ us = e driehoeken zijn dan ongruent volgens ZZZ en daaruit volgt de gelijkheid van de eide middelpuntshoeken en derhalve de gelijkheid van de ijehorende ogen en 5a 6a d = ( Z-hoeken ); ij gelijke hoeken horen gelijke ogen, dus g = g ls de ogen en gelijk zijn etekent dit dat de ijehorende omtrekshoeken en gelijk zijn Hieruit volgt dat l en m evenwijdig zijn (Z-hoeken) l R VS Zie hieroven e driehoeken RV en SV zijn ongruent volgens ZZZ want: RV = SV(geg) V = V R = R = 90 Uit deze ongruentie volgt dat R = S dus S ook op de irkel it laatste kan niet want dit zou etekenen dat de raaklijn in R de irkel ook nog in S snijdt Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 9
7a 0 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen Teken een ij de koorde horende omtrekshoek ie hoek is 90 Stel = α = α ; hieruit en omdat = volgt dat 8a = 80 α = 90 α us = 90 ( 90 α) = α = 6 e onstante hoek ladzijde 60 - = = d = (eigenshap rehthoek); dus zijn de halve diagonalen ook gelijk en omdat de diagonalen elkaar ook middendoor delen geldt = = 9a Omtrekshoek is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek, dus gelijk aan 80 = 90 Het midden e helft 0a P oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel E
, P en E, en E d = E = = + = 90 (Thales en P + = 90 E ) us = gp = g E ladzijde 6 a F-hoeken et Q innen de irkel estaat een driehoek QE en er kunnen geen twee zijden van een driehoek evenwijdig zijn us Q innen de irkel kan niet d Zie en e Punt Q ligt op de irkel a a P 80 0 60 Toelihting: is dan 60 us zijn de hoeken ij en gelijk aan 0 Hieruit volgt de ligging van het middelpunt e straal is de lengte van e straal is Er geldt: = sin 60, 6 en, 6 sin 80 = =, dus, sin, = 6 80 5 l P = γ, = = 80 γ = 90 γ Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen 90 ( 90 γ) = γ γ= 0 = 80 en dus geldt: = = 50 us: teken het lijnstuk met lengte m Teken door en lijnen l en m die hoeken van 50 met maken Het snijpunt van de lijnen l en m is het punt 6 Koordenvierhoeken ladzijde 6 a Gegeven: vierhoek Te ewijzen: + = 80 en + = 80 eide zijn 90 (Thales); ja dan samen immers 80 Ook samen 80 Zie tekening waarin gelijke hoeken zijn aangegeven Steeds omtrekshoeken op een zelfde koorde Omdat de som van de hoeken van een vierhoek gelijk is aan 60, geldt: + + + = 60 Hieruit volgt: + + + = 80 en dus + = 80 en + = 80 5a Zie de figuur ij 6a 80 80 00 + = 80 dus vierhoek is koordenvierhoek e omgeshreven irkel van driehoek gaat dus ook door onstrueer het middelpunt van deze irkel door de middelloodlijnen van en te snijden oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
Zie de figuur ij a d Ja 7a Uit = = = = volgt: =, dus ligt ook op de middelloodlijn van lijnstuk Punt heeft gelijke afstanden tot,, en en is dus middelpunt van de omgeshreven irkel van vierhoek 8a 9a ladzijde 6 E Vierhoek is koordenvierhoek (gegeven), dus + = 80 Omdat E op de omgeshreven irkel van driehoek ligt is vierhoek E ook een koordenvierhoek, dus geldt: E+ = 80 us is = E en dat kan niet wanneer en E niet samenvallen ewijs gaat net zo d Punt ligt op de irkel riehoek P heeft een omgeshreven irkel, P is omtrekshoek op koorde Omdat P= Q is dus Q ook omtrekshoek op koorde, dus punt Q ligt op de omgeshreven irkel van driehoek P, oftewel vierhoek PQ is een koordenvierhoek 0a Omdat = 90, ligt vanwege Thales het punt op de irkel met middellijn Hetzelfde geldt voor punt E, dus liggen de punten,, en E op één irkel e overstaande hoeken F en zijn samen 90 + 90 = 80 FHE, EH, F, FE a Omdat P = 90, ligt vanwege Thales het punt P op de irkel met middellijn S Van deze irkel is dus punt T het middelpunt Er geldt dus: TP = TS TPS = TSP Net zo ligt Q op de irkel met middellijn S, en dus punt U als middelpunt Hieruit volgt: USQ= UQS = Omdat (overstaande hoeken) USQ= TSP, geldt: USQ= UQS = TSP = TPS = Hieruit volgt: PTS = 80 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
a a Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen e driehoeken TPS en USQ zijn gelijkvormig (HH) en dus zijn de driehoeken TUS en QPS ook gelijkvormig (hoek gelijk en evenredigheid zijden) Stel STU =, dan geldt: TUS = 80 ( 80 ) = Vanwege de gelijkvormigheid geldt dit ook voor SQP us T + Q= 80 + + + = 80 erhalve is vierhoek TUQP een koordenvierhoek E F 90 Stel: = en = Hieruit volgt: E = = (eide omtrekshoek op koorde F ) en er geldt = 90 us + E = 90 + 90 + = 80, dus is vierhoek FE een koordenvierhoek 6 irkelogen ladzijde 6 X N P P Stel XP =, hieruit volgt dat XP = en PX = 80 us geldt: P = 80 ( 80 ) = = XP P is een onstante hoek (omtrekshoek op ), omdat XP de helft van deze hoek is, is dus ook XP een onstante hoek en doorloopt punt X een deel van de irkel die ook door en gaat Het ewijs verloopt identiek aan dat van vraag a d Het middelpunt N is het snijpunt van de middelloodlijnen van en X oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
a 5a 6a 7a eel van de irkel met middellijn (Thales) Idem Zelfde middellijn (Thales) Q T S P - Er geldt S koorde door P, dus (Thales) ligt S op irkel met middellijn P d Er geldt ook hier T, dus (Thales) ligt T op irkel met middellijn Q ladzijde 65 Er geldt, dus (Thales) ligt op irkel met middellijn ezelfde irkel om dezelfde reden eide zijn gelijk aan 90 Omdat koorde een onstante lengte heeft, is een onstante (omtreks) hoek, dus zijn de hoeken S en T ook onstant, op te vatten als omtrekshoeken op en doorlopen S en T dus een irkel en Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 5
d 6 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen S T = = is onstant (omtrekshoek op ) = = is onstant (omtrekshoek op ) S = 80 is ook onstant, en dus ook S dus S doorloopt irkel T= 80 T = 80 ( 80 ) = is dus ook onstant, dus T doorloopt irkel 65 ewijzen ladzijde 66 8a - - P en Q d P = Q want dit zijn de asishoeken in de gelijkenige driehoek ( = ) e P Q want: =, P = Q, P = Q (ZHZ) Hieruit volgt dat P = Q en dus RP = SQ (eide straal minus een gelijk lijnstuk P) 9a Gegeven: een driehoek met zijn omgeshreven irkel, S is middelloodlijn van en S is issetrie van hoek Te ewijzen: S op omgeshreven irkel S issetrie: punten hierop heen gelijke afstanden tot de enen van de hoek iddelloodlijn: punten hierop heen gelijke afstanden tot de eindpunten van het lijnstuk oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
d e ogen (en koorden) T en T zijn gelijk dus de ijehorende hoeken en zijn gelijk, dus T op de issetrie van hoek oog T = oog T, dus de ijehorende koorden T en T zijn ook even groot dus ligt T op de middelloodlijn van us vallen S en T samen ladzijde 67 0a - F en F F en F d FI= FI e stel = =, hieruit volgt dat F= F = stel = = I= 80 FI = 80 ( 80 ) = + aar ook geldt FI = +, dus geldt FI = F a - Te ewijzen: = I = Er geldt al =, I = is in opgave 0 ewezen, dus = I = d Ook nu geldt = I want op gelijke wijze als hiervoor is = I = + (zie figuur) e Het zelfde geldt: = I = I + oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel I Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen 7
a - = 8 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen 66 Gemengde opdrahten ladzijde 68 g en = g P= 80 P = 80 ( 80 ) = + = g + g d - e = g en = g f P = 80 P= 80 ( 80 ) = it is gelijk aan g g a - rehthoekig (Thales) overstaande zijden even lang en evenwijdig, diagonalen delen elkaar doormidden de evenwijdigheid d Q en R dus H // R P en R dus P // R dus HR is een parallellogram ladzijde 69 a Het punt K is middelpunt van de omgeshreven irkel van S (Thales) hieruit volgt KS = K en dus KS = KS en deze laatste hoek is gelijk aan SL Stel KS = KS = en omdat KS = K : KS= KS = ; Er geldt dus: + = 90 Ook SL = (omtrekshoek op ) us LS = 80 = 90 en derhalve KL 5a vierhoek EH is koordenvierhoek want E+ = 90 + 90 = 80 Het staat al ij a net zo oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
I-a I-a IT irkelogen ladzijde 70 E is onstant; dus E = 80 is ook onstant, stel gelijk aan α Omdat = E is E = 80 α = 90 α, dus ook onstant, dus doorloopt E een irkel ( E is een omtrekshoek) E Een irkel met middellijn ( Eis rehthoekig, Thales) F E Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 9
I-a 0 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen d - e Ook is rehthoekig I-a ladzijde 7 E F F is rehthoekig in F, dus F doorloopt irkel met middellijn E H G H staat altijd loodreht op de lijn door G, dus H doorloopt deel irkel met middellijn G (Thales) F E e driehoeken F en E zijn rehthoekig in respetievelijk F en E, dus eshrijven deze punten irkels met middellijnen en (Thales) I-5a eide 90 Omdat koorde een onstante lengte heeft, is een onstante (omtreks) hoek, dus zijn de hoeken S en T ook onstant, op te vatten als omtrekshoeken op en doorlopen S en T dus een irkel en d = = is onstant (omtrekshoek op ) = = is onstant (omtrekshoek op ) oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
S = 80 is ook onstant, en dus ook S dus S doorloopt irkel T= 80 T = 80 ( 80 ) = is dus ook onstant, dus T doorloopt irkel Test jezelf ladzijde 7 T-a = 80 70 = 55 oog = 55 = 0 = = = 55, dus = 80 55= 70 Hieruit volgt oog = 70 en oog E = 70 ; dus oog E = 80 70 = 0 d α< 90 70 e = = 80 α = 90 α = E = 80 ( 90 α) = 90 + E α (koordenvierhoek) T- Stel = en = = (omtrekshoek op E) E = (omtrekshoek op ) Q= 80 QP = + Net zo is EP= 80 QP = + us in driehoek PQ zijn de hoeken ij P en Q gelijk, dus geldt P = Q T-a PQ, PQ P+ Q = 80 (koordenvierhoek) P+ = 80 (koordenvierhoek) us = Q // (F-hoeken) T-a Omtrekshoek op Ook omtrekshoek op, maar nu in de andere irkel PQ= 80 TQ = 80 ( 80 T QT) = T+ QT ; dit is de som van twee onstante hoeken, dus is PQ ook onstant d Ook onstant Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen ladzijde 75 T-5a RQ is koordenvierhoek PQR d R= 80 Q P= 80 ( 80 Q) = Q Raaklijneigenshap: (, tp) = omtrekshoek op P = P= PQR dus t // QR (Z-hoeken) T-6 P= P = P = P = (omtrekshoeken op P, P) P= P = is koordenvierhoek, dus = 80 Ook is = +, dus de hoek tussen en het verlengde van is 80 Hieruit volgt // (Z-hoeken) T-7 is gelijkzijdig, dus = 60 = 0 (omtrekshoek is de helft van middelpuntshoek) T-8 = = α (omtrekshoek op ) R = 90 (Thales) sinα = = a Rsin α = a R us R = a sin α T-9a = 80 en dit is gelijk aan 80 PQ= 80 ( 80 QP PQ) = QP + PQ PS = P = ( 80 ) = 90 ( + ) QS = Q = ( 80 ) = 90 ( + ) d Stellen we = α en = β, dan is = 80 β (koordenvierhoek) PSQ= 80 QS SP ( PQ + QP) dit is gelijk aan: 80 ( 90 α β) ( β α) α (zie a, en ) us PSQ = 80 90 + α+ β β+ α α = 90 us PS QS oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok - Vaardigheden ladzijde 78 a Elke uur wordt een hoeveelheid vermenigvuldigd met,09 Na uur is er, 09 Na dag = = uur is er ( 09, ), 09 = 09, e groeifator per dag is 09,, 9 e groeifator per dag wordt 7 keer toegepast innen een week at is 7 g = (, 09 ) =, 09, e groeifator per 8 uur wordt keer toegepast innen uur at is g = 09, g =, 09 06, d e groeifator per uur wordt keer toegepast innen uur at is g = 09, g =, 09 0, a t t t Ja, want t t t t+ t t t t = ( ) = = = = ( ) = 8 t t+ t t t Nee, want = = en niet t t + t t t t t Ja, want t + t t + + + = = = = d Ja, want 8 = ( ) t = = t t tt t t t+ t e Nee, want ( ) = = en niet ( = ) f Ja, want t t = t t =( ) t a = t ( ) = t = t = t = t+ = 9 t+ = = t+ = t = ( ) t = 9 t+ t t+ ( ) = ( ) t () ( t t ) = ( ) ( ) t t t t+ t t+ = = t t+ = t = t+ t = t = ladzijde 79 a 6 = = = = 8 6 5a t d 8 = ( ) t t t ( ) t = ( ) ( ) ( = = ) t t t + t = = t = + t 6t = + t 5t = t = t e 0 = 000 = 0 t = t = = t 8 f 5 0 008 =, = = = = 5 000 5 5 t = t = t = = = = = = 6 = = = 6 d 6 = = t t t t f() t = = = = ( ) = ( t t ) = ( ) Uit een vergelijking met het formuleshema f()= t g t volgt dat de eginhoeveel- heid = en de groeifator g = = 05, is t t gt () = ( ) = ( ) ( ) = ( ) t 5 5 5 5 5 ( ) ( ) ( t ) ( t ) 6 t t t ( ) = 6 ( ) = 6 ( ) 8 e eginhoeveelheid = 6 en de groeifator g = = 0, 5 8 t+ t t ht ()= 5 = 5 = 5 e eginhoeveelheid = 5 en de groeifator g = ( ) = ( ) = = oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 5
lok - Vaardigheden ( t ) t t d kt () = 6 + = 6 = 6 = 6 = 6 t t ( ) = ( ) t e eginhoeveelheid = en de groeifator g = = 05, 6a Voor het snijpunt met de y-as geldt t = 0 Invullen in de funtie geeft f ( 0) = 5 = 5 e oördinaten zijn dus (0, 5) t t t f() t = = = ( ) = 5 5 5 5 5 5 5 Uit een vergelijking met het formuleshema f()= t g t volgt dat de eginhoeveelheid = 5 en de groeifator g = 5 f t ()= 5 5 t = 5 t 5 = = 5 5 t = t = t = 8 7a Voor het snijpunt geldt f() t = gt () Oplossen geeft 9 t t = 9 t = t = t ( ) + t + = t t = + t t = t = = e y-waarde hierij is 9 = = = = = 9 Het snijpunt is (, 9) t t t ht () = f() t gt () = 9 9 = ( ) t t = t + = t + t + = t = t t = 9 Hierij hoort de eginhoeveelheid = 9 en de groeifator g = 0 8a Voor t = 0 is de y-waarde f ( 0) = 5, = = e funtie f moet dus naar eneden geshoven worden Funtie g wordt dus t t gt () = f() t f ( 0) = 5, = 5 (, ) Voor een vershuiving van twee eenheden naar links wordt t vervangen door t + t t t Funtie h wordt dan ht () =, + 5 = 5, 5, = 7 5, 0 h( 0) = 75, = 7 = 7 Voor een spiegeling in de y-as wordt t vervangen door t Funtie j wordt dan t t t jt () =, = (, ) = (( ) 5 5 ) = ( ladzijde 80 9a 8 600 000 =,86 0 000 000 =,86 0 7 t )t 000 000 000 =, 0 000 000 000 =, 0 0 50 =,50 000 =,50 0 d 0,0 =, : 00 =, 0 e 0,000 000 9 = 9, : 0 000 000 = 9, 0 7 f 0,000 000 000 056 = 5,6 : 00 000 000 000 = 5,6 0 oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
0a 00 ligt oven 8 = 9 9 = = en is kleiner dan 8= 5 ij log 00 is de uitkomst de maht waartoe verheven moet worden om 00 te geven 00 ligt tussen 8 en 8, dus log 00 ligt tussen en 5 75 ligt tussen 8 = 7 en 8 = 56 = 8, dus log 75 ligt tussen 7 en 8 ligt tussen = 0 en =, dus log ligt tussen 0 en d 0, = ligt tussen = ( ) en = ( ), dus log 0, ligt tussen en 0 8 6 Het grondtal g is het grondtal dat geldig is ij eponentiële funties at zijn alle positieve getallen ehalve 0 en, dus 0< g < Uit p= g q volgt g log p= q e eponentiële funtie p= g q is altijd positief, dus p > 0 e logaritme van een negatief getal of 0 erekenen kan dus niet In het theorievlak zijn a en de getallen waarvan je de logaritme erekent Er moet dus gelden a > 0 en > 0 5 a log+ log = log + log = log( ) = log = log log6 + log log8 = log6 + log log 8 = 7 7 7 7 7 7 log 6 9 = log 6 = log 8 9 7 7 7 log+ log log6 = log + log log 6 = log 8 + log6 log 6 = log 86 = log 6 d log+ log 5 log5 = log + log5 log 5 = log8 + log5 log 5 = log 8 5 = 5 log 00 a log+ log = log = = = = = log( + ) = log( + ) = = log( + ) = + = = 6+ = 6 = = = ladzijde 8 6 d log log( + ) = a Het domein van log is 0,, dus voor f moet > 0 zijn at geeft voor f het domein > Voor g moet > 0 zijn, dus het domein van g is > Voor het snijpunt geldt f( ) = g ( ) Oplossen geeft log( ) = log( ) + log( ) log( ) = log = = = log + = + = = + = = + = log( + ) + log( ) = log( + )( ) = log( 6 ) = 6 = = 8 = 8 = 8 = of = 8 = lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 5
6 lok - Vaardigheden = ( ) = = Hierij hoort y-waarde f ( ) = log( ) = log = e oördinaten van het snijpunt zijn dus (, ) 5a = 80 e = = + log 80 + = = 5 = 5 = 5 5 5 = = log = log = 7 = log 7 + + = 5 f ( 6 8) + + = = = + = log 6 8 = = of 6 8 = = = + log = log + log = log 6 = 0 of 6 = 6 d + + = 8 + = 8 ( + ) = 8 8 = 8 = = = log 6 = log0 of = 6a Voor f geldt als eis > 0 ( ) = 0 voor = 0 of = e grafiek van is een dalparaool, dus tussen = 0 en = is de waarde negatief en niet toegestaan aarmee wordt het domein van f de intervallen,0 en, Voor g geldt als eis 6 > 0 6 = 0 = 6 e ongelijkheid geldt voor < 6 dus het domein van g is,6 Los op: f( ) = log( ) = 0 log( ) = log = = 0 met de a-formule volgt = + ( ) = + 8 = + = + of = Los op: f( ) = g ( ) log( ) = log( 6 ) = 6 6 = 0 ( )( + ) = 0 = of = e y-waarden zijn g( ) = log( 6 ) = log en g( ) = log( 6+ ) = log 8 = log = log = = e eate oördinaten zijn (, log ) en (, ) d et ehulp van de eate snijpunten en het domein uit opdraht a lees je de oplossing van f( ) < g ( ) in de grafiek af e oplossing is, 0 en, 7a y= log y log = = y = y y= + log( ) y = log( ) y = = + = + = + y y y oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
8a y = log 5 = y 5 y = 5 y = + 5 log = log log = log( ) log = log + log log = log + log = log+ log = + log = + log 5 log log l log log log5 log = og 5 log log = = log log log log 5 log 9 9 9 9 9 ( log )( + log ) = log log = log 9 9 log 9 9 9 9 = log log 9 = 9 9 log9 log 9 = = = 9a Voor f geldt als eis > 0 > 0 > > Het domein van f is dus, f( ) = log = ( log( ) log) = log( ) log( ) log( ) d e ( ) = + = f( ) = log = log = log log = log log = log = log log 7 = Los op: f( ) = log = 0 log = log = log = = 7 = 8 = et ehulp van het nulpunt en het domein uit opdraht a lees je de oplossing van f( )> 0 in de grafiek af e oplossing is, lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 7
I-a I-a 8 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera ladzijde 8 H Het spoor van lijkt een irkel te zijn e irkel is de meetkundige plaats van een onstante hoek Het ewijs komt voor ij de stelling van Thales Gegeven: een rehthoekige driehoek met = 90 Te ewijzen: ligt op de irkel met middellijn ewijs: onstrueer het midden van Trek lijn m door en en onstrueer punt op m met = Punt is puntsymmetrish met ten opzihte van = 90 en zijn lihaamsdiagonalen van rehthoek = = = er is een irkel met middelpunt en straal die door, en gaat Geruik de knop Veelhoek voor het tekenen van Geruik de knop irkel door drie punten om de irkel door,, en te tekenen Geruik de pijl (de knop Verplaatsen) om, en/of naar een andere plaats te slepen en te zien hoe de driehoek en de irkel veranderen Kies de knop idden of middelpunt en klik de irkel om het middelpunt van de irkel te tekenen Verplaats weer,, en/of en kijk hoe het middelpunt meeverplaatst ij een sherpe driehoek zijn alle hoeken kleiner dan 90 en ligt altijd innen de driehoek ij een rehthoekige driehoek is een hoek 90 en ligt altijd op een driehoekszijde ij een stompe driehoek is een hoek groter dan 90 en ligt altijd uiten de driehoek oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel m
I-a a I-a F P O E lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera Geruik de knop idden of middelpunt om in het midden van te tekenen e meetkundige plaats van punten is het lijnstuk EF evenwijdig aan dat het midden van O en het midden van O verindt OP = OP = 90 OP is een rehthoek P naar OE = O en OP zijn diagonalen van rehthoek OP = P naar OF = O P naar OP ~ OEF EF // P op OP ~ OE op EF y 7 6 5 E 70 O 5 6 7 8 9 Het middelpunt van de ingeshreven irkel ligt op de het snijpunt van de deellijnen (issetries) Teken de issetrie door met de knop issetries Seleteer de lijn en de halve lijn GeoGera tekent twee issetries Verwijder de issetrie die niet door de driehoek gaat e straal van de irkel is dus de afstand van het middelpunt E tot is Trek een parallelle lijn oven op afstand Het snijpunt van de parallelle lijn met de issetrie is het middelpunt E van de irkel onstrueer voor de parallelle lijn eerst een loodlijn op en pas hier een lijnstuk op af van (zet de optie Vastzetten op Rooster aan egin het lijnstuk op het snijpunt van de loodlijn met raai het eindpunt naar oven tot het samenvalt met de loodlijn) Trek de parallelle lijn met de knop Evenwijdige rehte door dit eindpunt Geruik de knop Snijpunt(en) van ojeten en klik op het snijpunt van de parallelle lijn en de issetrie Teken tenslotte de irkel met de knop irkel met middelpunt en straal oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 9
0 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera anier : et de knop Raaklijnen wordt de zijde als raaklijn van de ingeshreven irkel getekend die door punt gaat anier : Trek issetrie E en verduel hoek E door middel van een loodlijn en een spiegeling van P naar P' in de issetrie via de knop Lijnspiegeling Hoek is PP' Opmerking: Ga na, door te vershuiven, dat het ene snijpunt van de issetrie van met de irkel niet samenvalt met het raakpunt van de raaklijn die door gaat en slehts op het oog zo lijkt ij de gegeven afmetingen in de opgave y 7 6 5 O ladzijde 8 E 70 5 6 7 8 9 P I-5a oor de onstrutie met de irkel zorg je ervoor dat PQ = 8 Zet het Rooster aan en trek horizontale lijn a door twee punten Teken daarna een loodlijn op a Geruik het hulppunt om de loodlijn te trekken niet als middelpunt van de irkel anders vershuift de loodlijn tijdens het verplaatsen van Q Geruik de knop Snijpunt(en) met ojeten om snijpunt P te reëren Trek met de knop Lijnstuk tussen punten een lijnstuk tussen P en Q reëer het punt met de knop idden of middelpunt en klik de lijn PQ d a Q O P e irkel heeft het snijpunt O van a en als middelpunt ls Q naar O gaat valt OP samen met QP e straal is Q = PQ = Trek lijn O is het midden van PQ de loodlijn op OQ door deelt OQ middendoor OQ is gelijkenig O = OQ O = PQ = onstant = straal van irkel met O als middelpunt ligt op de irkel met O als middelpunt en straal PQ ao verdeelt de irkel in vieren e ladder (= het lijnstuk PQ) ligt in het e kwadrant hiervan op PQ ligt altijd in het e kwadrant doorloopt een kwartirkel oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
I-6a d I-7a P H G Q F E lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera e figuur laat zien dat punt H het lijnstuk PQ als aan doorloopt ls naar gaat dan gaan G en FE naar de hoogtelijn door en H naar het midden P van de hoogtelijn ls naar gaat dan gaat E naar en H naar het midden Q van In is de zwaartelijn uit de lijn Q E en heen gemeen het midden van E doorloopt de zwaartelijn Q e zwaartelijn is een rehte Het snijpunt H van EG en F is het midden van rehthoek GFE H heeft dezelfde horizontale plaats als en de halve afstand tot de lijn H ligt op de rehte met eindpunten P en Q a is F S S G is S S Een punt dat even ver van lijn a als lijn ligt evindt zih op de issetrie tussen eide lijnen onstrueer met de knop issetries en aanklikken van lijn a en de innen- en uitenissetries is en is Een punt dat op een afstand van lijn ligt evindt zih op een parallelle lijn hieraan aan die raakt aan de irkel met straal en middelpunt op heeft onstrueer met de knop irkel met middelpunt en straal een irkel op met straal onstrueer met de knop Loodlijn een loodlijn door het middelpunt van de irkel en door het het middelpunt en aan te klikken onstrueer de snijpunten van de loodlijn met de irkel door middel van de knop Snijpunt(en) van ojeten onstrueer twee parallelle lijnen aan met de knop Evenwijdige rehte en aanklikken van en een snijpunt onstrueer met de knop Snijpunt(en) van ojeten de vier snijpunten S, S, S en S tussen de twee issetries en de twee parallelle lijnen Er zijn dus vier punten die even ver van lijn a als lijn liggen en die op een afstand van lijn liggen oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera In het algemene geval zijn er vier snijpunten Zie de figuur ij opdraht In het geval dat de parallelle lijnen parallel zijn aan een issetrie zijn er slehts twee snijpunten: a is is S F S G F a is In het geval G een afstand van tot heeft (een van de parallelle lijnen gaat door G) vallen twee snijpunten samen en zijn er drie snijpunten: a is S S F G S S is a is is G S S S oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel is G S S S F
a lok Praktishe opdraht - Gewogen entra ladzijde 87 m h g f e d R P s r q p k fstand = en h is de 6e irkel rond, dus de afstand tussen de irkels is ls Op lijn m ligt punt P op het snijpunt van irkel f met straal en irkel p met straal m h g f e d P R s r q p k Verleng m en reid de irkels rond uit met een irkel die door gaat Voor het snijpunt Q met m geldt P = P d Punt R voldoet aan de formule R = R want R = en R = a m h g f ed P s r R q p k Q Q reid het aantal irkels uit en zoek de snijpunten waar de stralen een verhouding : heen Je vindt 8 snijpunten, inlusief P en Q die op lijn m liggen e geshetste lijn lijkt op de grijze irkel met middellijn PQ te liggen Een enadering van de ligging kun je op het oog aangeven: P ligt tussen ls P = P dan P = ( P ), dus een halve lengte P moet keer passen in P Q ligt voorij ls Q = Q dan Q = ( Q ), dus een halve lengte Q moet keer passen in Q oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok Praktishe opdraht - Gewogen entra Kies P = en P = om aan P = P te voldoen an volgt = + = 5, maar lengte moet zijn volgens opdraht a, dus vergroot P en P met 5 at geeft P = = =, en P =, =,6 5 5 Kies Q = en Q = om aan Q = Q te voldoen Q = Q + = Q Q = =, maar lengte moet zijn volgens opdraht a, dus vergroot Q en Q met at geeft Q = en Q = 8 Voor een punt R op de grens geldt R = R R = R Teken irkels rond met stralen,, 6 en 8 en irkels rond met stralen die keer groter zijn, dus, 6, 9, en Teken de snijpunten op de irkels die voldoen aan R = R en shets de verinding tussen de snijpunten In de tekening is de grenslijn de vette irkel d e y 9 6 9 6 O 6 9 R R P 6 9 R 5 R 6 ls entrum gewiht a heeft en entrum gewiht dan geldt voor de grenslijn per definitie P = a P P = P a Op lijn geldt = P + P = P + P P = P Invullen geeft P P = = = P P P P a a a P = + P a a = a + a = + a = a + P = a a+ e hoeken zijn R P en R P zijn gelijk Hetzelfde geldt voor de hoeken ij R en R y 6 0 6 R R y 6 R 0,69 0,69 R R 5, 5, 0 P 6 8 0 Q P 6 8 0 Q oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 6 R y 6 0 6 R 0, R 0, R P 6 8 0 Q
lok Praktishe opdraht - Gewogen entra ewijs van de issetriestelling: Gegeven: P : P = R : R = a : Te ewijzen: RP is issetrie van R ewijs: neem aan dat de stelling waar is, dan moet ewezen worden dat RP = PR PR // E PR = RE (Z-hoeken) () RP E RP = E () Uit (), () en het eweerde volgt RE = E RE heeft twee gelijke hoeken RE is gelijkenig te ewijzen R = RE Noem P = a, P =, R = k a en R = k waarin k een vergrotingsfator is in overeenstemming met het gegeven, dan a RP E RE P = = RE = R = k a = k RE = R, R P a a a dus de ewering is waar ladzijde 88 a E R P k ka Q Gegeven: Q : Q = R : R = a : Te ewijzen: RQ is issetrie van QR ewijs: neem aan dat de stelling waar is, dan moet ewezen worden dat RQ = RQ E // RQ RQ = ER (Z-hoeken) en RQ = RE (F-hoeken), ER = RQ ER is gelijkenig te ewijzen RE = R E RQ E = R a Q = k a = k E = = ( ka k ) = a k k RE = R E = a (a ) = RE = R klopt, dus de ewering is waar PRQ is 90 ewijs: ERP = RP = α, RQ = RQ = β PRQ = α+ β R = 80 = α+ β= ( α+ β) α+ β= 90 PRQ = 90 e hoek PRQ is onstant 90 in PRQ, dus volgens de stelling van Thales ligt R op de irkel met middellijn PQ oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 5
5a 6 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra K Q geied van P P P X Y Q Q Q geied van P =, dan P = P : P = : gewiht : = : 7 7 entrum is het midden vanq, dus Q : Q = : gewiht : = : Zie de irkel met middellijn Q en als middelpunt Kies =, dan volgt uit : = : dat = Uit : = : volgt = : = Werk de in de verhouding weg door met te vermenigvuldigen: : : = : : d X: ligt in irkel k voor : wint het van, ligt in irkel r voor : wint het van, ligt in irkel q voor : wint het van, maar wint het weer van Uiteindelijk wint steeds, dus de gasten uit geied X gaan naar Y: ligt uiten irkel k voor : wint van, ligt in irkel r voor : wint van, maar wint het weer van, ligt in irkel q voor : wint van Uiteindelijk wint steeds, dus de gasten uit geied Y gaan naar 6a 7a ladzijde 89 Verleng de lijn in de rihting van Het snijpunt met de irkelrand tot entrum is iets groter dan de afstand, dus als gewiht zou krijgen (zie het antwoord op vraag 5) gaat de irkel rond door het snijpunt met de rand en steekt de irkel iets uiten het geied van entrum Rehte grenslijnen zijn te zien ij en een aantal aangrenzende entra e gewihten zijn dan gelijk: de afstand tot ieder entrum is gelijk, dus de grenslijn is de middelloodlijn op de verindingsas Ja, maar er kunnen ook meer entra zijn uiten de tekening entrum heeft met 7 het grootste gewiht van alle entra dus heeft ten opzihte van deze entra geen grensirkel oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel
lok Praktishe opdraht - Gewogen entra ij drie entra met gelijk gewiht ( : : ) zijn de grenslijnen de middelloodlijnen op het lijnstuk tussen de entra ij entra op één lijn heen de middelloodlijnen geen snijpunt met elkaar ij entra die de hoekpunten van een driehoek vormen snijden de middelloodlijnen elkaar in een punt dat het entrum is van de omgeshreven driehoek e dikke lijn is de grenslijn tussen en, de dunne lijn tussen en en de gestreepte lijn tussen en y 5 O 5 e gewihten van de entra, en verhouden zih als : : e dikke lijn is de grenslijn tussen en, de onderste irkel tussen en en de ovenste irkel tussen en e gewihten van de entra, en verhouden zih als : 0 : 50 e linker irkel is de grenslijn tussen en en de rehter irkel tussen en Hoe groter de gewihtsverhouding is hoe kleiner de irkel is rond het entrum met het kleinste gewiht 8 oderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo deel 7