Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde

2

Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1 Plaatsvectoren in Π O 1.1.1 Plaatsvector van een punt In de figuur 1.1 kiezen we een vast punt O dat we de oorsprong van het vlak Π noemen. We duiden op de figuur tevens een punt P aan. Het punt P correspondeert met de vector OP, die we de plaatsvector van het punt P Π O noemen. Op die manier correspondeert met elk punt P Π O een plaatsvector OP en omgekeerd, wijst elke vector OP naar een punt P van ΠO. Bijzondere plaatsvector: De oorsprong O correspondeert met de zogenaamde nulvector o van Π O. Figuur 1.1: De plaatsvector 3 OP van het punt P

4 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Tabel 1.1: de vector 1.1.2 Coördinaat van een plaatsvector OP met coördinaat (3, 5) We kiezen door O twee verschillende georiënteerde (geijkte) rechten, die we de x-as en de y-as noemen (assenstelsel of coördinatenstelsel). Hierbij hoeven x-as en y-as niet loodrecht op elkaar gekozen te worden. We beschouwen in tabel 1.8 bijvoorbeeld het punt P met coördinaat (3, 5). Het koppel (3, 5) noemen we de coördinaat van de plaatsvector OP en we schrijven OP (3, 5). De coördinaat van de nulvector o is (0, 0). 1.1.3 De som van plaatsvectoren 1.1.3.1 Definities We definiëren de plaatsvector we schrijven OC als de som van de twee plaatsvectoren OA + OB = OC We onderscheiden twee gevallen voor ligging van de punten O, A, B en C: OA en OB en Als de punten O, A, B niet op eennzelfde rechte liggen dan is de figuur OACB een parallellogram waarvan [OC] een diagonaal is (teken in figuur 1.2).

1.1. PLAATSVECTOREN IN Π O 5 Figuur 1.2: Som van twee plaatsvectoren Als de punten O, A en B op eenzelfde rechte liggen dan ligt C ook op deze rechte (teken in figuur 1.3). Figuur 1.3: Som van twee plaatsvectoren Een plaatsvector OP is de tegengestelde plaatsvector van OP de nulvector oplevert (teken in figuur 1.4). OP als hij opgeteld bij Figuur 1.4: Tegengestelde plaatsvector We schrijven: OP + OP = o OP = OP

6 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Tabel 1.2: som van twee plaatsvectoren en de tegengestelde vector met coördinaten 1.1.3.2 Met coördinaten We kiezen een assenstelsel in tabel 1.2 en we beschouwen de plaatsvectoren van twee punten A( 1, 2) en B(3, 4). OA + OB = OC We maken de som van de twee plaatsvectoren en kijken wat de coördinaat is van OC. De coördinaatgetallen van C zijn precies de som van de overeenkomstige coördinaatgetallen van A en B. We kunnen dus schrijven ( 1, 2) + (3, 4) = ( 1 + 3, 2 + 4) = (2, 6) Algemeen geldt als definitie van de som van koppels: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

1.1. PLAATSVECTOREN IN Π O 7 De tegengestelde vector van OA( 1, 2) is de vector OA (1, 2) want (in tabel 1.2) ( 1, 2) + (1, 2) = (0, 0). Algemeen geldt voor de definitie van het tegengesteld koppel van een koppel (x 1, y 1 ): (x 1, y 1 ) = ( x 1, y 1 ) 1.1.4 Het verschil van twee plaatsvectoren 1.1.4.1 Definitie Het verschil van twee plaatsvectoren is de som van de eerste plaatsvector en de tegengestelde plaatsvector van de tweede plaatsvector. Met symbolen: OB OA = OB + ( OA) 1.1.4.2 Met coördinaten Voorbeeld: Bepaal de coördinaat van OB OA met B(1, 2) en A(2, 1) (in tabel 1.3). OB OA = (1, 2) + ( (2, 1)) = (1, 2) + ( 2, 1) = (1 2, 2 + 1) = ( 1, 3). Tabel 1.3: verschil van twee plaatsvectoren

8 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES OPGAVEN 1 Werk uit en stel voor in tabel 1.4 1. ( 2, 3) + ( 1, 1) = 2. (4, 4) ( 3, +4) = 3. (2, 5) + ( 1, 6) = 4. ( 2, 3) + (2, 3) = 5. ( 2, 3) = Tabel 1.4: opgave 1 DELTA 3B (oud) p.168 nr.51 DELTA 3B (nieuw) p.178 nr.51 1.1.5 Ontbinding van een plaatsvector in componenten We beschouwen het punt P met coördinaat (3, 5) in tabel 1.5. We trekken door P een rechte y evenwijdig met de y-as en een rechte x evenwijdig met de x-as. Het snijpunt

1.1. PLAATSVECTOREN IN Π O 9 Tabel 1.5: ontbinding van een vector in componenten van y met x noemen we P van x met y noemen we P. De absissen van P en P op x-as en y-as zijn resp. 3 en 5. De plaatsvector OP kan op die manier ontbonden worden in zijn zogenaamde componenten langs x-as en y-as nl. OP resp. OP. OP = OP + Voor de coördinaat van deze plaatsvector geldt: OP (3, 5) = (3, 0) + (0, 5) 1.1.6 Veelvoud van een plaatsvector 1.1.6.1 Het begrip We tekenen enkele positieve reële veelvouden van een plaatsvector (in figuur 1.5). Om een negatief veelvoud te tekenen van een vector, tekenen we eerst de tegengestelde vector en dan nemen we het positief veelvoud van deze tegengestelde vector (in figuur 1.6).

10 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Figuur 1.5: positief veelvoud van een plaatsvector Figuur 1.6: negatief veelvoud van een plaatsvector 1.1.6.2 Met coördinaten We kiezen een assenstelsel in tabel 1.6 en we beschouwen de plaatsvector 3 OA. De coördinaat van 3 OA is gelijk aan (6, 3) (bekijk dit in tabel 1.6). 2 3 (2, 1 2 ) = (3 2, 3 ( 1 2 )) = (6, 3 2 ) OA(2, 1 2 ) en Teken nu ook 2 OA in de tabel 1.6. We zien dat de coördinaat gelijk is aan ( 4, 1). 2 (2, 1 2 ) = (( 2) 2, ( 2) ( 1 )) = ( 4, 1) 2 Algemeen geldt voor de definitie van veelvoud van een koppel: r (x 1, y 1 ) = (rx 1, ry 1 ) met r R DELTA 3B (oud) p.168 nr.52 DELTA 3B (nieuw) p.178 nr.52

1.1. PLAATSVECTOREN IN Π O 11 Tabel 1.6: coördinaat van een veelvoud van een plaatsvector 1.1.7 De plaatsvector van het midden van een lijnstuk Voorbeeld: We beschouwen de punten A(1, 3) en B(9, 4). Bepaal het midden M van het lijnstuk [AB] in tabel 1.7. Beschouwen we het parallellogram OACB dan is OC = OA + OB. De diagonalen zijn de lijnstukken [AB] en [OC] die elkaar middendoor delen in het punt M. Er geldt OC = 2 OM OM = 1 2 OC OM = 1 2 ( OA + OB) Hieruit volgt dat de coördinaat van M gelijk is aan (x M, y M ) = 1 2 ((1, 3) + (9, 4)) = 1 2 (10, 7) = (5, 7 2 ), hetgeen we reeds uit de figuur konden afleiden. Besluit: De coördinaat van het midden van een lijnstuk [AB] is de helft van de som de coördinaten van A en B. Met symbolen: De coördinaat van het midden M van het lijnstuk [AB] met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) is gelijk aan (x M, y M ) = ( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2

12 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Tabel 1.7: plaatsvector van het midden van het lijnstuk [AB] OPGAVEN 2 Bepaal de middens van de zijden van de driehoek ABC met A(2, 2), B(10, 0) en C(6, 4). (Maak de tekening in tabel 1.8). Tabel 1.8: zwaartepunt van ABC van opgave 2 DELTA 3B (oud) p.84 nrs.6-7-8-9-10; p.104 nr.57 DELTA 3B (nieuw) p.94 nrs.6-7-8-9-10 p.114 nr.57

1.2. VERSCHUIVINGEN 13 1.2 Verschuivingen 1.2.1 Definitie Het punt A is het beeld van het punt A onder de verschuiving of translatie t met vector v = OC als en slechts als Notatie: t v (A) = t OC (A) = A OA = OA + v = OA + OC Omdat de plaatsvector van A gelijk is aan de som van de plaatsvector van A en de vector van verschuiving OC, is de figuur OAA C een parallellogram of een lijnstuk (zie figuur 1.7). Gevolg van de definitie: t OC (A) = A = AA = OC en AA OC Figuur 1.7: verschuiving met vector v = OC

14 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.2.2 Het beeld van een lijnstuk STELLING 1.1 Het beeld van een lijnstuk onder een verschuiving is een evenwijdig lijnstuk met dezelfde lengte. Gegeven: A = t OC (A) en B = t OC (B). Te bewijzen: AB A B en AB = A B. Bewijs: A = t OC (A) = AA OC en AA = OC B = t OC (B) = BB OC en BB = OC 1. 2. AA OC BB OC AA = OC BB = OC } = AA BB of AA = BB } = AA = BB Uit 1 en 2 volgt dat de figuur ABB A een parallellogram of een lijstuk vormt waaruit volgt dat AB A B en AB = A B. Omgekeerd: hebben twee lijnstukken dezelfde lengte en zijn ze evenwijdig dan bestaat er juist één verschuiving die het ene lijnstuk afbeeldt op het andere lijnstuk. Figuur 1.8: beeld van een lijnstuk onder een verschuiving

1.2. VERSCHUIVINGEN 15 1.2.3 Beeld van een figuur Met CABRY kunnen we het beeld bepalen van een veelhoek onder een verschuiving met vector v. STELLING 1.2 Een verschuiving zet een figuur om in een congruente figuur. 1.2.4 De transformatieformules Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld verschuiving v(x 0, y 0 ) gegeven door (x, y ) = (x, y) + (x 0, y 0 ) OP onder de of { x = x + x 0 y = y + y 0 Deze formules drukken het verband uit tussen de coördinaatgetallen (x, y) van een punt P en de coördinaatgetallen (x, y ) van zijn beeld P. Ze worden de transformatieformules voor een verschuiving genoemd. Voorbeeld: Bepaal het beeld van de driehoek ABC met A( 3, 3), B(1, 4) en C(2, 1) onder de verschuiving met vector v( 2, 3). Teken in tabel 1.9. De beelden van de hoekpunten van de driehoek zijn D( 3 2, 3 3) = ( 5, 0), E(1 2, 4 3) = ( 1, 1), F (2 2, 1 3) = (0, 2).

16 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Tabel 1.9: DEF = t OC ( ABC) Bijzondere verschuivingen: 1. Verschuiving in de richting van de x-as Een verschuiving in de richting van de x-as is een verschuiving met vector (x 0, 0). De transformatieformules zijn: (x, y ) = (x, y) + (x 0, 0) of { x = x + x 0 y = y Bij een verschuiving in de richting van de x-as verandert de y-coördinaat niet. Teken in tabel 1.10 het beeld A B C van de driehoek ABC uit tabel 1.9 onder de verschuiving met vector ( 2, 0). 2. Verschuiving in de richting van de y-as Een verschuiving in de richting van de y-as is een verschuiving met vector (0, y 0 ). De transformatieformules zijn: (x, y ) = (x, y) + (0, y 0 )

1.2. VERSCHUIVINGEN 17 of { x = x y = y + y 0 Bij een verschuiving in de richting van de y-as verandert de x-coördinaat niet. Teken in tabel 1.10 het beeld A B C van de driehoek A B C onder de verschuiving met vector (0, 3). We bekomen de driehoek DEF uit de tabel 1.9. Tabel 1.10: verschuiving van ABC als opeenvolging van twee verschuivingen Opmerking: Uit de vorige voorbeeldjes kunnen we besluiten dat de verschuiving met vector ( 2, 3) de opeenvolging is van twee verschuivingen nl. de verschuiving met vector ( 2, 0) gevolgd door de verschuiving met vector (0, 3). ( 2, 3) = ( 2, 0) + (0, 3) Veralgemening: We ontbinden de vector van verschuiving v(x 0, y 0 ) in zijn componenten langs x-as en -y-as. (x 0, y 0 ) = (x 0, 0) + (0, y 0 ) De verschuiving met vector v(x 0, y 0 ) is de opeenvolging van twee verschuivingen, een verschuiving in de richting van de x-as met vector (x 0, 0) gevolgd door een verschuiving in de richting van de y-as met vector (0, y 0 ). DELTA 3B (oud) p.150 nrs.4 DELTA 3B (nieuw) p.160 nrs.4

18 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.2.5 Het begrip vector 1.2.5.1 Definitie We breiden het begrip van plaatsvector uit. Wordt het puntenkoppel (A, B) afgebeeld op het puntenkoppel (A, B ) onder een verschuiving dan bepalen ze dezelfde vector. Ofwel is de figuur ABB A een parallellogram ofwel liggen de vier punten op dezelfde rechte. We schrijven: AB = A B. Omgekeerd, als twee puntenkoppels dezelfde vector voorstellen dan is het ene puntenkoppel het beeld van het andere puntenkoppel onder een verschuiving. Figuur 1.9: vector AB = A B algemeen geval en speciaal geval Omdat het beeld onder een verschuiving van een lijnstuk een evenwijdig lijnstuk is met dezelfde lengte kunnen we schrijven: AB = A B AB A B AB = A B de puntenkoppels (A, B) en (A, B ) hebben dezelfde zin DELTA 3B (oud) p.161 nr.28-29 DELTA 3B (nieuw) p.171 nr.28-29 1.2.5.2 Een vector als verschil van twee plaatsvectoren Elk puntenkoppel (A, B) kan men verschuiven zodat het beeld van A gelijk is aan de oorsprong O. We noemen C het beeld van B onder deze verschuiving (zie figuur 1.10). De figuur OACB is dan een parallellogram ofwel vallen de punten A, B en C langs eenzelfde rechte door O. Er geldt: AB = OC (1.1)

1.2. VERSCHUIVINGEN 19 Volgens de definitie van som van plaatsvectoren geldt OB = OA + OC OB OA = OC. (1.2) Uit 1.1 en 1.2 volgt dat AB = OB OA Figuur 1.10: vector AB = OC = OB OA 1.2.5.3 De formule van Chasles-Möbius Beschouwen we de driehoek ABC (zie figuur 1.11) dan geldt: De formule AC + CB = ( OC OA) + ( OB OC) = OB OA = AB AC + CB = AB is de formule van Chasles-Möbius. We zeggen dat we in de vector C tussenvoegen. AB het punt Figuur 1.11: formule van Chasles Möbius Twee manieren om de som van twee vectoren praktisch uit te voeren 1. We verschuiven het ene puntenkoppel zodat zijn beginpunt samenvalt met het beginpunt van het ander koppel. De som wordt dan uitgevoerd zoals de som van twee plaatsvectoren (zie figuur 1.12). 2. We verschuiven het ene puntenkoppel zodat zijn beginpunt samenvalt met het eindpunt van het ander koppel. De som wordt dan uitgevoerd zoals aangegeven door de formule van Chasles Möbius (zie figuur 1.12).

20 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.2.5.4 Tegengestelde vectoren De vectoren Figuur 1.12: som van twee vectoren AB en BA zijn tegengestelde vectoren want de som is de nulvector. AB + BA = AA = o BA = AB. We zien ook in dat AB = o als A = B. Figuur 1.13: de tegengestelde vectoren AB en BA = CD = AB DELTA 3B (oud) p.162 nr.30-31; p.163 nr.33-34-35; p.171 nr. 65-68 DELTA 3B (nieuw) p.172 nr.30-31; p.173 nr.33-34-35; p.181 nr. 65-68 1.2.5.5 Veelvoud van een vector Figuur 1.14: positief veelvoud van AB Als we een positief veelvoud nemen van een vector AB dan verkrijgen we een vector die dezelfde richting en zin heeft van AB. Voorbeeld: Teken in figuur 1.14 een puntenkoppel (C, D) zodat CD = 2, 5 AB.

1.3. EVENWIJDIGE PROJECTIES OP EEN RECHTE 21 Figuur 1.15: negatief veelvoud van Als we een negatief veelvoud nemen van een vector AB dan verkrijgen we een vector die dezelfde richting maar de tegengestelde zin heeft van AB. Voorbeeld: Teken in figuur 1.15 een puntenkoppel (C, D) zodat CD = 0, 75 AB. AB DELTA 3B (oud) p.164 nr.37-38-39-40; p.172 nrs.69-70 DELTA 3B (nieuw) p.174 nr.37-38-39-40; p.182 nrs.69-70 1.3 Evenwijdige projecties op een rechte 1.3.1 Definities We beschouwen twee rechten x en d en x d. Het punt A x is de evenwijdige projectie van A op x volgens de richting van d als en slechts als AA d. De projectierichting is de richting van d (direction) en de projectierechte is de rechte x waarop we projecteren. Notatie: A = p d x(a) Figuur 1.16: De evenwijdige projectie van A op x volgens d

22 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.3.2 De projectie van een lijnstuk STELLING 1.3 De evenwijdige projectie op x volgens de richting van d van een lijnstuk [AB] is 1. een lijnstuk, als [AB] d; 2. een punt, als [AB] d. Teken in de figuur 1.17 de twee mogelijkheden voor de projectie van een lijnstuk [AB] op x volgens de richting van d. Figuur 1.17: De evenwijdige projectie van een lijnstuk DELTA 3B (oud) en DELTA 3B (nieuw) p.8 nrs.1-2; p.9 nr.3; p.10 nrs.5-6; p.24 nr.42. 1.3.3 De loodrechte projectie Het punt A is de loodrechte projectie van A op x als en slechts als A het voetpunt is van de loodlijn uit A op x. Notatie: p x (A) = A = AA x p x (A) = A = AA x p x (B) = B = BB x } = AA BB Hieruit volgt dat de loodrechte projectie een evenwijdige projectie is waarvan de projectierichtng de loodrechte richting is. Figuur 1.18: De loodrechte projectie van A en B op x

1.3. EVENWIJDIGE PROJECTIES OP EEN RECHTE 23 Opgaven: 1. Teken in figuur 1.19 de volgende projecties p b c(p ) = P, p a c(q) = Q, p c b (R) = R, p a b ([P R]) = [P R ] Figuur 1.19: evenwijdige projectie 2. Teken in figuur 1.21 de projectie p a x( ABC); benoem de beeldpunten met index 1. Teken in figuur 1.21 de projectie p x a( ABC); benoem de beeldpunten met index 2. Figuur 1.20: evenwijdige projectie

24 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 3. Construeer twee verschillende lijnstukken [AB] en [CB] waarvan hun lengten gelijk zijn aan de lengte van hun projectie [A B ] op een rechte x volgens de richting van een rechte d. Figuur 1.21: evenwijdige projectie DELTA 3B (oud) en DELTA 3B (nieuw) p.24 nr.44; p.25 nr.44. 1.3.4 De projecties van twee gelijke en evenwijdige lijnstukken STELLING 1.4 De evenwijdige projecties van twee evenwijdige lijnstukken met gelijke lengte zijn twee lijnstukken met gelijke lengte. Gegeven: AB = CD en AB CD A = p d x(a), B = p d x(b), C = p d x(c), D = p d x(d) Te bewijzen: A B = C D. Bewijs: 1. Zijn de evenwijdige lijnstukjes [AB] en [CD] evenwijdig met d dan is A = B en C = D. Er geldt dan A B = C D = 0

1.3. EVENWIJDIGE PROJECTIES OP EEN RECHTE 25 2. De lijnstukken [AB] en [CD] zijn niet evenwijdig met d. De vectoren AB en CD zijn gelijk of tegengesteld. We onderstellen dat AB = CD BB ([AB]) = [EB ] = AB = EB DD ([CD]) = [F D ] = CD = = EB = F D. F D t t In A B E en C D F geldt tevens dat a) B = D als overeenkomstige hoeken bij EB F D en snijlijn x. b) A = C als overeenkomstige hoeken bij AA CC en snijlijn x. EB = F D B = D A = C AB = CD. ZHH = A B E = C D F = A B = C D. Figuur 1.22: De evenwijdige projecties van de gelijke en evenwijdige lijnstukken [AB] en [CD]

26 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.4 De stelling van Thales STELLING 1.5 (De stelling van Thales) De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van de lengten van evenwijdige lijnstukken. Gegeven: AB CD d. We noemen A, B, C en D de projecties van resp. de punten A, B, C en D op x volgens d. Te bewijzen: We bewijzen de stelling van Thales voor een rationale verhouding van de lengten van twee lijnstukken. AB CD = A B C D = m n met n, m N Voor een irrationale verhouding aanvaarden we de stelling van Thales zonder bewijs. Bewijs: Om het bewijs concreet te maken stellen we dat AB CD = 3 7 (1.3) Als AB = 3 AE met E AB dan is CD = 7 CF met F CD en er geldt dat AE = CF en AE CF omdat AB CD. De gelijke en evenwijdige lijnstukjes [AE] en [CF ] worden in gelijke lijnstukjes geprojecteerd. A E = C F De drie gelijke lijnstukjes waarin [AB] verdeeld is, worden geprojecteerd in drie gelijke lijnstukjes die een verdeling in drie gelijke delen vormen van [A B ]. Analoog is Uit 1.4 en 1.5 volgt en omdat 1.3 geldt, is A B = 3 A E (1.4) C D = 7 C F = 7 A E (1.5) A B C D = 3 A E 7 A E = 3 7 AB CD = A B C D = 3 7. OPGAVEN 3 Toon aan dat in een rechthoekige driehoek de lengte van de zwaartelijn op de schuine zijde gelijk is aan de helft van de lengte van de schuine zijde. DELTA 3B (oud) en DELTA 3B (nieuw) p.14 nrs 13-14-15; p.15 nr 16; p.24 nr.45; p.26 nrs 51-52; p.27 nrs 53-55.

1.4. DE STELLING VAN THALES 27 1.4.1 Constructies Figuur 1.23: De stelling van Thales 1. Verdeling van een lijnstuk in n gelijke delen Om een gegeven lijnstuk [AB] in bijvoorbeeld 7 gelijke delen te verdelen, brengen we een willekeurige rechte a aan door één van de punten A of B, bijvoorbeeld door A. We passen met de passer op a, vertrekkende van A, 7 lijnstukjes [AA 1 ], [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ], [A 3 A 4 ], [A 4 A 5 ], [A 5 A 6 ] en [A 6 A 7 ] af met gelijke willekeurige lengte. Vervolgens projecteren we alle verdelingspunten A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 en A 7 op de rechte AB volgens de richting van A 7 B. De gelijke lijnstukjes worden in gelijke lijnstukjes geprojecteerd. Figuur 1.24: Verdeling van een lijnstuk in 7 gelijke delen

28 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 2. Constructie van de vierde evenredige Construeer hierboven het lijnstuk [AB] zodat a b = 3. Ijk overbrengen c. AB

1.4. DE STELLING VAN THALES 29 4. Constructie van een rationaal getal op de getallenas Construeer hieronder de breuken 2 3, 7 4 en 2 7. Construeer hieronder de breuk 25 7.

30 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 5. Een lijnstuk inwendig verdelen in twee stukken die een gegeven verhouding hebben Construeer hieronder het punt C [AB], zodat AC BC = 1 4 We verdelen het lijnstuk [AB] in 1 + 4 = 5 gelijke delen. Zo één deel noemen we v. C ligt op het lijnstuk [AB] en op een afstand v van A of 4v van B. Construeer hieronder het punt D [AB], zodat AD BD = 3 4 We verdelen het lijnstuk [AB] in 3 + 4 = 7 gelijke delen. Zo één deel noemen we u. D ligt op het lijnstuk [AB] en op een afstand 3u van A of 4u van B.

1.4. DE STELLING VAN THALES 31 1.4.2 De verhouding van twee evenwijdige vectoren Is CD = r AB met AB o dan zeggen we dat r = evenwijdige vectoren. Voorbeelden: CD AB de verhouding is van de Is CD AB = 3 dan hebben de evenwijdige vectoren AB en CD dezelfde zin, de lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en er geldt CD AB = 3. De figuur ABDC is een trapezium. Teken hieronder. Is CD AB = 0, 6 dan hebben de evenwijdige vectoren AB en CD tegengestelde zin, de lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en er geldt CD AB = 0, 6. De figuur ABCD is een trapezium. Teken hieronder. CD Is AB = 1 dan is AB = CD. De vectoren AB en CD hebben dezelfde zin, de lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en hebben dezelfde lengte. De figuur ABDC is een parallellogram. Teken hieronder. CD Is AB = 1 dan is AB = CD. De vectoren AB en CD hebben tegengestelde zin, de lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig en hebben dezelfde lengte. De figuur ABCD is een parallellogram. Teken hieronder.

32 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES AB CD = 3 2 AB CD } AB = CD = 3 2 of AB CD = 3 2 Teken in figuur 1.25 deze twee mogelijkheden voor de gegeven lijkstukken [AB] en [CD]. Figuur 1.25: Verhouding van evenwijdige vectoren Omdat de projecties van twee evenwijdige vectoren met gelijke (tegengestelde) zin twee vectoren zijn met gelijke (tegengestelde) zin, kunnen we nu de stelling van Thales met vectoren formuleren: De evenwijdige projectie bewaart de verhouding van evenwijdige vectoren. Figuur 1.26: evenwijdige projectie STELLING 1.6 (Omgekeerde stelling van Thales) Is de deelverhouding van een punt C t.o.v. (A, B) gelijk aan de deelverhouding van C t.o.v. (A, B ) en is AA BB dan is CC AA (voor de definitie van deelverhouding zie volgende paragraaf).

1.4. DE STELLING VAN THALES 33 1.4.3 Deelverhouding van een punt t.o.v. een puntenkoppel 1.4.3.1 Definities Drie punten zijn collineair als en slechts als ze op eenzelfde rechte gelegen zijn. We beschouwen een puntenkoppel (A, B) en een punt C van de rechte AB. De punten A, B en C zijn dus collineair. De deelverhouding van een punt C t.o.v. een puntenkoppel (A, B) is de verhouding van de vectoren CA en CB. CA (A B C) = CB Deze verhouding levert een reëel getal op dat positief is als C buiten het lijnstuk [AB] ligt en dat negatief is als C tussen A en B ligt. 1.4.3.2 Gegeven de ligging van C, bepaal de deelverhouding (A B C) Het punt C ligt buiten [AB] of C / [AB] (A B C) = CA CB = de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is groter dan 1 Figuur 1.27: (A B C) = CA CB = de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is positief en kleiner dan 1 Figuur 1.28: Deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is positief en kleiner dan 1

34 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Het punt C ligt binnen [AB] of C [AB] (A B C) = CA CB = de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is negatief en groter dan 1 Figuur 1.29: (A B C) =, de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) (A B C) = CA CB = de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) is kleiner dan 1 Figuur 1.30: Deelverhouding van C t.o.v. (A, B) 1.4.3.3 Gegeven de deelverhouding (A B C), bepaal de ligging van C Voorbeelden: Teken in de figuur 1.31 het punt C waarvoor (A B C) = 3 en het punt D waarvoor 5 (A B D) = 5. 3 We construeren C [AB] zodat CA = 3 DA en het punt D zodat = 5. CB 5 DB 3 Figuur 1.31: (A B C) = 3 5 en (A B D) = 5 3

1.4. DE STELLING VAN THALES 35 Teken in de figuur 1.32 het punt C waarvoor (A B C) = 3 en het punt D waarvoor 5 (A B D) = 5. 3 We verdelen het lijnstuk [AB] in 5 3 = 2 gelijke delen. Zo één deel noemen we v. C ligt buiten [AB] en op een afstand 3v van A. D ligt buiten [AB] en op een afstand 3v van B. Figuur 1.32: (A B C) = 3 5 en (A B D) = 5 3 Als de deelverhouding Er geldt CA CB = 1 dan zijn de vectoren CA = CB CA + CB = o Gaan we over naar de plaatsvectoren dan geldt CA en CB tegengesteld. OA OC + OB OC = o OA + OB = 2 OC OC = OA + OB. 2 Hieruit kunnen we besluiten dat ingeval de deelverhouding van C t.o.v. (A, B) gelijk is aan 1, het punt C in het midden ligt van [AB]. Figuur 1.33: (A B C) = 1 C is het midden van [AB] CA CB = 1 2 A, B, C zijn collineair } CA = CB = 1 2 of CA CB = 1 2 Figuur 1.34: A, B, C zijn collineair en CA CB = 1 2

36 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.4.4 Bissectrices van een driehoek STELLING 1.7 De binnenbissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in twee delen waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van de aanliggende zijden. Gegeven: In ABC snijdt de binnenbissectrice van de hoek A de overstaande zijde [BC] in het punt A. We stellen AB = x, AC = y, A B = x en A C = y. Te bewijzen: x y = x y. Bewijs: De binnenbissectrice van hoek A verdeelt de hoek A in twee gelijke delen A 1. A= 2 A 1 We construeren C AB zodat AC = AC = y en A [BC ]. De ACC is een gelijkbenige driehoek met tophoek de buitenhoek A 2 van A De basishoeken van ACC zijn A 2 = 180 o 2 A 1. C 2= C 2 In ACC is de som van de hoeken gelijk aan 180 o. A 2 + C 2 + C 2= 180 o 180 o 2 A 1 +2 C 2= 180 o waaruit volgt dat A 1 = C 2. De hoeken A 1 en C 2 zijn overeenkomstige hoeken met snijlijn AB. Hieruit volgt dat AA C C. [A B], [A C] zijn de evenwijdige projecties van [AB] en [AC ] op BC volgens de richting van AA. Volgens de stelling van Thales geldt x y = x y.

1.5. HOMOTHETIEËN 37 1.5 Homothetieën 1.5.1 Definitie Figuur 1.35: bissectrice van een driehoek Het punt A is het beeld van het punt A onder een homothetie met centrum C en factor r als en slechts als CA = r CA Notatie: hom (C,r) (A) = A. hom (C,r) (A) = A C A } = (A CA A C) = CA = r Voorbeelden: Teken hieronder A = h (C,2 )(A).

38 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Teken hieronder A = hom (C, 5 2 )(A). Teken hieronder A = hom (C, 2 3 )(A). Teken hieronder A = hom (C, 3 4 )(A). Teken hieronder A = hom (C, 2) (A). Teken hieronder A = hom (C, 1) (A). Deze homothetie wordt de puntspiegeling om C genoemd.

1.5. HOMOTHETIEËN 39 Besluit: Is de factor van homothetie positief dan hebben de vectoren CA en CA gelijke zin, met andere woorden het punt A en zijn beeld A liggen aan dezelfde kant van het centrum C. Is de factor van homothetie negatief dan hebben de vectoren CA en CA tegengestelde zin, met andere woorden het punt A en zijn beeld A liggen aan weerskanten van het centrum C. 1.5.2 Het beeld van een lijnstuk STELLING 1.8 Een homothetie met factor r beeldt een lijnstuk [AB] af op een evenwijdig lijnstuk en er geldt dat A B = r AB. Gegeven: A = hom (C,r) (A) en B = hom (C,r) (B). Te bewijzen: A B = r AB en A B AB. Bewijs: A = hom (C,r) (A) = CA = r B = hom (C,r) (B) = CB = r CB CA = A C = r AC Door opeenvolgend de stelling van Chasles-Möbius toe te passen kunnen we schrijven: A B = A C + CB = r AC + r CB = r ( AC + CB) = r AB { A B = r AB A B = r AB = A B AB A B C is het beeld van ABC onder een homothetie. Daarom worden ABC en A B C homothetische driehoeken genoemd. Zijn ABC en A B C twee homothetische driehoeken dan zijn de lengten van de zijden van ABC evenredig met de lengten van de overeenkomstige zijden van driehoek A B C. CA CA = CB CB = B A BA = r CA CA = CB CB = B A = r BA Merk op dat de overeenkomstige hoeken van deze twee homothetische driehoeken, twee aan twee gelijk zijn aan elkaar: A= A, B= B, C= C (zie figuur 1.36).

40 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Figuur 1.36: Beeld van een lijnstuk onder een homothetie 1. Omdat volgens de stelling 1.8 geldt dat A B AB hebben we de evenwijdige projectie p AB BB. Volgens de stelling van Thales geldt (zie figuur 1.36): p AB BB (A) = B p AB BB (A ) = B p AB BB (C) = C = CA CA = CB CB = r 2. Omdat A A BB hebben we de evenwijdige projectie p BB A B. Volgens Thales geldt: p BB A B = CA CA = B A B = A B A BA = r (A) = A p BB A B (A ) = A (C) = B p BB A B

1.5. HOMOTHETIEËN 41 Figuur 1.37: Beeld van een lijnstuk onder een homothetie met r > 0 STELLING 1.9 Zijn twee lijnstukken evenwijdig dan bestaat er minstens één homothetie die het ene lijnstuk afbeeldt op het ander lijnstuk. We noemen de evenwijdige lijnstukken [AB] en [P Q]. Is P Q = r AB met r 1 dan zijn er twee verschillende homothetieën die het lijnstuk [AB] afbeelden op het lijnstuk [P Q], de ene homothetie heeft factor r en de ander heeft factor r, nl. hom (C,r) (A) = P en hom (C,r) (B) = Q hom (C, r)(a) = Q en hom (C, r)(b) = P Geval A, B, P en Q niet op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.38 C en C. Bepaal tevens de factoren van homothetie.

42 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Figuur 1.38: homothetieën die [AB] afbeelden op [P Q] Geval A, B, P en Q op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.39 C. Bepaal tevens de factor van homothetie. Figuur 1.39: homothetie die AB afbeeldt op P Q Geval A, B, P en Q op eenzelfde rechte gelegen zijn: construeer in figuur 1.40 C. Bepaal tevens de factor van homothetie.

1.5. HOMOTHETIEËN 43 Figuur 1.40: homothetie die AB afbeeldt op QP Is AB = P Q dan is er één homothetie die het lijnstuk [AB] afbeeldt op het lijnstuk [P Q], nl. de puntspiegeling met centrum het snijpunt van AP en BQ (of AQ en BP ). Duid het centrum van de homothetie aan in figuur 1.41 in geval A, B, P en Q niet op eenzelfde rechte gelegen zijn en wel op eenzelfde rechte gelegen zijn. Figuur 1.41: homothetie die [AB] afbeeldt op [P Q] DELTA 3B (oud) p.19 nrs.30-31-32; p.25 nr.47; p.27 nr.54; p.28 nr.57; p.31 nr.2; p.39 nrs.14-15; p.40 nr.19; p.42 nrs.24-25; p.45 nr.31; p.46 nrs.32-34; p.48 nr.38; p.49 nrs.40-42; p.50 nr.44; p.52 nrs.50-51. DELTA 3B (nieuw) p.19 nrs.30-31-32; p.25 nr.47; p.27 nr.54; p.28 nr.57; p.31 nr.2; p.41 nrs.15-16; p.42 nr.20; p.44 nrs.25-26; p.48 nr.33; p.49 nrs.34-36; p.55 nr.47; p.56 nrs.49-51; p.58 nr.55; p.60 nr.61-62.

44 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.6 Gelijkvormige figuren 1.6.1 Definities Twee figuren zijn gelijkvormig als en slechts als de ene figuur congruent is met het beeld van de andere figuur onder een homothetie. De factor van homothetie wordt de gelijkvormigheidsfactor van de gelijkvormige figuren genoemd. 1.6.2 Gelijkvormige driehoeken 1.6.2.1 Homothetisch gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn homothetisch gelijkvormig als en slechts als de ene driehhoek het beeld is van de andere driehoek onder een homothetie. Figuur 1.42: homothetisch gelijkvormige driehoeken met P QR

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 45 STELLING 1.10 Bij twee homothetisch gelijkvormige driehoeken zijn de hoeken twee aan twee gelijk en zijn de lengten van de zijden van de ene driehoek evenredig met de lengten van de overeenkomstige zijden van de andere driehoek. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk omdat ze som of verschil zijn van overeenkomstige hoeken (zie figuur 1.42). Druk hier de gelijkheid van de hoeken uit als som of als verschil. Omdat de ene driehoek het beeld is van de andere driehoek onder een homothetie met centrum C en factor r geldt: P Q = r P Q P Q P Q = r Hieruit volgt P R = r P R P R P R Q R = r QR Q R QR P Q P Q = P R P R = Q R QR = r = r = r Schrijf hieronder al naar gelang de waarde van de factor van homothetie de oppervlakte van P QR groter of kleiner is dan de oppervlakte van P Q R : DELTA 3B (oud) p.39 nr.16 DELTA 3B (nieuw) p.41 nr.17

46 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.6.2.2 Gelijkvormige driehoeken De gelijkvormigheidskenmerken: STELLING 1.11 (HH) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de ene driehoek gelijk zijn aan resp. twee hoeken van de andere driehoek. Figuur 1.43: Gelijkvormigheidskenmerk HH Gegeven: Twee driehoeken ABC en A B C. AB = A B AC = A C A= A A= A en B= B Te bewijzen: ABC A B C. Bewijs: Neem B [AB] zodat AB = A B en C [AC] zodat AC = A C. ZHZ = AB C = A B C = B 1= B B geg = B B 1= B = B= B 1 Uit de gelijkheid van deze overeenkomstige hoeken volgt dat B C BC en daaruit volgt dat de driehoeken AB C en A B C homothetisch zijn. } A B C = AB C ABC AB C = A B C ABC

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 47 STELLING 1.12 (ZHZ) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als een hoek van de ene driehoek gelijk is aan een hoek van de andere driehoek en de lengten van de aanliggende zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de lengten van de overeenkomstige aanliggende zijden van de andere driehoek. Figuur 1.44: Gelijkvormigheidskenmerk ZHZ Gegeven: Twee driehoeken ABC en A B C. AB = A B AC = A C A= A A= A en A B AB = A C AC Te bewijzen: ABC A B C. Bewijs: Neem B [AB] zodat AB = A B en C [AC] zodat AC = A C. ZHZ = AB C = A B C Uit het gegeven A B = A C volgt dat AB = AC. AB AC AB AC Hieruit volgt dat de driehoeken ABC en AB C homothetisch zijn. A B C = AB C ABC AB C } = A B C ABC

48 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES STELLING 1.13 (ZZZ) Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de verhoudingen van de lengten van de overeenkomstige zijden gelijk zijn. Figuur 1.45: Gelijkvormigheidskenmerk ZZZ Gegeven: Twee driehoeken ABC en A B C. A B AB = B C BC = A C AC = r Te bewijzen: ABC A B C. Bewijs: We passen op ABC een homothetie toe met centrum A en factor r (uit het gegeven). Het beeld van B is B en van C is C. Hieruit volgt dat BC B C en AB AB = A B AB = r Uit dit laatste volgt dat Analoog tonen we aan dat AB = A B AC = A C en B C = B C AB = A B AC = A C B C = B C A B C = AB C ABC AB C ZZZ = AB C = A B C } = A B C ABC

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 49 DELTA 3B (oud) p32 nrs.3-4; p.40 nr.18; p.43 nr.28; p.44 nr.29; p.48 nr.37; p.49 nrs.39-41; p.51 nr.45. DELTA 3B (nieuw) p32 nrs.3-4; p.42 nr.19; p.45 nr.29; p.47 nr.31; p.55 nr.46; p.56 nrs.48-50; p.58 nr.56.

50 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.6.3 Omtrek en oppervlakte van gelijkvormige figuren We beschouwen twee gelijkvormige driehoeken ABC en A B C met gelijkvormigheidsfactor r, de hoogte [CD] op de zijlijn AB en de hoogte [C D ] op de zijlijn A B. Er geldt: A B = r AB, B C = r BC, C A = r CA en C D = r CD. Voor de omtrek van gelijkvormige driehoeken omtr( A B C ) = A B + B C + C A = r AB + r BC + r CA = r ( AB + BC + CA ) = r (omtr( ABC)) (1.6) Voor de oppervlakte van gelijkvormige driehoeken opp( A B C ) = A B C D = r AB r CD 2 2 = r 2 AB CD = r 2 (opp( ABC)) (1.7) 2 We kunnen 1.6 en 1.7 voor driehoeken veralgemenen voor vlakke figuren in het algemeen. STELLING 1.14 Zijn twee figuren gelijkvormig met gelijkvormigheidsfactor r dan geldt dat:. de omtrek van de ene figuur gelijk is aan de omtrek van de andere figuur vermenigvuldigd met r : de oppervlakte van ene figuur gelijk is aan de oppervlakte van de andere figuur menigvuldigd met r 2. Figuur 1.46: Gelijkvormige figuren DELTA 3B (oud) p.19 nrs.27-28-29; p.32 nrs.4-5; p.33 nr.6; p.40 nr.17; p.43 nrs.26-27; p.44 nr.30; p.47 nrs.35-36: p.52 nr.52. DELTA 3B (nieuw) p.19 nrs.27-28-29; p.32 nrs.4-5; p.33 nr.6; p.42 nr.18; p.45 nrs.27-28; p.47 nr.32; p.54 nrs.44-45.

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 51 1.6.4 Middenparallel van een driehoek Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden verbindt. Een driehoek heeft drie middenparallellen. Figuur 1.47: middenparallellen van een driehoek STELLING 1.15 Een middenparallel is evenwijdig met een zijde van de driehoek en zijn lengte is de helft van de lengte van die zijde. Gegeven: ABC M c is het midden van [AB] M b is het midden van [AC] } = [M c M b ] is een middenparallel van ABC Te bewijzen: 1) M c M b BC 2) BC = 2 M c M b. Bewijs: M c is het midden van [AB] AB = 2AM c M b is het midden van [AC] AC = 2AM b } = { B = hom(a,2) (M c ) C = hom (A,2) (M b ) Omdat een homothetie een lijnstuk afbeeldt op een evenwijdig lijnstuk waarvan de lengte verdubbelt omdat de factor 2 is, geldt M c M b BC en BC = 2 M c M b. Analoog voor de andere twee middenpallellen.

52 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES STELLING 1.16 Een lijnstuk door het midden van een zijde van een driehoek en evenwijdig met een andere zijde, is een middenparallel van de driehoek. Gegeven: Te bewijzen: ABC M b is het midden van [AC] M b N BC N AB [NM b ] is een middenparallel van ABC Bewijs: Omdat M b N BC kunnen we de evenwijdige projectie p BC AB = pa c beschouwen. p a c(a) = A p a c(m b ) = N p a c(c) = B = AM b M b C = AN NB Omdat M b het midden is van [AC] geldt AM b = M b C = AM b = 1 (2). M b C Uit(1) en (2) volgt dat AN = 1 = AN = NB = N is het midden van [AB]. NB } M b is het midden van [AC] (geg) = [NM N is het midden van [AB] b ] is een middenparallel van ABC. (1) Figuur 1.48: middenparallell van een driehoek

1.6. GELIJKVORMIGE FIGUREN 53 1.6.5 Zwaartepunt van een driehoek Een zwaartelijn van een driehoek is een lijnstuk dat een hoekpunt van de driehoek verbindt met het midden van de overstaande zijde. Omdat de drie zwaartelijnen van een driehoek door eenzelfde punt gaan kunnen we dat punt definiëren als het zwaartepunt van de driehoek. STELLING 1.17 Het zwaartepunt van een driehoek ligt op een zwaartelijn op twee derden van een hoekpunt van de driehoek en dus op één derde van het midden van de overstaande zijde van dat hoekpunt. Gegeven : ABC M b is midden van [AC] M c is midden van [AB] {Z} = BM b CMc Te bewijzen: ZC = 2 3 CM c en bijgevolg ZM c = 1 3 CM c. Figuur 1.49: zwaartepunt van een driehoek Bewijs: M b M c is middenparallel van ABC. Volgens de stelling over de middenparallellen van een driehoek geldt: M b M c BC en BC = 2 M c M b. Er bestaan twee homothetieën die [M b M c ] afbeelden op [BC], de ene heeft factor 2 en de andere heeft factor 2. De homothetie met centrum Z waarbij {Z} = BM b CMc, heeft als factor 2 omdat de lijnstukken [M b M c ] en [CB] aan weerskanten van Z liggen. hom (Z, 2) (M c ) = C hom (Z, 2) (M b ) = B } ZC = = ZM c ZB = 2 = ZM b { ZC = 2 3 CM c ZM c = 1 3 CM c.

54 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Analoog voor de andere zwaartelijnen. Andere formuleringen van de opgave van de stelling: Het zwaartepunt van een driehoek is het centrum van homothetie die de driehoek gevormd door de middenparallellen van de driehoek afbeeldt op de driehoek en de factor is 2. De deelverhouding van het zwaartepunt Z t.o.v. (A, M a ) is 2 ZA (Z A M a ) = 2. ZM a

1.7. STELLINGEN IN RECHTHOEKIGE DRIEHOEKEN 55 1.7 Stellingen in rechthoekige driehoeken STELLING 1.18 Het kwadraat van de lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde in een rechthoekige driehoek is gelijk aan het product van de lengten van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. andere formulering: De lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de lengten van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt. Gegeven : ABC is rechthoekig in C C= 90 o (zie figuur 1.50) CC AB C [AB] Te bewijzen : h 2 = a b h = b a h. Figuur 1.50: stelling in rechthoekige driehoek I Bewijs: In de rechthoekige driehoeken ABC, ACC en BCC geldt: A + B= 90 o A + C 1 = 90 o C 2 + B= 90 o = B= C 1 A= C 2 HH = C AC C CB Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkomstige zijden. C A C C = AC CB = C C C B = b h = b a = h a = h 2 = a b

56 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES STELLING 1.19 Het kwadraat van de lengte van een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan het product van de lengte van de schuine zijde en de lengte van de loodrechte projectie van die rechthoekszijde op de schuine zijde. Andere formulering: De lengte van een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is middelevenredig tussen de lengte van de schuine zijde en de lengte van haar loodrechte projectie op de schuine zijde. Gegeven : ABC is rechthoekig in C C= 90 o (zie figuur 1.50) CC AB C [AB] Te bewijzen: b 2 = c b b = b (en c b a2 = c a a = a ). c a Figuur 1.51: stelling in rechthoekige driehoek II Bewijs: In de rechthoekige driehoeken ABC en ACC geldt: A + B= 90 o A + C 1 = 90 o = B= C HH 1 = ACC ABC Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkomstige zijden. AC AB = AC AC = CC BC = b c = b b = h a = b2 = c b Analoog bewijzen we dat a c = a a DELTA 3A (oud) : p.19 nr.33; p.22 nr 47 (6) DELTA 3A (nieuw) : p.19 nr.33; p.24 nr 49 (6)

1.8. COÖRDINAAT VAN EEN VECTOR 57 1.8 Coördinaat van een vector De coördinaat van de vector AB met A(x1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) is de coördinaat van de plaatsvector OC die gelijk is aan AB. In het vervolg stellen we een vector gelijk aan zijn coördinaat. AB = OC = OB OA = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) Tabel 1.11: A( 2, 2) en B(3, 3) coördinaat van AB is (3 + 2, 3 2) = (5, 1) DELTA 3B (oud) p.168 nrs.46-48-50; p.169 nr.54 DELTA 3B (nieuw) p.178 nrs.46 1.-47-48-50; p.179 nr.54 1.9 Lengte van een lijnstuk met coördinaten Zijn A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) twee punten dan is de afstand tussen A en B gegeven door AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. We merken op dat (x 2 x 1, y 2 y 1 ) de coördinaat is van AB. Voorbeeld: Voor de punten A en B van tabel 1.8 is AB = 5 2 + 1 2 = 26. DELTA 3B (oud) p.81 nr.1; p.82 nr.2; p.84 nr.8; p.85 nr.10; p.89 nrs.20-21-22. DELTA 3B (nieuw) p.91 nr.1; p.92 nr.2; p.94 nr.8; p.95 nr.10; p.99 nrs.20-21-22.

58 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.10 Homothetie met centrum O 1.10.1 Transformatieformules Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld homothetie met centrum O en factor r gegeven door (x, y ) = r (x, y) OP onder de of { x = rx y = ry De formules worden de transformatieformules voor een homothetie genoemd. Voorbeelden: Gegeven is het lijnstuk [AB] met A(1, 2) en B(3, 1). 1. Bepaal het beeld [A B ] van [AB] onder de homothetie met factor 2. Bepaal tevens de lengte van [A B ]. We construeren het beeld [A B ] in tabel 1.12. De transformatieformules zijn (x, y ) = 2 (x, y) of { x = 2x y = 2y De beelden van A en B zijn: A (2, 4) en B (6, 2), hetgeen we hier ook uit de tekening kunnen afleiden. De lengte van [AB]: AB = (3 1, 1 2) = (2, 1) = AB = 2 2 + ( 1) 2 = 5 en bijgevolg is A B = 2 AB = 2 5.

1.10. HOMOTHETIE MET CENTRUM O 59 Tabel 1.12: de beelden van [AB] onder een homothetie met factor 2 en 1 2. Bepaal het beeld [A B ] van [AB] onder een puntspiegeling om O. Bepaal tevens de lengte van [A B ]. We construeren het beeld [A B ] in tabel 1.12. De transformatieformules zijn (x, y ) = 1 (x, y) of { x = x y = y De beelden van A en B zijn: A ( 1, 2) en B ( 3, 1), hetgeen we hier ook uit de tekening kunnen afleiden. De lengte van [A B ] is A B = 1 AB = 5.

60 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Bepaal het beeld van de driehoek ABC met A(6, 0), B( 3, 4) en C( 3, 2) onder een homothetie met centrum O en factor r = 2 3. Bepaal de oppervlakte van driehoek ABC, alsook de oppervlakte van het beeld. Eerst tekenen we het beeld van de driehoek in tabel 1.13 en tegelijk controleren we met de berekening. De transformatieformules zijn: (x, y ) = 2 (x, y) 3 of { x = 2 3 x y = 2 3 y De coördinaten van de beelden van de hoekpunten van de driehoek zijn A ( 12 3, 0) = ( 4, 0), B ( 6 3, 8 3 ) = (2, 8 3 ), C ( 6 3, 4 3 ) = (2, 4 3 ). AB = ( 3 6, 4) = ( 9, 4), BC = ( 3 + 3, 2 4) = (0, 6) en AC = ( 3 6, 2) = ( 9, 2). De lengten van de zijden van ABC zijn: AB = 9 2 + 4 2 = 97, BC = 6, AC = 9 2 + 2 2 = 85 en de lengten van de zijden van A B C zijn A B = 2 3 97 = 6, 6, B C = 2 3 6 = 4, A C = 2 3 85 = 6, 1. De oppervlakte van ABC is en de oppervlakte van A B C is 6 9 2 = 27 ( 2 3 )2 27 = 4 27 = 12. 9

1.10. HOMOTHETIE MET CENTRUM O 61 Tabel 1.13: beeld van de ABC onder een homothetie met factor 2 3

62 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES Tabel 1.14: beeld van de cirkel en het lijnstuk [AB] onder een homothetie met factor 2, 5 OPGAVEN 4 Teken in tabel 1.14 de cirkel met middelpunt (1, 1) en straal 2 en bepaal het beeld van deze cirkel onder een homothetie met centrum O en factor 2, 5. 5 Bepaal de lengte van het lijnstuk [AB] met A(2, 0) en B(5, 3) en teken in tabel 1.14 het beeld [A B ] van het lijnstuk onder een homothetie met centrum O en factor 2, 5. Bepaal de lengte van [A B ]. DELTA 3B (oud) p.150 nr.1; p.151 nr.7-8 DELTA 3B (nieuw) p.160 nr.1; p.161 nr.7-8

1.11. UITREKKINGEN 63 1.11 Uitrekkingen 1.11.1 Uitrekking in de richting van de x-as met centrum O Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld OP onder de uitrekking in de richting van de x-as met centrum O en factor r gegeven door { x = rx y = y De formules worden de transformatieformules voor een uitrekking in de richting van de x-as genoemd. Voorbeeld: Bepaal in tabel 1.15 de beelden onder een uitrekking in de richting van de x-as met centrum O en factor 3 van ABCD en P QRS met A(1, 1), B(1, 1), C( 1, 1), D( 1, 1), P (2, 5; 5), Q(2, 5; 3), R(0, 5; 3) en S(0, 5; 5). De transformatieformules zijn { x = 3x y = y De coördinaten van de beelden zijn: A (3, 1), B (3, 1), C ( 3, 1), D ( 3, 1), P (7, 5; 5), Q (7, 5; 3), R (1, 5; 3) en S (1, 5; 5). Tabel 1.15: beeld van ABCD onder een uitrekking met factor 3 in de x-richting OPGAVEN 6 Ga na hoe een vierkant verandert na uitrekking in de richting van de x-as met centrum O en factor 3.

64 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES 1.11.2 Uitrekking in de richting van de y-as met centrum O Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld OP onder de uitrekking in de richting van de y-as met centrum O en factor r gegeven door { x = x y = ry De formules worden de transformatieformules voor een uitrekking in de richting van de y-as genoemd. OPGAVEN 7 Is het mogelijk een uitrekking in de riching van de y-as te bepalen waarvoor het beeld van een rechthoek een vierkant is? Bepaal zo een uitrekking. Opmerkingen: Een figuur wordt door een uitrekking in een richting met factor r vergroot in die richting als r < 1 r > 1 Een figuur wordt door een uitrekking in een richting met factor r verkleind in die richting als 1 < r < 1 Een figuur blijft door een uitrekking in een richting met factor r even groot als r = 1 r = 1 Als we een figuur uitrekken in twee verschillende richtingen met dezelfde factor r dan wordt die figuur uitgerokken in alle richtingen met factor r en is de opeenvolging van die twee uitrekkingen een homothetie met factor r.

1.12. SPIEGELINGEN OM RECHTEN 65 1.12 Spiegelingen om rechten 1.12.1 De spiegeling om de x-as Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld spiegeling om de x-as volgens de richting van de y-as gegeven door (x, y ) = (x, y) of { x = x y = y OP onder de De formules worden de transformatieformules voor de spiegeling om de x-as volgens de richting van de y-as genoemd. 1.12.2 De spiegeling om de y-as Is (x, y) de coördinaat van OP dan is de coördinaat (x, y ) van het beeld spiegeling om de y-as volgens de richting van de x-as gegeven door (x, y ) = ( x, y) of { x = x y = y OP onder de De formules worden de transformatieformules voor de spiegeling om de y-as volgens de richting van de x-as genoemd. Tabel 1.16: spiegeling om de x-as - spiegeling om de y-as HERHALINGSOPGAVEN: DELTA 3B (oud) p.150 nrs.2-3 p.153 nr.10-13 DELTA 3B (nieuw) p.160 nrs.2-3 p.163 nr.10-13

66 HOOFDSTUK 1. VECTOREN EN TRANSFORMATIES

Hoofdstuk 2 De rechte in het vlak 2.1 Herhaling: eerstegraadsfuncties De vergelijking y = ax + b is het voorschrift van een eerstegraadsfunctie als a 0. De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte. Betekenis van de coëfficiënten a en b : b is de doorgang op de y-as van de rechte. a is de richtingscoëfficiënt van de rechte. a > 0: de functie stijgt; a < 0: de functie daalt; Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie : Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie is de x-waarde waarvoor de functiewaarde gelijk is aan nul of de x-waarde van het snijpunt van de grafiek met de x-as, die we de doorgang van de rechte op de x-as noemen. ax + b = 0 a 0 x = b. a Het voorschrift van alle eerstegraadsfuncties met x 1 als nulpunt is van de gedaante, y = a(x x 1 ) (2.1) Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie kan in de gedaante 2.1 gebracht worden: y = a(x + b a ) y = a(x ( b a )) y = a(x x 1) De vergelijking y = ax + b als a = 0, wordt y = b. Deze vergelijking is het voorschrift van een constante functie. De grafiek is een rechte evenwijdig met de x-as. De richtingscoëfficiënt is gelijk aan nul. 67

68 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Figuur 2.1: richtingsruimte van de rechte a 2.2 Vergelijking van een rechte 2.2.1 De richting van een rechte - richtingsvector De richting van een rechte a is de verzameling van alle rechten parallel met a. Elke vector in het vlak, verschillend van de nulvector, duidt een richting van een rechte aan. Zo duidt de vector OP de richting aan van de rechte OP = ao en van elke rechte evenwijdig met OP. We beschouwen op een tekening een rechte a evenwijdig met a O. Verschillende plaatsvectoren kunnen de richting van de rechte a aanduiden zoals de vectoren OP, OQ en OQ op de tekening. De punten P, Q en Q liggen dan op de rechte a O evenwijdig met a door de oorsprong. Al deze vectoren worden richtingsvectoren van de rechte a genoemd. De rechte a O bevat alle punten waarvan de plaatsvectoren richtingsvectoren zijn van a en wordt daarom de richtingsruimte van de rechte a genoemd. STELLING 2.1 Elk veelvoud verschillend van nul van een richtingsvector is richtingsvector van dezelfde richting en omgekeerd, zijn alle richtingsvectoren van eenzelfde richting veelvouden van elkaar. 2.2.2 Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte is de coördinaat van een richtingsvector van die rechte.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 69 Tabel 2.1: richtingsgetallen van een rechte Voorbeelden: de rechte OP door de oorsprong en door het punt P (2, 3) heeft (2, 3) als een stel richtingsgetallen. Een ander stel richtingsgetallen is bvb. ( 1, 3 ) dat hoort bij een veelvoud van de 2 vector OP, nl. 1OP. 2 We schrijven (2, 3) ( 1, 3 2 ) (1, 3 2 ). de rechte bepaald door de punten A(6, 3) en B(1, 4) heeft AB = OB OA = (1, 4) (6, 3) = ( 5, 1) AB als richtingsvector. Algemeen: Zijn (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ) de coördinaten van resp. A en B van de rechte AB dan is AB = OB OA = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) een stel richtingsgetallen van de rechte AB.

70 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK OPGAVEN 8 Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte AB met (a) A(1, 5) en B( 6, 3), (b) A(7, 5) en B(11, 3) (c) A( 2, 3) en B( 2, 11) 2.2.3 Onderzoek van de collineariteit van drie punten Voorbeeld: Onderzoek of de punten A(8, 6), B(9, 3) en C(11, 3) collineair zijn. Om dit te onderzoeken, gaan we na of de rechten AB en AC, die het punt A gemeenschappelijk hebben ook dezelfde richting hebben. AB = OB OA = (9 8, 3 6) = (1, 3) AC = OC OA = (11 8, 3 6) = (3, 9) Omdat (3, 9) (1, 3), geldt AB AC. De punten A, B en C zijn collineair. Tabel 2.2: zijn de punten A, B en C collineair? OPGAVEN 9 Zijn volgende punten A(7, 5), B( 14, 10) en C(1, 5 7 ) collineair? DELTA 3B (oud) p.88 nr.15; p.169 nr.55. en DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.15; p.179 nr.55

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 71 2.2.4 Herkennen van speciale veelhoeken via vectoren Voorbeelden: Onderzoek of de vierhoek ABCD een parallellogram is met A( 4, 1), B( 1, 4), C(1, 3) en D( 2, 2). AB = ( 1 + 4, 4 1) = (3, 5) DC = (1 ( 2), 3 2) = (3, 5) (3, 5) = (3, 5) = AB = DC Dit betekent dat DC het beeld is van AB onder een verschuiving met vector AD = ( 2 ( 4), 2 1) = (2, 1). De punten A, B, C en D zijn niet collineair want (3, 5) (2, 1) = AB AD Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een parallellogram is. Tabel 2.3: is ABCD een parallellogram? DELTA 3B (oud) p.89 nr.18 en DELTA 3B (nieuw) p.99 nr.18

72 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Onderzoek welk soort vierhoek ABCD is met A(4, 3 ), B(7, 0), C(0, 2) en D( 2, 1). 2 AB = (7 4, 0 ( 3)) = (3, 3) 2 2 DC = (0 ( 2), 2 1) = (2, 1). (3, 3 2 ) = 3 2 (2, 1) = (3, 3 ) (2, 1) = AB DC 2 We moeten nog controleren of A, B, C en D niet collineair zijn. Het is voldoende de richtingsgetallen te berekenen van AD of CB. We nemen CB want die hebben de eenvoudigste coördinaatgetallen. CB = (7 0, 0 2) = (7, 2) (2, 1) (7, 2) = DC CB. Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een trapezium voorstelt. Tabel 2.4: welke vierhoek is ABCD? DELTA 3B (oud) p.89 nr.22; p.164 nr.40 en DELTA 3B (nieuw) p.99 nr.22; p.174 nr.40 Bewijs op een zo kort mogelijke manier dat de vierhoek ABCD een ruit is met A(3, 3), B( 2, 1), C( 4, 4) en D(1, 2). AB = ( 2 3, 1 3) = ( 5, 2) DC = ( 4 1, 4 ( 2) = ( 5, 2) ( 5, 2) = ( 5, 2) = AB = DC Dit betekent dat DC het beeld is van AB onder een verschuiving met vector AD = (1 3, 2 3) = ( 2, 5). De punten A, B, C en D zijn niet collineair want ( 5, 2) ( 2, 5) = AB AD

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 73 Hieruit volgt dat de vierhoek ABCD een parallellogram is. Het parallellogram ABCD is een ruit als AB = AD. AB = ( 5) 2 + ( 2) 2 = 29 AD = ( 2) 2 + ( 5) 2 = 29 } = AB = AD Tabel 2.5: welke vierhoek is ABCD? DELTA 3B (oud) p.88 nr.14; p.89 nr.19; p.104 nr.55 DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.14; p.99 nr.19; p.114 nr.55.

74 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.5 De richtingscoëfficiënt van een rechte 1. We kennen een stel richtingsgetallen van de rechte Met CABRY tekenen we enkele punten op eenzelfde rechte door de oorsprong. bijvoorbeeld zijn de punten P (3, 2), Q(5, 29; 3, 53) en R( 2, 57; 1, 71) (op 2 decimalen nauwkeurig) collineair met O. Er geldt: 2 3 = 3, 53 5, 29 = 1, 71 2, 57 = 0, 67. Wegens de gelijkvormigheid van driehoeken geldt dat het tweede richtingsgetal gedeeld door het eerste richtingsgetal van de stellen richtingsgetallen van dezelfde richting hetzelfde getal oplevert. We noemen dat vast quotiënt, de richtingscoëfficiënt van de rechte OP en van elke rechte evenwijdig met OP. Omgekeerd, als 2 de richtingscoëfficiënt is van een rechte dan zijn bvb. de koppels 3 (1, 2 ) en (3, 2) twee stellen richtingsgetallen van de rechte. 3 Bijzondere geval: Nemen we enkele punten van de x-as. (1, 0), (6, 0), ( 3, 0) zijn stellen richtingsgetallen van de x-richting. De richtingscoëfficiënt van de x-as is 0. Belangrijke opmerking: Nemen we enkele punten van de y-as. (0, 1), (0, 7), (0, 5) zijn stellen richtingsgetallen van de y-as. De richtingscoëfficiënt van de y-as bestaat niet. 2. We kennen twee punten van de rechte Een stel richtingsgetallen van de rechte door A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) is (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Hieruit volgt dat de richtingscoëfficiënt van de rechte AB gelijk is aan y 2 y 1 x 2 x 1. Dit quotiënt kenden we reeds van bij de eerstegraadsfuncties. Besluit: (l, m) is een stel richtingsgetallen van een rechte a y (l 0) m l is de richtingscoëfficiënt van a ω is de richtingscoëfficiënt van a (1, ω) is een stel richtingsgetallen van a DELTA 3B (oud) p.88 nr.13 en DELTA 3B (nieuw) p.98 nr.13.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 75 Tabel 2.6: Teken door het punt (1, 2) de rechte met richtingscoëficiënt 0, 8 en teken door het punt ( 2, 4) de rechte met richtingscoëficiënt 5, 5. Tabel 2.7: richtingscoëfficiënt van een rechte AB naar keuze 3. We kennen de hoek tussen de rechte en de x-as We hebben reeds gezien dat de richtingscoëfficiënt van een rechte die een hoek insluit met de x-as (hoek tussen twee rechten is per definitie altijd de scherpe hoek tussen de rechten) gelijk is aan de tangens van die hoek met een + of een - al naargelang de rechte stijgt of daalt. DELTA 3B (oud) p.91 nr.27 en DELTA 3B (nieuw) p.101 nr.27 Besluit: De richting van een rechte wordt bepaald door een stel richtingsgetallen. Is een rechte niet evenwijdig met de y-as dan kan zijn richting ook bepaald worden door zijn richtingscoëfficiënt.

76 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Tabel 2.8: richtingscoëfficiënt van een rechte die een hoek van 30 o insluit met de x-as 2.2.6 Vergelijking van een rechte door de oorsprong Een vergelijking van een rechte is de (nodige en voldoende) voorwaarde waaraan de coördinaat (x, y) van een punt P moet voldoen opdat het op de rechte zou gelegen zijn. 2.2.6.1 Opstellen van een vergelijking van een rechte door de O Voorbeelden: We beschouwen de rechte a o door O en het punt A(3, 2). De coördinaatgetallen x en y van elk punt P (x, y) van de rechte OA zijn evenredig met (3, 2). x 3 = y 2 2x 3y = 0 Deze verbanden tussen x en y zijn vergelijkingen van de rechte OA. Willen we een punt bepalen van a o dan moeten we een oplossing zoeken van de vergelijking, bvb. ( 6, 4). Geef de vergelijking van de rechte b o door de oorsprong met richtingsgetallen ( 1, 2). De rechte b heeft als vergelijking x 1 = y 2 2x + y = 0 y = 2x Een ander punt van de rechte b o is bvb. (3, 6). Geef de vergelijking van de rechte c o door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 8 7. De vergelijking van de rechte c is Een punt van de rechte is bvb. (7, 8). y = 8 x 8x 7y = 0 7

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 77 Tabel 2.9: de rechten x 3 = y 2 x 1 = y 2 y = 8 7 x Wat is de eigenschap van de coördinaat (x, y) van een punt P dat gelegen is op de x-as? De eigenschap is dat het tweede coördinaatgetal y gelijk is aan nul. De vergelijking van de x-as is dus y = 0. Wat is de eigenschap van de coördinaat (x, y) van een punt P dat gelegen is op de y-as? De eigenschap is dat het eerste coördinaatgetal x gelijk is aan nul. De vergelijking van de y-as is dus x = 0. Besluit: Een vergelijking van de rechte door de oorsprong en door het punt (l, m) is ( x l = y m met l 0 m 0 ) = mx ly = 0 Een vergelijking van een rechte door de oorsprong en met richtingscoëfficiënt ω is y = ωx Een vergelijking van de x-as is y = 0. Een vergelijking van de y-as is x = 0.

78 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.6.2 Algemene vergelijking van een rechte door O Voorbeelden: De rechte met vergelijking 5x + 4y = 0 is een rechte door de oorsprong. De eenvoudige oplossing (4, 5) is de coördinaat van een punt van de rechte en tevens een stel richtingsgetallen van de rechte. Lossen we de vergelijking op naar y dan krijgen we de vergelijking: y = 5 4 x waaruit we gemakkelijk de richtingscoëfficiënt kunnen aflezen als coëfficiënt van x, nl. 5 4. De rechte 7x 4y = 0 is een rechte door de oorsprong en door het punt (4, 7). (4, 7) is tevens een stel richtingsgetallen van de rechte. Lossen we de vergelijking op naar y dan krijgen we de vergelijking: y = 7 4 x en 7 4 is de richtingscoëfficiënt van de rechte. Tabel 2.10: de rechten 5x + 4y = 0 7x 4y = 0

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 79 Besluit: De algemene vergelijking van een rechte a O door de oorsprong is van de gedaante ux + vy = 0 met (u, v) (0, 0). Daarin is de eenvoudige oplossing (v, u) een stel richtingsgetallen van de rechte. algemene vgl. de vgl.opgelost richtings- grafische van de rechte naar y of x coëfficiënt voorstelling u 0, v 0 ux + vy = 0 y = ux u schuine v v rechte dr.o u = 0, v 0 vy = 0 y = 0 0 horizontale rechte = x-as u 0, v = 0 ux = 0 x = 0 geen verticale rechte = y-as u = 0, v = 0 0 = 0 R 2 identisch nul gans het vlak (zie 2 ) 1 OPGAVEN 10 Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte met vergelijking 3x 5y = 0 en teken de rechte. 11 Bepaal de vergelijking van de rechte door de oorsprong met richtingsgetallen ( 1, 3). DELTA 3B (oud) p.91 nrs.24-25-26; p.92 nr.29 DELTA 3B (nieuw) p.101 nrs.24-25-26; p.102 nr.29 1 identisch nul betekent hier: gelijk aan nul voor elke waarde van x en y.

80 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.7 Vergelijking van een rechte 2.2.7.1 De rechte is bepaald door een punt en een richting We beschouwen de rechte door de oorsprong a O : 3x 2y = 0. We wensen een vergelijking op te stellen van de rechte a evenwijdig met a O en gaande door het punt (4, 3). Deze rechte is het beeld van a O onder een verschuiving met vector v(4, 3). Met CABRI verschuiven we de rechte a O over de vector (4, 3). We laten CABRI de vergelijkingen van beide rechten erbij schrijven. Hoe kunnen we een vergelijking van a bekomen door berekening? De transformatieformules van een verschuiving met v(4, 3) zijn { x = x + 4 y = y + 3 { x = x 4 y = y 3 De punten P (x, y) van a O voldoen aan de vergelijking 3x 2y = 0. We zoeken nu een vergelijking waaraan de beelden P (x, y ) voldoen. Daartoe vervangen we (eventueel met DERIVE) in de vergelijking 3x 2y = 0 de x door x 4 en de y door y 3. We bekomen de vergelijking 3(x 4) 2(y 3) = 0 3x 2y 6 = 0. De beelden P (x, y ) voldoen aan het verband 3x 2y 6 = 0. Bijgevolg is 3x 2y 6 = 0 een vergelijking van het beeld a van de rechte a O onder de verschuiving. We verschuiven de rechte 3x 2y = 0 ook nog over de vector (0, 3) (verticaal). { { x = x + 0 x = x y = y 3 y = y + 3 3x 2(y + 3) = 0 3x 2y 6 = 0 De vergelijking van het beeld is 3x 2y 6 = 0

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 81 We verschuiven de rechte ook nog over de vector (2, 0) (horizontaal). { { x = x + 2 x = x y = y + 0 2 y = y 3(x 2) 2y = 0 3x 2y 6 = 0 De vergelijking van het beeld is 3x 2y 6 = 0 We verkrijgen dus telkens dezelfde rechte. Beschouwen we in het bijzonder de vergelijking opgelost naar y dan zien we in de vergelijking de bijzondere verschuiving zitten nl. deze in de riching van de y-as over de vector (0, 3) want uit deze vergelijking blijkt dat 3 de doorgang is met de y-as. y = 3 2 x 3. Tabel 2.11: de rechte evenwijdig met 3x 2y = 0 en door (4, 3)

82 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Stel een vergelijking op van de rechte b door het punt B( 3, 4) en met richtingscoëfficiënt 2 5. Een vergelijking van de rechte b O door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 2 5 is We verschuiven b O over de vector { x = x 3 y = y + 4 y = 2 x 2x 5y = 0 5 OB( 3, 4). { x = x + 3 y = y 4 2(x +3) 5(y 4) = 0 2x 5y +26 = 0. Een vergelijking van b is 2x 5y + 26 = 0. Stel een vergelijking op van de rechte c door het punt C( 5, 1) en evenwijdig met de rechte d : x + 3y + 3 = 0. We verschuiven d O : x + 3y = 0 over de vector OC( 5, 1). { { x = x 5 x = x y = y 1 + 5 y = y + 1 (x + 5) + 3(y + 1) = 0 x + 3y + 8 = 0 Een vergelijking van c is x + 3y + 8 = 0. Tabel 2.12: de rechten bepaald door een punt en een richting

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 83 Stel een vergelijking op van de rechte a door het punt A(4, 1) en met richtingsgetallen ( 2, 3). Een vergelijking van de rechte b O door de oorsprong met richtingsgetallen ( 2, 3) is x 2 = y 3x = 2y 3x + 2y = 0 3 We verschuiven a O over de vector OA(4, 1). { x = x + 4 y = y + 1 { x = x 4 y = y 1 3(x 4)+2(y 1) = 0 3x +2y 14 = 0. Een vergelijking van b is 3x + 2y 14 = 0. Tabel 2.13: rechte evenwijdig door punt A(4, 1) en met richtingsgetallen ( 2, 3)

84 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Bepaal een vergelijking van de rechte e door het punt E(1, 5 ) en evenwijdig met 3 x-as. We verschuiven x : y = 0 over de vector OE(1, 5 ). 3 { x = x + 1 y = y + 5 3 { x = x 1 y = y 5 3 ) y 5 3 = 0 y = 5 3 De rechte e heeft vergelijking y = 5 3 3y 5 = 0. Merk op dat in een vergelijking van een rechte evenwijdig met de x-as de x-term ontbreekt. enkel het tweede coördinaatgetal van het punt E speelt een rol. Bepaal een vergelijking van de rechte f door het punt F ( 5, 0) en evenwijdig met y-as. We verschuiven y : x = 0 over de vector OF ( 5, 0). { { x = x 5 x = x y = y + 0 + 5 y = y x + 5 = 0 x = 5 De rechte f heeft vergelijking Merk op dat x = 5 x + 5 = 0. in een vergelijking van een rechte evenwijdig met de y-as de y-term ontbreekt. enkel het eerste coördinaatgetal van het punt F speelt een rol.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 85 Tabel 2.14: rechte evenwijdig met x-as en rechte evenwijdig met y-as Besluit voor een vergelijking van een rechte bepaald door een punt en een richting Om een vergelijking op te stellen van een rechte zoeken we altijd eerst de vergelijking van de rechte door de oorsprong die de richting heeft van de gevraagde rechte. Vervolgens passen we een verschuiving toe met als vector de plaatsvector van een punt van de rechte. De rechte a gaat door (x 0, y 0 ) en is evenwijdig met de rechte a O : ux + vy = 0. Een vergelijking van de rechte is u(x x 0 ) + v(y y 0 ) = 0 (beeld van a O onder de verschuiving met vector v(x 0, y 0 )). De rechte gaat door (x 0, y 0 ) en is evenwijdig met de x-as. Een vergelijking van de rechte is (de x-term ontbreekt) y = y 0. De rechte gaat door (x 0, y 0 ) en is evenwijdig met de y-as. Een vergelijking van de rechte is (de y-term ontbreekt) x = x 0. DELTA 3B (oud) p.94 nrs.32-33; p.95 nrs.37-38; p.101 nr.50; p.104 nr.59 DELTA 3B (nieuw) p.104 nrs.32-33; p.105 nr.37; p.106 nr.38; p.111 nr.50; p.114 nr.59

86 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.7.2 De rechte is bepaald door twee punten We beschouwen de rechte a bepaald door de punten A(1, 2) en B(4, 3). AB = OB OA = (4 1, 3 2) = (3, 1). De gevraagde rechte gaat door het punt A (of B) en heeft (3, 1) als een stel richtingsgetallen. We zijn dus herleid tot het bepalen van een vergelijking van een rechte door een punt en een richting. We verschuiven de rechte a O : x 3 = y 1 x = 3y x 3y = 0 over de vector (1, 2). { { x = x + 1 x = x y = y + 2 1 y = y 2 x 1 3(y 2) = 0 x 3y + 5 = 0. Een vergelijking van de rechte AB is x 3y + 5 = 0. Tabel 2.15: de rechte AB

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 87 Tabel 2.16: vergelijking van een rechte evenwijdig met een coördinaatas Beschouwen we de punten A(3, 2) en B(3, 4) dan is (0, 6) een stel richtingsgetallen van AB. De rechte AB is dus evenwijdig met de y-as. Een vergelijking van AB is x = 3 Opmerking: De punten A en B hebben allebei het eerste coördinaatgetal gelijk aan 3. Alle punten van de rechte AB hebben het eerste coördinaatgetal gelijk aan 3. Vandaar is een vergelijking van AB x = 3. Beschouwen we de punten C(5, 1) en D(3, 1) dan is (2, 0) een stel richtingsgetallen van CD. De rechte CD is dus evenwijdig met de y-as. Een vergelijking van CD is y = 1 Opmerking: De punten C en D hebben allebei het tweede coördinaatgetal gelijk aan 1. Alle punten van de rechte CD hebben het tweede coördinaatgetal gelijk aan 1. Vandaar is een vergelijking van CD y = 1.

88 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.7.3 De rechte is bepaald door zijn doorgangen op x-as en y-as Is een rechte bepaald door zijn doorgangen p 0 en q 0 op resp. de x-as en de y-as, dan gaat de rechte door de twee punten A(p, 0) en B(0, q). Een stel richtingsgetallen van a = AB is (0 p, q 0) = ( p, q). x We verschuiven de rechte a o : = y over de vector p q { { x = x + p x = x y = y p y = y x p p De vergelijking van AB is x p + y q = 1. OA(p, 0). = y q x p + 1 = y q. Deze laatste vergelijking wordt de vergelijking van de rechte met zijn doorgangen op de assen genoemd. Voorbeeld: De vergelijking van de rechte bepaald door de punten (7, 0) en (0, 4) is x 7 + y 4 = 1 4x + 7y 28 = 0. Opmerking: De vorm van de vergelijking met de doorgangen is zeer handig als men vlug een rechte wil schetsen. We brengen de vergelijking van de rechte in deze gedaante en we lezen de doorgangen af in de noemers van x en y. Tabel 2.17: de rechte met zijn doorgangen op x-as en y-as DELTA 3B (oud) p.98 nr.44 DELTA 3B (nieuw)

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 89 Besluit voor als een rechte bepaald is door twee verschillende punten: Is een rechte a = AB met A(x 1, y 1 ) en B(x 2, y 2 ) dan is (x 2 x 1, y 2 y 1 ) = (l, m) een stel richtingsgetallen van a. We stellen een vergelijking op van a O : mx ly = 0. De rechte a is het beeld van a O onder een verschuiving met vector Bijzondere gevallen: OA (of OB). 1. Is x 1 = x 2 dan is AB evenwijdig met de y-as en een vergelijking van AB is x = x 1 2. Is y 1 = y 2 dan is AB evenwijdig met de x-as en een vergelijking van AB is y = y 1 3. Zijn p en q de doorgangen met resp. de x-as en de y-as dan is een vergelijking van AB (A(p, 0) en B(0, q)) x p + y q = 1.

90 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK Nog enkele rechten om een vergelijking van op te stellen: (Teken in figuur 2.18) de rechte door A(2, 3) en B(7, 5): een stel richtingsgetallen is (2 7, 3 + 5) = ( 5, 8). De richtingsruimte van AB is x = y 8x + 5y = 0. We verschuiven 5 8 AB over de vector OA = (2, 3). Een vergelijking van AB is 8(x 2) + 5(y 3) = 0 8x + 5y 31 = 0. de rechte door C( 4, 3) en D( 4, 0) is evenwijdig met de y-as. Een vergelijking is x = 4. de rechte door E(1, 4) en F (2, 4) is evenwijdig met de x-as. Een vergelijking is y = 4. de rechte heeft doorgangen 3 en 2 op resp. x-as en y-as. Een vergelijking is x 3 + y 2 = 1 2x 3y + 6 = 0. OPGAVEN 12 Stel de vergelijking op van de rechte bepaald door de punten 1. (5, 4) en ( 1, 2); 2. (3, 1) en (3, 4); 3. (2, 4) en (5, 4). 13 Gegeven de punten A(4, 2) en B( 3, 6) Gevraagd: 1. Bepaal een stel richtingsgetallen van de rechte AB; 2. Bepaal de vergelijking van de rechte c door het punt C(1, 0) en evenwijdig met AB en maak een tekening; 3. Bepaal de vergelijking van de rechte AB. DELTA 3B (oud) p.97 nr.42; p.98 nrs.43-45; p.99 nr.46; p.101 nrs.49-52; p.104 nr.60; p.105 nr.65; p.106 nr.68. DELTA 3B (nieuw) p.107 nr.42; p.108 nrs.43-45; p.109 nr.46; p.111 nr.49; p.112 nrs.51(2)-52; p.114 nr.60; p.115 nr.65; p.106 nr.68.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 91 Tabel 2.18: de rechten:

92 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.7.4 Tekenen van rechten De manier waarop we een rechte tekenen, hangt af welke informatie we hebben over deze rechte. We illustreren met een aantal voorbeelden (teken in figuur 2.19). Teken de rechte a met vergelijking 3x 4y + 8 = 0. Uit de vergelijking leiden we gemakkelijk af dat 2 de doorgang is op de y-as en dat (4, 3) een stel richtingsgetallen is. Teken de rechte b met vergelijking 6x + 5y + 18 = 0. We zien gemakkelijk dat 3 de doorgang is met de x-as en een stel richtingsgetallen is (5, 6). Teken de rechte c met vergelijking 3x + 4y + 12 = 0. De vergelijking van de rechte is gemakkelijk in de volgende gedaante te brengen x 4 + y 3 = 1 waaruit volgt dat de doorgangen met x-as en y-as resp. 4 en 3 zijn. Teken de rechte d met vergelijking y = 4 3 x + 3. De rechte heeft 3 als doorgang op de y-as en heeft richtingscoëfficiënt 4 3.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 93 Tabel 2.19: de rechten:

94 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK 2.2.7.5 Algemene vergelijking van een rechte Een algemene vergelijking van een rechte a is van de gedaante ux + vy + w = 0 met (u, v) (0, 0). : ux + vy = 0 een stel rich- Daarin is de eenvoudige oplossing van (v, u) van a 0 tingsgetallen van de rechte. algemene vgl. de vgl.opgelost richtings- grafische van de rechte naar y of x coëfficiënt voorstelling u 0, v 0 ux + vy + w = 0 y = ux w u schuine v v v w 0 rechte u 0, v 0 ux + vy = 0 y = ux u schuine v v w = 0 rechte door O u = 0, v 0 vy + w = 0 y = w 0 horizontale v w 0 rechte met x-as u = 0, v 0 vy = 0 y = 0 0 horizontale w = 0 rechte = x-as u 0, v = 0 ux + w = 0 x = w geen verticale rechte u w 0 met y-as u 0, v = 0 ux = 0 x=0 geen verticale rechte w = 0 = y-as u = 0, v = 0 w = 0 φ w 0 strijdige vgl. (zie 3 ) u = 0, v = 0 0 = 0 R 2 w = 0 identisch nul gans het vlak (zie 2 ) 2 3 2 identisch nul betekent hier: gelijk aan nul voor elke waarde van x en y. 3 φ betekent: de ledige verzameling of de verzameling waar geen enkel element inzit.

2.2. VERGELIJKING VAN EEN RECHTE 95 STELLING 2.2 Twee vergelijkingen ux + vy + w = 0 en u x + v y + w stellen evenwijdige rechten voor als en slechts als (u, v) en (u, v ) veelvouden zijn van elkaar. Twee vergelijkingen ux + vy + w = 0 en u x + v y + w stellen dezelfde rechte voor als en slechts als (u, v, w) en (u, v, w ) veelvouden zijn van elkaar. Geef enkele voorbeelden van strikt parallelle rechten: Geef enkele verschillende vergelijkingen van dezelfde rechte: OPGAVEN 14 Teken de rechten met vergelijking a : 6x+3y 12 = 0 en de rechte a : 2x+y+8 = 0. Hoe is de onderlinge ligging van a en a? Waarom? 15 Teken de rechten met vergelijking a : 3x y = 6 en de rechte b : y = 3x 6. Hoe is de onderlinge ligging van a en b? Waarom? 16 Teken de rechten met vergelijking a : 3x + 12 = 0 en de rechte b : x = 4. Hoe is de onderlinge ligging van a en b? Waarom? 17 Teken de rechten met vergelijking a : 4y 3 = 0 en de rechte b : y = 3 4. Hoe is de onderlinge ligging van a en b? Waarom? 18 Bestaat er een verschuiving die de rechte a : 6x+3y 12 = 0 afbeeldt op de rechte a : 2x+y +8 = 0? Leg uit waarom. Bepaal eventueel een vector van verschuiving. 19 Gegeven de rechte met vergelijking a : 3x 5y = 15 en het punt A( 1, 2). 1. Teken de rechte a en het punt A; 2. Stel de vergelijking op van de rechte a door het punt A evenwijdig met de rechte a en teken a ; 3. Bepaal de vergelijking van de rechte a die we bekomen door de rechte a te verschuiven over de vector (3, 5); 4. Bepaal een stel richtingsgetallen van a; 5. Bepaal de richtingscoëfficiënt van a; 6. Over welke vector kan men de rechte a verschuiven om de rechte b : 6x 10y 15 = 0 te bekomen? Maak een tekening. DELTA 3B (oud) p.92 nr.28; p.101 nr.50. DELTA 3B (nieuw) p.102 nr.28; p.111 nr.50.

96 HOOFDSTUK 2. DE RECHTE IN HET VLAK

Inhoudsopgave 1 Vectoren en transformaties 3 1.1 Plaatsvectoren in Π O....................................... 3 1.1.1 Plaatsvector van een punt................................ 3 1.1.2 Coördinaat van een plaatsvector............................ 4 1.1.3 De som van plaatsvectoren............................... 4 1.1.3.1 Definities.................................... 4 1.1.3.2 Met coördinaten................................ 6 1.1.4 Het verschil van twee plaatsvectoren.......................... 7 1.1.4.1 Definitie.................................... 7 1.1.4.2 Met coördinaten................................ 7 1.1.5 Ontbinding van een plaatsvector in componenten................... 8 1.1.6 Veelvoud van een plaatsvector.............................. 9 1.1.6.1 Het begrip................................... 9 1.1.6.2 Met coördinaten................................ 10 1.1.7 De plaatsvector van het midden van een lijnstuk................... 11 1.2 Verschuivingen.......................................... 13 1.2.1 Definitie.......................................... 13 1.2.2 Het beeld van een lijnstuk................................ 14 1.2.3 Beeld van een figuur................................... 15 1.2.4 De transformatieformules................................ 15 1.2.5 Het begrip vector..................................... 18 1.2.5.1 Definitie.................................... 18 1.2.5.2 Een vector als verschil van twee plaatsvectoren............... 18 1.2.5.3 De formule van Chasles-Möbius....................... 19 1.2.5.4 Tegengestelde vectoren............................ 20 97

98 INHOUDSOPGAVE 1.2.5.5 Veelvoud van een vector............................ 20 1.3 Evenwijdige projecties op een rechte.............................. 21 1.3.1 Definities......................................... 21 1.3.2 De projectie van een lijnstuk.............................. 22 1.3.3 De loodrechte projectie................................. 22 1.3.4 De projecties van twee gelijke en evenwijdige lijnstukken............... 24 1.4 De stelling van Thales...................................... 26 1.4.1 Constructies....................................... 27 1.4.2 De verhouding van twee evenwijdige vectoren..................... 31 1.4.3 Deelverhouding van een punt t.o.v. een puntenkoppel................ 33 1.4.3.1 Definities.................................... 33 1.4.3.2 Gegeven de ligging van C, bepaal de deelverhouding (A B C)....... 33 1.4.3.3 Gegeven de deelverhouding (A B C), bepaal de ligging van C....... 34 1.4.4 Bissectrices van een driehoek.............................. 36 1.5 Homothetieën........................................... 37 1.5.1 Definitie.......................................... 37 1.5.2 Het beeld van een lijnstuk................................ 39 1.6 Gelijkvormige figuren....................................... 44 1.6.1 Definities......................................... 44 1.6.2 Gelijkvormige driehoeken................................ 44 1.6.2.1 Homothetisch gelijkvormige driehoeken................... 44 1.6.2.2 Gelijkvormige driehoeken........................... 46 1.6.3 Omtrek en oppervlakte van gelijkvormige figuren................... 50 1.6.4 Middenparallel van een driehoek............................ 51 1.6.5 Zwaartepunt van een driehoek............................. 53 1.7 Stellingen in rechthoekige driehoeken.............................. 55 1.8 Coördinaat van een vector.................................... 57 1.9 Lengte van een lijnstuk met coördinaten............................ 57 1.10 Homothetie met centrum O................................... 58 1.10.1 Transformatieformules.................................. 58 1.11 Uitrekkingen........................................... 63 1.11.1 Uitrekking in de richting van de x-as met centrum O................. 63 1.11.2 Uitrekking in de richting van de y-as met centrum O................. 64 1.12 Spiegelingen om rechten..................................... 65 1.12.1 De spiegeling om de x-as................................ 65 1.12.2 De spiegeling om de y-as................................. 65

INHOUDSOPGAVE 99 2 De rechte in het vlak 67 2.1 Herhaling: eerstegraadsfuncties................................. 67 2.2 Vergelijking van een rechte................................... 68 2.2.1 De richting van een rechte - richtingsvector...................... 68 2.2.2 Een stel richtingsgetallen van de richting van een rechte............... 68 2.2.3 Onderzoek van de collineariteit van drie punten.................... 70 2.2.4 Herkennen van speciale veelhoeken via vectoren.................... 71 2.2.5 De richtingscoëfficiënt van een rechte.......................... 74 2.2.6 Vergelijking van een rechte door de oorsprong..................... 76 2.2.6.1 Opstellen van een vergelijking van een rechte door de O.......... 76 2.2.6.2 Algemene vergelijking van een rechte door O................ 78 2.2.7 Vergelijking van een rechte............................... 80 2.2.7.1 De rechte is bepaald door een punt en een richting............. 80 2.2.7.2 De rechte is bepaald door twee punten.................... 86 2.2.7.3 De rechte is bepaald door zijn doorgangen op x-as en y-as......... 88 2.2.7.4 Tekenen van rechten.............................. 92 2.2.7.5 Algemene vergelijking van een rechte.................... 94