handleiding tellen
inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 turven en superturven 4 2 tellen en formules 4 3 tellen en plaatjes 4 4 veelvouden en delers Error! Bookmark not defined. 5 onderzoek 5 tijdpad 7 materialen voor een klassengesprek 8 1 gereedschappen 8 2 vragen 8 3 hoofdzaken 9 4 samenhang 9 5 leerlingopgaven 9 15 september 2009 handleiding tellen 2
de grote lijn hoofdlijn aan de zijlijn Hoe je aantallen in diverse talstelsels noteert Vanaf een bepaald aantal verder tellen Eenvoudige optellingen Probleem: aan de notatie kun je niet zien in welk talstelsel je werkt. Probleem: wordt 100 (tweetallig) honderd genoemd? Terminologie: staven, matten, kubussen De begrippen: veelvoud, deler, KGV en GGD Tellen van het aantal veelvouden van een getal kleiner dan een gegeven getal Handig aantallen tellen Systeem aanbrengen Aantal in formule uitdrukken Voorzichtige introductie van variabele Schatten van een aantal Kennis maken met prisma en piramide Koppelen van twee rijtjes getallen met een formule voorbeelden Formules als korte schrijfwijze Het aantal wegen in een wegendiagram tellen Het terugbrengen van een telprobleem tot het tellen in een wegendiagram Verband met talstelsels Het verband tussen het aantal wedstrijden in een competitie en het aantal clubs Het aantal verbindingslijntjes tussen een aantal punten Toepassingen handleiding tellen 3
bespreking per paragraaf Applets TellenApplet bij opgave 2 en 3 van paragraaf 1: schrijfwijze van een aantal in een talstelsel LeggenApplet bij opgave 2 en 3 van paragraaf 1: het leggen van een aantal waarvan de schrijfwijze gegeven is OptelMatApplet bij opgave 4 van paragraaf 1: optellen in een talstelsel VlagApplet bij opgave 1 van paragraaf 3: driebaansvlaggen kleuren met drie verschillende kleuren Route1Applet bij opgave 5 van paragraaf 3: alle routes bepalen in een wegendiagram LampApplet bij opgave 15 van paragraaf 3: verband tussen signalen van een lamp en routes in een wegendiagram 1 talstelsels, veelvouden en delers Hoe je een aantal vijftallig schrijft wordt uitgelegd met kralen, staven (vijftallen), matten (vijfentwintigtallen) en kubussen (honderdvijfentwintigtallen). Hierbij kun je bijvoorbeeld vijf staven wisselen voor een mat. Daarna komen ook andere talstelsels aan de orde Hoe tel je in een talstelsel (wat is de opvolger van..)? Het optellen in een talstelsel doe je door aantallen kralen bij elkaar te leggen en te wisselen. Verder komen aan de orde: veelvoud, kleinste gemene veelvoud, deler, grootste gemene deler. Deelbaarheidseigenschappen zijn bij leerlingen vrijwel onbekend. Veel leerlingen weten bijvoorbeeld niet hoe ze aan een getal kunnen zien of het deelbar is door 3. Ook wordt door sommigen onderzocht of een getal deelbaar is door 6 terwijl ze weten dat het niet deelbaar is door 3. Het systematisch bepalen van delers van een getal levert ook de nodige problemen op. 2 tellen en formules Aantallen hoekpunten, ribben en grensvlakken in ruimtelijke figuren tellen: door dit voor een aantal gevallen (in een tabel) te verwerken wordt duidelijk hoe je dat doet en kunnen er formules voor deze aantallen voor een n-zijdig prisma en een n-zijdige piramide gemaakt worden. Het werken met de variabele n geschiedt over het algemeen probleemloos. Hoeveel getallen liggen er tussen twee gegeven getallen? (Let op: opgave 6 gaat vaak mis!) In enkele opgaven moet een schatting worden gegeven. Een belangrijke activiteit is het verband tussen twee rijtjes getallen beschrijven met een formule. 3 tellen en plaatjes Belangrijk is het tellen van het aantal routes in een wegendiagram. Een telprobleem moet in het vervolg namelijk vaker teruggebracht worden tot het tellen van het aantal routes in een wegendiagram. Verder komt het verband tussen het aantal wedstrijden in een competitie en het aantal clubs dat meedoet aan de orde. De vragen hierover zijn gevarieerd en voor de leerlingen niet eenvoudig. handleiding tellen 4
bespreking per paragraaf Het vervolg hierop is het verband tussen het aantal verbindingslijntjes tussen een aantal punten en een halve competitie. Tenslotte wordt een link met paragraaf 1 gelegd: in bepaalde wegendiagrammen kun je de routes mooi coderen met getallen uit een bijbehorend talstelsel. 4 onderzoek Hier volgen de antwoorden van de opdrachten. Opdracht 1 Hokjes en lijntjes tellen a 1+4+9=15 b 1+4+9+16=31 c 1+4+9+16+ +49+64=205 Opdracht 2 Hoeveel letters staan er in de krant? Uit het artikel Op een standaard tekstpagina zonder kop maar met één foto passen 1100 regels. Een regel bestaat uit 29 tekens. Dit zijn niet alleen de letters maar ook alle punten, komma s en spaties. Dit zijn de tekens. Een pagina heeft dus 31900 tekens (voor de liefhebber gemiddeld 15000 letters). De basisdikte of rompkrant bestaat uit 125 pagina s per week, dus 20,83 bladzijden per dag. De ene dag is de krant 20 pagina s, de andere 22. De 125 pagina s tellen gemiddeld 3987500 tekens. Opdracht 3 Delers Tot en met 100 Opdracht 4 Klein en groot verzet a vier keer, twee keer ; in het eerste geval b 5x40:25=8 keer c 3 keer d 9 keer; als het kamwiel 9 keer rondgaat, gaat het rondsel 28 keer rond. e 21 f Dat is niet erg waarschijnlijk want dan moet ze 31 kamwielen hebben of 31 rondsels Opdracht 5 Meer GGD en KGV GGD=1 GGD is het andere getal. Opdracht 6 Routes in de ruimte a 6 b arb, abr, bar, bra, rab, rba c 12 Opdracht 7 Betalen a Alle bedragen tot en met 13 eurocent, 4 en 9 eurocent niet b Zeven munten: een van 1-eurocent, twee van 2-eurocent, een van 5-euro-cent, een van 10-eurocent en twee van 20- eurocent. handleiding tellen 5
bespreking per paragraaf Opdracht 8 a 60 b 24 c 132 d 36 e 1980 f 1 g 25 h 7 GGD en KGV van drie getallen Opdracht 9 a Leuk of veel werk Anders zouden die 14 die de tweede keer hun vinger opsteken, geen van allen hun vinger de eerste keer hebben opgestoken, dus er zouden dan minstens 32 leerlingen zijn. b Minstens 2 c 12 d 12 handleiding tellen 6
tijdpad 1: Turven en superturven 2 lessen 2: Tellen en formules 2 lessen 3: Tellen en plaatjes 2 lessen 4: Veelvouden en delers 2 lessen 5: onderzoek 2 lessen proeftoets 2 lessen handleiding tellen 7
materialen voor een klassengesprek 1 gereedschappen 1 kraal, staaf, mat, kubus 2 aantal wegen berekenen 3 telprobleem terugbrengen tot tellen in een wegendiagram 4 het aantal wedstrijden in een (halve) competitie berekenen 5 telprobleem terugbrengen tot tellen van wedstrijden in een (halve) competitie 7 rijtjes getallen koppelen totdat je eindigt op 0,1,2, 2 vragen Nu je wat ervaring hebt in het drietallige stelsel, heb je misschien andere manieren (dan wisselen) ontwikkeld om bijvoorbeeld zevenentwintig drietallig te schrijven. En achtentwintig en dertig? Hoe schrijf je die getallen tientallig? Tel nu eens 212 en 222 drietallig op. Vergelijk dat met de manier waarop je tientallig te werk gaat. Waarom werken we in het tientallig stelsel? De computer werkt tweetallig, weet je waarom?. Hoeveel verbindingslijntjes kun je tussen 10 punten tekenen? Sommigen rekenen dat aantal verbindingslijntjes uit door de getallen 1 tot en met 9 op te tellen. Hoe komen ze daarbij? Waarom is deze manier in het algemeen niet handig? Hoe kun je nu handig de getallen van 1 tot en met 100 optellen? Anderen redeneren als volgt: Vanuit elk punt kun je 9 verbindingslijntjes tekenen. Dus je hebt er 10❸9=90. Wat is er fout aan deze redenering? Als een club in een volledige competitie 50 wedstrijden speelt, hoe kun je dan het totale aantal wedstrijden berekenen? Hoe kun je de delers van een getal systematisch vinden? Als je de delers in paren opschrijft (bijvoorbeeld 5 en 22 vormen een paar als delers van 110), hoef je niet zo heel ver te zoeken. Tot hoe ver (beginnend bij 1 en steeds paren opschrijvend) moet je zoeken als je de delers van 400 moet hebben? Waarom is 0 geen deler? handleiding tellen 8
3 hoofdzaken Doortellen in een talstelsel Systeem in je tellen aanbrengen Formule maken Het aantal routes in een wegendiagram handig tellen Het aantal mogelijkheden tellen door verband te zien met het aantal routes in een wegendiagram Het aantal wedstrijden in een volledige competitie Het aantal verbindingslijntjes tussen een aantal punten berekenen Veelvoud Deler KGV GGD 4 samenhang Mogelijkheden tellen door routes in een wegendiagram te tellen Wat is hierbij het probleem als je dat verband met vlaggen kleuren probeert te leggen, waarbij de banen verschillend van kleur moeten zijn? Het verband tussen een hele competitie en het aantal witte velden in een roostervierkant met zwarte diagonaal. Het aantal wedstrijden in een halve competitie is het aantal verbindingslijntjes tussen punten, waarbij er evenveel punten als clubs zijn. 5 leerlingopgaven De opgave over Bridge en Boeken lenen kun je oplossen door verband te leggen met aantal verbindingslijntjes tussen punten. Verzin nog zo een opgave. Maak een opgave over het tellen van routes in een wegendiagram. Maak een opgave over tellen in het viertallig stelsel. handleiding tellen 9