6 rillingen Nadat het gewichtje is losgelaten, gaat het op-en-neer dansen. Maar na enige tijd gaat dat over in heen-en-weer zwaaien. Het danstepo is twee keer zo hoog als het zwaaitepo. Hoe kot dat?
120 6 rillingen In deze paragraaf onderzoeken we hoe voorwerpen dansen en zwaaien rondo een evenwichtsstand. Een paar afspraken Een beweging die zich steeds herhaalt, heet een periodieke beweging. Voorbeelden vind je bij stevorken, trillende snaren, je hart, eb en vloed, de draaiing van de aarde o z n as, de draaiing van de aarde o de zon... Periodieke bewegingen o een evenwichtsstand worden trillingen genoed. Vaak bekijken we bij trillingen één punt in het bijzonder: het uiteinde van een stevork, een bol die danst aan een veer of zwaait aan een touw. De positie van dat punt eten we ten opzichte van de evenwichtsstand; dat is de plaats waar het punt ten slotte tot rust kot. We gebruiken nu niet de letter x, aar de u van uitwijking. De axiale uitwijking wordt de aplitude A genoed. Bij een gedepte trilling neet de aplitude dus af. Bij syetrische trillingen geldt: A u A Bij de dansende bollen zijn de punten P en R de okeerpunten; de snelheid is in die punten nul. Q is de evenwichtsstand odat de bollen daar ten slotte tot rust zullen koen. In Q is de snelheid axiaal. De herhalingstijd van een trilling heet de periode of trillingstijd. 6.1 Dansen en zwaaien ussen vertrek uit P en aankost in P zit dus precies één trillingstijd. Experienteel blijkt dat de trillingstijd nauwelijks van de aplitude afhangt. Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie f. Frequentie en periode hangen saen volgens 1 f et in s en f in Hz Proef 1 Een dansende bol Volgens Hooke is de uitrekking van een veer evenredig et de kracht waaree je he belast, zie p. 105. Maar dat betekent dat we een krachtsensor kunnen ijken als uitwijkingssensor voor een veer. Met zo n sensor zijn deze u(t)-grafieken bepaald van bollen die op en neer dansen aan veren. Bij eting 2 (blauw) werd bij dezelfde veer een zwaardere bol gebruikt. Bij eting 3 werd de eerste bol gebruikt et een slappere veer. Proef 2 Een trillende liniaal Plak een agneetje aan het uiteinde van de liniaal en laat het trillen boven een spoel die is aangesloten op Coach. Is de u(t)-grafiek sinusvorig? Bepaal f en verzin twee anieren o f te veranderen.
Proef 3 De terugdrijvende kracht Een slee op een luchtkussenbaan kan wrijvingsloos tussen twee veren bewegen. In de evenwichtsstand is de so van de krachten op de slee nul. egen elke andere stand verzetten de veren zich; er ontstaat een terugdrijvende kracht F v in de richting van de evenwichtsstand. Als we de slee naar links trekken en loslaten, gaat hij een trilling uitvoeren. In de okeerpunten (als u axiaal is) is ook de terugdrijvende kracht axiaal. Eén van de veren is dan axiaal ingedrukt en de ander axiaal uitgerekt. De veren werken saen o de slee weer in de evenwichtsstand te brengen. links idden rechts u ax 0 ax v 0 ax 0 F ax 0 ax De wet van Hooke Volgens Hooke voldoen stalen veren aan F = C u. Hierin is C de helling (rc) van de rechte lijn in de F(u)-grafiek. De veerconstante C geeft aan hoe stug de veer is. 6.1 Dansen en zwaaien 121 O aan te geven dat de terugdrijvende veerkracht Fv en de uitwijking u tegengestelde vectoren zijn, schrijven we de wet van Hooke ook wel zo: Fv C u Proef 4 Bepalen van C Bepalen van C doe je et de opstelling die hiernaast staat. Je eet de uitrekking u (in eter) van de veer als je de veer belast et 100 gra, 200 gra,... dus bij F = 1,0 N, 2,0 N,... Bij dit soort proeven gebruik je voor g de waarde 10 /s 2. Haronische trillingen rillingen et een sinusvorige u(t)-grafiek worden haronisch genoed. Mechanische haronische trilingen vinden we bij verzwaarde veren, stevorken en trillende snaren... In de praktijk zijn zulke trillingen vaak gedept. Mechanische haronische trillingen voldoen altijd aan de wet van Hooke. Het ogekeerde is ook waar: als de wet van Hooke geldt, is de trilling haronisch (zie Extra). Bij elastiek is de F(u)-grafiek een kroe lijn. Een bol aan een elastiek trilt dus niet haronisch en heeft geen sinusvorige u(t)-grafiek. Bij een haronische trilling geldt: Fv C u wet van Hooke De u(t)-grafiek is sinusvorig.
122 6 rillingen De periode van een verend systee In een auto is er een verende verbinding tussen de wielen en de carosserie. Daardoor voel je een (gedepte) trilling als de auto over een hobbel rijdt. Als er veel ensen in de auto zitten, is de trillingstijd groter dan wanneer je er alleen in rijdt. Bij een stug geveerde auto is de trillingstijd juist klein. Bij ieder verend systee blijkt te gelden: I Een grote assa zorgt voor een lange periode. II Een grote veerconstante C zorgt voor een korte periode. We zoeken naar een forule die het verband geeft tussen, en C. Volgens regel I staat in de teller en volgens II staat C in de noeer: x k C y De waarden voor x, y en de constante k kunnen we experienteel bepalen. We werken et één veer en variëren. Stel dat we deze waarden vinden: (kg) (s) 0,050 (1 ) 1,00 0,100 (2 ) 1,41 (niet 2!) 0,200 (4 ) 2,00 (2 ) 0,450 (9 ) 3,00 (3 ) Uit de eting bij 0,100 kg volgt dat x niet de waarde 1 kan hebben. Uit de andere etingen volgt x = ½. In de teller staat dus. We kunnen ook de assa ongewijzigd laten en C variëren. We vinden voor de helft als we C vier keer zo groot aken. Daaruit volgt y = ½. In de noeer staat dus C. Voor k zul je bij etingen iets vinden in de buurt van 6. Een natuurkundige denkt dan eteen aan 2π en dat blijkt theoretisch ook te kloppen, zie de afleiding op p. 124. 2 assa-veersystee C Deze forule is in de 17 e eeuw door Huygens afgeleid. Proef 5 Een dobber Als je een dobber onder water drukt, voel je een tegenkracht die groter wordt als je dieper kot. Ogekeerd: als je he uit het water tilt, voel je he steeds zwaarder worden. Bij een verzwaarde reageerbuis blijken kracht en uitwijking evenredig et elkaar te zijn. Net als bij de wet van Hooke geldt dus F = C u. Laat je zo n buis van 25 g in het water op en neer dansen, dan vind je voor drie trillingstijden 2,3 s. Dus = 0,77 s. Als je de buis aan een krachteter uit het water tilt, is er 0,12 N nodig voor 6,5 c. Voor C geldt dus: 0,12 N C 2 1,8 N/ 6,5 10 Met = 25 10 3 kg vind je via de forule = 0,73 s. Dit scheelt aar 5% et de experientele waarde. Proef 6 Een onbekende forule Huygens kende de trilforules voor een slinger en voor een de staaf, aar niet voor een zwaaiende ketting. Met deze schets probeerde hij die in de 17 e eeuw af te leiden. Meet voor instens zeven verschillende waarden van l de bijbehorende periode en aak in Excel een (l)-grafiek. Kies als trendlijn acht. Kun je het getal 5,23 dat voor de wortel staat bevestigen? 6, 28 2 slinger g g 2 5,13 2 staaf g 3g 5, 23?? ketting g
De periode van een slinger We kunnen de forule 2 gebruiken o C een forule af te leiden voor de periode van een slinger. O een bol aan een touw een afstand u opzij te halen, oet je er et de kracht F aan trekken. Laat je de bol los, dan ontstaat een slingering. Zolang de tophoek niet te groot is, zijn ook hier F en u evenredig et elkaar: F = C u. De trilling is dus haronisch. Echt haronisch kan hij niet zijn, want de bol beweegt langs een cirkelboog en niet langs een rechte lijn. We zoeken een forule voor de slingertijd. De C van een slinger hangt af van de lengte van het touw en de assa van de bol: Hoe langer de slinger is, hoe akkelijker je he opzij haalt, dus C is klein bij een grote l. Een bol et veel assa haal je juist oeilijker opzij, dus C is groot bij een zware bol. Zou je de proef op de aan doen, dan haalde je he daar akkelijker opzij dan op aarde, odat g daar kleiner is, dus C is klein als g klein is. C zou dus wel eens kunnen voldoen aan: g C Als je dit invult onder de wortel vind je: C g g g 2 slinger g 6.1 Zwaaien en dansen 123 Operking 1 In deze forule kot de niet voor. We hebben hier weer te aken et de ontdekking van Galilei: alle assa s vallen even snel. Operking 2 ik op je rekenachine aar eens π/ g in, dan snap je waar de forule 2 l op p. 10 vandaan kot. Proef 7 Massa s aan een veer Bepaal bij verschillende assa s de periode (je eet natuurlijk 10). Voordat je van deze etingen een grafiek aakt, schrijf je de forule wat anders op. Kwadrateer links en rechts en zet apart: 2 2 4 C C (kg) 10 (s) (s) 2 (s 2 ) 0,050 5,31 0,531 0,28 0,100.... 2 Als je van deze etingen een 2 ()-grafiek aakt, krijg je volgens de forule een rechte lijn et de helling 4π 2 /C. De waarde van die helling bereken je et C die je in Proef 4 gevonden hebt. Bereken daaree de 2 bij = 0,2 kg. eken alvast de lijn door (0;0) en ; de eetpunten zijn et kruisjes aangegeven. Operking Bij een veer et veel assa zullen de eetpunten iets hoger liggen, want die trilt iers ook. Als je 1 in de forule vervangt door 3 veer liggen de eetpunten wel op de lijn.
124 6 rillingen De energie van een haronische trilling Een trillend voorwerp staat stil in zijn okeerpunten en gaat et axiale snelheid door de evenwichtsstand. In de okeerpunten is er energie in de veer opgeslagen als veerenergie E v. In de evenwichtsstand is de energie kinetisch E k. De energie verandert dus voortdurend van vor. We verwaarlozen deping. ------- ------- ------- u v E v E k ax 0 ax 0 0 ax 0 ax ax 0 ax 0 We kunnen op twee anieren de totale trillingsenergie berekenen: óf via de kinetische energie in de evenwichtsstand, óf via de veerenergie in de okeerpunten. E k in de evenwichtsstand In de evenwichtsstand geldt: E totaal = E k,ax = 1 v 2 2 ax Hierin is de assa van het trillende voorwerp. Voor de axiale snelheid geldt: 2 A vax (Zie p. 128.) In kinetische vor is de totale energie: 1 2 2 4 A k,ax 2 2 2 2 2 E 2 A f (1) De trillingsenergie hangt dus af van de assa en nog sterker van de aplitude en de frequentie. E v in de okeerpunten In de okeerpunten is alle energie ogezet in veerenergie. Op p. 105 is voor de veerenergie van een gespannen veer afgeleid: E veer = ½Cu 2. In de okeerpunten is u ax = ±A. Daaruit volgt: E v,ax = ½CA 2 (2) De periode van een verend systee Door de forules (1) en (2) aan elkaar gelijk te stellen, krijgen we de forule voor de trillingstijd die we al eerder gebruikt hebben. Ga na: 2π 2 A 2 f 2 = ½CA 2 C = 4π 2 f 2 dus : 2 C Voorbeeld Snelheid en uitwijking Een bol van 150 gra trilt aan een veer et een axiale snelheid van 0,37 /s en een aplitude van 5,0 c. a Bereken de periode en de frequentie. b Bereken de totale energie. c Bereken C. d Bereken E k en v als u = 2,0 c. Plan van aanpak We hebben deze drie forules tot onze beschikking: 2 A vax 2 en C ΣE = ½v 2 + ½Cu 2 Oplossing a Uit de forule voor v ax volgt: 2 0, 050 0,85 s f 1,2 Hz 0,37 b E totaal = E k, a x = ½ 0,15 0,37 2 = 0,010 J 4 c 2 C C 2 invullen van niet-afgeronde getallen geeft: C = 8,2 N/ Dit is ook te vinden via E totaal = ½CA 2. d E k + E v = 0,0103 J en E v = ½Cu 2 E v = ½ 8,2 0,02 2 = 0,0016 J E k = 0,0103 0,0016 = 0,0087 J ½ 0,15 v 2 = 0,0087 v = ±0,34 /s 2
Eigenfrequenties Als je een voorwerp aanstoot, gaat het trillen et heel speciale frequenties. Zulke vaste frequenties heten eigenfrequenties. De laagste noeen we de grondfrequentie. Als je een stevork aanslaat, geeft hij één toon. Maar als je een forse tik geeft, hoor je ook boventonen. Als je zacht op een fluit blaast hoor je de grondtoon, bij hard blazen hoor je boventonen. Een fietsbel geeft altijd één speciale klank. Als je op je dui slaat, zijn de frequenties waaree je stebanden de klank AU voren, altijd dezelfde. Een roeiboot gaat alleen schoelen als je et z n allen de goede frequentie gevonden hebt. Resonantie Als je een aangeslagen stevork op tafel of op zijn klankkast zet, wordt het geluid versterkt. De lucht in de klankkast gaat eetrillen. Zet twee gelijke stevorken een eind uit elkaar en laat tegen de linker een pingpongballetje steunen. Door de rechter aan te slaan, kun je op afstand het balletje in beweging brengen. Als je aan een van de stevorken een gewichtje vastaakt, lukt de proef niet eer odat hun tonen dan niet eer gelijk zijn. Als twee voorwerpen dezelfde eigenfrequenties hebben, kunnen ze elkaars trillingsenergie goed overneen. Dit verschijnsel heet resonantie (letterlijk: eeklinken). (Lees) Uitleg De bol die danst en zwaait Dit is een bijzonder geval van resonantie want eestal zijn de frequenties gelijk. Hier is echter de zwaaitijd het dubbele van de danstijd. 6.1 Zwaaien en dansen 125 Stel dat de bol op en neer danst et 0,63 s, dan oet de zwaaitijd 1,26 s worden. Voor deze resonantie oet de totale lengte van draad plus veer in rust 39 c zijn. Reken dat na! Nog eer resonanties De opstelling hiernaast staat bekend als de slinger van Wilberforce. Als je voor de twee kleine gewichtjes de goede plaats hebt gevonden, krijg je o beurten een dansende en een draaiende beweging. Ook hier zijn de trillingstijden gelijk. Bij deze opstelling brengen we de linker bol aan het dansen. Als we de lengte van het touwtje goed hebben gekozen, stopt de linker bol en gaat de rechter et dezelfde frequentie zwaaien. Enige tijd later hangt de rechter stil en danst de linker weer.
126 6 rillingen 1 Bepaal bij deze u(t)-grafiek : a de frequentie f; b u op t = 3,0 s (illiseconde); c A op t = 5,0 s (pas op!). 2 Je hangt een blok van 150 gra aan een veer en eet dat die daardoor 12,0 c langer wordt. Daarna laat je het blok trillen en eet je 10 = 7,13 s, dus = 0,713 s. a Bereken de kracht waaree de veer werd uitgerekt. b Bereken C. c Bereken et 2 C d Hoeveel % wijkt deze theoretische waarde af van de experientele waarde? 3 Een bol et assa trilt et = 1,2 s aan een veer et C = 15 N/. a Bereken. b Hoe groot wordt als je vier van die bollen aan deze veer laat trillen? (Niet rekenen!) 4 Een astronaute bepaalt haar assa et een verende stoel; C = 800 N/. De lege stoel trilt et 1 Hz; et astronaute erin is f = 0,5 Hz. a Bereken de assa van de stoel; b en van de astronaute. 5 Een sloperskogel van 2500 kg zwaait et een periode van 8,3 s. a Bereken l et 2 g b Bereken C. Opgaven 3.1 6 De forules van de slingers in proef 6 zijn te schrijven als k l. - Bereken k voor deze drie slingers. 7 We hangen een vis aan een veerbalans die daardoor 4,9 c uitrekt en 300 g aanwijst. a Bereken de veerconstante. b Met welke trillingstijd zou deze vis dus alleen aar kunnen trillen? We vinden echter 10 = 5,0 s want we oeten in de forule nog rekening houden et de assa van de veer. De bovenkant trilt niet, daaro telt deze assa slechts voor één derde deel ee. c Bereken de assa van de veer. 8 Een bol van 100 g trilt et een aplitude van 12,0 c en een frequentie van 1,4 Hz. a Bereken zijn axiale kinetische energie. b Bereken C. Op zeker oent is u = 4,0 c. - Bereken voor dat oent: c 1 de veerenergie; c 2 de kinetische energie; c 3 de snelheid. 9 a Welk belletje zal gaan luiden als we de bol links aan het zwaaien brengen? Rechts geldt: = 200 g en C = 7,0 N/. b Hoe groot oet l zijn, opdat resonantie optreedt? Gebruik hierbij 2 g
6.2 De u(t )-grafiek van de haronische trilling 127 6.2 De u(t )-grafiek van de haronische trilling In deze paragraaf behandelen we trillingen eer wiskundig. Ook passen we de theorie van trillingen toe op geluid. De sinusvorige u(t)-grafiek Wiskundig gezien loopt een sinus verticaal van 1 tot +1 terwijl α horizontaal oploopt van 0 tot 2π radialen (of van 0º tot 360º). Natuurkundig gezien zet je verticaal de uitwijking u uit en horizontaal de tijd t. Daarbij varieert u tussen A en +A terwijl t oploopt van 0 tot. Als het kan, zorgen we ervoor dat de tijd start als de uitwijking vanuit nul positief wordt. In deze figuur hoort de blauwe aankleding van de figuur bij de wiskundige aanpak en de zwarte bij de natuurkundige. De hoek α(t) wordt de fasehoek genoed. Deze groeit eenparig. t α (rad) α (º) 0 0 0 0,5 π 180 2π 360 t α(t) α(t) Met verhoudingen zie je dat voor α(t) oet gelden: ( t) t ( t) of t 2π 360 1 Odat f kunnen we ook schrijven: α(t) = 2πft (= 360º ft) u(t) = Asinα(t) et α(t) = 2πft = 2π t ( 360 t ) haronische trilling ip Radialen en graden In veel gevallen aakt het niet uit of je de fasehoek in graden of in radialen uitdrukt. Let er alleen wel op dat je rekenachine goed staat ingesteld op de keuze die je hebt geaakt. Voorbeeld Berekenen van een uitwijking Een bol slingert haronisch heen en weer aan een touw. A = 20 c en = 2,80 s; op t = 0 s gaat de bol door de evenwichtsstand naar rechts. - Bereken u op t = 0,55 s. Oplossing Bereken eerst de fasehoek α en vul daarna u = A sinα in. 0,55 2π 1, 23.. rad 2,80 u = 20sin(1,23..) = 18,8.. = 19 c Voer zelf de berekening et graden uit. ip Een sinus tekenen Je kunt snel een goede sinus tekenen als je het volgende bedenkt: een sinus bestaat uit vier gelijkvorige stukken; is bij 0º, 180º en 360º vrijwel recht; heeft bij 90º en 270º een horizontale raaklijn; heeft bij 30º en 150º de waarde 0,5A heeft bij 210º en 330º de waarde 0,5A Verdeel de periode in 12 stukjes van 1. 12 Als je et de fasehoek werkt, zijn dat stukjes van 30º. Bepaal de posities van de top en het dal en de posities waar u = ±0,5A. Je hebt dan genoeg punten o de grafiek te tekenen.
128 6 rillingen Snelheid en versnelling Met raaklijnen aan de u(t)-grafiek van een haronische trilling is de snelheid op ieder oent te vinden. Waar de raaklijn horizontaal loopt, is de snelheid nul en waar de raaklijn steil loopt, is de snelheid groot. Onder de u(t)-grafiek is eerst het tekenverloop van de snelheid geschetst. Vervolgens is et de steilheid van de raaklijnen de v(t)-grafiek getekend. enslotte is et raaklijnen aan de v(t)-grafiek de a(t)-grafiek geconstrueerd. Je herkent in deze figuren voor de v(t)-grafiek een cosinus en voor de a(t)-grafiek een negatieve sinus. Zonder bewijs geven we de forule voor de axiale waarde van de snelheid. Je kunt die zelf afleiden als je de regels voor het differentiëren van een sinus kent: v(t) = u (t) = 2πfAcos(2πft). v ax 2 2 fa A haronische trilling Voor de snelheid van een haronisch trillend punt geldt dus: v(t) = v ax cosα(t) Fase en gerdeuceerde fase Vanaf de aarde gezien vertoont de aan steeds een ander beeld. Deze schijngestalte noeen we de fase φ (fie) van de aan. Daaree geven we aan welk deel van de aandelijkse oloop is uitgevoerd sinds de laatste nieuwe aan. Volle aan is halverwege de cyclus; de fase is dan ½. Bij de haronische trilling is de fase nul als de fasehoek α nul is; dus als er een nieuwe sinus begint. Bij de aan is er geen verschil tussen φ = 0 en φ = 1, in beide gevallen is het nieuwe aan en beginnen we opnieuw te tellen. Zo is het ook bij een trillende bol. Op een zeker oent is de bol in zijn hoogste punt, dus φ = 0,25. Eén periode later is de fase 1,25, twee periodes later 2,25, enzovoort. Odat het eestal niet interessant is hoeveel coplete trillingen er al geweest zijn, gebruiken we vaak de gereduceerde fase φ *. Je aakt van een fase een gereduceerde fase * door van φ een zo groot ogelijk geheel getal af te trekken. φ * = φ n zodat 0 φ * < 1 α(t) = 2π φ(t) of α(t) = 360º φ(t) fasehoek et ( t) t als ( 0) 0 fase u(t) = A sin(2π φ * ) of u(t) = A sin(360º φ * ) Als de grafiek als een cosinus begint, is φ(0) = ¼, want je ist dan ¼ sinus links van de oorsprong.
Geluiden registreren Het elektrische signaal van een icrofoon kun je zichtbaar aken et een coputer of et een oscilloscoop. De a (440 Hz) van een stevork blijkt een sinusvorige u(t)-grafiek te hebben: 6.2 De u(t )-grafiek van de haronische trilling 129 Met een goede toongenerator en een luidspreker kunnen we ook zuivere tonen aken. Bij een hogere frequentie horen we een hogere toon en bij een grotere aplitude horen we de toon luider. Als we geluidsapparatuur testen et een toongenerator, weten we eestal ook hoe die uziek zal weergeven. De toonhoogte is hoger bij hogere frequentie. De luidheid is groter bij grotere aplitude. Meten et een oscilloscoop Bij een oscilloscoop schrijft een lichtstip op het scher. Als de spanning toeneet, gaat de stip ohoog. De gevoeligheid wordt opgegeven in volt per schaaldeel. Op de linker foto zie je alleen dát de stip heeft bewogen aar niet hóe. Op de rechter foto ging de stip tegelijk ook naar rechts en zie je hoe de stip op en neer is gegaan. Meer naar rechts op het scher betekent later in de tijd. Bij deze foto was de tijdbasis ingesteld op 500 μs per schaaldeel. Het scher is tien schaaldelen breed, de stip heeft dus 5 s nodig o de rechterkant van het scher te bereiken. Proef 8 Een trillende stevork stil zetten Met een stroboscoop zet je de schaduw van een trillende stevork stil: f stevork = f stroboscoop. Dankzij de speld kun je beter scherp stellen. Proef 9 Een zingende zaag We registreren het geluid van een trillend zaagblad et een icrofoon en een coputer. ijdens de proef horen we de toon niet van hoogte veranderen aar wel zwakker worden. De toppen blijken evenver van elkaar te zitten aar wel lager te worden. Cardiograen Met een ECG (elektrocardiogra) wordt de elektrische activiteit van een hart onderzocht. Het eerste hoort bij een gezond hart, het tweede bij een hart na een infarct. (A 3 en Lees)
130 6 rillingen 10 Een trillend punt gaat op t = 0 s door de evenwichtsstand ohoog; = 3,45 s en A = 12,0 c - Bereken voor t = 1,20 s: a de fasehoek α; b de uitwijking u. 11 Een haronisch trillend punt heeft op een zeker oent een uitwijking van 5,0 c. De axiale uitwijking van 10,0 c wordt 2,0 s later bereikt. a Leg aan je buurvrouw/-an uit waaro niet 16 s is. b Bereken. c Bereken u van het punt 5,0 s na het passeren van de top. 12 Een atoo trilt in een vaste stof et: f = 1,5 10 13 Hz en A = 1,2 10 12. - Bereken v ax. 13 Een fles chapagne aan een touw van 9,00 wordt losgelaten op t = 0 (u = A). Voor de periode van de fles geldt: 2 g a Bereken. b eken de u(t)-grafiek vanaf het loslaten tot aan de klap. c Bepaal het tijdstip waarop de fles het schip raakt. - Hoe groot is de fase: d 1 op t = 0; d 2 bij de klap tegen het schip? Opgaven 3.2 14 Je tilt een bol die aan een veer hangt een eind op en laat he los op t = 0 s. a Hoe groot is de fase bij het loslaten? b Na hoeveel trillingstijden is de bol voor de tweede keer op z n laagste punt? c Hoe groot is dan de gereduceerde fase? 15 Een gewicht aan een veer danst op (+) en neer ( ) en heeft deze u(t)-grafiek: a Welke bewering is waar? 0 < φ(0) < 0,25 0,25 < φ(0) < 0,5 0,5 < φ(0) < 0,75 0,75 < φ(0) < 1,0. b Arceer de tijdvakken waarin het gewicht naar boven beweegt. 16 Deze registratie is geaakt van de toon van een kerisfluitje. a Maak een schatting van de periode. b Welke frequentie hoort daarbij?
17 Dit zijn de ECG s van een grijze walvis en een ens. - Hoeveel slagen aken het hart van een grijze walvis en van een ens per inuut? 18 Je doet bij een veer deze etingen (lengtes in c en assa s in gra): a Hoe groot is? b Hoe groot is l? c Hoe verhouden zich de frequenties f 1 en f 4? 19 We laten een bol aluiniu aan een veer trillen en aan net zo n veer een even grote bol lood. - Hoe verhouden de trillingstijden zich? 20 De trillende liniaal uit Proef 2 heeft een aplitude van 5 c. Enige tijd later is die door deping afgenoen tot 2 c. a Met welke factor is v ax afgenoen? b Hoeveel % van de oorspronkelijke energie is weggelekt? 6.2 De u(t )-grafiek van de haronische trilling 131 Opgaven hoofdstuk 3 21 Een olecuul HF (assa 3,4 10 26 kg) kan in een kristal trillen tussen zijn buren. Als we het kristal beschijnen et infrarood licht van 5 10 13 Hz, treedt er resonantie op. - Bereken de veerconstante van dit systee. 22 Leg uit waaro het woord versterkt niet correct is in deze zin: De klankkast versterkt het geluid van de stevork. 23 De assa van deze auto is 980 kg en hij is geveerd et C = 1,3 10 5 N/. - Bij welke snelheid ontstaat er resonantie? 24 Vier personen, saen 250 kg, stappen in een auto van 1000 kg. De veerconstante is 5,0 10 4 N/. a Hoeveel is de auto gezakt als hij is uitgetrild? b Met welke trillingstijd trilde de auto? De vier stapten tegelijk in. De schokdepers zijn niet best, want pas 3 s later trilde de auto niet eer. c Schets de u(t)-grafiek voor deze 3 s. 25 a Wanneer is een trilling haronisch? Een korenhal bevat een aar van 4,0 g; de assa van de hal is te verwaarlozen. O de aar 5,5 c opzij te buigen, is een kracht van 0,033 N nodig. Nee aan dat een haronische trilling ontstaat als je de aar loslaat. b Bereken eerst C en daarna. c Bereken E v,ax en schets E v voor A u +A. d Schets in dezelfde figuur E totaal en E k. e Bereken v als u = 1,0 c.
132 6 rillingen 26 Bij benadering geldt hier = 2 R. - Hoe vaak passeert deze skateboarder het onderste punt in 10 s? 27 Een veer heeft een lengte van 15,0 c. We hangen er een bol van 250 g aan. Die gaat op en neer dansen et d = 0,83 s. Daarna bevestigen we een touwtje et lengte L aan de veer, zodat de bol afwisselend gaat zwaaien ( z ) en dansen ( d ). Er geldt: z = 2 d. a Bereken C van de veer. b Bereken de lengte van de veer als de bol stil hangt. In de forule voor z oet je l invullen. c Bereken L. 28 Een bol slingert aan een touw heen en weer en onderbreekt twee lichtstralen die op de sensoren S 1 en S 2 vallen. S 1 staat bij de evenwichtsstand, S 2 een eind naar rechts. Van de registratie van S 2 is alleen het begin te zien. a Bepaal de periode van de slinger. b Waaro is de kuil bij S 2 breder dan bij S 1? c Nee de figuur over en vul de registratie van S 2 aan. 29 Een loopplank van 13 kg heeft een veerconstante van 8000 N/. a Met welke frequentie gaat de plank trillen als je he optilt en weer laat vallen? b Schat het tepo waaree jij op het idden van de plank oet dansen o he in resonantie te krijgen. 30 Aan een krachteter hangt een veer et een gewicht. De sensor is zo ingesteld dat hij 0 N aanwijst als de veer in rust is. Gedurende een gedeelte van de trilling kan een deel van de veer niet verder uitrekken doordat een touwtje dat blokkeert. De C van een veer is ogekeerd evenredig et zijn lengte. a Welke invloed heeft het touwtje op C en op? b Leg uit welk gebied bij deze eting bij de blokkade hoort. c Bepaal bij deze eting de verhouding 1 : 2. d Welke verhouding volgt daaruit voor C 1 : C 2? e Hoe groot is het deel van de veer dat geblokkeerd wordt?