Trillingen en Golven. Samenvatting natuurkunde Hoofdstuk 3 & 4 Joris van Rijn

Transcriptie

1 Trillingen en Golven Samenvatting natuurkunde Hoofdstuk 3 & 4 Joris van Rijn NOTE: DE HOOFDSTUKKEN IN DEZE SAMENVATTING KOMEN OVEREEN MET DE PARAGRAFEN UIT HET BOEK. BIJ EEN AANTAL PARAGRAFEN VAN DEZE SAMENVATTING STAAN LINKS NAAR HANDIGE YOUTUBE VIDEOS.

2 Inhoudsopgave 3. Trillingen Kenmerken van een trilling Definities Demping Harmonische trillingen Onderzoek van trillingen Fase en faseverschil Harmonische trillingen Slinger Massaveersysteem Harmonische trillingen wiskundig Energie in een harmonische trilling Resonantie Gedwongen trillingen Resonantie Afsluiting (Alle formules) Golven Lopende golven Transversale golf Longitudinale golf Definities Geluid Interferentie Knopen en buiken Staande golven Snaarinstrumenten Blaasinstrumenten Twee open einden Een open einde Afsluiting (Alle formules) P age

3 3. Trillingen Definitie: Een trilling is een periodieke (of herhaalde) beweging op een evenwichtsstand. Een cirkel beweging is dus geen trilling: geen evenwichtsstand. 3.1 Kenmerken van een trilling Definities Term Definitie Uitwijking (u) De afstand van het object tot de evenwichtsstand op een bepaald tijdstip. Verschilt per tijdstip. Amplitude (A) De maximale uitwijking. Altijd hetzelfde. Trillingstijd De tijd die een object nodig heeft om een volledige trilling uit te voeren. (T) Frequentie (f) Het aantal trillingen per seconde. (1/trillingstijd) Uitgedrukt in Hertz (= per seconde) Demping Eigenschappen van een trilling kunnen veranderen over de tijd. Dit gebeurt door wrijving (bijvoorbeeld lucht). Hierdoor veranderd de trillingstijd echter niet! De trilling gaat niet langzamer. Wel komt de trilling minder ver van de evenwichtsstand af: De amplitude wordt dus kleiner Harmonische trillingen Een harmonische trilling is een trilling die beschreven kan worden als een sinus functie. 3.2 Onderzoek van trillingen Trillingen kunnen gemeten worden met verschillende apparaten: Apparaat Cardiogram Seismogram Oscilloscoop Microfoon Wikipedia P age

4 3.3 Fase en faseverschil Term Fase (φφ) Definitie Aantal periode vanaf begin tijd. φφ = tt TT Gereduceerde fase (φφ r ) Faseverschil (Δ φφ) 3.4 Harmonische trillingen (Voor filmpje: kijk 3.5) De waarde van de fase vanaf 0 tot 1. 0 φφ < 1 Het verschil in fase tussen 2 tijdstippen. φφ = tt TT In werd al beschreven wat een harmonische trilling is. Voorbeelden van een dergelijke trilling zijn: Slingers en massaveersystemen. In beide gevallen valt de kracht te berekenen met de veerconstante uit de wet van Hooke: FF = CC uu Slinger De trillingstijd in een slinger is te berekenen door: TT = 2ππ ll gg Let op: Deze formule geldt alleen wanner de maximale uitwijkingshoek niet te groot is (15 graden bijv.) Massaveersysteem De trillingstijd in een massaveer systeem is ook te berekenen: TT = 2ππ mm CC 4 P age

5 3.5 Harmonische trillingen wiskundig Een harmonische trilling is een trilling met speciale eigenschappen. Naast de mooie sinus vorm geldt voor een harmonische trilling het volgende: De resulterende kracht is recht evenredig* met de uitwijking. *Recht evenredig wil zeggen: als de ene een veelvoud is van de andere. De constante in dit geval is C. Hierbij hoort de formule: FF = CC uu De (u,t)-grafiek van een harmonische trilling is wiskundig te beschrijven: uu(tt) = AA sin(2ππ ff tt) uu(tt) = AA sin 2ππππ TT 3.6 Energie in een harmonische trilling De energie in een harmonische trilling is heel belangrijk. Hiermee kunnen heel veel vergelijkingen worden opgelost. Het is belangrijk dat je het idee snapt. We nemen voor nu even het voorbeeld van een massaveerstysteem. Tijdens zo beweging komt de bol aan het einde van de veer langs oneindig veel punten. 4 van deze punten zijn speciaal. Voor deze tijdstippen is namelijk of de amplitude of de snelheid gelijk aan 0. Om de energie uit te rekenen op een willekeurig tijdstip van deze slinger kan je een formule gebruiken. De totale energie is namelijk op elk moment gelijk aan de E veer plus de E kinetisch. De formule wordt dus: EE = 1 2 CCuu mmvv2 Je ziet in deze formule de uitwijking en de snelheid voorkomen. Nu stappen we even terug naar de slinger. Als je de slingerbeweging gaat bekijken zie je dat de slinger op de uiterste punten even stil hang. De snelheid gaat helemaal terug naar 0 en wordt dan de andere kant op gericht. Op dit moment is de uitwijking maximaal (dus de amplitude) terwijl de snelheid minimaal (0) is. In dit geval valt 1 2 mmvv2 dus weg. Iets * 0 is namelijk 0. De totale energie voor wanneer het object op de uiterste punten is, is dus: EE = 1 2 CCAA2. Dit is de totale energie. Op andere tijdstippen, dus voor andere waarden van u zal de energie net zo groot zijn als nu uitgerekend. Er zijn 2 punten wanneer dit zo is: een negatieve maximale uitwijking en een positieve maximale uitwijking. Let wel: de amplitude is altijd positief. 5 P age

6 Hetzelfde, maar dan omgekeerd, geldt voor wanneer de bol de evenwichtstand passeert. Op dit moment is de uitwijking minimaal (0) en de snelheid maximaal. Voor dit tijdstip geldt dus voor de energie: EE = 1 2 mmvv2. Ook nu geldt weer dat je hiermee de totale energie uitrekent. Er zijn nu ook weer 2 punten waarvoor dit geldt: wanneer de snelheid maximaal positief is, en wanneer de snelheid maximaal negatief is. In beide gevallen hoef je niet te letten of de amplitude en snelheid positief of negatief zijn. Door de kwadraat op de A en v valt het negatieve namelijk weg. Door de formule op de vorige pagina kan je een formule voor de maximale snelheid afleiden: VVVVVVVV = AA CC mm Uit de formule van de trillingstijd (zie 3.4.2) is op te maken: CC mm = 2ππ TT Uit de 2 bovenstaande formules kan je dus concluderen dat: VVVVVVVV = 2ππππ TT Meer uitleg over maximale snelheid: Resonantie Een trilling heeft een frequentie waarmee hij uit zichzelf trilt. Deze lievelingsfrequentie noemen we de eigentrilling Gedwongen trillingen Wanneer een trilling wordt aangedreven door een andere trilling noemen we dit een gedwongen trilling. De aandrijf kan elke trilling zijn, dus ook een harmonische trilling. De aandrijf trilling heeft ook een aantal eigenschappen: A aandrijf en F aandrijf. Let op: Door een gedwongen trilling kan een trilling ook trillen in een frequentie anders anders dan de eigenfrequentie Resonantie Wanneer je een gedwongen trilling hebt en de F aandrijf veel kleiner is dan de F eigen, dan gaat het blokje heel rustig mee. Denk maar is in wat er gebeurt als je een elastiek in je hand houdt met een bal eraan. AA De bal zal rustig mee bewegen. Hier geldt dan dus: A eigen = A aandrijf. = 1. AAAAAAAAAAAAAAAAAA 6 P age

7 Als de F aandrijf veel groter is dan de F eigen, dan beweegt het blokje bijna niet. A eigen is in dit geval dan kleiner dan A aandrijf. AA AAAAAAAAAAAAAAAAAA 0. Denk maar terug aan de bal aan het elastiek. Als je je hand heel snel op en neer beweegt blijft de bal bijna stil hangen. Wanneer de F eigen bijna gelijk is aan de F aandrijf gebeurt er wat speciaals: A eigen zal dan heel erg groot worden, veel groter dan A aandrijf! AA AAAAAAAAAAAAAAAAAA 1. Dit beschrijven we met: de bal resoneert. NOTE: TELKENS IS HIER GEBRUIK GEMAAKT VAN A EIGEN, MAAR DIT NOEMEN WE MEESTAL GEWOON A Afsluiting (Alle formules) 7 P age

8 4. Golven Definitie: Wanneer een trilling aan de omgeving wordt doorgegeven treedt er een golfverschijnsel of simpelweg golf op. 4.1 Lopende golven en Een lopende golf is een golf waarbij energie wordt getransporteerd. Dit wil zeggen dat op verschillende tijdstippen dezelfe energie opgeschoven is. In het plaatje hierboven zie je een voorbeeld van een lopende golf. Note: Voor een definitie van staande golven zie: Staande golven. Er zijn 2 types van lopende golven: de transversale en longitudinale golf Transversale golf Wanneer punten op de trilling verticaal bewegen, maar de richting van de golf horizontaal is (of andersom) dan spreken we van een lopende transversale golf. De trillingsrichting en voortplantingsrichting zijn dus loodrecht (ook in 3D trouwens). De golf krijgt dan een vorm waardoor er hoge en lage punten onstaan. Deze punten noemen we golfbergen en golfdalen Longitudinale golf Wanneer punten op de trilling verticaal bewegen, en de richting van de golf ook verticaal is (of beide horizontaal) dan spreken we van een lopende longitudinale golf. De trillingsrichting en de voortplantingsrichting zijn dan dus evenwijdig. In dit geval kunnen we verdikkingen en verdunningen op zien treden. Een longitudinale golf zien we niet vaak. We gebruiken hem wel veel: geluid. 8 P age

9 4.1.3 Definities Term Voortplantingssnelheid (Golfsnelheid, v) Golflengte (λ) Trillingstijd (T) Definitie De snelheid waarmee de kop van de trilling zich voortplant. Dit is een constante afhankelijk van het medium. De afstand van een bergtop + een bergdal (van een verdikking + een verdunning) De golflengte wordt langer wanneer: 1) De voorplantingssnelheid groter wordt 2) De trillingstijd langer wordt De tijd die de kop van de golf (of de bron) er over doet op een golflengte af te leggen (in geval bron: te maken). vv = λ T en λ = v T en omdat ff = 1 TT is vv = λ ff Let op: In trillingen worden de volgende termen ook gebruikt, maar nu betekenen ze net wat anders. Term Fase (φφ) Faseverschil (Δ φφ) Definitie Aantal golflengtes vanaf de kop. De kop heeft altijd fase = 0. Het verschil in fase tussen 2 punten. φφ = xx λ 4.2 Geluid Geluidsgolven zijn, zoals de naam al weggeeft, golven. Deze golven zijn dus het resultaat van trillingen. Als je een touw een zet geeft onstaat er een golf in dat touw; in dit geval is het touw het medium. Zo heeft geluid ook een medium nodig; meestal is dit lucht, dit kan echter een vaste stof, vloeistof of gas zijn. De trillingen zijn dan trillende luchtdeeltjes die op elkaar botsen. Als je praat laatje stembanden deze lucht trillen, en zo trilt het verder. Geluid is dus een lopende golf: het verplaatst bepaalde energie. Geluid trilt niet als een touw; het is een longitudinale golf. Een toon is een zuivere toon wanneer de bijbehorende trilling harmonisch is. Een toon kan op verschillende manieren veranderen: in toon-hoogte en in toon-sterkte. Een hoge toon heeft meer bergen en dalen, dus daarvan is de trillingstijd korter, de frequentie dus groter. Harder geluid heeft een grotere amplitude. Een amplifier (versterker) is dus een apparaat die de amplitude, en daarmee de geluidssterkte vergroot. Belangrijk is om te beseffen dat de snelheid van geluid afhangt van het medium en de temperatuur. De trillingstijd (en frequentie) en amplitude hebben geen invloed op de snelheid. Denk zo: als je harder schreeuwt komt het geluid niet eerder bij de andere persoon aan. 9 P age

10 Geluid kan een bepaalde intensiteit hebben. Intensiteit wordt beschreven met vermogen per oppervlakte-eenheid: W/m 2. Hier voor is de formule: II = PP AA A is de oppervlakte waar het geluid terecht komt. Meestal is dit een bol (4ππrr 2 ). Geluidsintensiteit is een vector. Dit betekend dat het een grootte en richting aangeeft. NOTE: DIT HEEFT BOOMSMA NIET UITGELEGD, MAAR WIKIPEDIA VERTELD DIT.OOK WORDT BLIJKBAAR DE LETTER J GEBRUIKT I.P.V. I DIT STAAT BIJ: GELUIDSDRUKNIVEAU EN GELUIDSINTENSITEIT. Het geluidsdrukniveau wordt beschreven met db (decibel). Decibel is geen eenheid. Het is een logaritmische schaal om verhoudingen mee aan te duiden, net zo iets als de schaal van Richter. Met de volgende formule kan je het geluidsdrukniveau uitrekenen: LLpp = 10 log ( II II 0 ) Hierbij is I 0 de originele geluidsintensiteit. Wanneer een geluid verdubbelt wordt er 3 db bij opgeteld. Het maakt niet uit wat de originele waarde was, elke keer komt er 3dB bij. 4.3 Interferentie Wanneer 2 trillings bronnen trillen kruisen elkaars golven elkaar. Deze golven hebben beide apart bergen en dalen. Wanneer 2 bergen of 2 toppen elkaar tegenkomen onstaat er een buik. Door constructieve interferentie wordt de golf intensiteit versterkt; de golven zijn in fase. Wanneer, echter, 1 top en 1 dal elkaar tegekomen onstaat er destructieve interferentie. Dit zorgt voor een knoop omdat de trillingen in tegenfase zijn. Zodra we alleen buiken met elkaar verbinden onstaan er buiklijnen. Als we alle knopen verbinden onstaan er knooplijnen. Je zult zien dat deze lijnen elkaar afwissellen. 10 P age

11 4.3.1 Knopen en buiken Om te weten of een punt op een knoop of buiklijn ligt moet je het faseverschil tussen de 2 punten uitrekenen. Reken met φφ = xx λ Voor buiken geldt: φφ = nn, waarbij n = een heel getal. de fases van beide punten uit en trek ze van elkaar af. Voor knopen geldt: φφ = nn + 1 waarbij n = een heel getal Staande golven Wanneer 2 golven interferen, bij bijvoorbeeld terug kaatsing, onstaan er punten die altijd knopen zijn en punten die altijd buiken zijn. Als je dan de nieuwe golf bekijkt is er dus geen energie-transport. Deze golven noemen we dan ook geen lopende golven maar staande golven. 4.4 Snaarinstrumenten Snaar instrumenten hebben 2 gesloten einden. Net als lopende golven hebben staande golven ook een golflengte. De afstand tussen 2 knopen of 2 buiken is gelijk aan 1 λ. 2 Door te beredeneren kunnen we zeggen: ll = nn 1 2 λ Hierbij is l de lengte van de snaar (m), n is het aantal buiken (en een geheel getal), en λ is de golflengte (m). De hoogte van een toon is afhankelijk van de trillingstijd/frequentie. Voor de frequentie van een snaar geldt: ff = vv. Hier staat dus dat de toonhoogte afhankelijk is van de snelheid (?). In dit geval klopt het: 2ll De snelheid is afhankelijk van een medium. Bij gitaar snaren is de laagste snaar veel dikker en de hoogste snaar veel dunner. Ze zijn even lang en verschillen toch in hoogte; het moet dus wel zo zijn dat het aan het materiaal ligt. Eerder zagen we dat de voorplantingsnelheid van een trilling afhankelijk is van het medium waarin het zich verplaatst. We kunnen nu dus over de snaren apart genomen zeggen dat de hoogte verschilt doordat de voortplantingssnelheid verschilt. 11 P age

12 4.5 Blaasinstrumenten In blaasinstrumenten vinden ook trillingen plaats, met je mond laat je namelijk de lucht in het instrument trillen. Ook dit zijn staande golven. Je moet je dus goed beseffen dat de lucht in een blaasinstrument altijd op dezelfde plek blijft. Net als bij snaar instrumenten kan er gerekend worden met lengtes en frequenties. Nu moeten we alleen een onderscheid maken tussen blaasinstrumenten met 2 open einden en blaasinstrumenten met 1 open einde. De afstand tussen 2 buiken is ½ λ. De afstand tussen een knoop en een buik is ¼ λ Twee open einden ll = nn 1 2 λ N is een heel getal (aantal buiken), l de lengte van de luchtkolom (m), en λ is de golflengte (m). Ook geldt: ff = nn vv 2 ll N is ook hier een heel getal (aantal buiken), f is de frequentie (Hz), v de geluidssnelheid (m/s) Een open einde ll = (2nn 1) 1 4 λ N is een heel getal (aantal buiken), l de lengte van de luchtkolom (m), en λ is de golflengte (m). Ook geldt: ff = (2nn 1) vv 4 ll N is ook hier een heel getal (aantal buiken), f is de frequentie (Hz), v de geluidssnelheid (m/s). 12 P age

13 4.6 Afsluiting (Alle formules) 13 P age