Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton, 1687 Email: broer@math.rug.nl URL: http://www.math.rug.nl/ broer Kepler III p.2
Kepler III p.3 Brahe en Kepler Tycho Brahe Johannes Kepler (1546-1601) (1571-1630) Waarneming en berekening aan Zonnestelsel
Kepler III p.4 Harmonice Mundi Harmonie in de Kosmos? Pythagoras: kleine natuurlijke getallen in toonsafstanden verhoudingen 1 : 2 octaaf, 2 : 3 kwint, 3 : 4 kwart Harmonie der Sferen...
Kepler III p.5 Platonische lichamen - viervlak (tetraëder) vuur - kubus (hexaëder) aarde - achtvlak (octaëder) lucht - twaalfvlak (dedecaëder) æther (= quintessence) - twintigvlak (icosaëder) water Hoogtepunt van de Elementen van Euclides in boek XIII
Kepler III p.6 Kepler s wetten I & II Kepler I: Planeetbaan is ellips met Zon in brandpunt Kepler II: Gelijke tijden AB en CD dan gelijke perken
Kepler III p.7 Kepler s wet III Kepler ellips: Kepler ellips Afmeting en omloopstijd - halve lange as A - omloopstijd T Dan geldt T 2 = cst. A 3 Kepler vindt dit door bestudering waarnemingen Hieronder als theoretisch resultaat uit wiskundige principes voor bijzonder geval van cirkelbeweging Harmonie: Zie de eenvoudige natuurlijke getallen 2 en 3!
Kepler III p.8 Newton en Flamsteed Isaac Newton John Flamsteed (1642-1727) (1646-1719) Universele gravitatie
Kepler III p.9 Cirkelbaan in centraal krachtveld Puntmassa m in vlak centraal krachtveld (principe) F = km r 2 e r (1) Cirkelbaan (nu is A = R, de straal) ( ) ( x(t) r(t) = = R y(t) Verband R en T? cos( 2π T t) sin( 2π T t) ) Nu Kepler III als gevolg van mathematische principes!
Kepler III p.10 Cirkelbaan in centraal krachtveld (ctd.) y 0 F r x Cirkelbaan in centraal krachtveld F
Kepler III p.11 Snelheid cirkelbeweging x (t) = 2πR ( 2π T sin y (t) = 2πR T cos ) T t ) ( 2π T t en Geeft snelheid cirkelbeweging ( ) x (t) v(t) = y = R (t) ( 2π T sin(2π T t) 2π T cos( 2π T t) )
Kepler III p.12 Snelheid cirkelbeweging (ctd.) y v 0 x De snelheid v raakt aan de cirkelbaan
Kepler III p.13 Middelpuntzoekende versnelling y 0 a x De versnelling a wijst naar het centrum
Versnelling en kracht Versnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend) ( ) ( x (t) ( ) 2π 2 ) a(t) = y = R T cos 2π T t (t) ( ) 2π 2 T sin 2π T t ( ) 2 2π = R e r, vgl. BINAS... (2) T Nog een principe: Newton II F = ma (3) Vgln. (1), (2) en (3) geven inderdaad Kepler III: T 2 = 4π2 k R3 Kepler III p.14
Kepler III p.15 Scholium Uit de berekening blijkt dat inverse kwadraatwet (1): F = km r 2 e r equivalent is met Kepler III: T 2 = 4π2 k R2
Kepler III p.16 Literatuur I 1. Henk Broer, De chaotische schommel, Pythagoras 35(5) 1997, 11-15 2. Henk Broer, Computergebruik en demathematisering, Nieuw Archief voor Wiskunde (3) 5/8(3), september 2007, 201-205 3. Joost Hulshof, Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, 270-277 4. Rainer Kaenders, Dubbelplaneten (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, 287-298
Kepler III p.17 Galileïsche manen Jupiter Io, Europa, Ganymedes en Callisto
Kepler III p.18 Galileïsche manen Jupiter (ctd.) Merk op: bijna cirkels. Omloopstijden ongeveer Io: 2 dagen, Europa: 4 dagen, Ganymedes: 1 week, Callisto: 2 weken Geldt hiervoor Kepler III? Check Flamsteed: JA
Kepler III p.19 Universele gravitatie Klassiek standpunt: alleen de Zon trekt aan de planeten alles valt naar het centrum van de toenmalige wereld Flamsteed: ook Jupiter trekt zijn manen aan Hierna postuleert Newton de formule F = km 1m 2 r 2 e r tussen elk tweetal (punt-) massa s m 1 en m 2 op afstand r Toen pas universele gravitatie...
Kepler III p.20 Conclusies Gedaan is het met die ordelijke ellipsen! Jupiter stoort de baan van de Aarde om de Zon, enzovoorts Storingsrekening is het gevolg: woeste berekeningen aan Maanbaan Sterbedekkingen belangrijk voor lengtebepaling op zee Cruciaal experiment Flamsteed Vergelijk Eddington bij de Zonsverduistering in 1919 (check Algemene Relativiteitstheorie) Drie lichamen al heel lastig! CHAOS Van Poincaré naar speelgoedmodel Hénon-Heiles
Hénon-Heiles 1964 Gekoppelde oscillatoren x y = V x = V y met potentiele energie V (x,y) = 1 2 (x2 + y 2 + 2x 2 y 3 2y3 ) totale energie E = 2 1 ( (x ) 2 + (y ) 2) + V (x,y), behouden Via x = u en y = v naar 4D fase-ruimte R 4 = {x,y,u,v} Energie hyperoppervlak x 2 + y 2 + u 2 + v 2 + 2x 2 y 2 3 y3 = E 3-dimensionale sfeer S 3 R 4 Kepler III p.21
Kepler III p.22 De 3-sfeer S 3 Meetkunde van S 3 R 3 { } 2-dimensionale torus T 2 S 3 de vereniging van twee volle tori, geplakt langs gemeenschappelijke rand T 2...
Kepler III p.23 De 3-sfeer S 3, ctd. -2-4 0 2 4 2 0-4 -2 0 2 4-2 Hopf-vezeling van de 3-sfeer S 3 Poincaré sectie is dwars op zulke 2-tori...
Kepler III p.24 Hénon-Heiles II Geeft idee van de dynamica Energie E = 0.005 en E = 0.010 overwegend nog (multi-) periodiek
Kepler III p.25 Hénon-Heiles III Energie E = 0.012 (multi-) periodiek naast chaotisch...
... een beetje draaien Kepler III p.26
Verder... Henri Poincaré Jacques Laskar Stabiliteit Zonnestelsel multi-periodiek of chaotisch? Op welke termijn? Jacques Laskar Observatoire de Paris: voor berekeningen aan Newtoniaanse vergelijkingen Problemen te verwachten over 100.000.000 jaar Er is (veel) meer... Kepler III p.27
Kepler III p.28 Literatuur II - M. Caspar, Johannes Kepler, Stuttgartt 1995. - H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker 2008. - E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof 1950. - A. Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson 1959; Danube Edition 1968, 2nd edition 1979. - N.P. Landsman, Requiem voor Newton, Uitgeverij Contact 2005. - R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980.
Kepler III p.29 Literatuur III - H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Epsilon-Uitgaven 2008 (to appear). - H.-O. Peitgen, H. Juergens en D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.