Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel"

Rosa Timmermans
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen

2 Summary i. Stability of solar system ii. Chaos versus chance iii URL: broer

3 Korte Geschiedenis Zonnestelsel Tot 1500 vijf planeten: Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus Toen kwamen Copernicus, Brahe en Kepler en Newton URL: broer

4 Systema Saturnium (1659) Saturnus en zijn ringen Christiaan Huygens Cees D. Andriesen, Titan Kan Niet Slapen, een biografie van Christaan Huygens, Uitgeverij Contact 1993

5 Komeet van Halley Komeet van Halley 1086,..., 1531, 1607, 1682,..., 1986 Edmond Halley ( ) drukte Newton s Principia

6 Uranus William Herschel en een van zijn telescopen ( ) Ontdekking Uranus in 1781

7 Gauß en Ceres Carl Friedrich Gauß en het 10-Mark biljet ( ) Herontdekking planetoïde Ceres in 1801

8 Neptunus ontdekt 1821 Friedrich Wilhelm Bessel en Neptunus ( ) Vorm baan Uranus voorspelt bestaan Neptunus

9 Rozetbaan Mercurius Sun Perihelium-beweging Mercurius kan niet volledig met Newtoniaanse mechanica begrepen worden

10 Getijden-resonantie Maan gevangen in 1 : 1 resonantie Pluto en Charon hebben elkaar gevangen Uiteindelijk lot van het Aarde-Maan systeem... Mercurius gevangen in een 3 : 2 resonantie

11 Ontwakende wetenschap Betere natuurfilosofie (Copernicus) Nauwkeuriger waarnemingen (Brahe) Wiskundige berekeningen en principes (Kepler, Newton) Betere wiskunde infinitesimaalrekening (Newton, Leibniz, de Bernoulli s, etc.)

12 Brahe en Kepler Tycho Brahe Johannes Kepler ( ) ( ) Waarneming en berekening aan Zonnestelsel

13 Harmonice Mundi Harmonie in de Kosmos? Pythagoras: verhoudingen in toonsafstanden 1 : 2 octaaf,2 : 3 kwint,3 : 4 kwart Harmonie der Sferen...

14 Platonische lichamen - viervlak (tetraëder) vuur - kubus (hexaëder) aarde - achtvlak (octaëder) lucht - twaalfvlak (dodecaëder) quintessence - twintigvlak (icosaëder) water Euclides, Elementen boek XIII

15 Kepler s wetten I & II Kepler I: Planeetbaan is ellips met Zon in brandpunt Kepler II: Gelijke tijden gelijke perken

16 Kepler s wet III Kepler ellips: Afmeting en omloopstijd - halve lange asa - omloopstijdt Dan geldt T 2 = cst. A 3 Kepler vindt dit door bestudering waarnemingen Newton geeft dit als theoretisch resultaat uit wiskundige principes Harmonie: Zie de natuurlijke getallen2en3!

17 De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton, 1687

18 Cirkel in centraal krachtveld Puntmassa m in vlak centraal krachtveld Cirkelbaan r(t) = ( x(t) y(t) (in dit geval A = R) VerbandRenT? F = km r 2 e r (1) ) = R ( cos( 2π T t) sin( 2π T t) Kepler III uit mathematische principes! )

19 Cirkel in centraal krachtveld y 0 F r x Cirkelbaan in centraal krachtveld F

20 Snelheid cirkelbeweging x (t) = 2πR T sin y (t) = 2πR T cos ( ) 2π T t ( ) 2π T t en Geeft snelheid cirkelbeweging ( ) ( x v(t) = (t) 2π y = R T sin(2π T t) 2π (t) T cos(2π T t) )

21 Snelheid cirkelbeweging y v 0 x Snelheidvraakt aan de cirkelbaan

22 Centripetale versnelling y 0 a x Versnellingawijst naar het centrum

23 Versnelling en kracht Versnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend) ( ) ( x a(t) = (t) ( ) 2π 2cos ) 2π y = R T T t (t) ( ) 2π 2sin 2π T T t ( ) 2 2π = R e r, vgl. BINAS... (2) T Combinatie (1), (2) en (3) Newton II: F = ma (3) Kepler III: T 2 = 4π2 k R3

24 Scholium Uit bovenstaande blijkt Newtons inverse kwadraatwet (1): F = km r 2 e r Kepler III: T 2 = 4π2 k R3

25 Literatuur I - Henk Broer, De chaotische schommel, Pythagoras 35(5) 1997, Henk Broer, Computergebruik en demathematisering, Nieuw Archief voor Wiskunde (3) 5/8(3), september 2007, Joost Hulshof, Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, Rainer Kaenders, Dubbelplaneten (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007,

26 Newton en Flamsteed Sir Isaac Newton John Flamsteed ( ) ( ) Universele gravitatie...

27 Galileïsche manen Jupiter Io, Europa, Ganymedes en Callisto banen vrijwel cirkelvormig omloopstijden ongeveer Io: 2 dagen, Europa: 4 dagen, Ganymedes: 1 week, Callisto: 2 weken

28 Galileïsche manen Jupiter (ctd.) Geldt hiervoor Kepler III? Check Flamsteed: JA

29 Universele gravitatie Klassiek: alleen Zon trekt de planeten aan alles valt naar het centrum van de wereld Flamsteed: ook Jupiter trekt zijn manen aan Hierna postuleert Newton algemeen F = km 1m 2 r 2 e r tussen elk tweetal (punt-) massa s Toen pas universele gravitatie...

30 Conclusies Gedaan is het met die ordelijke ellipsen! Storingsrekening is het gevolg: woeste berekeningen aan Maanbaan Sterbedekkingen i.v.m. lengtebepaling op zee Cruciaal experiment Flamsteed Vergelijk check Eddington bij Zonsverduistering in 1919 (betreft Algemene Relativiteitstheorie) Drie lichamen al heel lastig! CHAOS Van Poincaré naar speelgoedmodel Hénon-Heiles

31 Hénon-Heiles 1964 Gekoppelde oscillatoren x = V x y = V y potentiele energie V(x,y) = 1 2 (x2 +y 2 +2x 2 y 2 3 y3 ) ( behoud energiee = 1 2 (x ) 2 +(y ) 2) +V(x,y) Viax = u eny = v naar 4D fase-ruimte R 4 = {x,y,u,v}

32 De 3-sfeerS 3 R 4 Energie hyperoppervlak x 2 +y 2 +u 2 +v 2 +2x 2 y 2 3 y3 = E 3-dimensionale sfeers 3 R 4 Meetkunde van S 3 R 3 { } S 3 de vereniging van twee volle tori, geplakt langs gemeenschappelijke rand T dimensionale torust 2

33 De 3-sfeerS 3, ctd Seiffert foliatie van de 3-sfeerS 3 in2 tori Poincaré sectie dwars op zulke 2-tori...

34 Hénon-Heiles II Geeft idee van de dynamica EnergieE = ene = overwegend (multi-) periodiek stabiel

35 Hénon-Heiles III EnergieE = (multi-) periodiek naast chaotisch...

36 ... een beetje draaien

37 Verder... Henri Poincaré Jacques Laskar Zonnestelsel multi-periodiek of chaotisch? Op welke termijn? Jacques Laskar (Observatoire de Paris): Problemen over jaar

38 Literatuur II - M. Caspar, Johannes Kepler, Stuttgartt H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker A. Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson 1959; Danube Edition 1968, 2nd edition C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein, A History of Mathematical Astronomy, Cambridge University Press H.-O. Peitgen, H. Juergens en D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Appl. Math. Sciences 172, Springer-Verlag E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980

Vergelijkbare documenten

Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel

Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica