Werkstuk Natuurkunde Zwaartekracht

Transcriptie

1 Werkstuk Natuurkunde Zwaartekracht Werkstuk door een scholier 3554 woorden 14 juni ,4 230 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Zwaarte Kracht Zwaartekracht en andere Fundamentele Krachten De zwaartekracht is een aantrekkende kracht die bestaat tussen alle dingen met massa of energie. De zwaartekracht wordt beschouwd als één van de vier fundamentele natuurkrachten, naast de elektromagnetische kracht, de sterke kernkracht en de zwakke kernkracht. De laatste twee spelen alleen een rol in atoomkernen en zijn daar heel belangrijk voor kernreacties en radioaktiviteit. De elektromagnetische kracht zorgt ervoor dat negatief elektrisch geladen deeltjes en positief elektrisch geladen deeltjes elkaar aantrekken, en dat gelijkgestemde ladingen elkaar afstoten. De elektromagnetische kracht bindt negatief geladen elektronen aan positief geladen atoomkernen en is belangrijk in elke scheikundige reactie, en natuurlijk in elektriciteit en magnetische effecten. Als er geen sterke kernkracht was dan zouden er waarschijnlijk geen andere elementen bestaan dan waterstof, want zonder kernkracht zouden er geen twee of meer protonen bij elkaar in een atoomkern kunnen zitten, omdat die allemaal positieve elektrische lading dragen en elkaar daarom sterk elektromagnetisch afstoten. De sterke kernkracht moet op de zeer kleine schaal van een atoomkern dus wel een stuk sterker zijn dan de elektromagnetische kracht. De kernkrachten nemen echter veel sneller af met toenemende afstand dan de elektromagnetische krachten doen, zodat buiten de atoomkern de elektromagnetische kracht het wint van de kernkrachten. De Formule van Zwaartekracht Voor zover bekend is Isaac Newton uit Engeland de eerste mens geweest die de zwaartekracht begon te begrijpen (op wetenschappelijke wijze), en dat was in de 17e eeuw. Zijn wetten van de zwaartekracht vormen ook vandaag nog het fundament van de studie van de bewegingen in het heelal. Aan het begin van de 20e eeuw bedacht Albert Einstein de Algemene Relativiteitstheorie* waaruit door versimpeling de wetten van Newton volgen. Alleen in situaties waarbij materie snelheden dicht bij die van het licht kan krijgen beginnen de antwoorden van de theorieën van Newton en Einstein flink te verschillen. In meer gewone situaties zijn die verschillen zeer klein, maar toch soms wel meetbaar. In alle testen die tot nu toe gedaan zijn is gebleken dat in zulke gevallen de theorie van Einstein precies klopt (zo goed als het gemeten kan worden), en die van Newton dus te simpel is. Pagina 1 van 7

2 De beste beschrijving die we nu hebben van de werking van zwaartekracht is via een formule uit de Algemene Relativiteitstheorie van Albert Einstein. Die formule is klein maar er hoort heel veel uitleg bij met moeilijke wiskunde (bijvoorbeeld tensorrekening), dus die is alleen geschikt voor mensen die die moeilijke wiskunde al kennen. Dit is Newton s formule van zwaartekracht: F = G M m/r 2 In deze formule is F de zwaartekracht tussen een massa M en een andere massa m die elk in een punt geconcentreerd zijn, is r de afstand tussen de twee puntmassa's, en is G de universele zwaartekrachtsconstante. Als je M en m meet in kilogram, r in meter, en F in Newton (een eenheid van kracht, symbool N), dan heeft G de waarde 6.672e-11 m³/(kg s²). Bijvoorbeeld, de zwaartekracht tussen twee puntmassa's van 10 kg op een onderlinge afstand van 1 m is gelijk aan 6.672e-11*10*10/(1*1) = 6.672e-9 N. De zwaartekrachtswet van Newton geldt ook voor sommige massa's die niet in een punt geconcentreerd zijn. Voor dingen die puntsymmetrisch zijn (zodat je ze willekeurig kunt draaien en ze er toch steeds hetzelfde uit zien) neem je gewoon de afstand tussen de middelpunten van de bollen, en dan klopt de formule net zo goed als voor puntmassa's. Voor willekeurige dingen klopt de zwaartekrachtswet niet precies maar wel ongeveer, als je de afstand tussen de middelpunten (meer precies: tussen de zwaartepunten) voor r neemt, en vooral als de afstand tussen de dingen veel groter is dan hun afmetingen. Voor hele precieze antwoorden moet je de precieze vorm en verdeling van massa over het ding meerekenen. *Albert Einstein heeft aan het begin van de 20e eeuw twee Relativiteitstheorieën opgesteld, namelijk de Speciale Relativiteitstheorie en de Algemene Relativiteitstheorie. Deze theorieën zijn nu de beste die we hebben voor de beschrijving van ruimte en tijd en zwaartekracht. De Algemene Relativiteitstheorie is een uitbreiding van de Speciale Relativiteitstheorie en beschrijft hoe het zit met ruimte en tijd ook als er wel krachten op de waarnemer werken. De Algemene Relativiteitstheorie stelt dat de gevolgen van een versnelling niet af hangen van de oorzaak van de versnelling (zelfs niet als dat de zwaartekracht is). Hieruit volgt onder andere dat zwaartekracht licht af doet buigen en de tijd kan vertragen. Het bereik van de Zwaartekracht De zwaartekracht van de Aarde gaat oneindig ver door, maar wordt wel steeds zwakker als je steeds hoger boven de Aarde komt. De regel is als volgt: Telkens als je tweemaal verder van het midden van de Aarde komt is de zwaartekracht nog maar een kwart zo sterk. De straal van de Aarde is ongeveer 6400 km dus als je 6400 km boven de grond bent (en dus 2 maal 6400 km van het midden van de Aarde) dan is de zwaartekracht nog maar een kwart van wat hij op de grond is. Ook de zwaartekracht van andere voorwerpen gaat oneindig ver door en neemt af met het kwadraat van de afstand. Zware massa en trage massa Massa komt voor in twee fundamentele formules uit de natuurkunde. De tweede Bewegingswet van Pagina 2 van 7

3 Newton zegt dat "de verandering van beweging is recht evenredig met de uitgeoefende kracht", wat neerkomt op de formule (Vgl. 1) F = mi a Waar F de uitgeoefende kracht is, a de opgewekte versnelling en mi de evenredigheidsconstante die voor een gegeven voorwerp een vaste waarde heeft en die de trage massa genoemd wordt. De Universele Zwaartekrachtswet van Newton beschrijft de zwaartekracht tussen twee lichamen gebaseerd op hun eigenschappen en op de afstand tussen hun zwaartepunten: (Vgl. 2) Fg = G Mg mg / r² Waar Fg de zwaartekracht is, Mg de zware massa van één van de lichamen, mg de zware massa van het andere voorwerp, en r de afstand tussen hun zwaartepunten. Als je de Fg uit vergelijking 1 gelijk stelt aan de F uit vergelijking 2, dan kun je de versnelling uitrekenen die de zwaartekracht geeft. Deze is (Vgl. 3) g = ag = Fg/mi = G Mg (mg/mi) / r² Het equivalentieprincipe stelt dat de zware massa van een voorwerp identiek is aan de trage massa van dat voorwerp, ofwel mg mi, zodat (Vgl. 4) g = G Mg / r ² Dat onafhankelijk is van de massa mi = mg = m van het versnelde voorwerp. Vanwege het equivalentieprincipe is de zwaartekrachtsversnelling die een voorwerp ondervindt onafhankelijk van de massa van dat voorwerp. De Maan ondergaat bijvoorbeeld een bepaalde versnelling vanwege de zwaartekracht van de Aarde. Als je de Maan vervangt door een auto, dan zal die auto precies dezelfde versnelling ondergaan op dezelfde plaats. Echter, het equivalentieprincipe vergelijkt alleen versnellingen die verschillende voorwerpen ondergaan in dezelfde situatie op dezelfde plaats. Het zegt bijvoorbeeld helemaal niets over de versnelling van het andere voorwerp. Als je de Maan vervangt door een auto, dan is de versnelling van de auto hetzelfde als dat van de Maan was, maar de versnelling van de Aarde is dan een stuk minder omdat het nu door een veel minder massief voorwerp aangetrokken wordt. (We vergelijking twee systemen: In systeem A worden de Aarde en de Maan stil gehouden op hun gemiddelde afstand. Systeem B is gelijk aan systeem A maar heeft een tweede Aarde in plaats van de Maan. Laat nu de voorwerpen in de beide systemen los zodat ze onder invloed van hun zwaartekracht naar elkaar toe vallen. De twee Aardes in systeem B zullen eerder tegen elkaar botsen dan de Aarde en de Maan in systeem A (als we aannemen dat ze allemaal vrij vallen uit een beginsituatie zonder snelheid). De Maan uit systeem A begint met dezelfde versnelling als de Aardes uit systeem B (vanwege het equivalentieprincipe), maar de Aarde in systeem A begint met een veel kleinere versnelling omdat de massa van de Maan die hem aantrekt zoveel kleiner is (omdat vergelijking 6 nog wel de massa van het andere voorwerp bevat). De som van de versnellingen van de twee voorwerpen in systeem B is daarom groter dan de som van de versnellingen in systeem A, dus zullen de voorwerpen in systeem B eerder bij elkaar komen dan de voorwerpen in systeem A.) Hoe zwaartekracht ontstaat Zwaartekracht is een eigenschap van massa. Alles dat massa heeft, heeft ook zwaartekracht. De Pagina 3 van 7

4 zwaartekracht is evenredig met de massa, dus als de massa een bepaalde factor groter wordt dan wordt de zwaartekracht dat ook met dezelfde factor. Zwaartekracht hoort bij alles dat massa heeft. De zwaartekracht die je zelf opwekt is echter veel kleiner dan de zwaartekracht die een planeet opwekt, en is ook veel kleiner dan de elektromagnetische krachten die de eigenschappen van alle dingen om ons heen bepalen (behalve van radioactiviteit), dus merk je normaal gesproken niet dat dingen op Aarde ook zwaartekracht hebben. Albert Einstein heeft ons geleerd dat ruimte en tijd verweven zijn, zodat hoe lang iets is of hoe lang iets duurt niet voor iedereen gelijk is zelfs als iedereen perfecte meetapparatuur heeft. Dat soort effecten zijn alleen merkbaar voor dingen met een snelheid dicht bij die van licht. Zo kunnen sommige zeer snelle kosmische deeltjes tot vrij laag in de dampkring komen omdat voor hen vanwege hun zeer grote snelheid de tijd langzamer verloopt (of, gezien vanuit hun perspectief, dat de dampkring dunner is) en het dus langer (volgens onze klok) duurt voor ze uit elkaar vallen dan voor gelijksoortige langzame kosmische deeltjes. De ruimte-tijd (de combinatie van ruimte en tijd) wordt vervormd door de aanwezigheid van massa, net zoals een zware bal een kuil maakt als je hem op een strakgetrokken stuk rubber legt. De kromming van de ruimte-tijd merken wij op als zwaartekracht. Als je een knikker over rubber laat rollen dan zal die knikker door de kuil van een rechte baan afgebogen worden, net alsof de knikker aangetrokken wordt door de bal die de kuil maakt, maar eigenlijk buigt de knikker alleen af omdat de strook rubber waar hij overheen rolt niet vlak is, of dat nu door de nabije bal komt of door iets anders. Op dezelfde manier lijkt het alsof de zwaartekracht van de Aarde direct aan de Maan trekt en de Maan zo in een baan rond de Aarde houdt, maar "eigenlijk" wordt de Maan van een rechte lijn afgebogen omdat de ruimte-tijd op haar pad niet vlak is, wat weer komt door de aanwezigheid van de Aarde. Er gebeurt dus niets speciaals in een planeet om aantrekkingskracht op te wekken. Een planeet heeft alleen merkbare zwaartekracht omdat hij een zeer grote hoeveelheid massa heeft. Zwaartekracht uitschakelen Als er nooit zwaartekracht was geweest, dan zouden er geen sterren, planeten, melkwegstelsels of mensen geweest zijn, maar alleen wolken van gas en stof, gelijk verdeeld over het Heelal en veel kouder dan het ooit op de Zuidpool wordt. Als je de zwaartekracht tussen de Aarde en de Zon plotseling uit zou schakelen, dan zou de Aarde recht door vliegen in de richting die hij toen toevallig had en met de snelheid ten opzichte van de Zon die hij toevallig had, want de eerste Wet van Newton zegt dat iets waarop geen krachten werken met een constante snelheid langs een rechte lijn beweegt. De baansnelheid van de Aarde is ongeveer 30 km/s, dus zou de Aarde dan met die snelheid van de Zon weg vliegen. Voor zover wij weten is het echter onmogelijk om zwaartekracht uit te schakelen, omdat het een eigenschap is van massa. Als ergens massa is dan is er ook zwaartekracht. De enige toestand waarin je geen gewicht voelt is als je in vrije val bent. In de ruimte is dat willekeurig lang vol te houden, maar nabij het aardoppervlak is dat alleen tijdelijk te doen, bijvoorbeeld in een vliegtuig dat langs de juiste paraboolbaan naar boven en weer naar beneden vliegt. Om in en uit die baan te geraken heb je dan juist bewegingen nodig die je een groter gevoel van gewicht geven dan op de grond. Astronauten trainen voor gewichtloosheid door van zo'n vliegtuig gebruikt te maken. Pagina 4 van 7

5 Gewicht Je kunt zwaartekracht alleen voelen als die tegengewerkt wordt. Als je op de grond staat dan trekt de zwaartekracht van de Aarde je naar beneden maar duwt de grond je even hard omhoog, en daarom blijf je gewoon staan, maar je voelt de zwaartekracht dan wel, als gewicht. Een astronaut in de ruimte weegt helemaal niets, maar heeft nog steeds dezelfde massa (hetzelfde aantal kilogrammen) als op Aarde. Massa en gewicht zijn dus niet hetzelfde. Je massa is hoeveel materiaal er in je hele lichaam zit. Je gewicht is hoeveel kracht de grond (of iets anders waarop je staat) op je uitoefent. Als je op de Aarde of de Maan of een ander hemellichaam staat dan is je gewicht evenredig met je massa maar ook met de zwaartekrachtsversnelling. Als de zwaartekracht minder sterk is, dan wordt je minder sterk naar beneden getrokken en duwt de grond je dus ook minder sterk weer naar boven (zodat je rustig kunt blijven staan), dus weeg je dan minder. Je weegt op de Maan minder dan op de Aarde omdat de zwaartekracht op de Maan minder sterk is dan op Aarde. Er zijn twee fundamenteel verschillende soorten weegschalen. Er is een soort die gewichten (massa's) vergelijkt en er is een soort die krachten meet. We noemen iets van de eerste soort een balans. Voor de tweede ken ik geen algemene naam. Ik zal ze hier veerweegschaal noemen. Bij een balans moet je tegengewichten toevoegen of weghalen of verschuiven totdat het ding waarvan je de massa wilt weten in balans is met de tegengewichten waarvan je de massa al kent. Aan hoever je de tegengewichten moest verschuiven of aan hoeveel tegengewichten je moest gebruiken kun je aflezen wat de onbekende massa is. Deze meting is niet afhankelijk van de zwaartekracht (behalve dat het niet werkt als er helemaal geen zwaartekracht is), dus meet je hiermee de massa en niet het gewicht. Als je op een veerweegschaal gaat staan dan druk je een veer van de weegschaal in vanwege de zwaartekracht die je naar beneden trekt. Als je meer massa hebt dan druk je de veer verder in en dan geeft de veerweegschaal een grotere waarde aan. Als je jezelf weegt op een plek met minder zwaartekracht, dan druk je de veer minder ver in en geeft de veerweegschaal een kleinere waarde aan. De metingen met veerweegschalen hangen dus af van de sterkte van de zwaartekracht, dus meet je daarmee het gewicht en niet de massa. De meeste veerweegschalen meten in een eenheid van massa (zoals het kilogram), hoewel ze eigenlijk zouden moeten meten in een eenheid van kracht (zoals de newton). Je moet de kilogrammen van een veerweegschaal dus opvatten als "kilogrammen in de standaardzwaartekracht van de Aarde". Wat gebeurt er nu als je met een balans en een veerweegschaal naar de Maan gaat en jezelf daar meet? Dan zal de balans even veel aanwijzen als op Aarde, omdat de tegengewichten net zoveel lichter geworden zijn als jijzelf en je dus nog steeds in balans houden. De veerweegschaal zal op de Maan ongeveer zes keer minder aanwijzen, omdat de zwaartekracht op de Maan ongeveer zes keer minder sterk is als op de Aarde. Ook op Aarde is de zwaartekracht niet overal precies hetzelfde, dus zal je gewicht op Aarde ook een beetje afhangen van waar je bent. Op de polen is de zwaartekracht ongeveer een half procent (een tweehonderdste deel) sterker dan op de evenaar, dus zul je op de polen ongeveer een half procent meer wegen dan op de evenaar. Voor iemand van 50 kg scheelt dat een gewicht equivalent met ongeveer een kwart kilogram. Het gewicht van een voorwerp is afhankelijk van de positie van het voorwerp op Aarde hoofdzakelijk omdat de Aarde om zijn as draait. Als de Aarde niet om zijn as zou draaien dan zou het gewicht van een Pagina 5 van 7

6 voorwerp veel minder variëren met de plaats op Aarde. Dan zou het gewicht alleen nog veranderen door minieme zwaartekrachtsverschillen die te maken hebben met bergen of zware gesteenten in de buurt (of juist niet in de buurt). Als je in een draaimolen zit dan voel je een middelpuntvliedende kracht naar buiten toe en die kracht wordt sterker als de draaimolen sneller draait of als je verder van het midden af zit (dus dichter bij de buitenkant). Net zo werkt er een middelpuntvliedende kracht* op iemand die op de draaiende Aarde staat. Net als in een draaimolen is die kracht sterker als je verder van de draaias bent, dus is hij het sterkste op de evenaar en afwezig op de polen. Het verschil is niet zo groot: maar ongeveer een half procent. Iets is gewichtloos als de zwaartekracht erop niet wordt tegengewerkt en als het ook geen eigen voortstuwing heeft. Iets dat vrij in de ruimte zweeft is dus gewichtloos. Dat kan een astronaut zijn, een kunstmaan of een ruimteschip, maar ook de Maan of een planeet zoals de Aarde, of de Zon. Als de zwaartekracht vrij spel heeft, dan ben je wel gewichtloos maar heeft de zwaartekracht wel invloed op je weg door de ruimte: De zwaartekracht verandert dan je richting of je snelheid of allebei. Middelpuntzoekende (centripetale) kracht Wanneer een bal aan een touwtje wordt rondgeslingerd, werkt er op de bal een kracht naar binnen. Deze naar binnen gerichte kracht wordt veroorzaakt door een middelpuntzoekende kracht: de spanning in het touwtje. De grootte van deze kracht is gelijk aan mv 2/r, waarbij m de massa van de bal is, v de snelheid en r de afstand van de bal tot het draaipunt, in dit geval de hand. Op de hand die het touwtje rondslingert, werkt een kracht naar buiten: de middelpuntvliedende (centrifugale) kracht. Resonanties In de natuurwetenschappen is een resonant verschijnsel een verschijnsel waarbij een bepaalde combinatie van effecten zichzelf zodanig versterkt dat het gevolg veel groter is dan je zou verwachten op basis van de kleine originele effecten. Meestal gebeurt de versterking alleen als de effecten optreden met één van de natuurlijke frequenties van het resonante verschijnsel. De mooie tonen die er uit een goed gestemd muziekinstrument komen zijn bijvoorbeeld het gevolg van resonantie. Je slaat of strijkt of blaast het instrument op een manier waar een wijd bereik aan frequenties in zit, maar alleen het geluid met de natuurlijke frequenties van het muziekinstrument wordt resonant versterkt en krijgen wij te horen. In de astronomie wordt resonantie ook gebruikt als naam voor een geval waarin kleine effecten die normaal gesproken te verwaarlozen zijn nu wel een merkbaar effect hebben omdat ze precies in de maat lopen met iets anders. Twee soorten resonanties komen vaak voor, namelijk baan-baanresonantie en spinbaanresonantie. Die worden nader uitgelegd. Als een hemellichaam in een resonantie gevangen is en als één van de belangrijke perioden van de resonantie voldoende langzaam door andere oorzaken verandert, dan kan de onderlinge zwaartekracht de resonantie in stand houden en dan veranderen de andere belangrijke perioden dus mee. Een verandering van perioden betekent dat er energie uitgewisseld wordt, dus zijn resonanties belangrijke manieren om energie uit te wisselen. Baan-baanresonanties Pagina 6 van 7

7 Baan-baanresonantie is het geval als twee hemellichamen periodiek ongeveer dezelfde posities innemen ten opzichte van elkaar, zodat hun onderlinge zwaartekracht er voor zorgt dat dat zo blijft (in een stabiele resonantie), of juist dat ze daar snel weer vandaan komen (in een onstabiele resonantie), hoewel die onderlinge zwaartekracht veel kleiner is dan de zwaartekracht tussen de Zon en elk van de hemellichamen. In het geval van baan-baanresonantie tussen twee hemellichamen is een bepaald veelvoud van de omlooptijd (jaar) van het ene hemellichaam precies gelijk aan een bepaald veelvoud van de omlooptijd van het andere hemellichaam. Zo is bijvoorbeeld Pluto gevangen in een 3:2-baan-baanresonantie met Neptunus: Elke twee omlopen van Pluto zijn gemiddeld precies even lang als elke drie omlopen van Neptunus. Zaken in Lagrangepunten* zijn gevangen in 1:1-baan-baanresonanties. Zo hebben de Trojaanse en Griekse groepen van asteroïden een 1:1-baanresonantie met Jupiter, en heeft de Hilda-groep van asteroïden een 3:2-baanresonantie met Jupiter. Onstabiele baan-baanresonanties (2:1, 3:1, 5:2, enzovoorts) zorgen voor de zogenaamde Kirkwoodgaten in de verdeling van asteroïden over de lengten van de halve lange as van hun baan. Baan-baanresonanties kunnen ook tussen meer dan twee hemellichamen optreden, maar die kunnen ingewikkelder in elkaar steken en dan hoeven de omloopperioden niet precies veelvouden van elkaar te zijn. Zo zijn de manen Io, Europa en Ganymedes van Jupiter allen gevangen in een gezamelijke baanbaanresonantie. Spin-baanresonanties Spin-baanresonantie is het geval als een hemellichaam periodiek dezelfde oriëntatie inneemt na een geheel aantal omloopperioden van het hemellichaam. Spin-baanresonantie gebeurt als een bepaald veelvoud van de draaiperiode (dag) van het hemellichaam precies gelijk is aan een bepaald veelvoud van de omloopperiode (jaar) van het hemellichaam. Ik weet niet of er ook onstabiele spin-baanresonanties zijn net als er onstabiele baan-baanresonanties zijn. Alle grote manen in ons Zonnestelsel zijn in een 1:1-spin-baanresonantie: Die manen tonen altijd dezelfde kant aan de planeet, zoals onze Maan ook doet ten opzichte van de Aarde. Het lijkt erop dat de planeet Mercurius in een 3:2-spin-baanresonantie gevangen is: Driemaal de draaiperiode (dag) van Mercurius is gelijk aan tweemaal zijn omloopperiode (jaar). *In een stelsel met twee hemellichamen die in cirkelbanen om hun gemeenschappelijke zwaartepunt draaien zijn er vijf punten waar de zwaartekracht van de twee lichamen en de middelpuntvliedende kracht in de cirkelbaan van het punt precies met elkaar in evenwicht zijn. Die punten zijn de Lagrangepunten, vernoemd naar de wiskundige die ze voor het eerst uitrekende. Pagina 7 van 7