Met passer en liniaal De opgaven in deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor oo je geodriehoe gebruien, maar niet om te meten. Thales van Milete die omstrees 580 voor Christus leefde, wordt beschouwd als de eerste Griese wisundige. In oude culturen vind je vormen van wisundig denen, bijvoorbeeld in China, Egypte, abylonië. De Grieen (vanaf de zesde eeuw voor Christus) paten de wisunde heel systematisch en streng aan. Ele bewering die je deed, moest je oo unnen bewijzen, dat wil zeggen terug unnen voeren op door iedereen geaccepteerde uitgangspunten, de axioma's. De Grieen eisten daarom dat je meetundig figuren (vierant, middelloodlijn, ) met passer en liniaal on teenen. ls je dat gedaan had, moest je er iemand oo nog van overtuigen dat het zo goed was een bewijs geven. Meer hierover un je lezen bij bijvoorbeeld Etienne Vermeersch: De pijlers van het westerse denen in de Oudheid en Middeleeuwen, op internet te vinden: http://www.etiennevermeersch.be/cursussen/historisch_overzicht_wijs begeerte/hoofdstu_2/?searchterm=de pijlers van het westerse denen Voorbeeld Middelloodlijn van een puntenpaar teenen Gegeven zijn de punten en. Teen met passer en liniaal de middelloodlijn van en. Constructie 1. Teen een cirel met middelpunt en straal groter dan de helft van de afstand van tot. (Zie hieronder.) 2. Teen een cirel met middelpunt en dezelfde straal. De snijpunten van deze cirels noemen we en Q. 3. Teen de lijn door de punten en Q. Dat is de middelloodlijn van en. 1 2 3 Q Q ewijs De punten en Q zijn zó geteend, dat ze even ver van als van liggen. Dus en Q zijn punten van de middelloodlijn van en. Dus is lijn Q de middelloodlijn van en. 1 Teen hiernaast de middelloodlijn van en. Met passer en liniaal 1
2 Teen met passer en liniaal het midden van lijnstu. In opgave 2 un je de constructie van de middelloodlijn gebruien. Dat an oo in de volgende opgave. 3 Een loodlijn neerlaten Teen met passer en liniaal een lijn door die loodrecht staat op lijn. Tip. Teen een cirel met middelpunt die in twee punten snijdt. 4 Een loodlijn oprichten is een punt op lijn. Teen met passer en liniaal een lijn door die loodrecht staat op lijn. 5 Teen hiernaast met passer en liniaal het punt zó, dat lijn m de middelloodlijn is van en. 6 Een hoe overbrengen m Teen met passer en liniaal een hoe met hoepunt, die even groot is als de grijze hoe. moet één van de benen van de hoe worden. In het boe heb je gezien hoe je de geodriehoe unt gebruien om lijnen evenwijdig aan een gegeven lijn te teenen. 7 Een lijn door een punt teenen evenwijdig aan een gegeven lijn Teen met passer en liniaal een lijn door evenwijdig aan. Tip. Laat vanuit een loodlijn m neer op. Richt in de loodlijn op m op. Opmering Door op onderling gelije afstanden een serie evenwijdige lijnen te teenen, ontstaat een "liniëring". Zie de applet 1.3 - Liniëring Met passer en liniaal 2
8 In opgave 2 heb je gezien hoe je een lijnstu in twee gelije stuen unt verdelen. Schrijf op hoe je een lijnstu in vier gelije stuen unt verdelen. Voorbeeld Een lijnstu in drie gelije stuen verdelen Verdeel het lijnstu in drie gelije stuen. 1. Teen een halve lijn met beginpunt en pas hierop met de passer drie gelije stuen af, te beginnen in. Zie hieronder lins. (Hoe ver je de passer open maat, is niet belangrij.) 1 2 3 2. Noem de verdeelpunten 1, 2 en 3. 3. Teen 3 en door 1 en 2 lijnen evenwijdig aan 3, zie hieronder. 1 2 3 Deze lijnen verdelen lijnstu in drie gelije stuen. Opmering Je weet hoe de evenwijdige lijnen in punt 3 met passer en liniaal geteend moeten worden, zie opgave 7. Je mag die lijnen nu oo wel met de geodriehoe teenen, anders wordt het wel erg omslachtig en saai. elangrij is dat je weet dat het met passer en liniaal an. 9 Verdeel het lijnstu hieronder in vijf gelije stuen. (Evenwijdige lijnen mag je met de geodriehoe teenen.) Met passer en liniaal 3
10 Een hoe in twee gelije hoeen verdelen Gegeven een hoe, dan is een halve lijn met beginpunt die de gegeven hoe in twee even grote hoeen verdeelt de deellijn of bissectrice van hoe. Teen met passer en liniaal de deellijn van de hoe hieronder. Tip. Teen met de passer twee punten, op el been één, die evenver van afliggen. De Grieen hebben vergeefs geprobeerd met passer en liniaal een hoe in drie gelije stuen te verdelen. ls je googelt op driedeling van een hoe, un je hierover meer te weten omen. 11 Teen met passer en liniaal het middelpunt van de omgeschreven cirel van de driehoe hieronder. 12 Teen met passer en liniaal de ingeschreven cirel van de driehoe hieronder. Met passer en liniaal 4
13 Een cirel raat twee lijnen in de aangegeven punten Zoe met passer en liniaal het middelpunt van de cirel en teen de cirel. 14 Zoe met passer en liniaal het middelpunt van de cirel. 15 R Hierboven is een hoe met hoepunt geteend en een lijnstu met lengte R. Zoe het middelpunt van de cirel met straal R die beide benen van de hoe met hoepunt raat. 16 Teen (zonder geodriehoe!) a. een hoe van 60, b. een hoe van 45, c. een hoe van 15. Opmering Er zijn programma's op internet te vinden (bijvoorbeeld asser en Liniaal), waarmee je bovenstaande constructies op het computerscherm uit unt voeren. Met passer en liniaal 5