C. von Schwartzenberg 1/1 1a In 1 minuut zakt het watereil 1 0 = cm (in 10 minuten zakt het water 0 cm). 10 Na 1 minuut is de waterhoogte 0 = 6 cm en na minuen is de waterhoogte 0 = cm. 1b II h = 0 t, want na t minuten is de waterhoogte 0 t cm. a k: y = x + (maak een tabel of) de grafiek van k snijdt de y -as in (0, ) rck = 1 naar rechts en omlaag. m: y = 0,5x 1 (maak een tabel of) de grafiek van m snijdt de y -as in (0, 1) rcm = 0,5 1 naar rechts en 1 omhoog. : y = x (maak een tabel of) de grafiek van snijdt de y -as in (0, 0) rck = 1 naar rechts en omhoog. b rck =, rcm = 0, 5 en rck =. k m q ab Zie de grafieken van : y = 1 x +, q: y = 1 x en r: y = 1 x hiernaast. r a h = 10 + 0 = 10 + 60 = 70 (cm). b Zie de grafiek van h hiernaast. c h( t ) = t + 10 of h( t ) = 10 + t. d De helling = rch =. Elke minuut neemt de hoogte cm toe. e 85 = t + 10 75 = t t = 5 (min). 5a Teken zelf de lijn door (0, ) met helling = rc = (doe dit ook!!!). 5b Het snijunt met de y -as is (0, 0) b = 0. 5c y = x + b door (1, 5) 5 = 1 + b 5 = + b b =. 5d y = x + b door (8, 0) 0 = 8 + b 0 = 16 + b b = 16. 6a y = ax 6 door (, 0) 0 = a 6 6 = a a =. 6b y = ax 6 evenwijdig met y = x + 1 (dus dezelfde helling = rc) a =. 6c y = ax 6 door (0, 0) 0 = a 0 6 0 = 0 6 0 = 6. Dit kan niet. Neem GR - racticum 1 door. (uitwerkingen aan het eind) 7 y = ax + b met helling = rc = a = ( naar rechts dan omlaag) = 1 door (0, ). Dus y = 1 x +. N = at + b met helling = rc = a = 10 ( naar rechts dan 10 omhoog) = 1 door (0, 10). Dus N = 1t + 10. K = ar + b met helling = rc = a = 100 (000 naar rechts dan 100 omhoog) = 1 door (0, 100). Dus K = 1 r + 100. 000 0 0 8 k: y = ax + b met helling = rc = a = k: y = x + b. k: y = x + b door A( 5, 1) 1 = 5 + b 1 = 0 + b b = 1. Dus k: y = x + 1. 9a m: y = ax + b met helling = rcm = a = 0, 5 m: y = 0, 5 x + b. m: y = 0, 5 x + b door B( 18, 0) 0 = 0, 5 18 + b 0 = 9 + b b = 1. Dus m: y = 0, 5x + 1. 9b m: y = 0, 5x + 1 snijdt de y -as ( x = 0) in (0, b) = (0, 1). m: y = 0, 5x + 1 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x + 1 0, 5x = 1 x =. Snijunt met x -as: (, 0). 10 k: y = ax + b met helling = rc = rcl = a =. Dus k: y = x + b door Q(18, 10) 10 = 18 + b 10 = 6 + b b = 6. 11a k en l evenwijdig a = rc rc 1 l = k =.
C. von Schwartzenberg /1 11b m: y = 1 1 x + b door A(, ) = 1 1 + b = + b b = 6. 11c k: y = 1 x snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 1 x 1 x = x =. Snijunt met x -as: (, 0). l : y = ax + 1 door (, 0) 0 = a + 1 a = 1 a = 1. 11d l : y = ax + 1 door B(, ) = a + 1 a = 5 a = 1 1. m: y = 1 1 x + b door B(, ) = 1 1 + b = 6 + b b = 10. 1a rc 10 10 5 I = = 5, rc II = = 5 en rc III = = 5 1. 1b I: y = x + b gaat door (0, 5), dus I: y = x + 5. II: y = x + b door (5, 15) 15 = 5 + b 15 = 10 + b b = 5. Dus II: y = x + 5. III: y = 1 x + b door (10, 5) 5 = 1 10 + b 5 = 10 + b b = 5. Dus III: y = x 5. 1a,6 km/u = 1 m/s. Dus na 10 seconden is de rolband 10 meter verder. De loosnelheid na 10 seconden is 5, km/u = 1,5,6 km/u = 1,5 m/s. Na 10 seconden is zijn snelheid 1 m/s + 1,5 m/s =,5 m/s. Zie de grafiek hiernaast. (na 0 seconden A = 10 1 + 0,5 = 60) 1b De eerste 10 seconden is de formule A = t. Na 10 seconden is de formule A = 10 +,5( t 10) ofwel A =,5t 15. 1c A = 80,5t 15 = 80,5t = 95 t = 95 = 80 = 8. Dus na 8 sec.,5 10 1d Als Bram niet meeloot, doet hij er 80 sec. over hij wint 80 8 = sec. 1e Monique loot 80 meter in 8 seconden. Dit is 80 m/s =, 6 80 km/u 7, 6 km/u. 8 8 1a Ga je naar rechts, dan ga je omhoog, dus ga je 1 naar rechts, dan ga je omhoog. Dus rc l =. 1b yb ya = 1 =. 1c Deel door. Dus rc yb ya 1 1 6 ya yb yb ya xb xa l x x l x x 6 B A A B A (m) t (sec) 15a Babette rijdt km meer dan Arie en moet euro meer betalen. Dus het bedrag er km is euro. Of het bedrag (in /km) rc yb ya 11 7 l = a = x. B x = A = = 15b Voor een rit van km is het totale bedrag 7 euro. (voorrijkosten + = 7 euro) De voorrijkosten zijn 7 = 7 = euro. 15c K = d +. 16a y = ax + b met a = 1 = = 1, 5. 1 1 y = 1, 5 x + b door B(1, ) geeft = 1,5 1 + b = 1,5 + b b =,5. Dus l : y = 1, 5x +, 5. 16b y = ax + b met a = 0 5 = 5 = 1. 5 y = 1 x + b door D(, 0) geeft 0 = 1 + b 0 = + b b =. Dus m: y = x +. 16c y = ax + b met a = = 0 = 0. 7 5 1 y = 0 x + b door E (5, ) geeft = 0 + b b =. Dus n: y =. 16d y = ax + b met a = 5 = 8 =. 5 1 y = x + b door H (5, 5) geeft 5 = 5 + b 5 = 10 + b b = 5. Dus : y = x 5. 17a y = ax + b met a = 60 50 = 110 = 5, 5. 180 160 0 y = 5, 5 x + b door Q(160, 50) geeft 50 = 5, 5 160 + b 50 = 880 + b b = 60. Dus l : y = 5, 5x 60. 17b y = ax + b met a = 58 7 = 15 = 5 15 0 0, 5. y = 0, 5 x + b door R(15, 7) geeft 7 = 0,5 15 + b 7 = 7,5 + b b = 80,5. Dus m: y = 0, 5x + 80, 5. 18 A = as + b meta = A 750 00 50 s = = = 75. 1 15 6 A = 75 s + b door (15, 00) geeft 00 = 75 15 + b 00 = 115 + b b = 85. Dus A = 75s 85. 19 R = at + b met a = R 5 10 5 1. = t 60 5 = 5 = R = t + b door (5, 10) geeft 10 = 5 + b b = 5. Dus R = t 5.
0a G&R havo B deel 1 C. von Schwartzenberg /1 met,5 7,75 5,5 = aq + b a = q = 5 150 = 75 = 0, 0. = 0,0 q + b door (150; 7,75) geeft 7,75 = 0,0 150 + b b = 10,75. Dus = 0, 0q + 10, 75. Hieruit volgt 50 = q 57, 5 ofwel q = 50 + 57, 5. 0b q = 50 = 0, 0 50 + 10, 75 = 5, 75 en =,5 q = 50,5 + 57, 5 = 5. 1a 1b 1599,18 151,66 B = ag + b met a = B 0, 5. = g 8 56 = B = 0, 5 g + b door (56; 151, 66) geeft 151, 66 = 0, 5 56 + b b = 16, 5. Dus B = 0, 5g + 16, 5. Het vastrecht is 16,5 en de rijs er m gas is 0,5. 7, 18, a x = at + b met a = x 11,. = t 17 1 = 5 = 10 = x =, t + b door (1; 18,) geeft 18, =, 1 + b 18, = 6, + b b =,6. Dus x =, t +, 6. b t = 19 x =, 19 +,6 =,8. Dus,8 km van het station in Houten verwijderd.,6 c x = 0 0 =, t +, 6,t =, 6 t = 0, 7 (minuten na 1:00)., Dat is 0 minuten en ongeveer 16 seconden. Afgerond o tientallen seconden is het dan 1:0:0. a b x = 1 y = 0,5 1 1 + = 0,5 + = 1,5 en x = y = 0,5 + = 8 8 + =. Zie de tabel hiernaast. x -1 0 1 5 y 5,5 1,5 1 1,5 5,5 Neem GR - racticum door. (uitwerkingen aan het eind) Voer beide formules in o de GR. Maak tabellen o de GR voor het tekenen van de grafieken (zie hiernaast). g 5 Voer de formules in o de GR. Plot de grafieken o de GR (zie hieronder). Maak er een schets van (zie hiernaast). f g f 6 Maak o de GR de tabel hieronder. O h Neem de tabel van de GR over. Vul hem aan met de eerste en tweede verschillen (zie hiernaast). x 0 1 5 6 7 8 9 10 y 6, -0,8 -, -5, -6,5-7, -7, -6,8-5,7 - eerste verschillen -- -,7 -,1 -,5-1,9-1, -0,7-0,1 0,5 1,1 1,7 tweede verschillen -- -- 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 7a Bij een kwadratisch verband zijn bij gelijke toenamen van x de tweede verschillen gelijk. Dus nemen bij gelijke toenamen van x de eerste verschillen met een vast getal toe. Hieruit volgt dat bij de eerste verschillen een lineair verband hoort. 7bc v (1) = f (1) f (0) = 1 = en v () = f () f (1) = ( ) = + = 1. v () v (1) v ( x ) = ax + b met a = = 1 = =. 1 1 1 v ( x ) = x + b en v (1) = geeft = 1 + b = + b b = 5. Dus v ( x ) = x 5.
C. von Schwartzenberg /1 7d v (1) = g(1) g(0) = 5 = 1 en v () = g() g(1) = 5 =. v () v (1) v ( x ) = ax + b met a = = 1 = =. 1 1 1 v ( x ) = x + b en v (1) = 1 geeft 1 = 1 + b 1 = + b b = 5. Dus v ( x ) = x + 5. 8a 8b Onderstaande tabel maak je snel met TABLE o de GR. (zie hiernaast) x -1 0 1 5 6 y - 6 8 8 6 - Uit de tabel volgt dat de grafiek van f siegelsymmetrisch is in de (verticale) lijn x =,5. Dus xto =, 5 en yto = f (, 5) = 8,5. 8c In de tabel lees je af: f (1) = 6 en f () = 6 de gezochte x -coördinaten zijn x = 1 en x =. De x -coördinaten van de snijunten van de grafiek van f met de lijn y = 6 zijn de olossingen van de vergelijking f ( x ) = 6. Dus x = 1 en x = zijn de olossingen van x + 5x + = 6. Neem GR - racticum door. (uitwerkingen aan het eind) 9a 9b 9c g( x ) = 0 (otie zero of intersect) x 0, 6 x 6, 5. f ( x ) = 5 (intersect) xa 8,87. g( x ) = 5 (intersect) xd 5,5616. AD = xd xa 5, 5616 + 8, 87 1,. Minimum van f is,5 (otie minimum). g( x ) =, 5 (intersect) xe 0, 07 en xf 6, 98. EF = xf xe 6,98 0,07 6,86. 0a Plot de grafiek van f o de GR (zie hieronder) en maak er een schets van (zie hiernaast). 0b De to van f (otie maximum) is (; 9,6) (zie hierboven). 0c f ( x ) = 0 (intersect) x 1, 90 x 7, 90 (zie hierboven). 0d y = c = 6 (intersect of TABLE) x = 0 x = 6 AB = 6 > 5. y = c = 8 (intersect of TABLE) x = 1 x = 5 AB = < 5. y = c = 7 (intersect) x 0, 505 x 5, 595 AB 5,1 > 5. Dus c > 7. De kleinste gehele waarde van c is dus 8. 1a Plot de grafiek van f en g o de GR (zie hieronder) en maak er een schets van (zie hiernaast). g f 1b De to van g (otie minimum) is (, 75; 1, 65) (zie hiernaast). 1c De to van f (otie maximum) is (, 10) (zie hiernaast). (, 10) ligt niet o de grafiek van g, want g () = 10, 10. 1d 1e f ( x ) = 0 (intersect) x = a,6 x = b 10,6. g( x ) = 0 (intersect) x = c 9, 586 x = d, 086. Dit geeft ( b a) ( d c) 0,98. Uitroberen: (niet erg zinvol en heel veel werk) f ( x ) = e = 8 (intersect) xl, 85 Dat geeft LM, 85. g( x ) = e = 8 (intersect) xm 0 f ( x ) = e = 7 (intersect) xl,6 en g( x ) = e = 7 (intersect) xm 0,197. Dat geeft LM, 566. f ( x ) = e = 6 (intersect) xl en g( x ) = e = 6 (intersect) xm 0, 6161. Dat geeft LM, 616. f ( x ) = e = 5 (intersect) xl, 760 en g( x ) = e = 5 (intersect) xm 0, 895. Dat geeft LM, 60. f ( x ) = e = (intersect) xl, 8 en g( x ) = e = (intersect) xm 1,155. Dat geeft LM,69. Dus LM is maximaal, 60 voor e = 5. (ga bovenstaande berekeningen eventueel zelf na)
C. von Schwartzenberg 5/1 a b c d h = 5t + 0t = 0 (intersect of algebraïsch) t = 0 t = 6. Dus na 6 seconden is de bal weer o de gond. De maximale hoogte (otie maximum of xto = ) is h() = 5. De bal komt 5 meter hoog. h = 5t + 0t = 0 (intersect) t 1,586 t =... Dus na 1,6 seconde is de bal voor het eerst o h = 5. h = 5t + 0t = 0 (intersect) t 0, 76 t 5, 6. De bal is ongeveer 5,6 0,76,5 seconde boven de 0 meter. a Plot de grafiek van h o de GR (zie hiernaast). Gekozen voor [Xmin,Xmax] [Ymin,Ymax] = [0,00] [0,00]. b h =,0x 0,01x = 0 (intersect of zero of) x (, 0 0, 01 x ) = 0 x = 0, 0 = 0, 01x x = 0 x = 19. Er zit 19 m tussen de uiteinden van de boog. De maximale hoogte (otie maximum of = = 96) is h(96) 19,5. De boog is ongeveer 19,5 meter hoog. 0 + 19 c xto d h =, 0x 0, 01x = 165 (intersect) x 59,1 x 1, 86. De afstand tussen de bevestigingsunten is 1,86 59,1 7,7 m. ab 5a 5b y = x + x + c door (, 5) + + c = 5 9 + 6 + c = 5 15 + c = 5 c = 10. y = x + bx + 7 door (5, 17) 5 + b 5 + 7 = 17 50 + 5b + 7 = 17 5b = 0 b = 8. y = ax x + 5 door (, 8) a ( ) + 5 = 8 a + 6 + 5 = 8 a = a =. 6a y = ax 5x + door (, 0) a 5 + = 0 9a 15 + = 0 9a = 9 a = 1. y = x 5x + (otie maximum) geeft to T (, 5; 10, 5) (zie hiernaast). to b 5 a of x = = =,5 y = y (,5) = 10,5 to 6b Snijden met de x -as ( y = 0) x 5x + = 0 (intersect) x 5,7 x 0,7. 7a 7b h = 0, 0 x + bx door (60, 0) 0, 0 60 + b 60 = 0 7 + 60b = 0 60b = 7 b = 7 = 6 = 1,. 60 5 h = 0, 0x + 1,x (otie maximum of) b 1, x 10 to = = = = 0, a 0,0 geeft als maximum yto = h(0) = 18 (m). 8a 8b 8c y = x translatie (, 5) y = ( x ) + 5. 9 to (0, 0) to (, 5) y = x translatie (, ) y = ( x + ). to (0, 0) to (, ) y = x translatie (, 6) y = ( x ) + 6. to (0, 0) to (, 6) y = 0, 5( x ) + 5 = 0, 5( x 6x + 9) + 5 = 0,5x x +,5 + 5 = 0,5x x + 9,5. 0 1: y = a( x + ) 1, want (, 1) is de to van 1. 1 1 (0, 1) ligt o 1 1 = a(0 + ) 1 1 = a 1 = a a = =. Dus 1: y = ( x + ) 1. 1 1 1 1 1 ( x + ) 1 = ( x + x + ) 1 = x + x + 1 = x + x + 1. Dus 1: y = x + x + 1. : y = a( x ) + 1, want (, 1) is de to van. (1, 1) ligt o 1 = a(1 ) + 1 1 = 1a + 1 = a a =. Dus : y = ( x ) + 1. ( x ) + 1 = ( x x + ) + 1 = x + 8x 8 + 1 = x + 8x 7. Dus : y = x + 8x 7.
C. von Schwartzenberg 6/1 : y = a( x + ) + 1, want (, 1) is de to van. 1 1 (0, 1) ligt o 1 = a(0 + ) + 1 1 = a + 1 = a a = =. Dus : y = ( x + ) + 1. 1 1 1 1 1 ( x + ) + 1 = ( x + x + ) + 1 = x x + 1 = x x 1. Dus : y = x x 1. : y = a( x ), want (, 0) is de to van. 1 1 (0, ) ligt o = a(0 ) = 9 a a = =. Dus 9 : y = ( x ). 1 1 1 1 ( x ) = ( x 6x + 9) = x x +. Dus : y = x x +. 5: y = ax +, want (0, ) is de to van 5. (1, 1) ligt o 1 = a 1 + 1 = 1a + = a a =. Dus : y = x +. 5 5 6: y = a( x ) +, want (, ) is de to van 6. (1, ) ligt o 6 = a(1 ) + = 1a + 1 = a a = 1. Dus 6: y = ( x ) +. ( x ) + = x x + + = x x + 6. Dus : y = x x + 6. 6 1a 1b (, 6) is de to van de arabool y = a( x ) + 6. 1 1 y = a( x ) + 6 door (, ) = a( ) + 6 = a + 6 = a a = =. Dus y = ( x ) + 6. 1 1 1 1 ( x ) + 6 = ( x x + ) + 6 = x + x + 6. Dus y = x + x +. (, ) is de to van de arabool y = a( x + ) +. y = a( x + ) + door ( 1, 0) 0 = a( 1 + ) + 0 = a + = a a = 1. Dus y = ( x + ) +. ( x + ) + = ( x + 6x + 9) + = x 6x 9 +. Dus y = x 6x 5. of de arabool snijdt de x -as in ( 5, 0) en ( 1, 0) y = a( x + 5)( x + 1) y = a( x + 6x + 5). y = a( x + 6x + 5) door (, ) = a(9 18 + 5) = a a = 1. Dus y = ( x + 6x + 5) = x 6x 5. 1 De to van de arabool is ( 1, 5 1) (want (0, ) en (5, ) liggen symmetrisch t.o.v. de as x = ) y = a( x 1) + 5 1. 1 1 1 y = a( x ) + 5 door (0, ) = a(0 ) + 5 1 = 6 1 a + 5 1 1 = 6 1 a 10 = 5 a a = 10 =. 5 5 1 Dus y = ( x ) + 5 1. 5 x = 10 geeft y = 17 (10, 17) ligt o de arabool. De to is (, ; 8, 8) y = a( x, ) + 8, 8. y = a( x, ) + 8,8 door (0, 0) 0 = a(0, ) + 8,8 8,8 = 5,76a a = 5. Dus y = 5( x, ) + 8, 8 = 5( x, 8x + 5, 76) + 8, 8 = 5x + x. Dus a = 5 en b =. 5 De to is (15, 9) y = a( x 15) + 9. y = a( x 15) + 9 door (0, 0) 0 = a(0 15) + 9 9 = 5a a = 9 = 1 = 0, 0. 5 5 Dus y = 0, 0( x 15) + 9 = 0, 0( x 0x + 5) + 9 = 0, 0x + 1, x. Dus a = 0, 0 en b = 1,. 6a Zie de schets hiernaast (en de lot hieronder). 6b x = geeft y 0,67; x = geeft y 1, 67 en x = 5 geeft y 1, 08. ( ; 0, 67) (; 1, 67) (5; 1, 08) 7 In fig. 1.19a: min. f ( ) = en max. f () = 6; in fig. 1.19b: max. g( 1) = 6 en min. g() =. 8 In fig. 1.0: max. h( ) = 7; min. h( 1) = en max. h() = 5; min. k( ) = 1; max. k(0) = 5 en min. k () =.
C. von Schwartzenberg 7/1 9a * (zie de lot hieronder; maak een schets van deze lot in het huiswerkschrift) 9b 50a De oties maximum en minimum geven max. f (,5) 88, en min. f () 9,67. (vermeld de toen in de schets) * (zie de lot hieronder; maak een schets van deze lot) 50b 51a Oties maximum/minimum: max. g( 5) = 7, 5; min. g(1) = 6, 9 en max. g(5) = 7, 5. Oties maximum/minimum: min. f ( ) = 79 en max. f () = 9,5. (vermeld de toen in een schets) (vermeld de toen in de schets) 51b Otie min/max min. g( 6,16) 57, 77; max. g(,0) 10, 6 en min. g(, 61) 179, 7. (zet toen in een schets) 5a 5b 5c b 0, 0 Otie maximum (of xto = = = = 0) max. h(0) = 8. a 0,01 1 Dus de golfbal komt maximaal 8 m. hoog. h = 0,005x + 0, x = 0 (intersect of) x ( 0,005x + 0, ) = 0 x = 0 0,005x = 0, 0, x = 0 x = = 00 = 80. De golfbal komt 80 m. na de afslag o de grond. 0,005 5 Nee, de formule is een benadering van de realiteit. (de wind en de wrijving van de lucht zijn bijv. niet in de formule verwerkt) 5a Om 1:50 is t = 50 N ( 5) 800 (bezoekers). 60 6 5b Otie maximum max. N (8) = 100. Het is het drukst om 17:00 uur; er zijn dan 100 bezoekers. 5c N = 8 000 (intersect) t 5, 586 t = 10. t 5,586 is om 1:5 uur en t = 10 is om 19:00 uur. 5a 1 setember loot van t = 0 (1-set 00:00) tot t = 1 (-set 00:00) en N (1) N (0) = 7 (miljoen). Dus o 1 setember neemt het aantal bacteriën af met 7 miljoen. 5b 6 setember loot van t = 5 tot t = 6 en N (6) N (5) = 8 (miljoen). Dus o 6 setember neemt het aantal bacteriën toe met 8 miljoen. 5c De toename o 7 setember is N (7) N (6) = 119 (miljoen). De toename o 8 setember is N (8) N (7) = 161 (miljoen). De toename o 9 setember is N (9) N (8) = 09 (miljoen). Dus o 9 setember is de toename voor het eerst meer dan 00 miljoen. 5d Maak een schets van de lot hiernaast. De otie minimum geeft: min. N (1,6) 191,9 (miljoen). Het minimale aantal bacteriën is ongeveer 191 miljoen. 55a Maak een schets van de lot hieronder.
C. von Schwartzenberg 8/1 55b O 1-1-00 is t = 0 NA(0) 655. O 1-1-01 is t = 1 NA(1) 7 860. In 00 krijgt A er 17 inwoners bij. In 00 neemt het aantal inwoners van B met NB (1) NB (0) 58 af. 55c In 006 is de toename (zie TABLE) NA(7) NA(6) 1 071 101 = 670; In 007 is de toename (zie TABLE) NA(8) NA(7) 1 775 1 071 = 70. Dus in 007 neemt het aantal inwoners van A voor het eerst toe met meer dan 700. 55d In 006 is de toename (zie TABLE) NB (7) NB (6) 1967 1 70 = 75; In 007 is de toename (zie TABLE) NB (8) NB (7) 168 1967 = 699. Dus in 007 neemt het aantal inwoners van B voor het eerst af met minder dan 700. 55e O 1-1-006 is (zie TABLE) NB (6) NA(6) 1 70 1 01 = 1 01 ( het verschil is meer dan 1000) ; o 1-1-007 is (zie TABLE) NB (7) NA(7) 1967 1071 = 10 ( het verschil is minder dan 1000) ; o 1-1-008 is (zie TABLE) NB (8) NA(8) 168 1775 = 1506 ( het verschil is meer dan 1000). Rond 1-1-007 in 006 en in 007 verschillen de aantallen inwoners van A en B minder dan 1000 van elkaar. 56a Otie maximum geeft max. C (70) = 78, (mg/l). De max. concentratie van 78, mg/l wordt bereikt voor t = 70. 56b C = 0 (intersect) t 1,1 en C = 60 (intersect) t 7, 0. De toename van 0 mg/l tot 60 mg/l duurt 7,0 1,1 6 minuten. 57 T = 85 (intersect) t 6,8 en T = 55 (intersect) t 7,1. De daling van 85 naar 5 duurt 7,1 6,8 0 minuten. Diagnostische toets D1 l : y = x 5 door (0, 5) met helling = =. 1 (of zoek twee unten die o de lijn liggen) m: y = x + door (0, ) met helling =. 5 5 n: y = x door (0, 0) met helling =. Zie de grafieken in de figuur hiernaast. D k: y = ax + b met helling = rc = rcl = a =. Dus k: y = x + b door (, ) = + b b = 10.
C. von Schwartzenberg 9/1 Da y = ax + b met a = 6 9. 1 = = y = x + b door A(, ) geeft = + b = 6 + b b =. Dus l : y = x +. Db y = ax + b met a = 80 150 = 10 = 0, 5. 80 10 60 y = 0, 5 x + b door C (10, 150) geeft 150 = 0, 5 10 + b 150 = 60 + b b = 90. Dus m: y = 0, 5x + 90. Da W = at + b met a = 900 500 = 00 = 1 8 00. W = 00 t + b door A(, 500) geeft 500 = 00 + b 500 = 100 + b b = 700. Dus l : W = 00t 700. Db t = 5, W = 00 5, 700 = 1560 700 = 860. D5 Voer beide formules in o de GR. Maak er tabellen van. Teken de grafieken (zie hiernaast). g D6a Plot de grafiek o de GR (zie hieronder). Schets de grafiek (zie hiernaast). f f D6b D6c D6d De to is (; 8,8) b, to a 0,6 (otie maximum of x = = = ) f ( x ) = 0 (intersect) x 1, x 9,. f ( x ) = (intersect) xa 0, 761 xb 8, 761. Dus AB 8, 761 + 0, 761 9, 5. D7a De maximale hoogte is h(1,) = 9, (m). b 1 to a 10 (otie maximum of x = = = 1,) D7b h = 0 (intersect) t,6 (sec). D7c h = 5 (intersect) t =... t,1 (sec). D8a D8b D8c y = 0,5x + x + c door (, 5) 0,5 ( ) + + c = 5 6 + c = 5 c = 9. y = 0, x + bx + 6 door (5, ) 0, 5 + b 5 + 6 = 10 + 5b + 6 = 5b = 1 b =, 6. y = ax 1, x + door (5, 1) a 5 1, 5 + = 1 5a 6 + = 1 5a = a = 0, 08. D9a D9b De to is (1, 5) y = a( x 1) 5. 10 0 Door (6, 15) 15 = a(6 1) 5 15 = 5a 5 10 = 5a a = = = 0,. Dus y = 0, ( x 1) 5. 5 100 0, ( x 1) 5 = 0, ( x x + 1) 5 = 0, x + 0,8x 0, 5. Dus y = 0, x + 0,8x 5,. D10 In fig. 1.: min. f (1) = ; max. f () = 1 en min. f () = 1. D11 Otie min/max min. f ( ) = 1,5; max. f (0) = 8 en min. f () = 1,5. (vermeld de toen in een schets) D1a a > 0 en a < 60 (of 0 < a < 60). D1b V = a 80a 1 00a = 100 000 (intersect) a = 10 a,1 (cm). D1c Otie max geeft maximum V (0) = 18000 (cm ). Dus a = 0 afmetingen 0 (cm) bij 0 (cm) bij 80 (cm).
C. von Schwartzenberg 10/1 Gemengde ogaven 1. Formules en grafieken G1a k: y = ax + b met rck = a = k: y = x + b. k: y = x + b door A(5, ) = 5 + b = 0 + b b = 17. Dus k: y = x 17. y G1b l : y = ax + b met rc 1 7 6 l = a = 1, 5 l : y 1, 5 x b. x = 9 5 = = = + l : y = 1,5 x + b door B(5, 7) 7 = 1,5 5 + b 7 = 7,5 + b b = 1,5. Dus l : y = 1,5x + 1,5. G1c m: y = ax + b met rc 1 1 m = a = rcn = m: y = x + b. m: y = 1 x + b door B(, 5) 5 = 1 + b 5 = 7 1 + b b = 1. Dus m: y = 1 x 1. Ga y = ax + snijden met de y -as ( x = 0) y = a 0 + y =. Dus het unt (0, ). Gb y = bx + b snijden met de x -as ( y = 0) 0 = bx + b b( x + ) = 0 ( b 0) x + = 0 x =. Dus (, 0). Gc y = ax + door P (, 1) 1 = a + 1 = a + a = 1 a = 1. y = bx + b door P (, 1) 1 = b + b 1 = 5 b b = 1. 5 Gd k en l evenwijdig rck = rc l a = b. k: y = bx + b door (0, 1) 1 = b 0 + b 1 = b b =. Dus a = b =. Ga A rekent voor 10 km 00 + 10 1, 0 = 68 ( ). B B rekent voor 10 km 00 + 0, 0 = 8 ( ). Dus bij 10 km is B goedkoer. A A rekent voor 0 km 00 + 0 1, 0 = 66 ( ). B rekent voor 0 km 00 + 10, 0 = 76 ( ). Dus bij 0 km is A goedkoer. Gb KA = 00 + 1, x. Gc Zie de grafieken hiernaast. Gd Voor x 100: KB = 00 en voor x > 100: KB = 00 +, ( x 100). Ge Voor x 100: KA = KB 00 + 1, x = 00 1, x = 100 x 71 (km). Voor x > 100: KA = KB 00 + 1, x = 00 +, ( x 100) 1, x = 100 +, x 0 x = 10 x = 10 (km). Dus bij 71 km en bij 10 km. Ga H = at + b met rc = a = H = 67 0 = 7 = = 1, 5 H = 1, 5 t + b. t 18 18 H = 1, 5 t + b door (16, 0) 0 = 1, 5 16 + b 0 = + b b = 16. Dus H = 1, 5t + 16. Gb H = 0 0 = 1,5t + 16 1,5t = 16 t = 16 = = 10. Dus de kraan is geoend 10 minuut voor 1:00 uur. 1,5 Gc G5a G5b H = 195 195 = 1,5t + 16 179 = 1,5t t = 179 = 58 = 119 1 10. Het reservoir is vol vlak voor 1:00 uur. 1,5 Voer de formules in o de GR en lot de grafieken (zie hiernaast). Maak een schets van de lot (zie rechts). f ( x ) = 0 (intersect) x 0, x 6,. b G5c maximum f () = 5, 5 (met de otie maximum of xto = = = ). a 1 g() = 6 5,5 de to van f ligt niet o de grafiek van g. G5d f ( x ) = (intersect) xb 1,6795 xd, 705. g( x ) = (intersect) xa 0, 705 xc, 705. AB 1,6795 0,705 = en CD,705,705 =. Dus AB en CD zijn even lang. b G5e minimum g(1) = (met de otie minimum of xto = = = 1) minimum van h is h(1) = + c. a h(1) = f (1) + c =, 5 c = 5, 5. G6a 1: y = a( x 1) +, want (1, ) is de to van 1. (0, ) ligt o 1 = a(0 1) + = a 1 + 1 = a. Dus 1: y = ( x 1) +. ( x 1) + = ( x x + 1) + = x + x 1 + = x + x +. Dus : y = x + x +. 1
C. von Schwartzenberg 11/1 G6b G6c : y = a( x 7) +, want (7, ) is de to van. 1 1 (5, 0) ligt o 0 = a(5 7) + 0 = a + = a a = =. Dus : y = ( x 7) +. 1 1 1 1 ( x 7) ( x 1x 9) x 7x,5 x 7x,5. Dus 1 + = + + = + + = + : y = x + 7x, 5. x + x + = (intersect geeft) xa 0, 1 xb, 1. Dus AB, 1 0, 1, 8. Lijn door (1, ) en (7, ) y l : y = ax + b met rc 1 1 l = a = = = = l : y = x + b. x 7 1 6 l : y = 1 x + b door (1, ) = 1 1 + b = 1 + b b = 1. Dus l : y = 1 x + 1. l : y = 1 x + 1 snijdt de x -as ( y = 0) in C 0 = 1 x + 1 1 x = 1 x = 1. Dus C (1, 0). 1 1 1 1 1 1 1 l : y = x + snijdt de y -as ( x = 0) in D y = 0 + y =. Dus D(0, ) en CD = 1 + ( ) 1,70. G7a G7b G7c G8 : y = a( x ) + a door (1, ) = a(1 ) + a = a 1 + a = a a =. : y = a( x ) + a heeft als to T (, a). T (, a) ligt o y = x + a = + a = 5. heeft als to T (, a) en y = 6 snijdt in A en B A(, 6) en B( +, 6). : y = a( x ) + a door A(0, 6) 6 = a(0 ) + a 6 = a + a 6 = 5a a = 6 = 1 1. 5 5 : y = a( x 5) + 7, want (5, 7) is de to van. (0, ) ligt o = a(0 5) + 7 = a 5 + 7 = 5a a = = 0,16. 5 y = 0,16( x 5) + 7 = 0 (zero of intersect) x 11, 6 (m). G9a Otie min/max geeft als toen ( ; 6, 75) (minimum); ( 1, 56; 9,15) (maximum) en (, 56, 1, 7) (minimum). G9b Zie de uitwerking van G9a en een lot: c < 9,15 ( f meer dan 9,15 naar beneden verschuiven) 6,75 < c < 1,7 ( f tussen 6,75 en 1,7 verticaal verschuiven). G10a Otie min/max geeft maximum N (0,7) 51. N max 510 o 1 juni (1 juni loot van t = 0 tot t = 1). G10b N = 500 (intersect) t 10, 9 t 7, 9. Het kan dus 11 juni maar ook 8 juni zijn geweest. G11a G11b G11c P lucht = Prol 0,00v = 0,75v (intersect) v 1,7. P lucht > Prol (zie een lot) v > 1,7 (km/u). v = 6 Ptot = 0,75 6 + 0,00 6 = 89,80 (watt). v = 5 Ptot = 0,75 5 + 0,00 5 = 81,5 (watt). Hij moet 89, 80 81,5 = 8, 55 watt meer leveren. v = 0 Ptot = 0,75 0 + 0,00 0 = 10,5 (watt). Vermogen o de ligfiets is 10, 5 1, 5 = 195, 75 (watt). Ptot ligfiets = 0,75 v + 0,00 v = 195,75 (intersect) v 8,19. Hij rijdt dan o de ligfiets ruim 8 km/u. G1a x = (zie TABLE) A = 0, (dm). G1b In TABLE is af te lezen dat de stenen 1 en 5 een snelheid hebben die het dichtst bij 0 dm/u ligt. G1c x = (zie TABLE) A = 0, (dm) en x = 6 (zie TABLE) A = 19, (dm). Het verschil is 0, 19, = 0, 9 dm, dus 9 cm. G1d Het is 8 uur geleden dat geoloog de stenen o een rij in de modderstroom heeft gelegd. 9 Steen gaat met een constante snelheid van 0, dm/u (zie TABLE) vooruit. De afgelegde weg van steen is 8 0, 187, cm. 9
C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b TI-8 1. Berekeningen o het basisscherm 5, + 5 1, 797, 50. 1c + 6, 5 79,. 1d 5 11,8 : 0,57. 11,5 8,7 15,0. + a 1 +,5 6,96. c 1,8 :,5 1,. b 1 +,5,9. d 1,8 :,5,50. a b, 5 8 = 11, 75. c 8,91,1 1, 9,80. d 8,1 5 : 1, 6 69,5. 8,1 1, 5, 7 : 8 1, 86. a b ( 5, 7) =, 9. c ( 1, 8) = 10, 976. d 5,7 =, 9. 1, 8 = 10, 976. 118,6 5a 8, 5,6 1,1 + 81 1,87. 5b 0,1. 61, 1,5 6a 6b 5 500 1, 05 115, 5. 6c 10 500 1, 05 88,. 6d 1 500 1, 05 0, 9. 5 500 1, 05 7 51, 59. 7a + 7 = 1. 7c 0 1 5 15 = 580. 7 9 1 7b (1 ) ( 1 ) =. 7d 1 61 9 81 19 8 = 7 8. 8a (1 ) = 5. 8b 9 ( ) = 851. 8c /1 1 = 1. 7 01 7 8 9a 9b 7 9 15,8 10 0,081 10 1,9 10. 9c 6 7 1 0,68 10,98 10,0 10. 9d 7 0 (5, 10 ) 7,89 10. 8,6 1 10, 10 11. 0,00 10 TI-8. Formules, grafieken en tabellen 1ab Zie de eerste drie schermen hiernaast. 1c Kies WINDOW: [ 5, 15] [ 10, 15]. (gebruik deze notatie) (schaalstreejes uit met Xscl = 0 en Yscl = 0) 1d Zie de schermen hieronder. (zet y1 uit) Neem (bijvoorbeeld) WINDOW: [ 15, 15] [ 10, 15].
C. von Schwartzenberg 1/1 ab Zie de schermen hiernaast (neem Zoom 6 = ZStandard). c Met ZStandard is er één snijunt te zien. abc Zie de eerste vijf schermen hieronder; het linker snijunt: ( 1,70; 0,76). de De to van y is ongeveer (, 55; 6, 99). (zie het laatste scherm hieronder) a b Zie de schermen hiernaast. f ( 5) = 0, 5; f ( 1,) =,88; f (0, 8) = 0, 78; f (8, ) = 101, 97. (de otie value in è ( `$ ) werkt als $ ). (zie de schermen hieronder) cd f (15) = 16,5; f ( 17) =,1; f (51) = 70,1; f (10) = 189. 5a y 1( ) = 1, ; y 1(0,) =, 0068; y 1(1, 8) = 8,1888; y 1(5) = 79. 5b y ( ) = 11,1; y (0,) =, 08; y (1, 8) =, 78; y (5) = 11, 9. 5cd y 1(1) = 97, ; y 1( 18) = 0 659, ; y (1) = 117, 6; y ( ) = 5,. 6ab Zie hieronder: y 1(,15) = 1,8875. 6c y 1 (,55) = 1,9875. 7 Haal de antwoorden uit de tabel hiernaast. x -6 - - 0 6 8 f ( x ),8,8 7, - -,8-1, 8,8 5, 8 Haal de antwoorden uit de tabel hiernaast. x 0,5 10 100 1000 f ( x ) 1,5 6,06 60,01 600,00
C. von Schwartzenberg 1/1 TI-8. Toen, snijunten en nulunten 1a Zie de lot o [ 10, 10] [ 10, 10] hiernaast. 1b Otie minimum met` $ (= è) to is (, ). (bij Left Bound? en Right Bound? met de cursor ( < of > ), of door het intikken van een x -waarde, aan de juiste kant van de to gaan staan en e ; bij de vraag Guess? alleen nog maar e) 1c Otie maximum met ` $ (= è) g( 1) = 6 1. (kies de tweede formule na de otie maximum) g f a Zie de lot o [ 10, 10] [ 15, 15] hiernaast. b De toen zijn (,79; 11,65) en (,79; 10,05). y 1 = 0, 5x + x en y = 0, x +. (zie hiernaast) otie intersect S1( 6,6;,9) en S(1,86;,). 0,x + x + 5 = (intersect in ZStandard) x 0, 85 x 5, 85. (zie de schermen hieronder) 5a 5b 0,x + x + 5 =, 6 (intersect in ZStandard) x 1,1 x 6,1. 0, x + x x 10 = 5 (intersect in ZStandard) x 5, 59 x,1 x, 90. 6ab 0, 6x = 0,x + x + 1 (intersect in ZStandard) x, 7 x 7, 0. (zie de schermen hieronder) 6c 0, 6x = 0,x + x + 1 (intersect in ZStandard) x 0,59 x 5,1. (zie de schermen hierboven) (het is niet nodig om grafieken uit te zetten; kies met : of ; bij First curve? en/of Second curve? de juiste formules) 7ab 7c 7d 0, 9x + x = 0 (intersect in ZStandard) x,5. (zie de schermen hieronder) 0, 9x + x = 0 (intersect in ZStandard) x 1, 0. (zie hieronder) 1,x + 5x + = 0 (intersect in ZStandard) x 0, 68 x, 5. (zie de schermen hieronder) 8ab x 1x + 8x + 50 = 0 (intersect o [ 5, 15] [ 00, 1000]) x, 7. (zie de schermen hieronder)