Levesverzekerigs wiskude e pesioecalculaties D.P.G. va As, J. Klouwe, L.J. va de Leur Derde druk
LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES D.P.G. va As J. Klouwe L.J. va de Leur derde druk
Meer iformatie over deze e adere uitgave kut u verkrijge bij: Sdu Klateservice Postbus 2004 2500 EA De Haag tel.: (070) 378 98 80 www.sdu.l/service 202 Sdu Uitgevers bv, De Haag Academic Service is ee imprit va Sdu Uitgevers bv. e druk, augustus 998 2e druk, jui 2003 3e druk, april 202 Zetwerk: Perfect Service, Schoohove Omslagotwerp: Carlito s Desig, Amsterdam ISBN: 978 90 395 2686 6 NUR: 23 Alle rechte voorbehoude. Alle auteursrechte e databakrechte te aazie va deze uitgave worde uitdrukkelijk voorbehoude. Deze rechte beruste bij Sdu Uitgevers bv. Behoudes de i of krachtes de Auteurswet gestelde uitzoderige, mag iets uit deze uitgave worde verveelvoudigd, opgeslage i ee geautomatiseerd gegevesbestad of opebaar gemaakt i eige vorm of op eige wijze, hetzij elektroisch, mechaisch, door fotokopieë, opame of eige adere maier, zoder voorafgaade schriftelijke toestemmig va de uitgever. Voor zover het make va reprografische verveelvoudigige uit deze uitgave is toegestaa op grod va artikel 6 h Auteurswet, diet me de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedige te voldoe aa de Stichtig Reprorecht (Postbus 305, 230 KB Hoofddorp, www.reprorecht.l). Voor het overeme va gedeelte() uit deze uitgave i bloemlezige, readers e adere compilatiewerke (artikel 6 Auteurswet 92) diet me zich te wede tot de Stichtig PRO (Stichtig Publicatie- e Reproductierechte Orgaisatie, Postbus 3060, 230 KB Hoofddorp, www.cedar.l/pro). Voor het overeme va ee gedeelte va deze uitgave te behoeve va commerciële doeleide diet me zich te wede tot de uitgever. Hoewel aa de totstadkomig va deze uitgave de uiterste zorg is besteed, ka voor de afwezigheid va evetuele (druk)foute e ovolledighede iet worde igestaa e aavaarde de auteur(s), redacteur(e) e uitgever deswege gee aasprakelijkheid voor de gevolge va evetueel voorkomede foute e ovolledighede. All rights reserved. No part of this publicatio may be reproduced, stored i a retrieval system, or trasmitted i ay form or by ay meas, electroic, mechaical, photocopyig, recordig or otherwise, without the publisher s prior coset. While every effort has bee made to esure the reliability of the iformatio preseted i this publicatio, Sdu Uitgevers either guaratees the accuracy of the data cotaied herei or accepts resposibility for errors or omissios or their cosequeces.
Voorwoord Deze derde druk va Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties is geheel herzie e geactualiseerd. Ee aatal hoofdstukke is herschreve. Teves zij twee hoofdstukke toegevoegd. De begrippe levesverzekerig e pesioe staa tegewoordig volop i de belagstellig. Belagrijke oorzake hierva zij de toeemede flexibiliserig va de arbeidsmarkt, de steeds kritischer wordede houdig va vele t.o.v. bak- e verzekerigsproducte e de otwikkelige op de fiaciële markte sids 2008. Vrage die actueel zij e waarschijlijk ook blijve: Hoeveel kapitaal moet ik opbouwe om straks verzekerd te zij va ee goed pesioeikome? Hoe hoog is de kosteopslag op de etto premie va mij uitvaartverzekerig? Welke afkoopwaarde heeft mij kapitaalverzekerig bij leve op dit momet? Wat beteket de voorwaarde restitutie va de betaalde premies bij overlijde bij het afsluite va ee persoolijke leig e vooral: wat kost ee dergelijke restitutievoorwaarde? Hoe groot is het verschil i de door verzekeraars aa te houde balasvoorzieig voor ee weduwe- respectievelijk ee weduwaarspesioe? Hoeveel kost het vrijmake va ee hypotheek met ee daaraa gekoppelde levesverzekerig? Hoe groot is het effect va de almaar toeemede levesverwachtig op de koste va de pesioee? Wat is het verschil tusse ee defied cotributio e ee defied beefit regelig? Welke redee zij aa te wijze voor de eorme verschuivig va eidlooregelige aar middellooregelige die i korte tijd heeft plaatsgevode? Deze vrage kue worde beatwoord met behulp va de theorie e de berekeige uit de levesverzekerigswiskude, ook wel leveactuariaat geaamd. Dit boek is ee ileidig i de techiek va de levesverzekerigswiskude e de toepassig daarva i de pesioecalculatie. Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties maakt de lezer beked met de meest voorkomede type levesverzekerige. Hoofdstuk behadelt de voor dit boek belagrijkste begrippe uit de fiaciële rekekude. Het hoofdstuk is geheel herschreve is u op modere, iteratioale leest geschoeid met de symbole S, A, s e a i reteperuages i plaats va percetages. De berekeige va koopsomme, premies e voorzieige zij gebaseerd op de laatst bekede overlevigstafels: GB 2003-2008. Hoofdstuk 5 (Premies e uitkerige per jaar e per maad) is vereevoudigd.
vi Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties De hoofdstukke 8 (Pesioee de opbouw) e 9 (Pesioee de fiacierig) zij geheel herschreve weges de veraderde regelgevig e actualiteit. Nieuw zij de hoofdstukke 0 (Spaar-e risicopremies) e (Exceltoepassige). I eerstgeoemde wordt igegaa op de verdelig va ee premie va ee levesverzekerig i ee deel voor spare e ee deel va risico va jaar tot jaar. Weges de voor de had liggede toepassige i spreadsheetprogramma s is teves ee hoofdstuk toegevoegd over Exceltoepassige bij berekeige va koopsomme, premies, voorzieige e dergelijke. Excel ka ook worde igeschakeld voor het rekee met elke geweste overlevigstafel met variabele retevoet. Dit geeft de mogelijkheid tot ee extra verdiepig va het izicht va de effecte die ee veraderede marktrete heeft op levesverzekerige e pesioee. Ook het make va eevoudige grafieke komt aa de orde, alsmede ee pesioesceario. De atwoorde e uitwerkige zij iet i het boek opgeome; ze staa op de website va het boek (zie www.academicservice.l). Maar/Amersfoort/Amsterdam, jauari 202 D.P.G va As J. Klouwe L.J. va de Leur
Ihoud Fiaciële rekekude. Ileidig.2 Meetkudige rije.3 Eidwaarde va ee kapitaal 4.4 Cotate waarde va ee kapitaal 6.5 Gelijkwaardige percetages Effectieve e omiale iterest 7.6 Eidwaarde va ee rete 0.7 Cotate waarde va ee rete 2.8 Pre- e postumerado 4 Opgave 8 2 Verzekerige met uitkerige bij leve 2 2. Ileidig 2 2.2 Partije bij ee levesverzekerig 22 2.3 Sterftetafels/overlevigstafels 23 2.4 Sterfteverlies e sterftewist 26 2.5 Kapitaalverzekerig bij leve 26 2.6 Lijfrete 29 2.7 Commutatietekes D e N 30 Opgave 34 3 Overlijdesverzekerige 37 3. Ileidig 37 3.2 Sterftekase 37 3.3 Overlijdes(risico)verzekerig 39 3.4 Uitkerige direct a overlijde 40 3.5 Gemegde verzekerig 42 Opgave 43 4 Verzekerige op twee leves 49 4. Ileidig 49 4.2 Verzekerige met uitkerige idie beide persoe leve 49 4.2. Kapitaalverzekerig idie beide persoe leve 40 4.2.2 Lijfrete idie beide persoe leve 50 4.3 Verzekerige op de lagstlevede 5 4.4 Overlevigsverzekerige 53 4.4. Weduwepesioe 53 4.4.2 Weduwaarspesioe 55 4.4.3 Wezepesioe e erfrete 55 Opgave 57
viii Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties 5 Premiebetalig e uitkerige per jaar e per maad 6 5. Ileidig 6 5.2 Premies va verzekerige op éé leve 6 5.3 Premies va verzekerige op twee leves 63 5.4 Maadpremies 65 5.5 Maadelijkse uitkerige 67 Opgave 68 6 Voorzieig 7 6. Ileidig 7 6.2 Retrospectieve methode 7 6.3 Prospectieve methode 76 6.4 Toepassige voorzieig 79 6.4. Afkoopwaarde 79 6.4.2 Premievrijmakig 80 6.4.3 Coversie 80 Opgave 8 7 Koste 85 7. Ileidig 85 7.2 Bruto premie 86 7.3 Höcker-methode 88 7.4 Adere methode 90 Opgave 9 8 Pesioee de opbouw 93 8. Ileidig 93 8.2 De pijlers va het pesioestelsel 93 8.3 Begrippe uit de pesioewet 96 8.4 Defied Cotributio e Defied Beefit 00 8.5 De bouwstee voor de pesioeopbouw 00 8.6 De eidlooregelig 02 8.7 De middellooregelig 07 8.8 Nabestaadepesioe / parterpesioe 2 8.9 Wet vereveig pesioerechte bij scheidig 3 8.0 Aapassige i hoogte pesioeikome 5 8. Afstempele va pesioee/dekkigsgraad 6 8.2 Aapassige i hoogte ikome/uitruil OP-PP 6 Opgave 6 9 Pesioee de fiacierig 2 9. Ileidig 2 9.2 Fiacierig va collectieve pesioee 2 9.3 Omslagstelsel 22 9.4 Retedekkigsstelsel 23
Ihoud ix 9.5 Kapitaaldekkigsstelsel 24 9.6 Doelvermoge e voorzieig tot pesioeverplichtig 27 9.7 De fiacierig va abestaadepesioee 28 9.8 Waardeoverzicht 29 9.9 Dekkigsgraad 28 9.0 Projected Uit Credit Method (PUCM) 29 9. De beschikbare premieregelig 30 9.2 Coversie va OP aar NP (PP) e omgekeerd 32 9.3 Variabilisere va de hoogte va pesioeuitkerige 34 9.4 Variabilisere va pesioeleeftijd 35 Opgave 37 0 Spaar- e risicopremies 4 0. Ileidig 4 0.2 Spaarpremies e risicopremies bij eejarige verzekerige 4 0.3 Spaarpremies e risicopremies bij meerjarige verzekerige 43 0.3. Negatieve spaarpremies 45 0.3.2 Negatieve risicopremies 47 0.4 Samevattig i formules 48 0.5 Ekele voorbeelde 50 Opgave 53 Exceltoepassige bij levesverzekerige e pesioee 55. Ileidig 55.2 Variabele uitkerige e leeftijde 55.3 Voorzieige va levesverzekerige 60.4 Redemetsberekeige e casusse 63.5 Pesioesceario s 66 Opgave 68 Gemegde opgave 73 GB-tafels 8 Literatuur 93 Register 95
Fiaciële rekekude. Ileidig I dit hoofdstuk worde alle begrippe e techieke uit de fiaciële rekekude behadeld die odig zij voor de oderwerpe uit de levesverzekerigswiskude zoals die i dit boek aa de orde kome. Allereerst wordt aadacht besteed aa ee bijzodere rij va getalle, de meetkudige rij. De meetkudige rij is de basis va ee aatal belagrijke begrippe uit de fiaciële rekekude. Op basis va samegestelde iterest ( rete op rete ) kome vervolges de begrippe eidwaarde e cotate waarde va ee kapitaal aa de orde. Oder het begrip rete wordt i de fiaciële rekekude verstaa: ee serie betalige of otvagste. I de laatste twee paragrafe wordt igegaa op de grodslage va de berekeig va eidwaarde e cotate waarde va zo rete..2 Meetkudige rije Ee rij is ee serie getalle. Ieder getal i zo rij heet ee term. Het is gebruikelijk om deze terme te ummere: t, t 2, t 3,..., t, t De getalle, 2, 3,..., worde ragummers va de terme geoemd. De eerste term t wordt ook wel aavagsterm (geoteerd door de letter a) geoemd. Er ka ook sprake zij va ee oeidig voortlopede rij; de terme va zo rij zij da allee beked als voor iedere term ee duidelijk verbad bestaat met het bijbehorede ragummer. Ee meetkudige rij is ee rij waarvoor geldt dat iedere term otstaat door de voorafgaade term met ee vast getal te vermeigvuldige; ee rij waarva de terme dus expoetieel groeie. Dat vaste getal wordt de rede (r) va de rij geoemd. Dus: t = r t of, aders geschreve: t = r t
2 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Voorbeelde Rij I 2; 4; 8; 6;...; 52; 024 Rij II 30.000; 3.000; 300;...; 0,003; 0,0003 Rij III ;,08; (,08) 2 ; (,08) 3 ;...; (,08) 60 Rij IV p; p; p; p;... Rij I is ee meetkudige rij met rede 2 e met 0 terme, dus met a = t = 2, r = 2 e = 0. Rij II is ee meetkudige rij met rede 0, e met 9 terme, dus met a = 30.000, r = 0, e = 9. Rij III is ee meetkudige rij met rede,08 e met 6 terme, dus met a =, r =,08 e = 6. Rij IV is ee oeidig voortlopede rij met a = p e rede. I het algemee kue de terme va ee meetkudige rij dus als volgt worde geschreve: t 2 = t r = ar t 3 = t 2 r = ar r = ar 2 t 4 = t 3 r = ar 2 r = ar 3... t 6 = t 5 r = ar 5 De term met ragummer is dus te vide door de eerste term achtereevolges keer te vermeigvuldige met r: t = a r Als we de som va ee groot aatal terme va ee meetkudige rij wille bepale, kue we gebruikmake va ee eigeschap die voor de terme va ee meetkudige rij geldt: als we alle terme va ee meetkudige rij vermeigvuldige met de rede, da otstaat ee tweede meetkudige rij waarva op twee terme a alle terme gelijk zij aa die va de eerste rij. Aa de had va ee voorbeeld kijke we weer hoe de berekeig da i zij werk gaat. Stel we wille de volgede optellig make:,08 2 +,08 3 +,08 4 +... +,08 30 +,08 3 Dit is de som (s) va 30 terme va ee meetkudige rij met als eerste term,08 2 e rede,08. Als we u alle terme va die rij vermeigvuldige met,08 e die terme vervolges optelle, krijge we:,08 s =,08 3 +,08 4 +,08 5 +... +,08 3 +,08 32
Fiaciële rekekude 3 Als we u va de tweede som de eerste som aftrekke, leidt dat tot (let op hoe de terme oder elkaar worde geplaatst):,08 s =,08 3 +,08 4 +... +,08 3 +,08 32 s =,08 2 +,08 3 +,08 4 +... +,08 3 0,08 s =,08 32,08 2 Hieruit volgt: 32 2, 08, 08 s = = 32,3 0,08 Geeralisatie va het voorafgaade voorbeeld levert: rs = ar + ar 2 + ar 3 +... + ar 2 + ar + ar s = a + ar + ar 2 + ar 3 +... + ar 2 + ar rs s = ar a = a(r ) Dus: (r )s = a(r ), ofwel: a(r ) s = r De som va de eerste terme va ee meetkudige rij met aavagsterm t = a e rede r (ogelijk aa ) ka ook geschreve worde als: r s = a r Opmerkig. Als r kleier is da, ka het hadig zij i de breuk teller e oemer te vermeigvuldige met. De formule luidt da: r = s a r Voorbeeld. Gegeve is ee meetkudige rij met t = 2 e t 7 =.458. Gevraagd worde r e t 0. We diee als volgt te werk te gaa: t 7 = t r 6. Hieruit volgt: Dus is t 0 = t r 9 = 2 3 9 = 39.366. Voorbeeld.2 Gegeve is ee meetkudige rij met t 5 = e rede ½. Gevraagd wordt s 0.
4 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Eerst moet t bereked worde. Er geldt: t = t r 5 4 Dus: ( ) 4 = t t = 32 Hieruit volgt: 2 ( ) 0 2 s0 = 6 = 3, 97 2 Voorbeeld.3 3 Gegeve is ee meetkudige rij met t = 2, r = e t 2 =. 8 Gevraagd worde e s. Uit de gegeves volgt: 3 = 2 ( ) 8 2 Dus: = 32 2 log Hieruit volgt: = = 5 log Zodat = 6 32 2 Verder is: ( ) 6 s s t 2 23 6 r 2 5 = 6 = = = 8 r 2.3 Eidwaarde va ee kapitaal Ee kapitaal, op tijdstip 0, aagegeve door K(0), staat op ee bak gedurede ee aatal jare op basis va samegestelde iterest tege ee bepaald percetage per jaar, zeg p. Na jaar is dit startkapitaal K(0) (ook aavagswaarde geoemd) dus met p% gegroeid. Het kapitaal a jaar, K(), is te berekee door K(0) te vermeigvuldige met de factor: p + ofwel + i 00 Hieri is i het zogeaamde iterestperuage. Dit getal i heet ook wel de groeivoet of de iterestvoet va het kapitaal. Er geldt dus: K() = K(0) ( + i). Dit kapitaal K() staat da weer ee jaar uit tege p%. Na 2 jaar is het kapitaal da gelijk aa K(2) = K() ( + i).
Fiaciële rekekude 5 Na 3 jaar is het kapitaal aagegroeid tot K(2) ( + i). Na jaar is het kapitaal aagegroeid tot K( ) ( + i). Dus: K() = K(0) ( + i) K(2) = K() ( + i) = K(0) ( + i) ( + i) K(3) = K(2) ( + i) = K() ( + i) ( + i) = K(0) ( + i) ( + i) ( + i) Ofwel: K() = K(0) ( + i) K(2) = K(0) ( + i) 2 K(3) = K(0) ( + i) 3 E dus a jaar: K() = K(0) ( + i) Me oemt K() de eidwaarde (afkortig: EW) of slotwaarde va ee kapitaal a jaar spare op basis va samegestelde iterest bij ee iterestperuage (groeivoet) i, ofwel ee iterestpercetage va 00 i. I dit verbad wordt wel de looptijd geoemd. Er is hier dus sprake va expoetiële groei, wat de variabele komt hier als expoet voor. De bovestaade formule is dus het bij dit probleem passede groeimodel met groeifactor + i. I de fiaciële rekekude wordt ( + i) aagegeve met het symbool S waarbij: i S voor slotwaarde staat; het symbool ee duurhaak heet; het aatal periode is, geoteerd oder de duurhaak; e i de groeivoet per periode is. Voorbeeld.4 Ee kapitaal va 4.000, staat gedurede 0 jaar uit tege 5,8% iterest per jaar op basis va samegestelde iterest. Bereke de eidwaarde (slotwaarde). De groeifactor is hier,058; de looptijd is 0 jaar. Het eidkapitaal is da: 4.000 S 0 0,058 4.000,058 0 = 24.602,8 euro (calculator:.058 x y 0 = )
6 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Opmerkig. I de fiaciële rekekude wordt soms aa het woord rete ee adere betekeis gegeve da i het dagelijks leve het geval is. Waar i het dagelijks leve va het woord rete gebruik wordt gemaakt, is i de fiaciële rekekude sprake va iterest, terwijl het woord rete i de fiaciële rekekude wordt gereserveerd voor ee serie periodiek vervallede geldbedrage (bijvoorbeeld lijfrete )..4 Cotate waarde va ee kapitaal Oder de cotate waarde (afkortig: CW) va ee kapitaal K verstaa we het startkapitaal K(0) dat odig is om op basis va samegestelde iterest over ee zekere looptijd het bedrag K als eidwaarde te verkrijge. I symbole geschreve: K = K(0) ( + i) wordt da: of I de fiaciële rekekude wordt staat voor aavagswaarde. K(0) K = ( + i) K = ( + i) K(0) = K ( + i) - ( + i) of ( + i) geoteerd als A. De letter A i Voorbeeld.5 Iemad wil over 5 jaar ee bedrag va 50.000, hebbe gespaard op basis va samegestelde iterest. Het door de bak gehateerde iterestpercetage is 6,7. Welk bedrag moet u op de bak worde gezet, met adere woorde, wat is de cotate waarde va die 50.000,? De groeifactor is,067 e de looptijd is 5 jaar. Het eidkapitaal is 50.000, e het beodigde begikapitaal is da: 50.000,067 5 K(0) = 50.000 A = = 50.000, 067 = 8.90,82 euro 5 0,067 5 Het is eevoudig i te zie dat i het algemee geldt: A i = ofwel Ai S i S = i
Fiaciële rekekude 7.5 Gelijkwaardige percetages effectieve e omiale iterest Veel postorderbedrijve rekee ee debetrete met ee vast percetage over ee periode va 4 weke. Stel ee dergelijk bedrijf reket ee debetrete va 0,8% over 4 weke. Met welk percetage op jaarbasis is dit te vergelijke, uitgaade va samegestelde iterest? Aders gezegd: bereke het effectieve iterestpercetage op jaarbasis. De groeifactor over ee periode va 4 weke is,008. Over ee jaar beteket dit 3 periode, dus de groeifactor op jaarbasis bedraagt,008 3 ofwel circa,094, hetgee ihoudt dat de effectieve rete of effectieve iterest per jaar circa 0,94% bedraagt. We zegge wel dat 0,8% e 0,94% i dit geval gelijkwaardige (equivalete) percetages zij. Bij de meeste hypotheekleige wordt i de overeekomst ee percetage op jaarbasis geoemd, het zogehete omiale iterestpercetage. Doorgaas wordt echter door de bak het op jaarbasis, achteraf, verschuldigde bedrag i twaalf gelijke maadelijkse termije verreked. Dat houdt i dat de geldleer per jaar effectief meer betaalt da het afgesproke (omiale) percetage. Als i de jaarlijkse iterest op de fiaciële markt is e f is de jaarlijkse iflatie, da is (euro) geïvesteerde i het begi va het jaar gegroeid aar ( + i) aa het eid va dat jaar. Echter, de reële waarde is gelijk aa ( + i)/( + f). Dus het reële redemet is gelijk aa: + i i f ireeel = = + f + f Voor kleie waarde va f geldt: i f ireeel = i f + f Voorbeeld.6 Stel ee geldleer is 4,5% iterest op jaarbasis verschuldigd aa de betreffede bak. Er wordt op de leig iet afgelost. De bak bregt de geldleer maadelijks /2 deel va de jaarlast i rekeig. Dat beteket dat de geldleer maadelijks 4,5/2 procet ofwel 0,375% moet betale. De groeifactor per maad bedraagt dus,00375. Op jaarbasis is de groeifactor dus gelijk aa,00375 2 ofwel circa,0459. Aders gezegd: de effectieve iterest op jaarbasis bedraagt 4,59% waar de omiale iterest 4,5% bedraagt.
8 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Voorbeeld.7 Met welk effectief maadpercetage komt ee percetage va 9,8 per jaar overee? Atwoord: De groeifactor per jaar bedraagt,098 dus per maad zal de groeifactor, 098 2 ofwel circa,00782 bedrage. Dit beteket ee effectief maadpercetage va 0,782. Voorbeeld.8 Met welk effectief jaarpercetage komt ee percetage va,2 per 4 weke overee? Atwoord: De groeifactor per 4 weke bedraagt,02 dus per jaar zal de groeifactor,02 3 ofwel circa,677 bedrage. Dit beteket effectief 6,77% per jaar. Equivalete percetages De samegestelde waarde va eidkapitaal S stijgt als het aatal rete-uitkerige i jaar stijgt, gegeve ee bepaalde omiale iterest. Twee omiale iterestperuages hete equivalet ze als overeekome met hetzelfde effectieve peruage. We otere i (m) als de omiale iterest die m keer per periode (dus ter grootte i (m) /m) wordt gedaa, e defiiëre de effectieve iterest i als de samegesteld iterest i die periode. Voorbeeld.9 Ee jaarlijkse retevergoedig va 2% omiaal, de retebijschrijvig geschiedt halfjaarlijks. Bereke het effectieve retepercetage op jaarbasis. Het gevraagde atwoord is (2) 2 i = 0,2 i =, 06 = 0,236 dus i = 2, 36% Voorbeeld.0 Ee bak biedt drie soorte gegaradeerde ivesterigscertificate aa, met i (2) = ¼%, i (2) = ½%, e i () = ¾%. Wat is de beste keuze?
Fiaciële rekekude 9 We berekee de (jaarlijkse)effectieve iterest voor elke i (m) : (2) 0,25 i = 4 % i = + = 0,85 2 (2) 0,5 i = 2 % i = + = 0,83 2 i = % i = 0,75 () 3 4 Het certificaat met i (2) = ¼% heeft de hoogste effectieve iterest. 2 2 Voorbeeld. Ee bedrag wordt 3 jaar geïvesteerd. I het eerste jaar is het redemet i (2) = 5%, i het tweede jaar i (4) = 0%, e i het derde jaar i (365) = 2%. Bepaal de effectieve iterest, die overeekomt met hetzelfde bedrag aa het eid va die 3 jaar. De gemiddelde effectieve iterest wordt het meetkudig gemiddelde redemet geoemd. ( ) 3 2 4 365 3 0,5 0,0 0,2 + i = + + + =, 4446 2 4 365 i =, 4446 = 0,304 = 3, 04% Opmerkig. Het is belagrijk oderscheid te make tusse het rekekudige e het meetkudige gemiddelde. De defiities zij als volgt. Het rekekudig gemiddelde (RG of x ) va de getalle x, x 2, x 3,,x is: j= x RG = = j j= x+ x 2 + x 3 +... + x e het meetkudig gemiddelde (MG) is: j= j= j 2 3 MG = ( x ) = (x x x... x ) Voorbeeld.2 Stel dat iemad ee bedrag ter grootte va.000, op de bak zet. De eerst vijf jare wordt er 4% per jaar vergoed, e de daaropvolgede 8 jaar 2%. De groeifactore zij,04 e,2.
0 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Het (meetkudige) gemiddelde va deze groeivoete is da: 5 8 ( ) 3, 04,2 =, 0885 We oeme da 8,85% het meetkudig gemiddelde..6 Eidwaarde va ee rete I de fiaciële rekekude verstaat me oder ee rete ee reeks geldelijke uitkerige is die regelmatig betaalbaar zij. Stel dat jaarlijks op 30 december ee bedrag va 2.000, op ee spaarrekeig wordt gestort e dat me wil berekee hoe hoog het saldo op deze rekeig zal zij direct a de 0de stortig. Om overzicht te verkrijge make we de volgede tijdlij: EW 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2 3 4 5 6 7 8 9 0 We hebbe ervoor gekoze de bedrage aa het eid va de betreffede periode te situere, omdat het saldo bereked moet worde zoals dat zal zij direct a de 0de stortig. Uitgaade va ee iterestvergoedig va 5% per jaar kome we tot de volgede berekeig: Saldo = 2.000,05 9 + 2.000,05 8 + 2.000,05 7 +... + 2.000,05 + 2.000 Er is hier sprake va de som va tie terme uit ee meetkudige rij. We kue kieze uit de volgede twee maiere va aapak:. De eerste term is 2000,05 0 e de rede (groeifactor) is,05 ; 2. De eerste term is 2000 e rede (groeifactor) is,05 (lees de rij va rechts aar liks). Het moge duidelijk zij dat aapak 2 eevoudiger is. We kome tot: 0,05 s0 = 2.000 0,05 = 25.55, 79 euro (zie de somformule i paragraaf.2) Als we i dit voorbeeld looptijd, iterestpercetage e bedrag va stortig veradere, zal de berekeig toch op precies dezelfde wijze verlope. Geeralisered kome we bij ee looptijd, iterestpercetage p e te storte bedrage ter hoogte T tot:
Fiaciële rekekude p p + + 00 00 s = T = T p p + 00 00 Als we i plaats va het iterestpercetage u het iterestperuage ofwel iterestgroeivoet eme e die i oeme, ziet de formule er eevoudiger uit: ( ) ( ) + i + i s = T = T + i i De eidwaarde wordt i het softwarepakket Excel bij de fiaciële fucties aagegeve met de afkortig TW (Toekomstige Waarde; i het Egels: FV va Future Value). De factor waarmee T vermeigvuldigd moet worde wordt aageduid met het symbool s, dus: i s i ( ) + i = i Voorbeeld.3 Ter aavullig va haar pesioe wil mevrouw A. jaarlijks ee bedrag va 3.000, gaa ilegge op ee spaarrekeig waarop ee vaste iterestvergoedig va 4% per jaar va toepassig is. Bereke het saldo op de rekeig va A. zoals dat zal zij direct a de 30ste ileg. Saldo = 3.000 s 30 0,04 = 3.000 30, 04 0,04 = 68.254,8 euro. Voorbeeld.4 Stel dat A. uit voorbeeld.3 ee saldo wil bereike va 300.000,. Hoe hoog moet de ileg da zij? De oplossig verloopt als volgt: 30, 04 300.000 = T s 30 0,04 = T 0,04 0,04 T = 300.000 30,04 = 5.349,03 euro Voorbeeld. 5 Bereke het saldo zoals dat zal zij direct a de 360ste maadelijkse ileg va 50, op ee spaarrekeig, waarvoor geldt dat ee vaste iterest wordt vergoed va 4,5% op jaarbasis.
2 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Nu moet eerst de omrekeig aar de maadelijkse iterest worde gemaakt (we otere 7 decimale; de drie pute geve aa dat er og meer decimale zij): 2 i =, 045 = 0, 0036748... 360,0036748... Saldo = 50 s = 50 = 37.353, 20 euro 360 0,0036748... 0,0036748... Voorbeeld.6 Michiel ziet bij ee autodealer ee aabiedig va ee sportauto die hij altijd al had wille hebbe: 20.000, iees e vervolges maadelijks 695, gedurede 5 volle jare, waarbij de door de dealer te berekee maadelijkse iterest,25% bedraagt. De eerste termij vervalt precies éé maad a aakoop. Michiel vraagt zich af hoeveel geld hij zou hebbe, direct a de betalig va de laatste termij, als hij die 20.000, e de termije zou spare tege het door de dealer geoemde iterestpercetage. EW 20.000 695 695 695 695 695 695 695 695...,25% 2 3 4 58 59 60 EW = 695 s 60 0,025 + 20.000 S 60 0,025 60, 025 60 695 20.000, 025 03.702, 9 = + = 0,0254 Michiel zou da ee bedrag va circa 03.703, hebbe gespaard..7 Cotate waarde va ee rete We beschouwe weer de aabiedig va de autodealer i voorbeeld.6 i de vorige paragraaf: 20.000, iees e vervolges maadelijks 695, gedurede 5 volle jare, waarbij de door de dealer te berekee maadelijkse iterest,25% bedraagt. De eerste termij vervalt precies maad a aakoop. Michiel vraagt zich af wat de cotate waarde is va deze betalige. Hier is sprake va de cotate waarde va ee postumerado rete: de maadelijkse betalige zij steeds aa het eid va de maad. We geve het probleem met behulp va ee tijdlij weer:
Fiaciële rekekude 3 CW 20.000 695 695 695 695 695 695 695 695...,25% 2 3 4 58 59 60 De cotate waarde va de eerste termij is: 695 A 0,025 = 695,025 ; de cotate waarde va de tweede termij is: 695 A = 695 2 0,025,025 2 ; de cotate waarde va de derde termij is: 695 A = 695 3 0,025,025 3 ; de cotate waarde va de vierde termij is: 695 A = 695 4 0,025,025 4 ;... de cotate waarde va de 59ste termij is: 695 A = 695 59 0,025,025 59 ; de cotate waarde va de 60ste termij is 695 A = 695 60 0,025,025 60. De totale cotate waarde va de termije is dus te schrijve als: ofwel als: 695 ( A + A 0,025 2 0,025 + A 3 0,025 +... + A + A ) 59 0,025 60 0,025 695 (,025 +,025 2 +,025 3 +... +,025 59 +,025 60 ) Deze som is op te vatte als de som va de terme va ee meetkudige rij bestaade uit 60 terme; de eerste term e de rede zij beide gelijk aa,025. Met de somformule va ee meetkudige rij volgt u: 60 60 (, 025 ) (, 025 ) 60 - - s = 695, 025 = 695,025, 025,025 60 60 (, 025 ), 025 s60 = 695 = 695 = 29.24, 025 0, 025 De cotate waarde is dus 29.24 + 20.000 = 49.24, euro. Met behulp va ee symbool wordt de som va de cotate waarde va de termije geschreve als:, 025 CW = 695 a = 695 60 0,025 0,025 60 Merk op dat oprete va 49.24, over 60 maade tege,25% per maad ee bedrag va 03.703, oplevert, wat de eidwaarde was als Michiel de termijbedrage e de 20.000, zou spare tege,25% per maad.
4 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties De cotate waarde va ee postumerado rete, bestaade uit termije ter grootte T bij ee percetage p per periode, is te schrijve als: ( ) + i CW = T a = T i i De cotate waarde wordt i het softwarepakket Excel bij de fiaciële fucties aagegeve met de afkortig HW (Huidige Waarde; i het Egels: PV va Preset Value). Voorbeeld.7 Bereke de cotate waarde va ee schuld die bestaat uit 30 jaarlijkse termije va ieder 8.500, op basis va ee gelijkblijvede iterest va 5,6% per jaar. De eerste termij moet worde voldaa over precies éé jaar. 30, 056 CW = 8.500 a = 8.500 = 22.84 euro 30 0,056 0,056 Voorbeeld.8 Ee schuld va 47.000 moet worde afgelost i 25 jaarlijkse termije op basis va ee iterest va 7% per jaar. Bereke de hoogte va de termijbedrage. 25, 07 47.000 = T a = T 25 0,07 0,07 0,07 T = 47.000 = 4.033, 09 euro 25, 07.8 Pre- e postumerado I de vorige paragrafe hebbe we steeds rete bekeke waarva de termije aa het eid va de periode verviele. Me oemt dit postumerado rete. We kue ook kijke aar preumerado rete, rete waarva de termije aa het begi va de periode vervalle. I het geval va ee eidwaardeberekeig va ee preumerado rete beteket dat iedere termij éé periode lager retedraged is, zodat iedere term moet worde vermeigvuldigd met + i. Stel dat we de eidwaarde wille berekee va 0 jaarlijkse termije va ieder 2.000, zoals die zal zij precies éé jaar a de 0de stortig. De bijbehorede tijdlij ziet er da als volgt uit:
Fiaciële rekekude 5 EW 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000... jaar: 2 3 4 7 8 9 0 Saldo = 2.000,05 0 + 2.000,05 9 + 2.000,05 8 +. + 2.000,05 =,05 (2.000,05 9 + 2.000,05 8 +. + 2.000,05 + 2.000) Dit is dus,05 keer zo groot als het saldo uit het begi va paragraaf.5. Merk op dat ook de factor 2000 og buite de hake ka: Saldo =,05 2.000 (,05 9 +,05 8 +. +,05 + ) =,05 2.000 s 0 0,05. Deze vorm wordt ook wel geschreve als 2.000 x s 0 0,05. I het geval va ee berekeig va ee cotate waarde va ee preumerado rete geldt dat iedere termij éé periode mider moet worde afgeret, hetgee beteket dat ook hier iedere term moet worde vermeigvuldig met +i. Algemee geldt dus: preumerado = (+i) postumerado. I symbole: s = ( + i) s e a = ( + i) a i i i i met ( + i) s = e a i i die ook als volgt kue worde geschreve: S i s = e a i i i i (+ i) = i A = i i - Voorbeeld.9 De moeder va ee pasgebore zoo, Klaas, is va pla om met igag va 5 jauari a.s. jaarlijks.000, op ee speciale kiderspaarrekeig te zette. De bak zal steeds 5,5% iterest per jaar vergoede. Bovedie zal de bak precies éé jaar a de 20ste stortig ee premie va 0% over het da opgebouwde spaartegoed uitkere aa Klaas. Bereke het bedrag va de premie i euro s auwkeurig. Er is hier sprake va de eidwaarde va ee preumerado rete bestaade uit 20 jaarlijkse termije va ieder.000, tege ee iterest va 5,5% per jaar.
6 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties EW.000.000.000.000.000.000.000.000.000... 2 3 4 7 8 9 20 20, 055 EW =.000 s =.000 = 36.786 20 0,055 0,055 De premie bedraagt dus 0% 36.786 = 3679. Voorbeeld.20 De heer H sluit ee spaarcotract af, waarbij hij zich verplicht gedurede vijftie volle jare iedere maad 60, i te legge. De betreffede bakistellig zal gedurede de gehele looptijd rekee met ee iterest va 6,8% per jaar. Bereke de eidwaarde precies éé maad a de laatste (de 80ste) betalig. Er is hier sprake va de eidwaarde va ee preumerado rete bestaade uit 80 maadelijkse termije va 60, ieder tege ee iterest va 6,8% per jaar. Het jaarlijkse iterestpercetage moet dus eerst omgereked worde aar het overeekomstige maadelijkse iterestpercetage: de groeifactor per jaar bedraagt,068, dus de groeifactor per maad is te berekee door de twaalfdemachtswortel uit,068 te bepale ofwel: 2 g =, 068 dus 2 2 g =, 068 =, 068 =, 0055 De iterest per maad bedraagt dus circa 0,55%. De eidwaarde is da: 20, 0055 EW = 60 s = 60 = 8.47 80 0,0055 0,0055 NB: Als we zoude doorrekee met de iet-afgerode waarde va de twaalfdemachtswortel uit,068, kome we uit op 8.466,26. Op ee calculator :.068 x y 2 M i x y 80 = / ( MR ) 60 =. Voorbeeld.2 Marie wil over 0 jaar kue beschikke over ee bedrag va 50.000,. Welk bedrag moet zij maadelijks opzij zette om, uitgaade va ee iterestpercetage va 0,5 per maad, het gestelde doel te bereike? Stel T is het gevraagde maadelijkse bedrag. Er geldt da:
Fiaciële rekekude 7 20, 005 T s = T = 50.000 20 0,005 0,005 0, 005 T = = 303, 58 20, 005, 005 Marie moet dus maadelijks 303,58 spare. Voorbeeld.22 De jaarpremie voor ee bepaald pakket va ee ziektekosteverzekerig bedraagt 2.974,. Bereke de vergelijkbare (preumerado) maadpremie op basis va 0,5% per maad. Stel P de gevraagde maadpremie. Het probleem laat zich met behulp va de volgede tijdlij uitbeelde: 2. 974 P P P P P P P P P... 0,5% 2 3 4 9 0 2 2, 005 CW = 2.974 = P a = P, 005 2 0,005 0,005 2.974 0, 005 P = = 254, 69 euro 2, 005, 005 Dus de maadpremie zou 254,69 moete bedrage. I de praktijk verhoogt de maatschappij die maadpremie met ee toeslag i verbad met te make extra koste of bregt ee hoger maadpercetage i rekeig. (Ga a dat bij 0,6% per maad de premie 256,07 zou bedrage.) Voorbeeld.23 Bij de aakoop va ee ieuwbouwwoig i Amsterdam Cetrum zal de koper ee erfpachtverplichtig met de gemeete moete aagaa te aazie va de grod waarop de woig staat. De verplichtig houdt i dat met igag va jauari a.s. jaarlijks ee bedrag va 2500, verschuldigd is aa de betreffede deelgemeete gedurede 50 jaar. De deelgemeete biedt de mogelijkheid om de erfpachtverplichtig bij de aakoop va de woig af te kope. De afkoopsom zal da gelijk zij aa de cotate waarde va de 50 bedrage op basis va ee jaarlijkse iterest va 6%.
8 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties Bereke de hoogte va die afkoopsom die per jauari a.s. zal moete worde voldaa. We geve eerst i ee tijdlij aa wat het probleem is dat moet worde opgelost. CW 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500... 6% 2 3 48 49 50 Als we de rete opvatte als ee preumerado rete geldt: 50, 06 CW = 2500 a = 2500, 06 = 4.769 50 0,06 0,06 We hadde de rete ook kue opvatte als ee postumerado rete. Da verloopt de berekeig als volgt: 49, 06 CW = 2.500 + 2.500 a = 2.500 + 2.500 = 2.500 + 39.269 = 4.769 49 0,06 0,06 De afkoopsom bedraagt dus 4.769. Opgave. Va ee meetkudige rij is gegeve: t = 3 e r = 2. Bereke t 0 e s 0..2 Va ee meetkudige rij met ee positieve rede is gegeve: t 5 = 9 t 3 e t 6 = 486. Bereke r, t e s 0..3 Bereke de slotwaarde va ee kapitaal va 20.000, op basis va samegestelde ietrest bij 4,5% iterest per jaar e ee looptijd va 7 jaar..4 Mevrouw A. wil op haar 60ste verjaardag beschikke over ee spaarsom va 00.000,. Welk bedrag moet ze op haar 30ste verjaardag da op de bak zette, als dat bedrag 30 jaar lag op basis va samegestelde iterest va 7,5% per jaar op de bak zal staa?.5 Bereke de cotate waarde va ee kapitaal va 40.000, bij ee rete va 8,2% e ee looptijd va 0 jaar.
Register aaspraakgerechtigde, 97 aavagswaarde, 6 Actuariaal Geootschap, 24 actuariaal oprete, 72 actuaris, 24 afkoopwaarde, 79 afstempele, 6 ALM-studie, 68 Algemee Nabestaadewet, 2 Aw, 2 AOW, 94 backservice, 02 basispesioeregelig, 98 bedrijfstakpesioefods, 98 begustigde, 23 beschikbare premieregelig, 30 bijzoder parterpesioe, 99 bruto premie, 86 CBS, 23 collectief pesioe, 2 comig-backservice, 04 comig-service, 04 commutatietekes, 30, 40 cotate waarde, 6, 2 cotiue rete, 65 coversie, 23, 80, 32 deelemer, 98 geweze, 99 defied beefit, 00 defied cotributio, 00 dekkigsgraad, 6, 28 discoterigsfactor, 22 discoterigsvoet, 22 doelvermoge, 25 doelzoeke, 63 doorseepremie, 23, 24, 25 effectieve iterest, 7 eidlooregelig, 02 eidwaarde, 5, 0 equivaletiepricipe, 27, 62, 73, 86 erfrete, 55 Exceltoepassige, 55 expiratiedatum, 26, 49 fial pay-regelig, 00 fiaciële rekekude, fractie, 23 frachise, 00 garatiekapitaal, 76 gemegde verzekerig, 42 gemitigeerde eidlooregelig, 04 gepesioeerde, 97 geweze deelemer, 99 goal seek, 63 groeifactor, 5 groeivoet, 4 ideaalverzekerig, 56 idexerig, 5, 67 iterest, 4 iterestperuage, 4 iterestpremie, 49 iterestvoet, 4 kapitaal garatie-, 65 progose-, 65 kapitaaldekkigsstelsel, 24 kapitaalovereekomst, 99 kapitaalverzekerig bij leve, 2, 26, 49 kapitaalverzekerig bij overlijde, 2 koopsom, 27 koopsompolis, 75 koste, 85 lagstlevede, verzekerig op de, 5 levesverzekeraar, 22 levesverzekerig, 2 lijfrete, 29, 50 maadelijkse uitkerige, 67 maadpremies, 65 meetkudig gemiddelde, 9
96 Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties meetkudige rij, methode (gewijzigde) bruto-premie-, 90 (x+)-, 90 Höcker-, 88 ivetaris-, 90 prospectieve, 76 retrospectieve, 7 Zillmer-, 90 middellooregelig, 07 abestaadepesioe, 53, 2 egatieve risicopremie, 47 egatieve spaarpremie, 45 omiale iterest, 7 omslagstelsel, 22 omzetig, 23 oderemigspesioefods, 98 opbouwpercetage, 0 opbouwregelig, 00 oplosser, 63 oprete, actuarieel, 3 ouderdomspesioe, 97 overlevigskas, 23 overlevigsrete, 53 overlevigstafels, 23 overlevigsverzekerig, 53 overlijdes(risico)verzekerig, 39 overlijdesverzekerig, 2, 39 parter, 99 parterpesioe, 99 bijzoder, 99 parterrelatie, 99 pesioe fiacierig, 2 abestaade-, 53 weduwe-, 53 weduwaars-, 55 weze-, 55, 99, 2 pesioeaaspraak, 97 pesioebreuk, 04 pesioefods, 98 pesioegerechtigde, 97 pesioegrodslag, 0 pesioeovereekomst, 97 pesioerecht, 97 pesioeregelig, 97 pesioereglemet, 98 pesioesceario s, 66 pesioeuitvoerder, 98 pesioeverplichtig, 98, 25 Pesioewet (PW), 93 pijlers va het pesioestelsel, 93 postumerado, 2, 4 premie, 6, 98 bruto, 86 premiebetalig, 6 premieovereekomst, 98 premiepesioeistellig, 97 premiereserve, 7 premievrijmakig, 80 preumerado, 4 progosekapitaal, 76 Projected Uit Credit Method, 29, 68 radix va de sterftetafel, 23 rede,, 0 reëel redemet, 7 rekekudig gemiddelde, 9 rekerete, 22 redemetsberekeig met Excel, 63 rete, 6, 0, 29 cotiue, 65 postumerado, 2 preumerado, 4 retedekkigsstelsel, 23 risicobasis, 2 risicokapitaal, 4, 49 risicopremie, 4, 49 egatieve, 47 scatterdiagram, 55 scheidig, 3 sexeeutraal, 44, 3, 34, 36 service comig-, 04 comig-back-, 04 slaper, 99 slotwaarde, 5 solver, 63 spaar- e risicopremies, 4 bij eejarige verzekerige, 4 bij meerjarige verzekerige, 43
Register 97 spaarpremie, 4, 49 egatieve, 45 spreidigsdiagram, 55 sterftekas, 23, 38 sterftequotiët, 23 sterftetafels, 23 sterfteverlies, 26 sterftewist, 26 termij, 7 uitkerigsovereekomst, 99 variabilisere va pesioeleeftijd, 35 va pesioeuitkerige, 34 vereveig (peioerechte), 3 verzekerde, 23 verzekerig gemegde, 42 ideaal-, 56 op éé leve, 6 op lagstlevede, 5 op twee leves, 49, 63 verzekerigemer, 23 verzekerigsjaar, 28 voorzieig, 7, 76, 49, 60 waardeoverdracht, 06, 27 waardevast, 07 welvaartsvast, 07 wezepesioe, 55, 99, 2
De begrippe levesverzekerig e pesioe staa volop i de belagstellig. Belagrijke oorzake hierva zij de toeemede flexibiliserig va de arbeidsmarkt, ee steeds kritischer houdig tegeover bak- e verzekerigsproducte e de otwikkelige op de fiaciële markte. Actuele vrage daarbij zij oder adere: Hoeveel kapitaal moet ik opbouwe voor ee goed pesioeikome? Welke afkoopwaarde heeft mij kapitaalverzekerig bij leve op dit momet? Hoe groot is het verschil i de door verzekeraars aa te houde balasvoorzieig voor ee weduwerespectievelijk ee weduwaarspesioe? Hoeveel kost het vrijmake va ee hypotheek met ee daaraa gekoppelde levesverzekerig? Wat is het effect va de toeemede levesverwachtig op de koste va de pesioee? Wat is het verschil tusse ee defided cotributio e ee defied beefit regelig? Deze e adere vrage kue worde beatwoord met behulp va de levesverzekerigswiskude, ook wel actuariële wiskude geaamd. Deze geheel herziee e geactualiseerde derde druk va Levesverzekerigswiskude e pesioecalculaties maakt de lezer beked met de meest voorkomede type levesverzekerige. Via de berekeig va de koopsom voor dergelijke verzekerige wordt overgegaa op de etto e later ook de bruto premies. Ook de hoogte va zowel etto als bruto (balas)voorzieig komt aa de orde. Voorts wordt aadacht besteed aa spaar- e risicopremies. Tot slot kome diverse pesioebegrippe aa bod, zoals de opbouw va pesioerecht (ook pesioeaaspraak) e de fiacierig va collectieve pesioee. Ook wordt aadacht besteed aa idividuele pesioee (o.a. de DGA e de ZZP er). Er is ook aadacht voor de maier waarop Excel ka worde igeschakeld voor het rekee met elke geweste overlevigstafel bij bovedie ee variabele retevoet. Dit geeft izicht i de effecte va ee veraderede rekerete op levesverzekerige e pesioee. Het boek is geschikt als studieboek voor fiaciële e fiscale opleidige op uiversitair e hbo-iveau e dekt de eidterme va het oderdeel Levesverzekerigswiskude i de accoutatsopleidig (opgesteld door de CEA) e va het vak Levesverzekerigswiskude (mior Accoutacy) va de opleidig SPD Bedrijfsadmiistratie. Daaraast is het ee bro va iformatie voor fiaciële plaers e betrokkee uit de verzekerigsbrache. D.P.G. va As is werkzaam bij de MSc Verzekerigskude va de Uiversiteit va Amsterdam e als docet bij de Hogeschool va Amsterdam, drs. J. Klouwe is docet aa de Hogeschool va Amsterdam e drs. L.J. va de Leur is docet aa de Uiversiteit va Amsterdam. 978 90 395 2686 6 23