Combinatoriek 1 Permutaties Wisnet-hbo update aug. 2007 Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? De verschillende volgorden (permutaties) kun je systematisch nagaan en we zullen zien dat daarin systeem zit. Voorbeeld 1.1 Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? antwoord 1.1 Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? Voor de plaatsing van de eerste letter heb je 4 mogelijkheden. Voor de plaatsing van de tweede letter heb je dan nog 3 mogelijkheden over. Voor de plaatsing van de derde letter nog 2 mogelijkheden en ten slotte blijft voor de laatste letter nog één mogelijkheid over. T Voorbeeld 1.2 Je wilt 5 verschillende familieleden een bezoek brengen. Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de bezoeken afleggen? antwoord 1.2 Je wilt 5 verschillende familieleden een bezoek brengen. Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de bezoeken afleggen? Je kunt op 5 manieren het eerste bezoek afleggen. Daarna blijven er nog 4 over voor de volgende keuze. Dan heb je nog keuze uit 3 mogelijkheden voor de volgorde. Ten slotte nog 2 en daarna nog 1. Voorbeeld 1.3 Een geautomatiseerde boormachine moet in een stalen plaat 12 gaten boren.
De ontwerper vraagt zich af hoe dit het snelst kan, d.w.z. wat de kortste route is tussen die gaten. Hoeveel routes van de boormachine moeten er onderzocht worden? antwoord 1.3 Een geautomatiseerde boormachine moet in een stalen plaat 12 gaten boren. Wat is de kortste route tussen die gaten. Hoeveel routes van de boormachine moeten er onderzocht worden? Voor de mogelijke volgordes ga je weer systematisch te werk, zoals bij de vorige voorbeelden. Voor het eerste boorgat heb je de keuze uit 12. Voor het volgende de keuze uit 11 enzovoort. In totaal is het aantal mogelijkheden: Algemeen met faculteit Naar aanleiding van bovenstaande voorbeelden, wordt het aantal permutaties wel een lange berekening om deze steeds uit te schrijven. Er is een kortere schrijfwijze: voor het laatse voorbeeld 12! Spreek uit twaalf faculteit. De betekenis is: De meeste rekenmachines hebben deze faculteitsknop wel (met het uitroepteken). De faculteit kan alleen van een positief geheel getal genomen worden en de uitkomst groeit vrij snel zoals je bij 12! gezien hebt. Verder is per afspraak 0! = 1. Het aantal permutaties (verschillende volgordes) van n elementen is n-faculteit. n! = n n - 1 n 2 Variaties Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als je elke letter maar éénmaal mag gebruiken? Het komt er dus op neer dat je 3 verschillende letters uit 26 op volgorde legt zónder terugleggen. Voorbeeld 2.1 Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als je elke letter maar éénmaal mag gebruiken? antwoord 2.1 Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als je elke letter maar éénmaal mag gebruiken? De volgorde is hier van belang! Immers ABC is een ander "woord" dan BCA. Voor de eerste letter heb je keuze uit 26 letters. Voor de tweede letter heb je keuze uit nog maar 25 letters omdat alle letters maar
één keer gebruikt mogen worden (zonder terugleggen dus). Voor de derde letter heb je keuze uit 24 letters. Het totaal aantal mogelijkheden is dus: Ga na dat dit hetzelfde is als: Voorbeeld 2.2 Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is een voorzitter, een secretaris en een penningmeester nodig. antwoord 2.2 Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is een voorzitter, een secretaris en een penningmeester nodig. Hier is ook weer de volgorde van belang, namelijk Jan als voorzitter en Marit als penningmeester is een andere mogelijkheid dan bijvoorbeeld andersom. Voor de voorzitter heb je keuze uit 8, voor de secretaris dan nog keuze uit 7 en voor de penningmeester zijn er nog 6 mogelijkheden. In totaal is het aantal mogelijkheden dus: Ga na dat dit hetzelfde is als: Voorbeeld 2.3 Bij een loting worden 1000 genummerde loten verkocht. Op hoeveel manieren kunnen de eerste, tweede en derde prijs verdeeld worden over deze loten? antwoord 2.3 Bij een loting worden 1000 genummerde loten verkocht. Op hoeveel manieren kunnen de eerste, tweede en derde prijs verdeeld worden over deze loten? Voor de eerste prijs zijn er 1000 mogelijkheden, voor de tweede prijs nog maar 999 en voor de derde prijs zijn er 998 mogelijkheden over. Ook hier is de volgorde weer van belang want de eerste prijs op lot nummer 1 is een andere mogelijkheid dan de eerste prijs op lot nummer 2 enzovoort. In totaal is het aantal mogelijkheden: Ga na dat dit hetzelfde is als:
Algemeen met faculteit De bovenstaande voorbeelden komen op het volgende neer: Het aantal variaties van het trekken zónder terugleggen van k elementen uit n elementen waarbij de volgorde van belang is, komt op het volgende neer: 3 Herhalingsvariaties Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als elke letter meer keren gebruikt mag worden? Het komt er dus op neer dat je 3 letters op volgorde legt mét terugleggen. Het betekent dus dat er ook letters meer keren mogen voorkomen. Voorbeeld 3.1 Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als elke letter meer keren gebruikt mag worden? Het komt er dus op neer dat je 3 letters op volgorde legt mét terugleggen. antwoord 3.1 Op hoeveel manieren kun je een "woord" van 3 letters maken als elke letter meer keren gebruikt mag worden? Deze berekening is heel gemakkelijk in te zien. Voor de eerste letter heb je 26 mogelijkheden, voor de tweede ook en voor de derde ook. In totaal is het aantal mogelijkheden dus 26 = Voorbeeld 3.2 Belgische nummerplaten bestaan uit 3 letters en 3 cijfers (bijvoorbeeld: ABA 123). Hoeveel mogelijkheden zijn er om nummerplaten samen te stellen? Hierbij worden de I en de O niet gebruikt, wegens overeenkomsten met respectievelijk de 1 en de 0 en de letters en cijfers mogen ook meer malen voorkomen. Het houdt dus in dat er een volgorde is met een trekking mét terugleggen. antwoord 3.2 Belgische nummerplaten bestaan uit 3 letters en vervolgens 3 cijfers (bijvoorbeeld: ABA 123). Hoeveel mogelijkheden zijn er om nummerplaten samen te stellen? Hierbij worden de I en de O niet gebruikt, wegens overeenkomsten met respectievelijk de 1 en de 0.
Voor de letters is het aantal mogelijkheden: Voor de cijfers is het aantal mogelijkheden: Voor het totaal aantal nummerplaten kom je op (Dit zijn meer nummerplaten dan er Belgen zijn (10.4 miljoen)) Als je eventueel ook nog zou kunnen beginnen met een blokje cijfers en vervolgens een blokje letters, dan zou dat in totaal twee maal zoveel mogelijkheden opleveren. Voorbeeld 3.3 Bij een loting worden 1000 genummerde loten verkocht. Op deze loten vallen drie verschillende prijzen: eerste, tweede en derde prijs. Het is hier mogelijk dat er op één lot wel meer prijzen vallen. Dit is dus een geval van herhalingsvariaties mét terugleggen. antwoord 3.3 Bij een loting worden 1000 genummerde loten verkocht. Op deze loten vallen drie verschillende prijzen: eerste, tweede en derde prijs. Het is hier mogelijk dat er op één lot wel meer prijzen vallen. Voor de eerste prijs 1000 mogelijkheden, voor de tweede prijs ook en voor de derde prijs ook. Dus het aantal mogelijkheden in totaal is Algemeen Voor het berkekenen van het aantal herhalingsvariaties, dus het trekken mét terugleggen van k elementen uit n elementen en op volgorde leggen, is het aantal mogelijkheden in totaal: 4 Combinaties Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is géén volgorde voorgeschreven. De commissieleden zijn allen gelijkwaardig en er wordt gekozen zonder "terugleggen". Waar het bij variaties wel uitmaakte of een van de gekozen personen voorzitter, secretaris of penningmeester was, is dat nu niet van belang. Er wordt nu gewoon een groepje van drie personen uit 8 gekozen en zodoende zijn er dus veel minder mogelijkheden omdat volgordeverwisseling niet een ander groepje oplevert. Als de volgorde wel van belang zou zijn, zouden er meer mogelijkheden zijn, want de drie verschillende commissieleden kunnen op 3! = 6 manieren van volgorde wisselen (permutaties). Voorbeeld 4.1
Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is geen volgorde voorgeschreven. De commissieleden zijn allen gelijkwaardig. antwoord 4.1 Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is geen volgorde voorgeschreven. De commissieleden zijn allen gelijkwaardig. Voor het eerste commissielid zijn 8 mogelijkheden, voor het tweede lid zijn 7 mogelijkheden en voor het derde zijn 6 mogelijkheden. Maar hierbij zitten dan ook een aantal dubbele. De combinatie Jan, Piet en Marit is namelijk dezelfde als Marit, Jan en Piet bijvoorbeeld. Immers de commissieleden zijn gelijkwaardig. Elk drietal kan op 3! = 6 manieren van volgorde wisselen. Bij combinaties gaat het erom dat de volgorde er niet toe doet! Ga na dat dit hetzelfde is als: Of ook wel korter geschreven als: De formule (spreek uit acht boven drie) wordt binomiaalcoëfficiënt genoemd. Zie een aparte les over het binomiaalcoëfficiënt. Voorbeeld 4.2 Binnen een vermaasd netwerk met tien knooppunten wordt ieder knooppunt verbonden met alle andere knooppunten. Hoe groot is het aantal verbindingen? antwoord 4.2 Binnen een vermaasd netwerk met tien knooppunten wordt ieder knooppunt verbonden met alle andere knooppunten. Hoe groot is het aantal verbindingen?
Het aantal verbindingen is dus gelijk aan het aantal combinaties van twee elementen uit een verzameling bestaande uit tien elementen. Immers de verbinding AB is dezelfde als BA er is dus geen volgorde van belang. Voorbeeld 4.3 Uit een klas van 30 studenten wordt een groepje van 3 studenten gekozen die met een project mee mogen doen. Op hoeveel manieren kan een dergelijk projectgroepje worden samengesteld? antwoord 4.3 Uit een klas van 30 studenten wordt een groepje van 3 studenten gekozen die met een project mee mogen doen. Op hoeveel manieren kan een dergelijk projectgroepje worden samengesteld? Dit is een voorbeeld van een combinatie van 3 uit 30. De volgorde is niet van belang en er wordt gekozen zonder terugleggen. Het aantal mogelijke groepjes is dus: Algemeen Er is sprake van een combinatie wanneer er k elementen worden gekozen uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één maal gekozen 5 Samenvatting Het aantal permutaties (verschillende volgordes) van n elementen is n-faculteit. n! = n n - 1 n Het aantal variaties van het trekken zónder terugleggen van k elementen uit n elementen waarbij de volgorde van belang is, komt op het volgende neer:
Voor het berekenen van het aantal herhalingsvariaties, dus het trekken mét terugleggen van k elementen uit n elementen en op volgorde leggen, is het aantal mogelijkheden in totaal: Er is sprake van een combinatie wanneer er k elementen worden gekozen uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één maal gekozen