Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 9 juli 2008) Inleiding Omdat de behandelde topics niet of nauwelijks meer aan bod komen in het secundair onderwijs is deze module opgevat als een naslagwerk en bevat dus veel meer informatie dan in de zomercursus aan bod zal komen. De nieuwe begrippen worden dan ook uitgebreid ingevoerd met veel voorbeelden en oefeningen zodat deze module gemakkelijk kan dienen voor zelfstudie. De module wordt in Zomercursus B gespreid over drie lessen. Les 1: De formele logica, verzamelingenleer, functies(enkel de pijlennotatie) en gebruik van kwantoren. Les 2 en 3: Bewijzen van uitspraken met kwantoren, bewijstechnieken met de nadruk op bewijs uit het ongerijmde en bewijs door contrapositie. Voor eigenschappen van natuurlijke getallen: het bewijs door volledige inductie. In de tekst zijn veel oefeningen opgenomen, de oefeningen aangeduid met een ( ) zijn iets moeilijker. Om wiskundige definities en redeneringen te kunnen opschrijven hebben we een taal nodig, een communicatiemiddel waarin we onze ideeën exact kunnen formuleren. De meest voor de hand liggende keuze is onze moedertaal (of een andere levende taal), deze voldoet perfect zolang ze maar goed begrepen wordt door onze toehoorders. Maar verder moeten we ook gebruik maken van symbolen en notaties die universeel gekend zijn in de wetenschappelijke wereld. Daartoe voeren we de symbolische logica en de verzamelingenleer in. In de logica maken we duidelijke afspraken over de betekenis van de zo belangrijke logische connectieven en, of, niet, als... dan... We overlopen hoe we de waarheidswaarden van uitspraken kunnen natrekken en formaliseren. We bekijken ook de redeneervormen die gebruik maken van universele stellingen uit de logica, zoals bijvoorbeeld de negatiewetten of de wet van contrapositie. Om uitspraken te kunnen doen over objecten die behoren tot een geheel moeten we het begrip verzameling invoeren en ook de symbolen vastleggen die in de context van verzamelingen onontbeerlijk

2 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken zijn. Uitspraken als deze eigenschap geldt voor alle elementen uit de verzameling of deze eigenschap geldt voor minstens één element uit de verzameling kunnen we steeds ondubbelzinnig noteren met behulp van kwantoren. Hierdoor krijgen we een krachtige formele wiskundige taal waar de exactheid en éénduidigheid van de gevormde uitspraken de grootste troef is. Helaas is er een nadeel aan die formele taal: indien we wiskundige uitspraken en bijbehorende redeneringen consequent volledig in symbolen zouden neerschrijven, d.w.z. zonder gewone woorden te gebruiken, vervallen we in een puur formalisme met nog moeilijk ontcijferbare teksten tot gevolg. Dit kan natuurlijk niet de bedoeling zijn: ook een wiskundige tekst is bij voorkeur vlot leesbaar. Daarom pleiten we voor een gezond evenwicht in gebruik tussen enerzijds de gewone taal en anderzijds de formele en universele taal van de symbolische logica. We zullen in de wiskunde eigenlijk zelden op zo n extreem formele wijze communiceren, maar eerder kiezen voor een zinvol, complementair gebruik van gewone taal en formules, op zodanige wijze dat beide elkaar goed ondersteunen. We gebruiken de formele taal als aanvulling en hulpmiddel omdat ze nu eenmaal onze ideeën exacter en compacter kan weergeven. Maar onze teksten moeten in eerst instantie goed leesbaar zijn en bestaan uit goed gevormde en grammaticaal correcte zinnen en moeten de voorleestest moeiteloos doorstaan. Kortom wiskundige teksten mogen nooit verworden tot een wirwar van pijltjes en kwantoren! Anderzijds mag het belang en de kracht van formeel wiskundig taalgebruik niet onderschat worden, het neemt een centrale plaats in in wiskundige logica en is zeer zinvol als kernachtige herformulering van definities, eigenschappen, stellingen en eventueel korte bewijzen. In het voorlaatste deel van de tekst bekijken we enkele veel gebruikte bewijsvormen uit de wiskunde, zoals een bewijs uit het ongerijmde of een bewijs door contrapositie. Voor eigenschappen die gelden voor alle natuurlijke getallen geven we voorbeelden van bewijzen door volledige inductie. Onnodig te zeggen dat we hierbij de nadruk leggen op de manier waarop de bewijzen worden neergeschreven. Tot slot voeren we in het laatste hoofdstuk op een pragmatische manier het functiebegrip in, als een grootheid die afhangt van een andere grootheid. Wat de notaties betreft introduceren we de enige wiskundig verantwoorde notatie m.n. de pijlennotatie waarin het definitiegebied en de doelverzameling intrinsiek deel uitmaken van de notatie, terwijl het functievoorschrift dat nota bene bij de meeste functies niet eens bestaat (denk bijvoorbeeld aan een functie die de tijdsafhankelijkheid van de temperatuur weergeeft) een eerder ondergeschikte rol speelt. 1 De symbolische logica Wanneer wij een redenering willen meedelen in de wiskunde, dan gebruiken wij daarvoor een taal, in ons geval het Nederlands. Soms echter is het moeilijk de juiste bewoordingen te vinden om deze redenering exact uit te drukken. Bovendien heeft

1. De symbolische logica 3 ieder een eigen taalgevoel, wat tot gevolg kan hebben dat degene die een zin uitzendt en degene die de zin ontvangt, deze zin soms op verschillende wijze interpreteren. Doe je bijvoorbeeld aan een kleuter de belofte Als je braaf bent, krijg je een zuurtje of een reep chocolade, wat mag die kleuter dan verwachten? Kan hij mits hij braaf is, ook een zuurtje én een reep chocolade krijgen? En wat gebeurt er als hij niet braaf is? Krijgt hij dan niets, of werd er in de belofte niets over gezegd? Om deze mogelijkheid tot verwarring te vermijden onttrekt men de redeneervormen soms aan de gewone taal. Men gaat ze symboliseren. Dit gebeurt in een nieuwe wetenschap: de symbolische of formele logica. We beperken ons hier tot een kleine selectie van notaties uit de logica die soms gebruikt worden voor het formuleren van wiskundige definities, eigenschappen, stellingen en redeneringen. 1.1 Wiskundige beweringen In de logica werken we met zogenaamde proposities. Het begrip propositie is een grondbegrip en wordt dus niet gedefinieerd. Het wordt iets duidelijker als we zeggen dat het taalkundig wordt weergegeven door een zinvolle mededelende volzin. Let op, zinnen met eenzelfde betekenis, al dan niet in een andere taal, bepalen dezelfde propositie. Voorbeelden 1.1 De aarde is een planeet : een ware propositie. 1 + 1 = 3 : een onware propositie De vakantie is voorbij : een ware of onware propositie naargelang het tijdstip waarop de uitspraak gedaan wordt. Van een propositie wordt geëist dat ze waar is of onwaar. 1 We spreken hier van tweewaardige logica. Er bestaan ook meerwaardige logica s. Volgende volzinnen zijn dus geen proposities. Tegenvoorbeelden 1.2 Lag ik nu maar in de zon. Bestaan er buitenaardse wezens? Laten we gaan zitten. n is een priemgetal. De eerste drie zijn geen constaterende volzinnen; we kunnen ook niet nagaan of ze waar zijn of niet. Zij stellen dus geen proposities voor. De laatste zin is ook geen propositie 1 In plaats van te zeggen dat een bewering waar resp. onwaar is, zegt men ook wel dat een bewering waar resp. niet waar is, waar resp. vals is, voldaan resp. niet voldaan is, of dat een bewering geldt resp. niet geldt.

4 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken omdat we de waarheidswaarde enkel kunnen nagaan als we aan n een waarde toekennen. Zo een zin heet een predikaat. De symbolen in het predikaat die een waarde moeten krijgen om tot een propositie te komen heten vrije variabelen. Het geheel van proposities en predikaten noemen we beweringen of uitspraken. Wij gebruiken letters als p en q om proposities aan te geven en schrijven bijvoorbeeld p(m, n) om een predikaat aan te geven met m en n als vrije variabelen. 1.2 Logische connectieven In de wiskunde moeten we vaak bepalen of een gegeven propositie waar is of niet. Beweringen kunnen soms ingewikkeld zijn en opgebouwd zijn uit een aantal componenten die verbonden worden door logische connectieven. Het waar of onwaar zijn van een samengestelde bewering hangt af van het waar of onwaar zijn van haar componenten. Voorbeeld 1.3 Denken we terug aan de brave kleuter die een zuurtje krijgt of een reep chocolade. In de omgangstaal wordt hier vaak bedoeld dat de kleuter moet kiezen; hij krijgt het ene ofwel het andere, niet beide samen. In de logica is dit echter niet zo: met het connectief of, bedoelen we ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel beide. Het symbool voor of is en is afkomstig van het Latijnse woord vel met deze betekenis. 2 We vinden dit terug in volgende definitie. Definitie 1.4 (De disjunctie of ) Als p en q beweringen zijn, dan noteren we de bewering p of q met p q. De betekenis van p q kan het best verduidelijkt worden door middel van een waarheidstabel. Een bewering is ofwel waar ofwel niet waar (onwaar). De waarheid van p q hangt af van de waarheidswaarden van p en q zoals gegeven door de volgende tabel. Hierbij duidt w aan dat de bewering waar is en o dat de bewering onwaar is. p q p q w w w w o w o w w o o o Links in de tabel staan de vier mogelijke waarheidscombinaties van de beweringen p en q. Rechts in de tabel staat de daaruit volgende waarheidswaarde van p q. De derde regel van de tabel drukt dan bijvoorbeeld uit dat indien p niet waar en q wel waar is, dat dan p q waar is. 2 In het Latijn bestaat ook nog het woord aut, dat ofwel betekent maar dan in de exclusieve betekenis: ofwel het ene ofwel het andere, maar niet beide.

1. De symbolische logica 5 Voorbeeld 1.5 Als we de kleuter een zuurtje en een reep chocolade beloven, zal er groot protest ontstaan indien we hem niet beide lekkernijen geven. Hier komt de logica van de kleuter wel overeen met de wiskundige logica. Definitie 1.6 (De conjunctie en ) We gebruiken en als we willen uitdrukken dat twee beweringen allebei waar zijn. Als p en q beweringen zijn, dan is p en q de bewering die waar is als p en q allebei waar zijn en anders niet waar is. We schrijven p q. De waarheidstabel voor p q is de volgende. p q p q w w w w o o o w o o o o Definitie 1.7 (De negatie niet ) Als p een bewering is dan is niet p de tegengestelde bewering, die waar is als p het niet is, en omgekeerd. We noteren dit met p. Dit heet ook wel de negatie van p. De waarheidstabel voor p is de volgende. p p w o o w Oefeningen 1.8 1. Welke van de volgende proposities zijn waar, welke zijn onwaar? (a) 5 > 0 1 + 1 = 2 (b) 5 < 0 1 + 1 = 2 (c) 5 < 0 1 + 1 = 2 (d) 5 > 0 1 + 1 = 2 (e) 3 < 2 4 < 1 (f) 3 5 (g) 3 3 (h) 2 3 4 2. Stel de waarheidstabellen op voor de volgende beweringen.

6 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (a) (p q) (b) ( p) ( q) (c) p ( q) (d) p ( p) (e) p ( p) Dit doe je bijvoorbeeld voor oefening (a) door volgende tabel aan te vullen: p q p q (p q) w w w o o w o o 1.3 Implicaties De wiskunde en ook het dagelijkse taalgebruik lopen over van beweringen van het type Als..., dan.... We stellen vast dat de kloof tussen wat we ermee bedoelen in de omgangstaal en in de wiskunde, hier het grootst is, we nemen die beweringen dan ook zeer uitgebreid onder de loupe. Voorbeelden 1.9 (1) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende bewering: Als n een viervoud is, dan is n even. (2) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende bewering: Als n een drievoud is, dan is n even. (3) Beschouw volgende bewering: Als een mus een reptiel is, dan is 1 + 1 = 3. (4) Beschouw volgende bewering: Als een mus een reptiel is, dan is 1 + 1 = 2. (5) Een bezorgde vader zegt tegen zijn studerende zoon: Als jij kan slagen zonder te studeren, dan ben ik Napoleon. (6) Zelfde context als hierboven maar nu met een andere strategie: Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer. Dergelijke beweringen kunnen waar zijn of onwaar. Maar ze hebben hoe dan ook alle zes dezelfde structuur: Als p, dan q,

1. De symbolische logica 7 waarbij p en q staan voor beweringen (die op hun beurt waar of onwaar kunnen zijn). In de logica gebruikt men volgende notatie voor dergelijke beweringen: p q en men leest dit als p impliceert q of gewoonweg als als p, dan q of nog als q volgt uit p. Oefening 1.10 Doe een gok naar de waarheidswaarde van elk van de bovenstaande beweringen. Vooreerst moeten we opmerken dat de Beweringen (3) en (4) ons nogal vreemd doen opkijken. Wat heeft die valse bewering over een mus te maken met de daaropvolgende som? Misschien verwachtte je het niet, maar volgens de logica zijn beide implicaties waar. In het dagelijks leven suggereert de uitspraak p impliceert q dat er een causaal verband bestaat tussen p en q. Dat wil zeggen dat het waar zijn van q een gevolg is van het waar zijn van p. In de wiskundige betekenis van implicatie wordt geen causaal verband gesuggereerd. In de logica is een implicatie p q altijd waar als p niet waar is, onafhankelijk van het al dan niet waar zijn van q. Dit laatste is misschien moeilijker te begrijpen maar werd door de Romeinen al vertaald in de spreuk Ex falso sequitur quod libet (Uit een foute bewering kun je alles concluderen.) Of vrij vertaald: Als je de valse bewering p gelooft, moet je alles geloven. Om die waarheidswaarden nog aannemelijker te maken zoemen we even in op de belofte in Bewering (6) die er in deze notatie als volgt uitziet: (je bent er door in juni) (je krijgt een brommer) Bekijk alle mogelijke scenario s voor Bewering (6). Elke studerende zoon (of dochter) voelt feilloos aan in welke scenario s zijn (haar) vader zijn belofte Als..., dan... houdt (de belofte is dus waar) en in welke scenario s hij ze niet houdt (de belofte is dus onwaar). Enkel in het tweede scenario zal de student reden hebben om boos te zijn omwille van een gebroken belofte. p is onwaar, je bent er niet door in juni p is onwaar, je bent er niet door in juni scenario p is waar, q is waar, je bent er door in juni je krijgt een brommer p is waar, q is onwaar, je bent er door in juni je krijgt geen brommer q is waar, je krijgt een brommer q is onwaar, je krijgt geen brommer belofte is waar onwaar waar waar

8 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken We kunnen dus besluiten met volgende definitie. Definitie 1.11 (De implicatie ) Een implicatie is de bewering dat als een bepaalde bewering waar is dat dan ook een andere bewering waar is. We duiden dit aan met het symbool p q (ook andere notaties worden wel gebruikt, zoals p q) en we zeggen: p impliceert q of q volgt uit p, of als p, dan q. p wordt wel eens het antecedens of de hypothese en q het consequens of de conclusie genoemd. De waarheidstabel voor p q is de volgende. p q p q w w w w o o o w w o o w Dus de enige manier waarop p q niet waar is, is als p waar is en q niet. De negatie van de implicatie p q komt dus neer op zeggen dat p voldaan is en dat toch q niet voldaan is. De ontkenning van Bewering (6) is dus: Je bent er door in juni en toch krijg je geen brommer. Hier komen we later op terug. Overlopen we de waarheidswaarden van de overige beweringen. Vermits een implicatie p q altijd waar is als p onwaar is, is Bewering (5) een ware bewering, zelfs als die niet door Napoleon uitgesproken wordt. Inderdaad, het is een feit dat de eerste nog moet geboren worden die slaagt zonder te studeren, m.a.w. bij (5) is p niet waar. Bewering (1) is wat de waarde van n ook moge zijn, altijd een ware bewering. Inderdaad, als p waar is, d.w.z. als n een veelvoud van 4 is, dan kan men gemakkelijk argumenteren dat n deelbaar moet zijn door 2 en dus even moet zijn; m.a.w. als p waar is, zal q waar zijn. Indien p niet waar is, d.w.z. indien n geen veelvoud is van 4; dan is de implicatie p q sowieso waar. De waarheidwaarde van (2) hangt af van de keuze van n. Als je bijvoorbeeld n = 5 had gekozen wordt Bewering (2): als 5 een drievoud is, dan is 5 even. Dit is een ware bewering om de eenvoudige reden dat 5 geen drievoud is, waardoor de p in deze bewering vals is, en dus de implicatie p q waar is, zelfs als in dit geval (met n = 5) q manifest vals is. 3 Voor andere keuzes van n kan (2) evenwel 3 Bewering (2) voor n = 5 is vanuit logisch standpunt eigenlijk helemaal analoog aan bewering (5)

1. De symbolische logica 9 een valse bewering zijn. Neem bijvoorbeeld n = 9, dan is n een drievoud (dus p is waar), maar n is natuurlijk niet even (dus q is hier vals). Beweringen (3) en (4) zijn waar omdat de bewering p vals is. Definitie 1.12 In de context van implicaties hanteert men ook vaak de terminologie nodige voorwaarde en voldoende voorwaarde. Veronderstel dat de implicatie p q geldt. Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: q is een nodige voorwaarde voor p, of, anders gezegd, opdat p zou gelden, is het nodig dat q geldt. Immers, als q vals is, kan p onmogelijk waar zijn. Men kan hetzelfde nog anders zeggen: p is een voldoende voorwaarde voor q, of nog opdat q zou gelden, is het voldoende dat p geldt. Beschouw bijvoorbeeld de (ware) implicatie (1) van hierboven: als n een viervoud is, is n even. Alternatieve manieren om precies hetzelfde te zeggen zijn: of opdat n een viervoud zou zijn, is het nodig dat n even is, opdat n even zou zijn, is het voldoende dat n een viervoud is. In dit voorbeeld is meteen duidelijk dat een nodige voorwaarde niet voldoende hoeft te zijn en omgekeerd. Opmerking 1.13 (Veel gemaakte redeneerfout) Veronderstel dat men een bewering heeft van de vorm p q waarvan men weet dat ze waar is (bijvoorbeeld Bewering (1): (n een viervoud) (n even)). Soms trekt men dan verkeerdelijk de conclusie dat als p niet waar is, dan ook q niet waar zal zijn. In de context van Bewering (1) zou dat betekenen dat men zou besluiten dat als een getal n geen viervoud is, het niet even is. Dit is uiteraard fout, zo is 6 geen viervoud, maar wel even! Als je weet dat de bewering p q een ware bewering is, en je weet dat p niet geldt, dan kan je niets besluiten over de geldigheid van q! Dit is eigenlijk een evidentie. Toch leert de ervaring dat daar in de praktijk al te vaak tegen gezondigd wordt. als die gezegd wordt door iemand die niet Napoleon is. In beide gevallen zijn immers zowel p en q vals.

10 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken Wellicht komt dat doordat men in het dagelijks taalgebruik dikwijls slordig omspringt met het gebruik van als..., dan... en daarbij soms meer bedoelt dan men strikt genomen zegt. Beschouw bijvoorbeeld Bewering (6) hierboven die de vader tegen zijn zoon zegt. Wat de vader behalve Bewering (6) wellicht ook bedoelde, zonder het evenwel expliciet te zeggen, is: als je er niet door bent in juni, kan je naar die brommer fluiten, of wat op hetzelfde neerkomt, als je die brommer wil krijgen, dan moet je er door zijn in juni. Als we met p de bewering je bent er door in juni aanduiden en met q de bewering je krijgt een brommer, dan zegt de vader in (6) p q maar daar bovenop bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook q p. In de wetenschap en in de wiskunde in het bijzonder kunnen we ons natuurlijk dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven. Heel veel wiskundige resultaten (proposities, stellingen,...) zijn geformuleerd in de vorm: Als bepaalde voorwaarden voldaan zijn, dan geldt volgende conclusie. En in tegenstelling met het soms onzorgvuldig dagdagelijks taalgebruik, wordt daar dan niets meer mee bedoeld dan wat er letterlijk staat. M.a.w. als de voorwaarden van de stelling niet vervuld zijn, dan wordt niets beweerd over de geldigheid van de conclusie. Oefeningen 1.14 1. Beschouw de bewering: Als het vandaag dinsdag is, dan is het morgen zondag. Bepaal de waarheidswaarde van deze implicatie, (a) als ze uitgesproken wordt op dinsdag, (b) als ze uitgesproken wordt op woensdag, (c) als ze uitgesproken wordt op zaterdag. Wat denk je van de bewering: Als het vandaag zaterdag is, dan is het morgen zondag, naargelang de dag dat dit wordt uitgesproken. 2. Beschouw volgende bewering uit een advertentie: Als je dagelijks deze vermageringspillen slikt dan vermager je per maand zeker drie kilo. Hoe kan je deze bewering ontkrachten?

1. De symbolische logica 11 1.4 Equivalenties We keren nog even terug naar het vader-zoon-tafereeltje van (6) uit vorige paragraaf. Als we ondubbelzinnig willen formuleren wat de vader in (6) wellicht echt bedoelde, komen we tot de uitspraak: Je krijgt een brommer als en slechts als je er door bent in juni. (1) en dit is eigenlijk de combinatie van twee implicaties: Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer én Als je een brommer krijgt, dan ben je er door in juni. Met de notatie p en q zoals in de vorige paragraaf, kunnen we de uitspraak (1) weergeven als q als en slechts als p, (2) wat dus de combinatie is van twee implicaties: p q én q p. We noteren uitspraak (2) kortweg door q p. Definitie 1.15 (De equivalentie ) De implicatie q p is de omkering van de implicatie p q. Als beide implicaties gelden dan schrijven we p q en we zeggen dat p en q equivalent zijn. Dus p q betekent (p q) (q p). De waarheidstabel voor p q is de volgende. p q p q q p p q w w w w w w o o w o o w w o o o o w w w In wiskundige bewijzen wordt p q vaak uitgesproken als p als en slechts als q, of in het kort p asa q. Als p q dan noemen we p ook wel een nodige en voldoende voorwaarde voor q en omgekeerd q een nodige en voldoende voorwaarde voor p. Uit de waarheidstabel zien we dat p q waar is als p en q allebei waar zijn of allebei niet waar zijn. Als een van de twee waar is en de andere niet dan is p q niet waar.

12 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken 1.5 Voorrangsregels In ingewikkelde beweringen kunnen een aantal connectieven gecombineerd worden. Hiervoor gelden de volgende voorrangsregels ( ) / / waarbij de haakjes ( ) de eerste voorrang hebben en de implicatie (of de gelijkwaardige connectieven en ) de laatste. Als er verwarring dreigt over de volgorde dan is het altijd aan te raden om haakjes te zetten. Met bedoelen we dus p q r ( p) (q r) en het kan hier ook geen kwaad om de haakjes te zetten. Als we iets anders zouden bedoelen dan moeten we zeker haakjes zetten. 1.6 Tautologieën en contradicties Voorbeeld 1.16 Stel dat p de propositie het is mooi weer voorstelt, dan betekent ( p) het is niet zo dat het geen mooi weer is. Wat, als we goed nadenken, precies op hetzelfde neerkomt als de eerste uitspraak. Als je tweemaal ontkent, heb je niets gedaan. M.a.w. geldt p ( p). Stel de waarheidstabel op van deze logische formule. Wat stel je vast? Voorbeeld 1.17 We pikken het voorbeeld van de belofte in Bewering (6) uit Voorbeelden 1.9 terug op. (je bent er door in juni) (je krijgt een brommer). We hebben reeds opgemerkt dat de negatie van de implicatie p q gelijk staat met zeggen dat p voldaan is en dat toch q niet voldaan is. De ontkenning van Bewering (6) is dus: Je bent er door in juni en toch krijg je geen brommer. In logische formules vertaald, wordt dit: (p q) (p q). Deze equivalentie heeft de waarheidswaarde waar, ongeacht de waarheidswaarden van de verschillende proposities die er in voorkomen. Zo n formule noemt men een tautologie.

1. De symbolische logica 13 Oefening 1.18 Ga laatste bewering na, stel de waarheidstabel op voor (p q) (p q). Dit doe je door volgende tabel aan te vullen. p q q p q (p q) p q (p q) (p q) w w w o o w o o Voorbeeld 1.19 Beschouw weer de (ware) implicatie (1) van hierboven: als n een viervoud is, is n even. Anders gezegd: opdat n een viervoud zou zijn, is het nodig dat n even is, Het is overduidelijk dat, als de nodige voorwaarde niet voldaan is, dus n niet even is, zeker niet kan gelden dat n een viervoud is. In logische formules vertaald met p de bewering (n is een viervoud) en q de bewering (n is even) voelen we aan dat p q impliceert dat q p. Maar je kan evengoed nagaan dat het omgekeerde ook geldt. Stel dat q p d.w.z. als voor een getal het feit dat het niet even zijn, impliceert dat het geen viervoud kan zijn, is het even zijn een nodige voorwaarde om een viervoud te zijn of er geldt p q. q p impliceert dat p q. Met andere woorden lijkt (p q) ( q p) een tautologie te zijn. Dit is algemeen zo. Ga dit na met behulp van een waarheidstabel. Deze zeer belangrijke tautologie heet de wet van contrapositie. Voorbeeld 1.20 Door de definitie van de negatie is het makkelijk in te zien dat voor elke propositie p geldt dat als p waar is automatisch p niet waar is en omgekeerd dat als p onwaar is p wel waar is, m.a.w. de conjunctie p p heeft als waarheidswaarde altijd onwaar, onafhankelijk of p waar is of niet. Zo n bewering noemt men een contradictie of tegenspraak. Uiteraard is de negatie van een contradictie een tautologie. Ga na dat de negatie van de contradicitie (p p) equivalent is met de tautologie (p p). Deze tautologie noemt men de wet van de uitgesloten derde.

14 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken Definitie 1.21 Een bewering samengesteld uit verschillende proposities is een tautologie of logische stelling als haar waarheidswaarde altijd waar is onafhankelijk van de waarheidswaarde van de verschillende proposities waaruit ze bestaat. Een contradictie of tegenspraak is een samengestelde bewering die altijd onwaar is, voor alle mogelijke waarden van de voorkomende proposities. Contradicties zullen een belangrijke rol spelen bij de bewijstechniek bewijzen uit het ongerijmde. We komen hier later op terug. De logica telt vele tautologieën, vooral de equivalenties zijn handig omdat ze ons toelaten beweringen te vervangen door equivalente beweringen die soms beter te begrijpen zijn. Wij beperken ons hier tot de belangrijkste. Stelling 1.22 (Tautologiën of logische stellingen) ( p) p dubbele negatie (p q) ( p) ( q) negatiewet van De Morgan voor (p q) ( p) ( q) negatiewet van De Morgan voor (p q) (p q) negatie van (p q) ( p q) verband en (p q) ( q p) contrapositie (p q) (q r) (p r) transitiviteit van p (q r) (p q) (p r) distributiviteit van t.o.v. p (q r) (p q) (p r) distributiviteit van t.o.v. q ( q (p p)) redenering uit het ongerijmde p p de wet van de uitgesloten derde Oefeningen 1.23 1. Controleer met waarheidstabellen dat al deze wetten tautologiën zijn. 2. Beschouw de uitspraak: als het mooi weer is ga ik fietsen. Definieer de nodige proposities en vertaal deze zin in een logische formule. Ontken de formule en vertaal de uitspraak terug in een betekenisvolle zin. Als ik mijn belofte houd en je komt mij fietsend tegen, kan je dan iets zeggen over het weer? Wanneer kan je zeker besluiten dat het slecht weer is? Wat moet ik doen als het slecht weer is?

1. De symbolische logica 15 3. Beschouw de uitspraak: als je braaf bent, krijg je een zuurtje of een reep chocolade. Definieer de nodige proposities en vertaal deze zin in een logische formule. Pas contrapositie toe en herformuleer de nieuwe formule in een betekenisvolle zin. Ontken de uitspraak en herformuleer in een betekenisvolle zin. 4. Beschouw de uitspraak: als je goed werkt of steekpenningen geeft ben je erdoor in juli. Pas contrapositie toe en herformuleer de nieuwe formule in een betekenisvolle zin. 5. Beschouw de uitspraak: je bent slim of je slaagt mits je hard studeert. Definieer de nodige proposities en vertaal deze zin in een logische formule. Ontken de uitspraak en herformuleer in het een betekenisvolle zin. 6. Beschouw de uitspraak: als ik praat, dan word ik gestraft. Welke van de volgende uitspraken zijn hiermee gelijkwaardig. (a) Als ik gestraft word, dan heb ik gepraat. (b) Als ik niet gestraft word, dan heb ik niet gepraat. (c) Als ik niet praat, dan word ik niet gestraft. (d) Ik praat niet of ik word gestraft. 7. Beschouw de uitspraak: ben je jong of klein, dan kan je gratis naar het pretpark. Welk van volgende uitspraken is hiermee equivalent. (a) Als je moet betalen voor het pretpark, dan ben je noch jong noch klein. (b) Als je moet betalen voor het pretpark, dan ben je geen jonge kleine. 8. Beschouw de uitspraak: van sporten word je gezond en leef je lang. Vertaal deze uitspraak in een logische formule en toon d.m.v. tautologieën aan dat hij equivalent is met van sporten word je gezond en van sporten leef je lang. 9. Bewijs de wet van gevalsonderscheid: ((p q) r) (p r) (q r). Illustreer met een uitspraak. 10. Zijn volgende redenering juist? (a) Als ik hard werk, gaat mijn inkomen omhoog. Mijn inkomen gaat omhoog, dus ik werk hard. (b) Sporten is gezond. Indien sporten gezond is, zijn ijsberen groen. Dus ijsberen zijn groen. (c) Investeren maakt managers gelukkig. Als managers gelukkig zijn, ben ik dat ook. Van inversteren word ik gelukkig.

16 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (d) Als ik met de fiets naar de les ga, ben ik moe als ik aankom. Ik ben altijd moe als ik in de les aankom, dus ga ik steeds met de fiets naar de les. 11. Trek (indien mogelijk) uit de volgende uitspraken relevante conclusies: (a) Als ik zwem, ben ik nat. Ik ben niet nat. (b) Als de burgemeester heeft gelogen, dan krijgt hij rode oren. De burgemeester heeft rode oren. (c) Als mijn informaticaprogramma geen fouten bevat, trakteer ik. Als ik trakteer heeft iedereen slagroom rond zijn mond. Iedereen heeft een schone mond. (d) Als je veel sport ben je gezond. Ik sport niet veel. 12. Kan je zo meteen zien of volgende twee beweringen equivalent zijn? (a) Als je morgen les wiskunde hebt, dan is er vandaag les chemie, of, als je vandaag geen toets fysica hebt, dan heb je morgen geen les wiskunde. (b) Als je morgen les wiskunde hebt, dan heb je vandaag les chemie of een toets fysica. Vertaal beide beweringen in een logische formule, definieer zelf de proposities die je daarvoor nodig hebt. Toon dan aan dat de twee formules equivalent zijn met een waarheidstabel. 2 De taal van verzamelingen 2.1 Basisbegrippen, symbolen en terminologie In de wiskunde hebben we het vaak over een aantal dingen die een geheel vormen, denk maar de even getallen, de breuken, de rechten in een vlak, de punten op een rechte enz. Dit vage begrip willen eenduidiger formaliseren. Definitie 2.1 Met het begrip verzameling is iedereen eigenlijk intuïtief vertrouwd. Het is een grondbegrip en zullen we hier op dit beginnend niveau niet exact definiëren. Een eerste poging tot definitie zou kunnen zijn: een verzameling is een geheel van objecten zodanig dat men van ELK object ondubbelzinnig kan zeggen of het al dan niet tot dat geheel behoort. Men zegt ook wel: een verzameling is VOLLEDIG bepaald door de objecten die ertoe behoren. In regel wordt een verzameling aangeduid met een hoofdletter, maar je zal merken dat dit niet altijd kan.

2. De taal van verzamelingen 17 De objecten die tot een verzameling behoren, noemt men de elementen van die verzameling. Ze worden vaak aangeduid met een kleine letter. Als een object a tot een verzameling A behoort noteert men a A (lees: a is een element van A ), als een object b niet tot A behoort, noteert men b / A. Met A x bedoelen we dat de verzameling A het element x bevat en dit is dus equivalent met x A. Analoog gebruiken we A x. De lege verzameling, genoteerd met, is de unieke verzameling zonder elementen. Indien A en B verzamelingen zijn, dan hebben we dat A gelijk is aan B als en slechts als A en B dezelfde elementen hebben. Men noteert A = B. Als A en B verzamelingen zijn en elk element van A ook tot B behoort, dan zegt men dat A een deelverzameling is van B; notatie: A B. Dit betekent dat B ook een deelverzameling is van zichzelf, zodat B B. In sommige teksten gebruikt men de notatie in plaats van om te benadrukken dat de verzamelingen ook gelijk mogen zijn. 4 De relatie A B heet de inclusie van A in B. We schrijven A B of A B om aan te duiden dat A geen deelverzameling van B is. We noteren A B als geldt dat A B maar A B We noemen A een echte deelverzameling van B als A B en A. Een verzameling A wordt eindig genoemd als ze slechts een eindig aantal elementen bevat; dat aantal noteert men dan met #A. Een verzameling met één element noemt men een singleton. Een verzameling met twee elementen noemt men een paar. Sommige verzamelingen die vaak voorkomen hebben een standaardnotatie, zoals N is de verzameling van natuurlijke getallen. Z is de verzameling van gehele getallen. Q is de verzameling van rationale getallen (breuken). R is de verzameling van reële getallen. C is de verzameling van complexe getallen.

18 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken Er zijn verschillende manieren om een verzameling te definiëren. Notaties 2.2 1. Door opsomming: De elementen worden opgesomd, om aan te geven dat ze samen een verzameling vormen worden ze tussen accolades geplaatst. De verzameling A van de arabische cijfers is A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. De verzameling B van de even getallen is B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, }. waarbij de puntjes betekenen enzovoorts. De volgorde waarin de elementen worden opgesomd, heeft geen belang voor het bepalen van een verzameling. Hoe dikwijls je een ding ook opsomt, in een verzameling telt het maar voor één element. Dus de arabische cijfers kan ook gedefiniëerd worden als A = {7, 2, 2, 6, 5, 4, 9, 8, 3, 3, 0, 1} en toch is #A = 10. 2. Door omschrijving: elementen die aan een voorwaarde voldoen Vorige verzameling B van de even getallen, kan ook als volgt worden weergegeven B = {x x is een natuurlijk getal deelbaar door 2}. Men leest dit als B is de verzameling van de elementen x waarvoor geldt dat x een natuurlijk getal is deelbaar door 2. 3. Constructieve definitie: Een derde manier om verzamelingen weer te geven is door middel van een formule zoals in het voorbeeld C = {n 2 n N}. Hierin is C de verzameling van alle kwadraten van natuurlijke getallen. Dus een getal behoort tot C als en slechts als het kan geschreven worden als n 2 voor zeker natuurlijk getal n. 4. Door een Venndiagram 5 : Het is soms praktisch een verzameling A voor te stellen door een Venndiagram. Dit is een gesloten kring, de naam van de verzameling wordt buiten de kring geplaatst. De elementen van A worden door stippen binnen de kring voorgesteld. De stippen buiten de kring zijn dingen, die geen elementen van A zijn. We tekenen geen stippen op de kring. Niet alle elementen van A moeten worden weergegeven door een stip. 4 Laat hier geen verwarring ontstaan met de verwante symbolen < en bij reële getallen. Het symbool < betekent hier strikt kleiner dan, terwijl kleiner dan of gelijk aan betekent, zodat voor een x R het niet waar is dat x < x, maar je wel x x kan zeggen. Bij verzamelingen daarentegen heeft het symbool precies dezelfde betekenis als. 5 De Engelse wiskundige John Venn(1834-1923) voerde deze voorstellingswijze in een artikel gepubliceerd in 1880.

2. De taal van verzamelingen 19 Voorbeeld 2.3 A = {5, 3, 7}. 5 A. 3. 7. Jan. 9 Opmerkingen 2.4 1. Het is handig voor veel voorkomende verzamelingen een speciale notatie in te voeren (a) De verzameling van de natuurlijke getallen zonder 0. N 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } = {x N x 0}. Met analoge notaties voor de andere getallenverzamelingen zonder 0. (b) De verzameling van de positieve reële getallen, (0 is een positief getal). R + = {x R x 0}. Met analoge notaties voor de andere getallenverzamelingen. (c) De verzameling van de natuurlijke delers van een natuurlijk getal a. del a = {n N n is een deler van a }. (d) De verzameling van de natuurlijke veelvouden van een natuurlijk getal a. an = {an n N}. (e) De verzameling van de even getallen. 2N = {2n n N}. (f) De verzameling van de oneven getallen. 2N + 1 = {2n + 1 n N}. 2. De lege verzameling is deelverzameling van elke andere verzameling A, want, aangezien de lege verzameling geen elementen bevat, kunnen we geen element vinden in de lege verzameling dat niet tot A behoort, m.a.w. A is NIET waar, dus equivalent hiermee: A is waar. 3. Uit de definities volgt dat A = B A B en A B, waarin A B een andere notatie is voor B A. Dit betekent dat we de gelijkheid van twee verzamelingen A en B ook kunnen aantonen door de twee inclusies A B en A B te bewijzen.

20 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken 4. Het is belangrijk om goed onderscheid te maken tussen de symbolen en. Ze zijn wel nauw verwant omdat x A {x} A. Voorbeelden 2.5 1. De verzameling van de mogelijke uitkomsten van de worp met één dobbelsteen worden genoteerd als {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Zij B de verzameling van alle Belgen. De deelverzameling V van de Belgische vrouwen is dan V = {x B x is een vrouw}. In woorden: V is de verzameling van alle x-en uit B die vrouw zijn. Oefeningen 2.6 1. Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. A = {x N x is een vijfvoud, groter dan 1 en kleiner dan 14} B = {x N x is een gehele deler van 6} C = {x N x is een oneven getal} 2. Bepaal de volgende verzamelingen door omschrijving. A = {1, 2, 3, 4, } B = { lente, herfst, winter, zomer} C = {1, 3, 5, 7,, 35} 3. Vul de juiste symbolen in. Kies uit,, =,,,,. Soms zijn er verschillende mogelijkheden, geef alle mogelijkheden. (1) 5... N (2) {1, 3, 5, 7, 9, 11,... }... {x x is een oneven getal} (3) {x x is een roos}... {x x is een bloem} (4) {1, 3, 5, 7, 9}...2 (5) {1}... {1, 3, 5, 7, 9} (6) {1}... {{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} (7) {1, 3}... {{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} (8) {1, 3}... {1, 3, 5, 7, 9} (9) {1, 3, 5, 7, 9}... (10)... { }

2. De taal van verzamelingen 21 (11)... (12) {1, 3, {5, 7, 9}}...5 (13) {1, 3, 5, 7, 9}... {p N p is een priemgetal } (14) 2N + 1...2N 0 1 = {2n 1 n N 0 } 4. Zijn volgende uitspraken waar of onwaar? {x R x 2 + 1 = 0} =. A = {1, 2, {3, 4}} heeft als elementen 1, 2 en de verzameling {3, 4} Zij B = {1, {1}}. Dan is {1} zowel een element als een deelverzameling van B. {{1}} een geen deelverzameling van vorige verzameling B. C = { } is leeg. C = {{ }} is een singleton. 2N + 1 = 2N 0 1 = {2n 1 n N} 5. Omschrijf het interval [a, b], waarbij a, b R, als een verzameling. 6. Definieer de verzameling Q van de breuken met een constructieve definitie. 7. Hoe zou je Venndiagrammen tekenen van twee verzamelingen A en B, geef twee mogelijkheden, één voor willekeurige verzamelingen en één in het geval dat A B. Veralgemeen tot drie verzamelingen, geef enkel het algemeen geval, nl. dat geen enkele inclusie gekend is. 8. Stel de getallen verzamelingen N, Z, Q, R, C voor in Venndiagrammen, zorg dat de verschillende inclusies duidelijk blijken uit de tekening. Duid ook volgende getallen 0, 1, 2/3, 3, 5 6i aan. 9. Teken een Venndiagram voor de verzamelingen A = del 8 en B = del 9, duid ook alle elementen aan. 10. Teken een Venndiagram voor de verzamelingen A = del 4 en B = del 8, duid ook alle elementen aan. 2.2 Bewerkingen met verzamelingen Met twee gegeven verzamelingen A en B kun je op een aantal manieren nieuwe verzamelingen bouwen: 6 genoemd naar René Descartes, Frans filosoof en wiskundige (1596 1650)

22 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken Definitie 2.7 de doorsnede van A en B; notatie: A B. Lees: A doorsnede B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A en B. Dus A B = {x x A x B}. Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als A B =. de unie, of vereninging van A en B; notatie: A B. Lees: A unie B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A of B. Dus A B = {x x A x B}. Als C = A B waarbij A B =, dan noemt men C de disjuncte unie van A en B. het verschil van A en B; notatie: A \ B. Lees: A min B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A maar niet tot B. Dus A \ B = {x x A x / B}. Merk op dat A \ B B \ A. het cartesiaans 6 product, ook de productverzameling van A en B genoemd; notatie: A B. Lees: A maal B. Dit is de verzameling van de koppels (= geordende tweetallen) (a, b) waarbij a A en b B. Dus A B = { (a, b) a A b B }. Als A en B eindige verzamelingen zijn, is A B ook eindig en #(A B) = #A #B. Als A = B dan schrijven we A A = A 2. Er geldt dat twee koppels (a 1, b 1 ) en (a 2, b 2 ) gelijk zijn als en slechts als a 1 = a 2 en b 1 = b 2. Let op dat bij een koppel de volgorde van belang is. Als a b dan geldt (a, b) (b, a). Dit is in tegenstelling tot de situatie bij verzamelingen. Als we een verzameling weergeven door de elementen op te noemen, dan doet de volgorde er niet toe. Er geldt dus {a, b} = {b, a}. Vorige definities kunnen best geïllustreerd worden met Venndiagrammen. A B A B A B A B A B A\ B

2. De taal van verzamelingen 23 Voorbeelden 2.8 1. N = 2N (2N + 1) is een disjuncte unie. 2. [ 2, 4 [ ] 3, 5 [ = ] 3, 4 [. 3. del 8\ del 4 = {8}. 4. Het meest bekende voorbeeld van een cartesiaans product is het reële vlak, na keuze van een rechthoekig coördinatensysteem. 5. Als X = {a, b, c} en Y = {1, 2}, dan is R 2 = {(x, y) x, y R}. X Y = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} en Y X = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. Volgend deel van hoofdstuk 2. maakt geen deel meer uit van Zomercurus B Eigenschappen 2.9 Voor twee verzamelingen A en B geldt, (a) A A = A, A A = A, A = A en A =, (b) A \ A = en A \ = A, (c) A B = (A B) (A \ B) (B \ A) is een disjuncte unie. Het gebeurt vaak dat de verzamelingen die we beschouwen deelverzamelingen zijn van een vaste verzameling, zoals bijvoorbeeld de reële getallen. Dit noemen we dan een universele verzameling die we meestal noteren met U. Definitie 2.10 Gegeven een universele verzameling U. Het complement van een deelverzameling A U, notatie A c, is het verschil van U en A. Dus A c = U \ A = {x U x A}.

24 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken De doorsnede, unie en complement voor verzamelingen komen overeen met de logische bewerkingen en, of en niet. Eigenschappen 2.11 Neem aan dat A, B en C deelverzamelingen zijn van een universele verzameling U. Dan geldt (a) (associativiteit) A (B C) = (A B) C en A (B C) = (A B) C. (b) (commutativiteit) A B = B A en A B = B A. (c) (distributiviteit) A (B C) = (A B) (A C) en A (B C) = (A B) (A C). (d) (de wetten van De Morgan) (A B) c = A c B c en (A B) c = A c B c. (e) (complementering) A A c = U en A A c =. (f) (dubbel complement) (A c ) c = A. Bewijs We kunnen deze eigenschappen bewijzen met Venndiagrammen. Bij wijze van voorbeeld tonen we de tweede distributieviteitseigenschap met een zogeheten klaverbladdiagram A B A B C A (B C) (A B) (A C) is dubbel gearceerd is gearceerd of dubbel gearceerd C Opmerking 2.12 Stel x een element uit een universele verzameling U beschouw volgende beweringen p : x A en q : x B en r : x C. Dan kan je bovenstaande eigenschappen vertalen door logische stellingen. Zoek in Stelling1.22 bijpassende stellingen voor eigenschap(c).

2. De taal van verzamelingen 25 Hoe vertaal je dan de beweringen x A c, x B c, x (A B) c en x (A B) c? Zie je in waarom de eigenschap 2.11(d) de naam van De Morgan meekrijgt? Zie je hier een verband met een logische stelling uit de logica? Oefeningen 2.13 1. Zijn volgende uitspraken waar of onwaar? (a) N \ 0 = N 0 (b) B = {1, {1}} \ {1} = {1} (c) N \ 2N = 2N + 1 (d) R\ ] 2, 5 ] =], 2 [ [ 5, + [ (e) R \ Q is de verzameling van de irrationale getallen. 2. Ga met behulp van een Venndiagram na dat A (B C) = (A B) (A C). A, B, C zijn willekeurige verzamelingen. 3. Ga eigenschap 2.9 (c) na met een Venndiagram. 4. Ga eigenschap 2.11 (d) na met een Venndiagram. Definitie 2.14 De machtsverzameling 7 (powerset) P(A) van een verzameling A is de verzameling van alle deelverzamelingen van X. Dus P(A) = {X X A}. Voorbeeld 2.15 Als bijvoorbeeld A = {a, b, c}, dan P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}. De lege verzameling is een element van de machtsverzameling van elke verzameling A omdat A voor elke A. We begrijpen de naamgeving van de machtsverzameling beter als we volgende eigenschap aantonen. 7 Omwille van eigenschap 2.16 wordt in sommige handboeken i.p.v. P(A) de notatie 2 A gebruikt als notatie voor de machtsverzameling van de verzameling A.

26 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken Eigenschap 2.16 Als A een eindige verzameling is met #A = n dan is #P(A) = 2 n. We geven een idee van hoe het bewijs kan verlopen. We berekenen het aantal deelverzamelingen van verzamelingen met 0,1,2, elementen. deelverzameling van aantal = {} {} 1 = 2 0 {a} {} en {a} 2 = 2 1 {a, b} {}, {a} en {b}, {a, b} 4 = 2 2 {a, b, c} {}, {a} {b}, {a, b} en {c}, {a, c} {b, c}, {a, b, c} 8 = 2 3... Telkens als we een element aan de verzameling toevoegen, verdubbelt het aantal deelverzamelingen, omdat we enerzijds de vorige deelverzamelingen behouden en anderzijds nieuwe deelverzamelingen verkrijgen door het nieuwe element aan die vroegere deelverzamelingen toe te voegen. We introduceerden de begrippen doorsnede en unie, telkens van twee verzamelingen. Het komt vrij vaak voor in de wiskunde dat we deze begrippen willen uitbreiden tot een willekeurig aantal verzamelingen. Definitie 2.17 Veronderstel dat I een verzameling is en dat X i een verzameling is voor elke i I. De veranderlijke i dient hier als index en de verzameling I wordt kortweg een indexverzameling genoemd. Dan definieert men de doorsnede, i I X i, en de unie, i I X i, van deze verzamelingen als volgt: X i = {x x X i voor elke i I} en i I X i = {x er is een i I met x X i }. i I Deze nieuwe, algemenere, notaties voor doorsnede en unie zijn vaak bijzonder handig. De indexverzameling I kan eindig of oneindig zijn, en bijgevolg kan men op deze manier doorsnede en unie van een oneindige familie van verzamelingen gaan beschouwen.

3. Logica met kwantoren 27 Voorbeeld 2.18 [ 1 Beschouw de intervallen X n = n, 1 + 1 ] met n N 0. Probeer in te zien dat n X n = ] 0, 2 ] en X n = {1}. n N 0 n N 0 Oefeningen 2.19 1. Probeer in te zien welke verzameling bepaald wordt door de volgende unies en/of doorsnedes. ] (a) 0, 1 [ n (b) n N 0 [ 0, 1 n ] (c) n N 0 n N 0 { } 1 n, 1 n 1,, 1 3 Logica met kwantoren 3.1 Definitie Veronderstel dat je ergens een blad papier vindt waarop enkel het volgende staat: x 2 4 = 0. (3) Dan is niet duidelijk wat de schrijver hiermee bedoelde. Vooreerst is niet duidelijk waarvoor x staat. Met wat goede wil kunnen we wel vermoeden dat er bedoeld wordt dat x een reëel getal is. De schrijver had die mogelijke twijfel weggenomen als hij bijvoorbeeld had geschreven: x 2 4 = 0 (x R). Maar nu is nog niet duidelijk wat er precies bedoeld wordt. We geven drie mogelijke interpretaties: (a) Zoek alle x R die voldoen aan x 2 4 = 0. (b) Er bestaat een x R waarvoor x 2 4 = 0. (c) Voor alle x R is x 2 4 = 0. Elk van de drie bovenstaande uitspraken is nu ondubbelzinnig. In (a) krijgen we de opdracht alle reële oplossingen van een vierkantsvergelijking te zoeken. In (b) en (c) worden ondubbelzinnige beweringen gemaakt. Bewering (c) is weliswaar manifest

28 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken fout, maar het is wel een duidelijke en ondubbelzinnige uitspraak. De oorspronkelijke uitdrukking (3) daarentegen is helemaal waardeloos; ze is immers zo vaag dat je zelfs niet eens kan zeggen of ze waar of vals is. Wat leren we hieruit? Vooreerst moeten we altijd expliciet aangeven waarvoor de symbolen die we gebruiken, staan (wat is x?). Bovendien moeten we steeds voldoende woorden bij formules geven om tot een ondubbelzinnige uitspraak te komen (voor alle x?, voor sommige x?,...). De zinsneden er bestaat een en voor alle in uitdrukkingen (b) en (c) hierboven geven aan voor hoeveel x-en (voor welke kwantiteit x-en) de uitspraak die volgt zou moeten gelden. Men noemt ze in de logica daarom kwantoren en men voert er notaties voor in: Definitie 3.1 Als p(a) een predicaat is dat afhangt van een veranderlijke a A dan betekenen volgende verkorte notaties voluit in woorden: a A : p(a) a A : p(a) voor elk element a van A geldt p(a) er bestaat (minstens) een element a van A waarvoor p(a) geldt!a A : p(a) er bestaat precies één element a van A waarvoor p(a) geldt is de universele kwantor of alkwantor is de existentiële kwantor of bestaanskwantor! is de uniciteitskwantor We schrijven de kwantor altijd vóór het predicaat. De veranderlijke a is een dummy of gebonden veranderlijke. Ze kan veranderd worden zonder dat de betekenis verandert, indien de nieuwe veranderlijke nog geen andere betekenis heeft op die plaats. We spreken af dat een kwantor betrekking heeft op alles wat er na komt, tenzij het door haakjes anders bepaald wordt. Zo bedoelen we met a A : p(a) q dat p(a) q waar is voor elke a A. Als we bedoelen dat a A : p(a) impliceert dat q waar is, dan we moeten zeker wel haakjes zetten. Dat schrijven we dus ( a A : p(a)) q. In termen van deze notaties kunnen we (b) en (c) nu compact opschrijven als (b ) x R : x 2 4 = 0. (c ) x R : x 2 4 = 0.

3. Logica met kwantoren 29 Als je dergelijke uitdrukkingen met kwantoren ontmoet, is het voor een goed begrip ervan belangrijk dat je ze spontaan blijft lezen als een volwaardige zin (in de voorbeelden dus in hun oorspronkelijke verwoordingen zoals in (2) en (3)). 3.2 Negatie van kwantoren Voorbeeld 3.2 Nemen we X de verzameling van alle studenten uit de zomercursus en zij p(x) met x X de bewering student x is blond. Dan lezen we de uitspraak x X : p(x) als alle studenten van de zomercursus zijn blond. Deze uitspraak is uiteraard niet waar, en dit toon je aan door één student aan te wijzen die niet blond is, in symbolen uitgedrukt merken we dus dat ( x X : p(x)) x X : p(x) (Vertaal laatste uitdrukking in gewone spreektaal.) Stel anderzijds q(x) de bewering student x heeft groen haar dan zal, mits hier niemand groen haar heeft, de uitspraak ( x X : q(x)) waar zijn, wat je aantoont door na te gaan dat elke student een haarkleur heeft die niet groen is, in symbolen ( x X : q(x)) x X : q(x) (Vertaal laatste uitdrukking in gewone spreektaal.) Samengevat: Eigenschap 3.3 (Negatie van kwantoren) Zij p(x) een predikaat, dan geldt 1. ( x X : p(x)) x X : p(x) 2. ( x X : p(x)) x X : p(x)

30 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken 3.3 Combinaties van kwantoren In veel wiskundige formules komen verschillende kwantoren voor, de volgorde waarin ze voorkomen blijkt enorm belangrijk te zijn, dit merk je in volgende oefening. Oefening 3.4 Zij P een verzameling potjes van verschillende formaten, D een verzameling van de bijhorende deksels. Stel dat x D en y P dan definiëren we een predikaat p(x, y) met als betekenis x past op y. Verwoord elk van volgende formules in een zo goed mogelijk klinkende Nederlandse zin en zeg of de bewering waar of onwaar is. Welke beweringen zijn equivalent? (a) x D : y P : p(x, y) (b) y P : x D : p(x, y) (c) x D : y P : p(x, y) (d) y P : x D : p(x, y) (e) x D : y P : p(x, y) (f) y P : x D : p(x, y) Is er een logisch verband tussen (e) en (f)? Wat we hier intuïtief aanvoelen wordt uitgedrukt in volgende eigenschappen. Eigenschap 3.5 (Verwisselen van kwantoren) Zij p(x,y) een predicaat, dan geldt 1. x X : y Y : p(x, y) y Y : x X : p(x, y) 2. x X : y Y : p(x, y) y Y : x X : p(x, y) 3. x X : y Y : p(x, y) = y Y : x X : p(x, y) 4. x X : y Y : p(x, y) = y Y : x X : p(x, y) Bijgevolg mogen gelijksoortige kwantoren verwisseld worden. In 1. zijn beide equivalente uitdrukkingen in feite ook op te schrijven als één bewering met maar één universele kwantor (x, y) X Y : p(x, y).