I: Studie van eerste en tweede orde systemen

I: Studie van eerste en tweede orde systemen Het eerste orde systeem. Inleiding Neem het elektrisch systeem van eerste orde uit figuur I.. De relatie tussen V (t) en V (t) wordt weergegeven door volgende differentiaalvergelijking: τ dv (t) dt + V (t) = V (t) met τ = RC [sec] Het systeem is van de eerste orde omdat de Figuur I.: De RC-kring differentiaalvergelijking die het verband weergeeft tussen de ingang en de uitgang van de eerste orde is. De oplossing van de differentiaalvergelijking hangt af van het tweede lid, nl. van V (t). Het systeem heeft dan een zuiver integrerende werking. De transfertfunctie van dit systeem is: V (p) V (p) = + pτ met τ = RC [sec] V ( t ) C~ / pc R V ( t ). Staptest Bij de staptest heeft V (t) het verloop uit figuur I..a.: E V ( t ) = stap = voor t > V ( t ) = voor t < E,63E a) tijd b) Figuur I.: a) Stap en b) staprespons. τ τ tijd De Laplace-getransformeerde van deze stapfunctie is V (p) = E/p. De uitdrukking voor V (t) is: V (t) = E ( e t τ ) Figuur I..b geeft de grafische voorstelling van V (t). Uit de berekeningen kunnen we opmaken dat de tijdconstante τ bekomen wordt op het ogenblik waarop de uitgang,63 of 63, % van zijn eindwaarde bereikt: Hoe groter τ, hoe trager het systeem. - I. -

.3 Frequentietest Bij de frequentietest heeft V (t) een sinusoïdaal verloop. Tijdens de test verandert de frequentie van het ingangssignaal. In sinusoïdaal regime is de verhouding tussen uit- en ingangssignaal: V (jω) V (jω) = + jωτ Dit is de complexe versterking of transfertfunctie. BEPALINGEN Versterking: De versterking is de absolute waarde van de complexe versterking. Dit is de verhouding van de grootte van de uitgangsspanning tot de grootte van de ingangsspanning in sinusoïdaal regime. Meet de grootte van de spanningen met de multimeter (wisselspanning)! M(ω) = V (jω) V (jω) = + ω τ De versterking wordt ook in decibel [db] uitgedrukt. Per definitie is A [db] = log Μ(ω). Merk op dat db overeenkomt met een versterking van. Negatieve decibels duiden op een versterking kleiner dan (verzwakking), en positieve decibels duiden op een versterking groter dan. Faseverschuiving De faseverschuiving is de hoek tussen V (jω) en V (jω) met V (jω) als referentie. Als dus V (jω) voorijlt op V (jω), dan is de hoek negatief. Ijlt daarentegen V (jω) na op V (jω), dan is de hoek positief. Hier geldt: ϕ = - bg tg ωτ Bode-diagram Het Bode-diagram bestaat uit een amplitude- en een fasediagram. Het amplitudediagram laat zien hoe de versterking (uitgedrukt in db en uitgezet op een lineaire schaal) verandert in functie van de pulsatie [uitgedrukt in rad/sec] (of de frequentie [uitgedrukt in Hz]), uitgezet op een logaritmische schaal. Het fasediagram drukt de faseverschuiving (in graden en op een lineaire schaal) uit in functie van de pulsatie (of de frequentie) op een logaritmische schaal. Nyquist-diagram Het Nyquist-diagram geeft de complexe versterking weer, voorgesteld als een vector. De modulus van de vector is gelijk aan de versterking en het argument ervan is gelijk aan de faseverschuiving. Bij wijzigende frequentie, zal zowel modulus als argument van de vector veranderen, m.a.w. de top van de vector verplaatst zich. Het Nyquist-diagram is de kromme die de top van de vector beschrijft indien de frequentie verandert van tot oneindig. Bij verschillende punten in het Nyquist-diagram vermelden we de pulsatie ω. Black-diagram In het Black-diagram wordt de versterking [db] uitgezet in functie van de faseverschuiving [ ]. Ook hier vermelden we de pulsatie ω of de frequentie f bij een aantal uitgezette punten. - I. -

Eerste orde systeem met differentiërende werking. Inleiding Neem het elektrisch systeem van eerste orde uit figuur I.3a. De volgende differentiaalvergelijking geeft de relatie tussen V (t) en V (t) weer: V ( t ) C~ / pc R V ( t ) τ dv (t) dt + V (t) = τ dv (t) dt met τ = RC [sec] Figuur I.3a: De CR-kring De transfertfunctie van dit systeem is: V (p) V (p) = pτ met τ = RC [sec] + pτ. Staptest Heeft de stap een grootte V (t) = E dan is V (t) = E.e τ t. De grafische voorstelling van V (t) is: E V ( t ) (-,63) E τ τ Figuur I.3b: Staprespons. tijd.3 Frequentietest In het sinusoïdaal regime is de verhouding van uit- en ingangsspanning: V (jω) V (jω) = jωτ + jωτ Dit is de uitdrukking van de complexe versterking. De absolute waarde van de complexe versterking is: M(ω) = De faseverschuiving is: ϕ = 9 bg tg ωτ ωτ + ω τ - I.3 -

3 Opgaven bij eerste orde systemen Bouw een RC-kring op met R = kω en C =, µf. Bereken de tijdconstante. 3. Stel de voeding in op -V en +V.,, ) 3) ) Aan/Uit - V V 4) 4) Figuur I.4a: Afregeling voeding ) Zet de twee bronnen in serie. ) De bronnen zijn nu inwendig doorverbonden. 3) Regel op V. 4) Controleer de -V en de V met de multimeter. De groene middenstekker(s) MOET(en) vrij blijven! Zij dient enkel voor een verbinding met de externe aarding van het toestel en is niet nodig in de beoogde meetkring. Het "nul-volt-referentieniveau" ligt bij stekker(s) ). 3. Bouw een eerste orde systeem rond een Opamp op µ-deck Figuur.4b geeft de aansluitpennen van de gebruikte Opamps en het elektronisch schema voor een eerste orde systeem. De µ-decks bevatten reeds de verbindingen voor het - Volt - referentieniveau, voor de -V en de +V voeding, respectievelijk voor pennen 3, 4 en 7. neg. input pos. input neg. voeding 3 4 - + 8 7 6 5 pos. voeding output IN R C R - + UIT Opamp µ74. Figuur I.4b: Aansluitpennen Opamp en Schakeling voor inverterend e orde systeem V uit De TF voor dit systeem is : = K met de proportionele V in + pτ = R /R K = R /R + pr C versterking en τ = R C de tijdconstante. - I.4 -

3.3 Voer de metingen uit Meet de waarde van de tijdconstante op m.b.v. een K.S.O. 8 7 6 5 4 3 Voor de praktische meting van de tijdconstante τ gaat men als volgt te werk: Verbind de functiegenerator met kanaal I van de scoop. Leg het uitgangssignaal (dit is de spanning over de condensator) op kanaal II. Zorg ervoor dat de nulreferentielijn correct verbonden is! Beide signalen zijn DC-signalen. Trigger op het bloksignaal (kanaal I). Zet de amplitudeschaal voldoende groot. Merk op dat voor een DC-sgnaal de nulreferentie niet in het midden van de scoop dient te liggen. Stel nu de frequentie van de blokgenerator zodanig in dat de eindtoestand van de uitgang volledig is bereikt. (Het bloksignaal vormt een opeenvolging van opgaande en neergaande stappen.) Regel dan de grootte van de uitgang zodat deze het volledige scherm benut. Het ogenblik waarop de uitgang 63, % van zijn eindwaarde bereikt, bepaalt de tijdconstante. Dit is op 5/8 van de staprespons. Figuur I.5 geeft een voorbeeld. 3 Zorg ervoor dat deze lijn inderdaad de eindwaarde is. Regel de breedte van de figuur met de tijdbasisknop maar in gecalibreerde stand. Regel de hoogte van de figuur de amplitudeknop (deze moet niet in de calibratiestand staan). Zorg ervoor dat dit punt werkelijk het beginpunt is. Misshien laat je een stuk van het opladen niet zien en ligt dit buiten het beeld van de scoop. Voor het voorbeeld in deze figuur is de tijdconstante = 3*ingestelde tijdbasis Figuur I.5: Meten van de tijdconstante.? Hoe verandert het scoopbeeld indien de scoop (foutief) op AC staat i.p.v. DC?? Hoe wijzigt het scoopbeeld indien je niet triggert op kanaal I (dit is het bloksignaal)?? Wat gebeurt er indien de frequentie van de blokgolf te groot is? Schets het Bode-, Nyquist- en Black-diagram van bovenstaande RC-kring. Duid de afsnijfrequentie aan in de verschillende diagrammen. Gebruik de figuren op de volgende pagina's. Meet enkele (een vijftal) faseverschuivingen en versterkingen. Gebruik de tabel op de volgende pagina. Ga als volgt te werk: Leg een sinus aan de ingang en maak in- en uitgang zichtbaar op de K.S.O (AC signalen!!). Zorg dat de nulreferentielijn juist ligt en dat het beeld in amplitude mooi symmetrisch is. Stel de juiste frequentie in voor de ingang (meet deze met de multimeter). Meet de amplitude van de ingang (RMS waarde) met de multimeter. Meet de amplitude van de uitgang met de multimeter. M = de verhouding van de twee gemeten amplitudes. Meet de faseverschuiving m.b.v. de oscilloscoop. (Zie figuur I.6) - I.5 -

8 7 6 5 4 3 Ingang Uitgang 3 4 5 6 7 8 9 Figuur I.6: Meten van de faseverschuiving. Zorg ervoor dat beide signalen in amplitude symmetrisch liggen t.o.v. de middellijn. Verdeel een halve sinus over 9 vakjes. Zo is 8 = 9 vakjes of elk vakje =. (De 'tijd' moet niet in een calibratiestand staan). Regel de hoogte van de figuur met de amplitudeknoppen zodat er een scherpe snijding is met de x-as, om het snijpunt beter te bepalen. Indien de uitgang later komt dan de ingang is de faseverschuiving negatief. Anders is ze positief.. In deze figuur is de faseverschuiving bijvoorbeeld = 3* en negatief = -6,/τ ω f * Vin Vuit M ** A *** ϕ [r/s] [Hz] [V] [V] - [db] [ o ],3/τ /τ,77-3 db (Theoretisch) -45 o 3/τ /τ Bepaal ω en f = ω/(π) (*). Meet Vin, Vuit en ϕ. Bereken heirmee volgende waarden: (**) M = Vuit/Vin en (***) A = log(m). Bereken eveneens M, A en ϕ met de formules, vul deze in in de grijze vakjes en vergelijk. Optioneel: Bouw nu een CR-kring met dezelfde componenten als voorgaande kring. Meet de tijdconstante. - I.6 -

. Logaritmisch papier voor Bode-plot.,, Pulsatie * (rad/sec) Pulsatie * (rad/sec) Fase [graden] Versterking [DB] - I.7 -

. 'Polair' papier voor Nyquist-plot: Zet de metingen uit via LENGTE en HOEK! -8-35 -9-45 5 5-5 /36 3. Teken het Black-diagram op eenvoudig ruitjes- of mm-papier. - I.8 -

4 Oefeningen met MATLAB rond eerste orde systemen Matlab is een krachtig rekenpakket voor het manipuleren van en rekenen met matrices. Als uitbreiding hierop worden heel wat toolboxes aangeboden waaronder één voor regeltechniek: de "control toolbox". Bovendien biedt Matlab een soepele programmeeromgeving en een goede visualisatie. 4. Matrices in MATLAB Voorbeelden van ingave >> a = matrix met rij en kolom >> b = [ 3] rijvector, Gebruik rechte haakjes [] >> b = [,,3] idem, (of spatie) scheidt de elementen >> c = [;;3] kolomvector ; scheidt de rijen >> d = [ 5; a 7] bij matrix >> e = 'woord' 5 bij rijvector met tekst Voorbeelden van opvragen opvragen tussen ronde haakjes () >> e() het eerste element van e het resultaat is 'w' >> d(,) e rij, e element resultaat 5 Ingave zonder terugmelding >> f = [:.:]; dit is een vector met elementen, beginnend bij met stapjes van, tot ; puntkomma achter de ingave voorkomt dat MATLAB alle waarden op het scherm toont. Verifieer >> size(f) dimensie van f >> f(3) 3e element uit f 4. Simuleer het eerste orde systeem: Maak een dagboek aan waarin alle tekst uit de console wordt bijgehouden >> diary naam.txt Het bestand naam.txt wordt aangemaakt in de werkmap van MATLAB. Ingave van een TF >> tau = e-4; >> tel = []; de tellercoëfficiënten van de TF in dalende machten van p ('p' = 's' in Matlab) >> noem = [tau ]; de coëfficiënten van de noemer van de TF in dalende machten van p >> model = tf(tel,noem) aanmaken van TF Tijdrespons >> step(model) controleer de tijdconstante (respons = 63% bij τ) >> impulse(model) Frequentierespons >> figure maak een nieuwe figuur (vorige figuur niet overschrijven) >> bode(model) wijzig ook eens de eigenschappen van de figuur (bv fase met stappen van -45 o ) >> figure >> nyquist(model) Spiegeling rond x-as inbegrepen >> figure >> nichols(model) Nichols- of Black diagram Analyseer en vergelijk de frequentiediagrammen. Opgave: Geef het eerste orde systeem met differentiërende werking in. Bereken staprespons, Bode-, Nyquist- en Black-diagram. (TF = τp/(τp+)) met τ = e-4. Help opvragen >> help tf help over het gebruik van een funcie >> help bode >> help control alle fucnties uit de controle-toolbox >> help een lijst met alle help onderwerpen - I.9 -

5 Tweede orde systeem: Theoretische grondslagen De veralgemeende transfertfunctie van het standaard tweede orde systeem is: V (p) V (p) = ω n p + ζω n p + ω n met ζ de dempingscoëfficiënt en ω n de natuurlijke (of ongedempte) eigenpulsatie 5. Stapweergave Bij een stapvormig ingangssignaal is de uitdrukking van V (p) : V (p) = ω n p(p + ζω n p + ω n ) Naargelang de waarde van ζ kunnen de wortels van de noemer reëel, samenvallend of complex zijn. Elk van deze gevallen geeft dan ook een ander overgangsregime van V (t): ζ > V (t) = e ζωnt ζ ζ = V (t) = e ωnt ( + ω n t) ζ ω nt + e ζ ω nt ζ + ζ ζ ζ e ζ < V (t) = e ζωnt sin ζ (ω nt ζ ) + bgtg ζ ζ In dit laatste geval is de pulsatie van de oscillatie: ω p = ω n ζ = π/t p Deze pulsatie wordt de gedempte eigenpulsatie genoemd. De eigenpulsatie ω p bestaat enkel indien ζ <. De eigenpulsatie ω p is gelijk aan de natuurlijke pulsatie ω n indien ζ =. We bepalen ω p door T p te meten (figuur I.7). De grootte D van de doorschot wordt bepaald door ζ. De doorschot is gedefinieerd als: D = V max V _eindwaarde V _eindwaarde ζπ en is D = e ζ. Figuur I.9 geeft deze laatste formule grafisch weer. Zo volgt D onmiddellijk uit ζ. V (t) Tp/ Tp Tp tijd V (t) maximum Eindwaarde x y D = x/y Figuur I.7: Meten van de gedempte eigenpulsatie. Figuur I.8: Meten van de doorschot D. tijd - I. -

Doorschot D.9.8.7.6.5.4.3.. D = e πζ / ζ...3.4.5.6.7.8.9 5. Frequentieweergave Figuur I.9: Doorschot in functie van de dempingscoëfficiënt. ζ V (jω) V (jω) = ω n (jω) + ζω n (jω) + ω n of V (jω) V (jω) = u + jζu met u = ω ω n G(ω) = ϕ(ω) = bgtg ζu ( u ) + (ζu) u 5.3 Berekening van extreme waarden Versterking G(ω) is extreem indien (-u ) + (ζu) extreem is. Hieruit volgt dat G een maximum zal vertonen bij ω r = ω n ζ Deze frequentie is de resonantiefrequentie. De resonantiefrequentie bestaat enkel indien ζ < /. Indien ζ =, dan is ω n = ω p = ω r. De waarde van G(ω) voor dit maximum is de resonantiepiek: G(ω) max = ζ ζ Een resonantiepiek bestaat enkel indien ζ < /. De resonantiepiek is oneindig indien ζ =. Limieten voor de faseverschuiving lim ϕ = en lim ϕ = 8 u u Voor ω = ω n, is de faseverschuiving ϕ = - 9!!!! - I. -

Maximale versetrking in db 8 6 4 8 6 4 A max = log ζ ζ ω r ω n = ζ ζ = /...3.4.5.6.7.8 Figuur I.: Grootte van de resonantiepiek en de resonantiepulsatie i.f.v. de dempingscoëfficiënt. Hier bestaat er geen resonantiepulsatie Gmax = = db ζ.8.6.4. Genormeerde resonantiepulsatie 6 (Optioneel) Tweede orde systeem: de RLC-seriekring R L Figuur I. toont een RLC-kring met de spanning over de condensator als uitgang. Naargelang de spanning over een ander element als uitgang beschouwd wordt, zal de uitdrukking van de transfertfunctie een andere vorm aannemen: ( ) V t C Figuur I.: RLC-Keten. V ( t ) V C (p) V (p) = P LC + prc + = LC p + p R L + LC V R (p) V (p) = prc p LC + prc + = p RC LC p + p R L + LC V L (p) V (p) = p LC p LC + prc + = p p + p R L + LC = = = ω n p + ζω n p + ω n prcω n p + ζω n p + ω n p LC; ω n p + ζω n p + ω n met ω n = LC en ζ = R C L - I. -

7 Opgaven onder Matlab bij tweede orde systeem Bereken nu de stap- en frequentierespons (Bode, Nyquist) van tweede orde systemen met dempingscoëfficiënten gelijk aan,.7,.3 en.. Geef de bij elkaar horende resultaten weer in telkens figuur. Neem ω n = 4 rad/sec. Ingave van een TF >> wn = e4; >> z = ; >> tel = [wn^]; de coëfficiënten van de teller van de TF in dalende machten van p ('p' == 's' in Matlab) >> noem = [ *z*wn wn^]; de coëfficiënten van de noemer van de TF in dalende machten van p >> m_ = tf(tel,noem) >>... - Bekijk, via rechtermuisklik, de systeemeigenschappen. - Tip: Figuur vasthouden met commando "hold on", terug loslaten (=wissen bij overtekenen) met commando "hold off" (dit is van toepassing op de laatst geselecteerde figuur ). Vul onderstaande tabellen aan mbv de figuren van de stap- en frequentierespons Bepaal doorschot en eigenpulsatie Berekend ζ D [%] ω p [r/s] - -,77 4%,3,5 Bepaal ω r, A r en M r (grootte van de resonantiepiek) bij ζ=,3. Berekend ω r A r M r Bepaal ω voor A = - 3dB bij ζ=,77. ω Berekend Facultatief: Toon de stapweergave met V L en V R (als uitgang) voor ζ =,3. (Eventueel samen in figuur met de stapweergave voor V C als uitgang) - I.3 -

Frequentierespons van tweede orde systemen met dempingcoëfficiënt ζ = 5,,,7,,3 en,. - - -3-4 -45-9 -35-8, Amplitude (in db) i.f.v. freq. (in rad/sec), Fase (in graden) i.f.v. freq. (in rad/sec) - I.4 -