Deel 3 vwo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte route. Veranderingen ten opzichte van de tweede editie De invoering van ICT en natuurlijk de ervaringen van gebruikers hebben geleid tot een aantal belangrijke aanpassingen van de tweede editie. Daardoor is een evenwichtiger opbouw van de leerstof ontstaan. De vijfde kern Door gebruikers is regelmatig aangegeven dat er behoefte is aan vraagstukken die vaardigheden vragen uit voorgaande kernen of hoofdstukken. Die zijn nu opgenomen in een vijfde kern met de titel Gemengde opgaven. Deze kern bestaat uit vier pagina's en bevat dus geen nieuwe leerstof. ICT-kernen Aan de hoofdstukken 1, 3, 6, 8 en 10 is een ICT-kern toegevoegd. In deze kernen kunnen de leerlingen extra oefenen met (een deel van) de leerstof van het hoofdstuk. Daarbij maken ze gebruik van de programma's VU-Grafiek en VU-Statistiek. Oefenen met algebra Voorafgaande aan de hoofdstukken 3, 5, 7 en 9 zijn twee pagina s opgaven opgenomen om de meest essentiële algebraïsche vaardigheden te onderhouden. Extra oefening in het werkboek Om leerlingen zelfstandig en met extra oefening het hoofdstuk nog eens door te laten werken, staan in het werkboek twee of meer pagina's extra vraagstukken met een verwijzing naar de kernen. U kunt deze vraagstukken natuurlijk ook gebruiken om tempoverschillen op te vangen. Planning 3A en 3B bevatten in totaal 11 hoofdstukken. In deel 3B kunt u na hoofdstuk 9 kiezen uit twee stromen. Hoofdstuk 10 voor de M-profielen en hoofdstuk 11 voor de N-profielen. De aansluiting met Wiskunde A 12 en B 12 in 4 vwo zal daardoor beter verlopen. Voor 30 lesweken is dat 3 weken per hoofdstuk. De leerstoflijnen Hieronder vindt u een overzicht van de verdeling van de leerstof over de verschillende domeinen. Domein A Domein B Rekenen, meten en schatten In alle hoofdstukken Algebraïsche verbanden Hoofdstuk 1 Lineaire functies Hoofdstuk 3 Kwadratische functies Hoofdstuk 5 Periodiek en exponentieel Hoofdstuk 7 Kwadratische vergelijkingen Hoofdstuk 8 Wortel functies en gebroken functies Hoofdstuk 9 Analytische meetkunde Domein C Meetkunde Hoofdstuk 2 Hoofdstuk 4 Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 11 Gelijkvormigheid Goniometrie Analytische meetkunde Ruimtemeetkunde (N-profielen) Domein D Informatieverwerking en statistiek Hoofdstuk 6 Statistiek Hoofdstuk 10 Kansrekenen (M-profielen) 0
Hoofdstuk 1 Lineaire functies Beginniveau De leerlingen moeten een lineaire vergelijking kunnen oplossen met de balansmethode. Kennen en kunnen - een lineair verband herkennen aan een tabel en een grafiek - het begrip lineaire of eerstegraads functie - de algemene formule y = ax + b en de betekenis van a en b hierin - een hellingsgetal berekenen bij een lijn door twee punten - een formule opstellen van een lijn door twee punten door gebruik te maken van het hellingsgetal en het snijpunt met de y-as - een lijn tekenen door een gegeven punt met gegeven hellingsgetal - een formule opstellen van een lijn door twee gegeven punten - het begrip vergelijking van een lijn - een horizontale lijn heeft een vergelijking van de vorm y = c en een verticale lijn heeft een vergelijking van de vorm x = c - het berekenen van de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen - het oplossen van een lineaire ongelijkheid met de balansmethode Verkorte route 1, 2, 3, 4, 6, 7 : 10, 11, 12, 14 : 16, 17, 18, 19, 21, 24, 25, 27 : 29, 30, 32, 33, 36, 37 1
Opmerkingen Algemeen Het programma VU-grafiek geeft een belangrijke ondersteuning aan dit hoofdstuk. Bij een lineair verband (lineaire functie) horen bij gelijke stappen van de ene variabele gelijke stappen van de andere variabele. De grafiek is een rechte lijn. De algemene formule bij een lineaire functie is: y = ax + b. Het hellingsgetal a wordt berekend met verticale verandering : horizontale verandering; de grafiek snijdt de y-as in het punt (0, b). In deze kern wordt een formule opgesteld bij een lijn door twee punten. Zowel het hellingsgetal a als de waarde van b moeten worden berekend. De cd-rom biedt extra oefening. Bij het snijpunt van twee lijnen hoort een lineaire vergelijking. Die wordt opgelost met de balansmethode. Ook lineaire ongelijkheden kunnen worden opgelost met de balansmethode. Bij deling door een negatief getal klapt het teken van de ongelijkheid om. ICT met VU-Grafiek In deze kern kunnen de leerlingen alles nog eens visualiseren. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie nog eens te herhalen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 2
Hoofdstuk 2 Gelijkvormigheid Beginniveau De leerlingen moeten figuren kunnen spiegelen en draaien. Kennen en kunnen - de notatie translatie (2, -3) voor 2 naar rechts en 3 omlaag - de begrippen origineel en beeld - het begrip congruentie en het congruentieteken - bij spiegeling en rotatie zijn origineel en beeld congruent - het vermenigvuldigen van een figuur met een positieve factor - de begrippen centrum en vermenigvuldigingsfactor - het vermenigvuldigen van een figuur met een negatieve factor - het begrip gelijkvormigheid en het gelijkvormigheidsteken - twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee gelijke hoeken hebben - bij gelijkvormigheid mat factor k wordt de oppervlakte vermenigvuldigd met k² - berekeningen in gelijkvormige figuren met behulp van een verhoudingstabel Verkorte route : 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10 : 12, 13, 15, 16, 17, 20 : 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30 : 32, 33, 34, 35 3
Opmerkingen Algemeen De leerlingen hebben bij dit hoofdstuk een geodriehoek en een rekenmachine nodig. Twee figuren zijn congruent als de zijden en de hoeken gelijk zijn. Bij translatie, spiegeling en rotatie zijn origineel en beeld congruent. Met vermenigvuldiging vanuit een punt (centrum) kan een figuur worden vergroot of verkleind. Als de vermenigvuldigfactor negatief is, liggen origineel en beeld aan verschillende kanten van het centrum. Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur zo vermenigvuldigd kan worden, dat het beeld congruent is met de andere figuur. Bij twee driehoeken is het voldoende dat ze twee paar gelijke hoeken hebben. Als de afmetingen van een voorwerp met een factor k worden vermenigvuldigd, dan verandert de oppervlakte met een factor k². Bij het berekenen van afmetingen van gelijkvormige figuren is het vaak handig gebruik te maken van een verhoudingstabel. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om berekeningen met gelijkvormigheid te visualiseren en extra te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 4
Hoofdstuk 3 Kwadratische functies Beginniveau De leerlingen moeten de voorrangsregels beheersen om tabellen te kunnen maken bij kwadratische formules. Verder moeten ze haakjes kunnen wegwerken en kunnen ontbinden in factoren. Als voorbereiding op dit hoofdstuk kan gebruik gemaakt worden van de extra opgaven op pagina 50 en 51. Kennen en kunnen - het begrip kwadratische of tweedegraads functie - de begrippen parabool, symmetrieas, top, bergparabool en dalparabool - de parabool y = a(x - p)² + q heeft top (p, q) en heeft als grafiek voor a > 0 een dalparabool en voor a < 0 een bergparabool - het begrippen topformule of topvergelijking - het begrip standaardvergelijking voor y = ax² + bx + c - het begrip nulpunt - het berekenen van nulpunten met behulp van worteltrekken of ontbinden in factoren - het berekenen van de top van een parabool - de begrippen maximum en minimum - het oplossen van ongelijkheden met behulp van grafieken - het oplossen van ongelijkheden zonder grafieken Verkorte route : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12 : 15, 16, 18, 19, 20, 23, 25 : 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34 : 37, 38, 39, 40, 42, 44 5
Opmerkingen Algemeen Het gaat hier om allerlei berekeningen met tweedegraads functies waarbij nog geen abc-formule nodig is. De abc-formule komt in hoofdstuk 7. De parabool y = a(x - p)² + q is het beeld van y = ax² bij de translatie (p, q). Daarom heeft deze parabool als top het punt (p, q). Als een parabool gegeven is in deze topvergelijking, kunnen de coördinaten van de top dus direct worden afgelezen. y = ax² + bx + c is de algemene formule, of standaardvergelijking, van een parabool. In deze kern leren de leerlingen hoe ze de nulpunten moeten uitrekenen als de parabool gegeven is met de topformule of als de parabool gegeven is met de algemene formule. De standaardformules zijn hier allemaal te ontbinden; berekeningen met de abc-formule komen in hoofdstuk 7. Hier wordt geleerd hoe de top berekend kan worden bij een parabool in de vorm y = ax² + bx + c door eerst de nulpunten en de top van y = ax² + bx te berekenen en daarna de translatie (o, c) toe te passen. In hoofdstuk 7 wordt met deze methode de formule voor x top afgeleid. Kwadratische ongelijkheden worden eerst opgelost op de methode die de leerlingen al kennen: x-waarden van de snijpunten uitrekenen en de oplossing aflezen uit de grafieken. Aan het eind van de kern krijgen ze een tweede methode: de ongelijkheid op nul herleiden, nulpunten uitrekenen en verder oplossen met een schets. ICT met VU-Grafiek In deze kern kan de leerling op een andere manier oefenen met de leerstof van dit hoofdstuk. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen met behulp van VU-Grafiek in opgave 14. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 6
Hoofdstuk 4 Goniometrie Beginniveau Leerlingen moeten met verhoudingen kunnen rekenen en de hoekmaat kennen. Verder moeten ze met de geodriehoek hoeken kunnen meten en tekenen. Kennen en kunnen - het begrip hellingshoek - de tangens van een (hellings)hoek als uitkomst van de deling hoogteverschil : horizontale afstand - het berekenen van de tangens van een gegeven hoek (met rekenmachine) en, omgekeerd, het bepalen van een hoek bij een gegeven tangens - de formule voor de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek - het berekenen van hoeken met behulp van deze formule voor de tangens - het berekenen van een rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek waarin een scherpe hoek en de andere rechthoekszijde gegeven zijn - in een rechthoekige driehoek de sinus en cosinus kunnen berekenen - de sinus of de cosinus van een gegeven hoek bepalen met de rekenmachine - als de sinus of de cosinus gegeven is met de rekenmachine de bijbehorende hoek bepalen - in rechthoekige driehoeken met sinus, cosinus of tangens de onbekende zijden berekenen Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 7, 9, 10 : 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 : 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 37 : 40, 41, 42, 43, 44, 45, 48 7
Opmerkingen Algemeen Leerlingen hebben bij dit hoofdstuk een geodriehoek en een rekenmachine nodig. De steilheid van een helling kun je uitdrukken in een hellingshoek. Bij een hellingshoek is de uitkomst van de deling hoogteverschil : horizontale afstand een vast getal. Dat getal heet de tangens van de hellingshoek. Met de rekenmachine kan heen en weer worden gerekend: bij een gegeven hoek de tangens bepalen en omgekeerd. In een rechthoekige driehoek is de tangens van een scherpe hoek gelijk aan uitkomst van de deling lengte overstaande rechthoekszijde : lengte aanliggende rechthoekszijde. Met deze formule kunnen in een rechthoekige driehoek met twee gegeven rechthoekszijden de scherpe hoeken worden berekend. Als een van de scherpe hoeken is gegeven en een van de rechthoekszijden, kan de andere rechthoekszijde worden berekend. Op de cd-rom staat een animatie. In som 20 moeten ze met de hoekensom eerst de geschikte hoek uitrekenen om een aanliggende rechthoekszijde uit te kunnen rekenen. De andere twee goniometrische verhoudingen zijn de sinus en de cosinus. Ook daarmee moet je heen en terug kunnen rekenen. De onbekende zijden in een rechthoekige driehoek moeten ze nu met een van de goniometrische verhoudingen kunnen berekenen. De keus voor welke van de drie hangt af van de situatie. Op de cd-rom staat een animatie van een berekening met een sinus en met een cosinus. ICT De cd-rom laat berekeningen zien met de tangens, de sinus en de cosinus en er kan extra geoefend worden. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 8
Hoofdstuk 5 Exponentieel en periodiek Voorafgaande aan dit hoofdstuk zijn twee pagina s Oefenen met algebra` opgenomen. Beginniveau Kunnen werken met een rekenmachine Kennen en kunnen - weten wat een exponentiële functie is - weten wat de groeifactor per tijdseenheid is en deze berekenen - de algemene vorm H = b g t (her)kennen - weten dat de beginwaarde bij t = 0 hoort - zelf een formule kunnen opstellen - de invloed van de groeifactor op de grafiek: stijgend of dalend - het begrip verdubbelingstijd - het begrip halveringstijd - het begrip periodieke functie - de begrippen periode, frequentie, evenwichtslijn en amplidude - het berekenen van de draaihoek bij een cirkelbeweging als de afgelegde weg langs een cirkel, de straal van de cirkel en de snelheid gegeven zijn - het berekenen van de hoogte als bij een cirkelbeweging de straal van de cirkel en de draaihoek gegeven zijn Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14 : 15, 16, 17, 18, 19, 17, 18, 19, 21, 22 : 21, 22, 24, 25, 26, 27 : 30, 31, 32, 34, 35, 37 9
Opmerkingen Algemeen Leerlingen hebben bij dit hoofdstuk een rekenmachine nodig. Het programma VU-Grafiek biedt weer een goede ondersteuning. In deze kern wordt de kennis van klas 2 opgehaald. Verdubbelingstijd en halveringstijd worden berekend door vergelijkingen op te lossen. In deze kern wordt het begrip periodiek verschijnsel geïntroduceerd. Deze kern is alleen voor de leerlingen die een N-profiel gaan kiezen. De cirkelbeweging is een goede voorbereiding op de goniometrische functies die in klas 4 worden behandeld. Bij het tweede theorieblok van deze kern is op de cd-rom een animatie met oefeningen opgenomen. ICT met VU-Grafiek Met dit programma en de opdrachten uit het boek kunnen ze alles nog eens visualiseren. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 10
Hoofdstuk 6 Statistiek Beginniveau De leerlingen moeten een lijndiagram, een steelbladdiagram, een cirkeldiagram en een staafdiagram kunnen lezen. De leerling kan een frequentietabel lezen en maken. Kennen en kunnen - de begrippen absolute en relatieve frequenties - de betekenis van een lijndiagram - het tekenen van een cirkeldiagram - de begrippen klasse, klassenbreedte en modale klasse - het tekenen van een frequentiepolygoon door gebruik te maken van klassenmiddens - het begrip centrummaat - gemiddelde, modus en mediaan bepalen van een reeks waarnemingen - het gemiddelde berekenen bij een klassenindeling - de begrippen spriedingsmaat, spreidingsbreedte en kwartielafstand - het berekenen van de kwartielen en de kwartielafstand - het lezen en tekenen van een boxplot - de begrippen cumulatieve frequentie en cumulatief frequentiepolygoon Verkorte route : 1, 3, 5, 6, 7, 8 : 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16 : 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27 : 28, 29 11
Opmerkingen Algemeen Leerlingen hebben bij dit hoofdstuk een rekenmachine nodig. Het programma VU-Grafiek biedt weer een goede ondersteuning. Deze kern is met name bedoeld om de diagrammen die in de brugklas zijn behandeld nog eens terug te laten komen. Nieuw is dat ze nu zelf een cirkeldiagram leren tekenen. In de klassenindelingen wordt er van uitgegaan dat de gegevens voor de indeling in klassen zijn afgerond op gehele getallen. Om die reden staan onder de staven in de staafdiagrammen de klassen en niet de klassengrenzen. De leerlingen leren hoe ze een frequentiepolygoon moeten tekenen bij een gegeven tabel of staafdiagram met klassen door gebruik te maken van de klassenmiddens. In deze kern worden de centrummaten gemiddelde, modus en mediaan herhaald. Daarna leren de leerlingen hoe ze het gemiddelde moeten berekenen bij een klassenindeling. Het grootste deel van de kern is gewijd aan de spreidingsmaten en de boxplot. Het is vooral van belang dat de leerlingen inzien dat door de kwartielen en de mediaan de waarnemingen worden verdeeld in vier porties van 25% en dat de boxplot een plaatje is om deze verdeling in beeld te brengen. In deze kern worden de cumulatieve frequenties behandeld. De leerlingen moeten begrijpen dat in een cumulatief frequentiepolygoon de stippen boven de rechter klassengrenzen komen en niet, zoals bij een gewoon frequentiepolygoon, boven de klassenmiddens. ICT met VU-Statistiek In deze kern kan op een andere manier geoefend worden met de leerstof van het hoofdstuk. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 12
Hoofdstuk 7 Kwadratische vergelijkingen Beginniveau De leerlingen moeten de voorrangsregels beheersen om y-waarden te kunnen berekenen bij kwadratische formules. Verder moeten ze haakjes kunnen wegwerken en kunnen ontbinden in factoren. Als voorbereiding op dit hoofdstuk kan gebruik gemaakt worden van de extra opgaven op pagina 26 en 27. Kennen en kunnen - het berekenen van nulpunten met behulp van worteltrekken of ontbinden in factoren - het oplossen van kwadratische vergelijkingen door toe te werken naar worteltrekken of door op nul te herleiden en te ontbinden in factoren - de formule voor de x-coördinaat van de top van een parabool - het begrip uiterste waarde of extreme waarde - het berekenen van een extreem met behulp van de x-coördinaat van de top - een topformule maken bij een algemene formule - de abc-formule - het berekenen van nulpunten met de abc-formule - het oplossen van ongelijkheden zonder grafieken te tekenen - de betekenis van de discriminant Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9 : 12, 13, 14, 17, 19 : 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36 : 37, 38, 39 13
Opmerkingen Algemeen In dit hoofdstuk staan nogal wat opgaven met een extra parameter. Die opgaven zijn vooral bedoeld voor de leerlingen die vanaf klas 4 wiskunde B gaan doen. Deze kern begint met het herhalen van de berekening van de nulpunten met behulp van worteltrekken of met behulp van ontbinden in factoren. Daarna gaan ze met deze technieken ook andere kwadratische vergelijkingen oplossen. In de vraagstukken 7 en 9 komt het oplossen van ongelijkheden weer terug. In hoofdstuk 3 hebben de leerlingen geleerd hoe ze met behulp van nulpunten en de top van y = ax² + bx de top van de parabool y = ax² + bx + c kunnen berekenen. In deze kern wordt met behulp van de nulpunten van y = ax² + bx de formule voor de x-coördinaat van de top afgeleid. Verder leren de leerlingen wat een extreem is en hoe ze dit bij een kwadratische functie kunnen berekenen met behulp van de x-coördinaat van de top. Kern drie begint met het omrekenen van de standaardformule van een parabool naar de topformule. Dit is bedoeld om uit te leggen hoe de abc-formule kan worden afgeleid. De afleiding zelf is in een blauw vlak aan het eind van deze kern toegevoegd. In het tweede deel van deze kern wordt herhaald hoe een kwadratische ongelijkheid kan worden opgelost zonder gebruik te maken van grafieken. Voor de berekening van de nulpunten is nu de abc-formule beschikbaar. Deze kern over de discriminant zou, ingeval van tijdnood, kunnen worden overgeslagen door leerlingen die vanaf klas 4 verder gaan met wiskunde A. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid extra te oefenen met de abc-formule. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 14
Hoofdstuk 8 Wortelfuncties en gebroken functies Beginniveau De leerlingen kunnen een grafiek transleren (horizontaal en verticaal) en de formule van de verschoven grafiek afleiden uit de formule van de gegeven grafiek. de leerlingen kunnen lineaire en kwadratische vergelijkingen oplossen. Kennen en kunnen - het begrippen wortelfunctie en domein - het domein van een wortelfunctie bepalen, ook als de grafiek niet gegeven is - een wortelvergelijking oplossen door te kwadrateren en daarna de oplossingen te controleren - het begrip gebroken functie - het domein van een gebroken functie bepalen - de begrippen hyperbool en asymptoot - de asymptoten bepalen van een gebroken functie - de nulpunten berekenen van een gebroken functie - een gebroken vergelijking oplossen door kruislings vermenigvuldigen Verkorte route : 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 : 11, 12, 16, 17, 18, 19 : 21, 22, 24, 25, 26, 28 : 30, 31, 34, 35 15
Opmerkingen Algemeen Dit hoofdstuk is bedoeld als eerste kennismaking met wortelfuncties en gebroken functies. Het exact oplossen van wortelfuncties komt voor leerlingen die wiskunde A kiezen vanaf klas 4 niet vaak meer aan de orde. Bij tijdgebrek zouden deze leerlingen kern 2 kunnen overslaan. Tot nu toe hebben de leerlingen vooral veel met lineaire en kwadratische functies gewerkt. Bij deze functies speelde het domein geen rol. Het nieuwe van de wortelfuncties zit vooral in het domein en de gevolgen daarvan voor de grafiek. In deze kern moeten de leerlingen weten hoe een formule verandert bij een verticale of een horizontale verschuiving van de grafiek. Bij het oplossen van een wortelvergelijking door te kwadrateren kan er een oplossing (bij) komen, die niet voldoet. Leerlingen begrijpen vaak niet waar die oplossing vandaan komt. Het tekenen van grafieken (zoals in opgave 13) kan helpen om dit duidelijk te maken. In deze kern gaat het vrij snel. Bij de introductie van de gebroken functie wordt meteen het domein meegenomen en kort daarna komen ook de asymptoten. Vooral het bepalen van de horizontale levert nogal eens problemen op. In deze kern leren de leerlingen eerst hoe ze vergelijkingen van het type breuk = 0 kunnen oplossen. Vervolgens komt de methode met kruislings vermenigvuldigen aan de orde. ICT VU-Grafiek In deze kern kunnen de leerlingen met behulp van VU-Grafiek oefenen met de twee nieuwe functies. ICT Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 16
Hoofdstuk 9 Vergelijkingen mat twee variabelen Beginniveau De leerlingen kunnen de grafiek tekenen bij een lineaire functie en een lineaire vergelijking oplossen. Kennen en kunnen - het begrip lineaire vergelijking met twee variabelen - weten dat de grafiek hierbij een rechte lijn is en deze lijn tekenen - het oplossen van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen - weten dat een rechte lijn het vlak in drie delen verdeelt: de lijn zelf, het gebied boven de lijn en het gebied onder de lijn - het gebied tekenen dat bij een lineaire ongelijkheid hoort - het begrip toegestane gebied en het tekenen van zo'n gebied - het begrip doelfunctie - bepalen wat de maximale waarde en de minimale waarde is van een doelfunctie op een gebied Verkorte route : 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23 24, 25, 26, 27, 29, 32, 33 36, 37, 38, 39 17
Opmerkingen Algemeen De kernen 3 en 4 lopen vooruit op de methode van lineair programmeren. Deze kernen kunnen in geval van tijdnood worden overgeslagen. Ze zijn bedoeld om de leerlingen te laten zien in wat voor soort toepassingen de notatie in de vorm ax + by = c vaak gebruikt wordt. Het begrip vergelijking van een lijn is al ingevoerd in hoofdstuk 1, bij de introductie van de vergelijkingen van horizontale en verticale lijnen. Nieuw zijn hier de notatie in de vorm ax + by = c en de methode om zo'n lijn te tekenen met behulp van twee punten. In de opgave 8 tot en met 11 wordt de link gelegd met de schrijfwijze y = ax + b. In het eerste deel van de kern kan het snijpunt van twee lijnen gevonden worden door de vergelijkingen onder elkaar te zetten en deze op te tellen. In de vraagstukken 16, 17 en 18 komt het triviale geval dat een van de lijnen horizontaal of verticaal is aan bod. De kern eindigt met gevallen waarin de vergelijkingen eerst met geschikt gekozen getallen vermenigvuldigd moeten worden. Het bepalen van een gebied bij een ongelijkheid gebeurt door het invullen van een punt dat niet op de lijn ligt. Klopt na invullen het teken van de ongelijkheid, dan ligt het gebied aan de kant van het gekozen punt. In deze kern is gekozen voor een eenvoudige methode om het maximum het minimum van een lineaire functie van twee variabelen op een gebied te bepalen. ICT Op de cd-rom staat een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 18
Hoofdstuk 10 Kansrekenen (M-profielen) Beginniveau De leerlingen kunnen een boomdiagram maken. Kennen en kunnen - het begrip frequentie - de relatieve frequentie is de uitkomst van de deling frequentie van een gebeurtenis : totale aantal uitvoeringen van een gebeurtenis - het schatten van kansen met deze regel - het begrip zuiver experiment - de theoretische kans P op een bepaalde gebeurtenis is gelijk aan de uitkomst van aantal gunstige mogelijkheden : totale aantal mogelijkheden - het berekenen kansen met deze regel in eenvoudige situaties - de begrippen boomdiagram en uitkomst - een boomdiagram maken bij een gegeven experiment - weten wat het verschil is tussen een trekking met terugleggen en een trekking zonder terugleggen - het begrip kansboom - de leerlingen kunnen een kansboom maken, zowel bij kansproblemen met terugleggen als bij kansproblemen zonder terugleggen Verkorte route : 1, 2, 3, : 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16 : 17, 18, 19, 21, 23, 24, 26, 27 : 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36 19
Opmerkingen Algemeen Hoofdstuk 10 is vooral bedoeld voor de leerlingen die vanaf klas 4 een M-profiel gaan doen. De kansrekening van deel 2 vwo wordt herhaald en verdiept. Door de kansrekening in klas 3 terug te laten komen, kunnen de leerlingen in klas 4 met een stevige basis aan dit onderwerp beginnen. In deze kern wordt de zogenaamde "zweetkans" herhaald. Het gaat erom dat de leerlingen inzien dat bij een experiment de kans op een bepaalde gebeurtenis te schatten is door dit experiment vaak genoeg uit te voeren en vervolgens de relatieve frequentie van die gebeurtenis te berekenen. Bij veel zuivere experimenten is bekend hoe groot de kans op elk van de mogelijke uitkomsten is. In dat geval is het niet nodig de kans op een bepaalde uitkomst te schatten door zo'n experiment een groot aantal keren uit te voeren. In die situaties is er sprake van een zogenaamde "weetkans" en moeten de leerlingen de kans op een bepaalde uitkomst kunnen berekenen met de regel van Laplace. De tel en kansproblemen in klas 2 hadden bijna allemaal betrekking op trekkingen met terugleggen. In het eerste deel van deze kern wordt het tellen met terugleggen in een boomdiagram herhaald en gebruikt bij het berekenen van kansen. Het tweede deel van de kern gaat over trekkingen zonder terugleggen. In deze kern leren de leerlingen kansen te berekenen met een kansboom. In vraagstuk 37 zien ze hoe ze zo'n kansboom kunnen vereenvoudigen door alleen de relevante takken te tekenen. Dit kan de leerlingen een beeld geven van oplossingsmethoden van kansproblemen met een groot aantal trekkingen. In de vraagstukken daarna kunnen ze hier gebruik van maken. Dat hoeft echter niet, want ook in de rest van het hoofdstuk is het aantal trekkingen nog zo beperkt dat het mogelijk is de boom helemaal uit te schrijven. ICT met VU-Statistiek Met dit programma en de opdrachten uit het boek kunnen de leerlingen extra oefenen met het berekenen van "zweetkansen" (door simulatie) en het rekenen met kansbomen. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie nog eens te herhalen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 20
Hoofdstuk 11 Ruimtemeetkunde (N-profielen) Beginniveau De leerlingen kunnen berekeningen uitvoeren in gelijkvormige figuren (deel 3A, hoofdstuk 2). De leerlingen kunnen in een rechthoekige driehoek berekeningen maken met de stelling van Pythagoras (deel 2) en de drie goniometrische verhoudingen (deel 3A, hoofdstuk 4). Kennen en kunnen - de definitie van gelijkvormigheid - zijden berekenen in figuren die gelijkvormig zijn - de oppervlakte en/of inhoud berekenen van een figuur die met een gegeven factor is vergroot of verkleind - het berekenen van hoeken en zijden in ruimtelijke figuren met behulp van de goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek - het werken met coördinaten in een driedimensionaal assenstelsel Oxyz - het berekenen van de afstand van twee punten in de ruimte, waarvan de coördinaten gegeven zijn - de oppervlakte berekenen van een kubus, balk, piramide, prisma en een cilinder - de inhoud berekenen van een kubus, balk, prisma, cilinder, piramide en kegel Verkorte route : 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 : 11, 12, 13, 14, 16, 17 : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, : 30, 31, 32, 34, 35, 36 21
Opmerkingen Algemeen Hoofdstuk 11 is bedoeld voor de leerlingen die vanaf klas 4 een N-profiel gaan doen. De leerlingen die een N-profiel kiezen kunnen dit hoofdstuk overslaan. De ruimtemeetkunde is in deel 2 en de voorafgaande hoofdstukken van deel 3 weinig aan de orde geweest. In dit hoofdstuk wordt dat ruim goed gemaakt. Het biedt een goede voorbereiding op de meetkunde in klas 4, 5 en 6. In deze kern komt geen nieuwe leerstof aan de orde. De nadruk ligt op het gebruik van gelijkvormigheid bij ruimtelijke figuren. Ook in deze kern wordt geen nieuwe leerstof behandeld. De hele kern gaat over berekeningen in ruimtelijke figuren met behulp van de stelling van Pythagoras en de goniometrische verhoudingen. Het ruimtelijke asselstelsel waarin de leerlingen werken is steeds opgehangen aan een bekende ruimtelijke figuur, zoals een kubus, een balk of een piramide. In vraagstuk 25 zien de leerlingen hoe ze voor de berekening van de afstand d tussen twee punten in de ruimte gebruik kunnen maken van de ruimtelijke versie van de stelling van Pythagoras. In de vraagstukken daarna kunnen ze hier gebruik van maken. De berekening van oppervlaktes van vlakke figuren en de berekening van inhouden van de bekende ruimtelijke figuren zijn behandeld in klas 2. In dit hoofdstuk wordt dit herhaald op een wat pittiger niveau. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie nog eens te herhalen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 22