Eerste domein: hele getallen 1 De basiskennis van getallen 1.1 Mijn bijzondere getal a b Om te zien of een getal even is hoef je alleen maar naar het laatste cijfer te kijken. Als dat even is, is het hele getal even. c d e f Je kiest een bepaalde strategie (aanpak) om te bepalen hoe lang het voor jou duurt om een willekeurig getal uit te spreken. Een mogelijkheid is om 10 willekeurige getallen uit te spreken en de benodigde tijd op te nemen. Als je dan bijvoorbeeld tot gemiddeld 2 seconden per uitgesproken getal komt, dan kunnen de volgende rekenstappen genomen worden: aantal 1 30 1800 90 000 90 000 900 000 tijd 2 s 1 min 1 uur 50 uur 2 dagen 20 dagen Omdat 900 000 in de buurt ligt van 1 miljoen, duurt het ongeveer halve maand. Dit schema wordt een verhoudingstabel genoemd en komt aan bod in hoofdstuk 1 van het domein verhoudingen en procenten. Omdat 50 uur als twee dagen wordt geschreven, is deze methode een vorm van schattend rekenen (hoofdstuk 4 van dit domein hele getallen). 1.2 De plaatswaarde a dertig b 8310 c Plaats eerst het getal 10 000 000 in de tabel; vervolgens 10 500 000; vervolgens 10 500 008. d De cijfers van het getal 6709 verschuiven allemaal een plaats naar links bij 10, enzovoort e In elke kolom staan 6 enen, 6 tweeën, 6 drieën en 6 vieren. De uitkomst van de optelling is 66 660. a Asfaltweg, want deze weg is van asfalt en heeft dus geen enkele klinker. (uit: het Ei van Columbus) b Twee spelfouten en één telfout: er zijn namelijk maar twee spelfouten!
a Klopt. b Deze zin bevat: 1 keer het cijfer 0 7 keer het cijfer 1 3 keer het cijfer 2 2 keer het cijfer 3 1 keer het cijfer 4 1 keer het cijfer 5 1 keer het cijfer 6 2 keer het cijfer 7 1 keer het cijfer 8 1 keer het cijfer 9 2 Getalbegrip 2.1 Contextualiseren a 31 dagen b 1 miljoen centen is gelijk aan 10 000 euro! Voor een huis zal dat veel te weinig zijn. c liter d 36 liter water gebruiken we iedere dag, gemiddeld acht liter per spoeling. Een lekkende kraan die tien druppels per minuut laat vallen, verspilt jaarlijks tweeduizend liter water! (bron: waterleidingmaatschappij Overijssel) Hier een voorbeeld van een context bij getal 9: Citaat van Co Stompé: De snelste dartpartij is een partij die je uitgooit met 9 pijlen. Dat is me tot nu toe vijf keer gelukt. Graag wil ik dat nog eens doen, want het levert 52 000 Engelse ponden ofwel 98 320 euro! a 1 459 duizend vierhonderd negen en vijftig 1 000 569 één miljoen vijfhonderd negen en zestig b Het verschil is dat je bij 1 miljoen altijd die 1 erbij zegt, en dat geldt niet bij duizend. In het Engels zeg je wel one thousand! c 11 000 421 613 d 1 500 000 000 64 000 000 000 250 000
2.2 Positioneren Als je de lijn eerst halveert, dan krijg je 500 als eindpunt. Deze handeling zet je een aantal malen voort. Je gaat dan via 500, 250 en 125 naar ruim 60. Een handige manier is het gemiddelde bepalen van de twee getallen; dan zit je precies tussen de twee getallen in: 100 + 10 000 = 10 100; het midden is dan 5050. a Als het eindpunt 10 000 op 20 cm afstand ligt van 0, dan ligt 5000 op 10 cm en 1000 op 2 cm. b Best lastig om te tekenen! Aan het eind van het lijnstuk staat 10 miljoen op een afstand van 20 cm. Dus op 2 cm van de 0 staat 1 miljoen. Dus duizend is niet op deze lijn in te tekenen. c Je kunt snel uitrekenen dat 1 miljard op 20 meter (= 2000 cm) afstand ligt! Opdracht 5 Maak bij dit spelletje handig gebruik van de getekende lijn en bepaal steeds de middens. Handig is om bij deze moeilijke getallen met maten te werken, zoals geld of afstand. Het wordt dan 0,40 eurocent en 2 euro. Het midden is nu eenvoudiger in te zien, namelijk 1,20. Opdracht 7 a Steeds 11 verder springen: de volgende twee zijn dan 47 en 58. b De antwoorden van de tafel van 13: de volgende twee zijn dan 65 en 78. c Steeds maal twee plus 2: de volgende twee zijn dan 142 en 286. d Steeds maal drie min één: de volgende twee zijn dan 203 en 608. e Elk getal, behalve de eerste twee, is de som van zijn twee vorige buren. Dus 11 = 5 + 6; 17 = 11 + 6. De antwoorden zijn 28 en 45. Opdracht 8 0 = 44 44 1 = 44 : 44 2 = (4 4) : (4 + 4) 3 = (4 + 4 + 4) : 4 4 = (4 4) 4 + 4 5 =? 6 = (4 + 4) : 4 + 4 7 = 44 : 4 4 8 = 4 4 4 4 9 = 4 + 4 + (4 : 4) 10 = (44 4) : 4
2.3 Netwerk van getallen Het netwerkje van 48 kan bijvoorbeeld bevatten: 2 24 3 16 6 8 4 12 2 4 6 96 : 2 144 : 3 192 : 4 240 : 5 288 : 6 68, 69, 70 bijvoorbeeld a 8 80 40 400 200... b Bijvoorbeeld: 5 50 25 250 125... a Op de rijen van de piramide moet van boven naar onder staan: 260 130 130 62 68 62 28 34 34 28 12 16 18 16 12 5 7 9 9 7 5 2 3 4 5 4 3 2 b Op de rijen van de piramide moet van boven naar onder staan: 36 16 20 8 8 12 4 4 4 8 1 3 1 3 5 Opdracht 7 50055, 50550, 55050, 55500
Opdracht 8 a 1000 b 89 miljoen c Als je moet afronden op twee cijfers achter de komma, dan kijk je alleen naar het derde cijfer achter de komma: is dat een 5 of meer dan rond je naar boven af, anders kap je het derde cijfer gewoon af. Dus 4,547 wordt 4,55. d Op één cijfer achter de komma wordt 4,547 het getal 4,5, want het tweede cijfer is kleiner dan 5. Alleen dat cijfer hoef je maar te bekijken bij afronden op één cijfer achter de komma. 2.4 Splitsen van getallen a 308 briefjes van 10 met 8 losse euro s. b Een aantal mogelijkheden voor 556, : 100 euro 10 euro losse euro s 5 5 6 556 4 15 6 4 10 56 5 4 16 c Een aantal mogelijkheden voor 1056, : 100 euro 10 euro losse euro s 10 5 6 10 4 16 9 15 6 9 10 56 10 56 Je kunt 3090, bijvoorbeeld zo betalen: 1000 500 200 100 50 10 5 3 1 4 3 1 3 2 3 1 2 4 3 1 1 6 3 1 8 3 0 9 3 0 8 2 3 Enzovoort 2 2 1 4 2 1 2 1 1 4 2 1 2 3 4 Enzovoort. Zo krijg je meer een systematische oplossing.
Als je achter een getal een 0 plaatst, dan wordt het 10 keer zo groot. Het verschil tussen deze twee getallen is dus 10 keer min 1 keer is 9 keer. Het verschil is bij deze som 423, dus het getal is 423 : 9 = 47. 1 234 geeft het kleinste antwoord; 31 42 de grootste. Gebruik van de hogere cijfers als tientallen levert een grotere uitkomst dan bijvoorbeeld 13 24. Opdracht 5 Het eerste cijfer zal of een 8 of een 4 moeten zijn, waarbij die met cijfer 8 zo laag mogelijk en de ander zo hoog mogelijk ingezet moet worden. Dan ontstaat de keuze 4983 of 8349. Het antwoord wordt dan 4983, want dat ligt het dichtst bij 6500. Dat doe je dan bijvoorbeeld met één munt van 50 eurocent, één munt van 20 eurocent en 3 munten van 5 eurocent. Door weer gebruik te maken van een tabel kun je zo n vraag snel en inzichtelijk oplossen. Opdracht 7 a A = 5 en B = 1: 5 5 5 + 15 b U = 8 en V = 9: 8 9 9 + 9 8
2.5 Ontbinden van getallen 100 = 2 2 5 5 210 = 2 3 5 7 a Omdat de 7 in het getal 78 niet deelbaar is door 2, denkt men misschien dat 78 dus ook niet deelbaar is door 2. b 24, 68, 1070 en 98 zijn deelbaar door 2. c Een getal is deelbaar door twee als dat getal even is, ofwel als het laatste cijfer van dat getal een 0, 2, 4, 6 of 8 is. a Een getal is deelbaar door 5 als het eindcijfer een 0 of een 5 is. In het 100-veld zijn dus twee kolommen gekleurd: de kolom onder 5 en de kolom onder 10. b Alleen 51 is niet deelbaar door 15. Opdracht 5 24 in vloertjes: 1 bij 24; 2 bij 12; 3 bij 8 en 4 bij 6. De lengte en breedte van de vloertjes zijn de delers van 24. 776, 2004 en 1052 zijn deelbaar door 4. 2.6 Veelvouden De getallen die zowel rood omcirkeld als blauw gekleurd zijn, zijn de veelvouden van het getal zes (inclusief 6 zelf). De veelvouden van 20 zijn: 40, 60, 80, 100,...De veelvouden van 24 zijn: 48, 96,...Het is wat omslachtig om door alle veelvouden zo de oplossing te bepalen. Omdat het antwoord op een 0 eindigt, proberen we: 5 24, 10 24 enzovoort. Zo krijg je vrij snel 120, 240 enzov
Opdracht 5 De dertigste (zestigste, enz.) bezoeker krijgt 3 cadeautjes. Vader: 5 10 15 enzovoort Marijke: 3 6 9 12 15 enzovoort Jan: 2 4 6 8 enzovoort Dus ze komen op hetzelfde punt bij 30, 60, enzovoort. 3 Bewerkingen en manieren van rekenen 3.1 Bewerkingen 16 + 8 14 = 10 4 + 11 12 = 3 6 + 14 + 5 = 25 13 + 4 + 3 = 20 Nog een som bij elk van de vijf kaartjes: 15 7 + 2 = 10 10 + 14 8 = 16 3 + 12 4 = 11 25 5 14 = 6 20 4 3 = 13 a Hier wordt het antwoord gevraagd van 24 + 12. De plaatsen liggen dus 36 km van elkaar. Als dit de wegwijzer zou zijn: Hoogland 24 Laagland 12 dan wordt de bijbehorende rekenzin: 24 12.
b Hierbij kun je het verschil bepalen van 388 en 324: 388 324. Je moet dus nog 64 bladzijden lezen. Ook is mogelijk om er een stipsom van te maken: 324 +... = 388. c Het quotiënt van 10 000 en 400 geeft het aantal rondjes 10 000 : 400. Dat zijn dus 25 rondjes. Ook kun je beginnen met de 400 meter en berekenen na hoeveel keer je bij de 10 000 meter uitkomt:... 400 = 10 000. d Hierbij wordt het product gevraagd van 0,50 en 2450 m 3. dus: 0,50 2450 = 1225,. e Soms lijkt een antwoord zo voor de hand te liggen dat je binnen de geschetste context (situatie) geen juist antwoord geeft! Het antwoord luidt 1 uur en niet 3 1 2 uur! Kun je dit beredeneren? a (4 6) : (7 6) b 8 (4 7 : 7) c 3 (3 8 3 ) Mogelijke antwoorden: 0 = (7 + 3) (5 2) 1 = 7 5 + 2 3 2 = (7 + 5) : (3 2) 3 = 5 + 3 7 + 2 4 = (7 5) 3 2 5 = (7 2 3) 5 6 = (2 5) + 3 7 7 = 7 5 + 2 + 3 8 = 7 5 + (2 3) 9 = (7 + 5) : 2 + 3 10 = (7 + 3) : 2 + 5 3.2 Handig rekenen a 5 18 < 15 8 b 3 25 = 24 + 25 + 26 c 5 12 = 10 6 d 160 : 80 < 320 : 40 e 24 12 1/2 < 12 50 f 420 : 70 = 540 : 90 g 1008 100 > 1004 104 h 24 26 > (20 20) + (4 6) i 9902 + 80 < 9982 + 8 j 301 149 = 302 150 k 52 + 78 = 50 + 80 a 22,5 : 2,5 = 45 : 5 = 9 b 6 5,9 = (6 6) (6 0,1) = 36 0,6 = 35,4
c 14 8 = 8 14 = 8 10 + 8 4 = 80 + 32 = 112 d 25 22 = 50 11 = 50 10 + 50 1 = 550 e 57 + 28 = 55 + 30 = 85 f 56 + (24 + 8) = (56 + 24) + 8 = (56 + 4 + 20) + 8 = 88 g 392 + 23 = 390 + 25 = 390 + 10 + 15 = 415 h 2359 189 = 2360 190 = 2370 200 = 2170 i 3,7 : 0,5 = 7,4 : 1 = 7,4 j 36 : 3 3 1 = 108 : 10 = 10,8 k 3 : 1 2 1 = 6 : 3 = 2 l 91 19 = 92 20 = 72 a 289 + (140 + 111) = (289 + 111) + 140 = 540 b 1005 + (117 + 95) = (1005 + 95) + 117 =1100 + 117 = 1217 c 1024 186 = 1038 200 = 838 d 6708 999 = 6709 1000 = 5709 e 1024 45 24 = 1024 24 45 = 1000 45 = 955 f 750 128 122 = 750 250 = 500 g 16 23 = 10 23 + 6 23 = 230 + 120 + 18 = 368 h 19 23 = 20 23 1 23 = 460 23 = 437 i 36 15 = (9 4) 15 = 9 (4 15) = 9 60 = 540 j 24 75 = (6 4) 75 = 6 300 = 1800 k 0,15 : 0,03 = 15 : 3 = 5 l 3 2 1 : 1 4 1 = < 4> 14 : 5 = 28 : 10 = 2,8 (Volgens de regels dient het antwoord van voorgaande som in breukvorm gegeven te worden, omdat de som ook in breukvorm staat. Dit hangt ook af van je wiskundedocent.) m 204 : 17 = (170 : 17) + (34 : 17) = 10 + 2 = 12 (hoofdrekentoets) a 408 : 8 = 51 (400 : 8 + 8 : 8) b 11 11 = 121 (pas op!!, niet: 10 10 + 1 1; teken maar eens een rechthoek van 11 bij 11, en daarin de rechthoeken van 10 bij 10 en 1 bij 1) c 4 36 = 144 d 84 : 12 = 7 (60 : 12 + 24 : 12) e 16 250 = 4000 (8 500) f 234 : 6 = 39 g 1001 6 = 995 h 65 + 88 = 153 i 9 24 = 216 j 1 week = 168 uur k 144 : 12 = 12 l 33 : 0,3 = 110 m 125 69 = 56 n 439 + 43 = 482 o 407 16 = 391
Neem als richtlijn aan: aantal goed: 12 benodigde tijd: 2 minuten Bij te veel fouten is het handig om voor jezelf vast te leggen met welke bewerking je nog de meeste moeite hebt. 3.3 Van kolomsgewijs naar cijferend rekenen 3.3.1 Kolomsgewijs rekenen voor optellen en aftrekken a 1066 b 1251 c 311 d 200 e 87 a 1105 b 2301 c 722 d 390 e 594 3.3.2 Kolomsgewijs rekenen voor vermenigvuldigen a 32 23 = 736 b 89 32 = 2848 124 35 = 4340 a ondergrens: 80 30 = 2400 bovengrens: 90 40 = 3600 b ondergrens: 100 35 = 3500 bovengrens: 150 40 = 6000 Die aanpak is niet juist. Denk maar weer aan rechthoeken. Bovendien geeft inklemmen: ondergrens 40 80 = 3200 bovengrens 50 90 = 4500 en het antwoord zal veel dichter bij de bovengrens liggen dan bij de ondergrens. Het juiste antwoord is 4361. Opdracht 5
De ondergrens is dan 30 100 = 3000 en de bovengrens 40 100 = 4000. We kunnen de som nu uitrekenen zonder komma s: 342 1061 = 363862. Gezien de onderen bovengrens die je hebt bepaald, moet het antwoord inclusief komma dus zijn: 3638,62. 3.3.3 Kolomsgewijs rekenen voor delen 3.4 Rekenen in contexten Schrijf de veelvouden van 60 en 70 op; na 420 seconden gaat Menna Pieter inhalen. Voor het roken van één sigaret heeft de zwerver 4 peuken nodig maar hij houdt er steeds 1 over. Dus totaal 24 : 3 = 8 sigaretten en met één peuk als restant. 29 minuten één uur heeft 60 minuten dus 8 60 = 480 minuten totaal 480 20 = 4800 + 4800 = 9600 knipperingen Opdracht 5 6750 : 39 = 173 studenten, over 3 meisjes jongens totaal sport 13 3 16 geen sport 10 6 16 totaal 23 9 32 4 Schattend rekenen a 1309,1 (ongeveer 700 + 600) b 40,130435 (ongeveer 2000 : 50) c 24 d 40 e 800, (ongeveer 6400, : 8) f 8000 g 50% h 51 41 > 2000 i 1090 moet het goede antwoord zijn. Van de andere twee antwoorden kan het eerste cijfer nooit kloppen. De som is bijvoorbeeld 730 + 360.
a Neem voor een jaar 400 dagen met als afstand 40 000 kilometer. Dit geeft per dag een afstand van 40 000 : 400 = 100 kilometer. Als je voor een dag 25 uur kiest, dan geeft dat 4 kilometer per uur. Wel een hele lage snelheid voor deze superzeilboten! De wedstrijd zal dus wel een stuk minder dan een jaar duren. b Het is een nieuw wereldrecord, vandaar de nauwkeurige weergave van de tijd! c 70 dagen over een afstand van 42000 kilometer, geeft 600 kilometer per dag (dag en nacht). Dus in ongeveer 25 uur een afstand van 600 kilometer afleggen, geeft 24 kilometer per uur. Dat gaat dus sneller dan met je fiets. 9,1 miljoen delen door 100 euro (per uur) 9 100 000 : 100 = 91 000 uren; 91 000 : 24 zetten we om in ronde getallen (100 000 : 25), dat geeft 4000 dagen ofwel ruim 10 jaar! 5 miljoen minuten oud betekent ruim 80 000 uur ( = 5 000 000 : 60). Dat houdt in (neem voor een dag 25 uur) 80 000 : 25 (= 320 000 : 100) = 3200 dagen of ongeveer 9 jaar (omdat 10 jaar ongeveer 3600 dagen telt). Dus de uitspraak dat de leerling in de middenbouw zit klopt. Opdracht 5 480 is bijna de helft. Dit getal ligt dus net iets onder 7,5 cm. Op dezelfde manier geredeneerd ligt 98 net iets onder de 1,5 cm. In 20 seconden 50 meter: zie de verhoudingstabel voor de verdere tussenstappen (zie hoofdstuk 1 van het domein verhoudingen en procenten). 20 s 60 s = 1 min 10 min 1 uur 50 m 150 m 1500 m 9 km De snelheid is dus ongeveer 9 kilometer per uur. Opdracht 7 a Een tuin van 300 m 2 is al best een grote tuin (bijv. 10 bij 30 m), en die ruimte heb je wel nodig voor de taart! Dus de taart past niet makkelijk op de speelplaats van je stageschool. b Als het aantal inwoners van jouw stad of dorp 75 000 of minder is wel, want de taart wordt opgesneden in 75 000 stukken. Elk stuk weegt ruim 130 gram (10 000 kg/75 000 = ongeveer 0,130 kg). Opdracht 8 bovengrens 800 000 : 1600 = 500 s ondergrens 640 000 : 1600 = 400 s De werkelijke waarde ligt hier ongeveer tussenin: 450 s. En 450 seconden is ruim 7 minuten (7 60 = 420).