De Transformatieformule voor Riemannintegralen

De Transformatieformule voor Riemannintegralen Het bewijs volgt in grote lijnen Wade, An Introduction to Analysis, Ch. 12.4. Als voorbereiding hebben we een lemma nodig dat we integralen goed kunnen benaderen door Riemannsommen waaruit rechthoeken zijn weggelaten die slechts gedeeltelijk in het definitiegebied van de integrand liggen. Zij D R d een Jordanverzameling, f : D R Riemann-integreerbaar, een rechthoek met D. We definieren zoals gebruikelijk { f(x) x D, F (x) : 0 x \ D. Lemma 1 Onder de boven beschreven veronderstellingen is er voor elke ε > 0 een partitie R {R 1,... R N } zodanig dat f dx < ε, m i : inf f(x). x R i D R i int D Bewijs: Zij ε > 0 willekeurig. Zij M : sup x D f(x). Omdat D een Jordanverzameling is is er een overdekking Z voor D met rechthoeken Z 1,..., Z M zodanig dat Vol(Z i ) < ε 2M. Z i Z Verder kunnen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat Z i. (Ga na!). Vanwege de Riemann-integreerbaarheid van f is er een partitie Q : {Q 1,..., Q L } (met bijbehorende infima m i ) zodanig dat f dx m i Vol(Q i ) D < ε 2. Q i Q Zij R {R 1,... R N } een verfijning van Q zodanig dat dat voor alle i 1,..., N, j 1,... M geldt R i Z j of int(r i Z j ). (Ga na hoe R geconstrueerd wordt!) Dan is f dx D < ε 2. R i R Verder is R i R R i int D + R i D, 1

want m i 0 als R i int( \ D). Dus f dx D R i int D f dx m i Vol(R i ) D + R i R R i D < ε 2 + M Vol(R i ) ε 2 + M Vol(Z i ) < ε. R i D Z i Z We bewijzen nu de transformatieformule (TF) eerst onder de aanname dat ze waar is voor f 1 en gebieden die afgebeeld worden op rechthoeken. Lemma 2 Zij W R d open, Φ : W R d injectief en differentieerbaar, zij ook Φ 1 differentieerbaar. Veronderstel: Voor elk rechthoek R Φ(W ) geldt Vol(R) det DΦ. (RH) Zij R d een Jordanverzameling met Ē W, f integreerbaar op, en f Φ integreerbaar op. Dan f (f Φ) det DΦ. (TF) Bewijs: Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat f 0. (Splits anders f f + f met f ± : max{±f, 0} 0. Ga na dat als f integreerbaar is dat f ± ook zijn.) Zij ε > 0 gegeven. Zij ˆR R d een rechthoek met ˆR en {R 1,..., R N } een partitie voor ˆR die voldoende fijn is zodat (i) f R i (ii) als R i dan R i Φ(W ). M i Vol(R i ) ε, Φ M i : sup x R i f(x), Φ 1 (R ) i W Φ 1 R i Φ(W) 2

Definieer Dan Ω 1 en dus f (RH) f 0 Ω 1 : Φ 1 (R i ). R i M i det DΦ(x) dx ε R i R i Φ 1 (R i) Φ 1 (R i) f(φ(x)) det DΦ(x) dx ε (f Φ) det DΦ ε Ω 1 (f Φ) det DΦ ε. (1) Verder is er vanwege Lemma 1 een partitie {Q 1,..., Q M } van ˆR zodanig dat f m i Vol(Q i ) + ε, m i : inf f(x). x Q i Definieer Q i int Ω 2 : Q i int Dan Ω 2 en analoog aan het bewijs van (1) f (RH) f 0 Q i int Q i int m i Φ 1 (Q i) Φ 1 (Q i) Φ 1 (Q i ). det DΦ(x) dx + ε f(φ(x)) det DΦ(x) dx + ε (f Φ) det DΦ + ε Ω 2 (f Φ) det DΦ + ε. (2) De bewering volgt nu uit (1) en (2). In plaats van (RH) bewijzen we in een tweede stap een locale versie (RHL) hiervan. Lemma 3 Zij V R d open, Φ : V R d differentieerbaar, a V, det DΦ(a) 0. Dan is er een open rechthoek W V zodanig dat a W en Φ W is injectief, en de inverse (Φ W ) 1 is differentieerbaar. 3

Voor elk rechthoek R Φ(W ) is een Jordanverzameling, en Vol(R) det DΦ (RHL) Φ a W R Φ( W) 1 Φ( R ) V Φ( V) Φ 1 Φ( a) Bewijs: Het eerste deel van de bewering volgt uit de impliciete functiestelling. Verder volgt uit de differentieerbaarheid van de inverse dat (Φ W ) 1 Lipschitz continu is en dus een Jordanverzameling. (De details hiervan laten we achterwege.) Het bewijs voor (RHL) wordt nu gegeven via inductie over d. Zij d 1. Dan is V een open interval, det DΦ(t) Φ (t). Kies W V zodanig dat Φ (t) 0 voor alle t W. Φ(W ) is een interval. Kies R [c, d] Φ(W ). Dan is Vol(R) d c en volgens de substitutiestelling voor integralen in 1D Φ 1 (d) Φ 1 (d) d det DΦ ± Φ (t) dt Φ (t) dt du d c, Φ 1 (c) Φ 1 (c) waarbij het + - teken correspondeert met φ stijgend en het - teken met φ dalend. In beide gevallen is (RHL) bewezen voor d 1. Zij nu d > 1 en veronderstel dat (RHL) geldt in het geval van d 1 dimensies. We laten (RHL) in dimensie d eerst voor het speciale geval zien dat Φ één component onveranderd laat. Zonder verlies van algemeenheid kiezen we hiervoor de laatste component. We schrijven z (x, t) voor z V waarbij x R d 1 en t R en analoog a (a 0, b). We nemen dus aan Φ(x, t) (Φ 1 (x, t),..., Φ d 1 (x, t), t), (x, t) V. Kies een open rechthoek W 0 R d 1 rond a 0 en een open interval I rond b zodanig dat W 0 I V en det DΦ(x, t) 1 2 det DΦ(a) (x, t) W 0 I. Definieer voor t I de afbeelding ψ t : W O R d 1 door ψ t (x) (Φ 1 (x, t),..., Φ d 1 (x, t)). c 4

Dan is en dus DΦ(x, t) [ Dψt (x) 0... 1 det DΦ(x, t) det Dψ t (x). (Merk op dat DΦ(x, t) een matrix is met formaat d d terwijl Dψ t (x) een matrix is met formaat (d 1) (d 1).) In het bijzonder is dus voor alle t I det Dψ t (a 0 )) 1 2 det DΦ(a). Volgens de inductieaanname is er dus een open rechthoek W 1 W 0 zodanig dat voor alle t I en alle rechthoeken Q ψ t (W 1 ) geldt Vol(Q) det Dψ t. ψ 1 t (Q) (Ga na dat we W 1 onafhankelijk van t I kunnen kiezen. Dit volgt uit de continuiteit van de partiële afgeleiden van Φ.) Definieer W : W 1 I. Dan is Φ(W ) t I ψ t(w 1 ) {t}. Zij R een rechthoek binnen Φ(W ). Dan is R Q J waarbij Q een rechthoek in R d 1 is met Q ψ 1 (W 1 ) for all t I and J [c, d] I. Verder is t J ψ 1 t (Q). Dus ( ) Vol(R) (d c) Vol(Q) det Dψ t dt Fubini J ψ 1 t det Dψ t (x) dxdt ] det DΦ t (x) (RHLS) Daarmee is voor deze Φ en W voldaan aan de voorwaarde van Lemma 2. Uit dit lemma volgt dus g g Φ det DΦ (TFLS) voor Jordanverzamelingen met Ē W en integreerbare g. Voor het algemene geval, schrijf Φ σ τ met τ(x) (Φ 1 (x),..., Φ d 1 (x), x d ), σ(y) (y 1,..., y d 1 Φ d (τ 1 (y))), Merk op dat τ injectief is in een omgeving van a en σ in een omgeving van τ(a). Beide afbeeldingen laten tenminste een component onveranderd, dus kunnen (RHLS) en (TFLS) toegepast worden. Voor een rechthoek R in een voldoende kleine omgeving van Φ(a) is dan volgens de kettingregel en de rekenregels voor determinanten Vol(R) (RHLS) σ 1 (R) det Dσ (TFLS) det(dσdτ) 5 τ 1 σ 1 (R) det Dσ det Dτ det DΦ

Uit Lemmas 2 en 3 krijgen we nu rechtstreeks: Lemma 4 Zij V R d open, Φ : V R continu differentieerbaar, a V, det DΦ(a) 0. Dan is er een open rechthoek W V rond a zodanig dat voor elke Jordanverzameling met Ē W en elke Riemann integreerbare functie f : R f (f Φ) det DΦ (TFL) Uiteindelijk kunnen we nu de transformatiestelling voor Riemannintegralen bewijzen: Stelling 5 Zij W R d open, Φ : W R d injectief en differentieerbaar, zij ook Φ 1 differentieerbaar. Zij R d een Jordanverzameling met Ē W, f integreerbaar op, en f Φ integreerbaar op. Dan f (f Φ) det DΦ. (TF) (Sommige voorwaarden zijn feitelijk overbodig maar we gaan hier niet in op deze details.) Bewijs: Voor elke a Ē is er volgens Lemma 4 een open rechthoek W a zodanig dat de bewering van dit lemma geldt. Omdat Ē compact is kan Ē overdekt worden door een eindig aantal van deze rechthoeken: Ē p W aj. j1 Zij R een rechthoek met Ē R en zij {R 1,..., R n } een partitie van R met de eigenschap dat voor alle i 1,..., n er een j {1,..., p} is zodanig dat R i Ē W aj. (Ga na dat dat kan!) Definieer i R i, i 1,... n. Deze i zijn paarsgewijs disjunct en elke i ligt in een W aj. Dus, volgens Lemma 4, f n i1 Φ( i) f (TFL) n f Φ det DΦ i i1 f Φ det DΦ. 6