Huishoudelijke zaken Werkcollege Docent: dr.ir. P.R. de Waal CGN, kamer A-358, tel. 9252 e-mail: waal@cs.uu.nl Website: Overzicht hoorcolleges (en handouts) Opgaven werkcolleges Oude tentamens Literatuur: Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish (2002). Probability and Statistics, 3rd edition, Addison-Wesley. Zelfwerkzaamheid. Voorbereiding Groepsindeling op webpagina studiegids Tentamen: Schriftelijk (gesloten boek) met aantekeningen Tussentijdse toets in week 41 Hfdstk 1: Inleiding 1 / 55 Hfdstk 1: Inleiding 2 / 55 Voorbeeld 1: Data-analyse Deel I Inleiding Database van transacties T1 bier, chips, cola, rijst, melk, kaas T2 luiers, bier, cola, hagelslag, kaas, jam T3 luiers, waspoeder, melk, vleeswaren, tandpasta...... Kansen schatten uit de gegevens van de database. Wordt gebruikt voor: Samenstellen van reclame-acties Indeling van schapruimte Beroemd voorbeeld is het verband tussen bier en luiers. Hfdstk 1: Inleiding 3 / 55 Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 4 / 55
Voorbeeld 2: Beslissingondersteunende systemen Het zoeken van niet voor de hand liggende verbanden in grote databestanden (datamining) Koopgedrag klanten in supermarkt Menselijk geom Surfgedrag op het web Intelligente data-analyse: Risicofactoren prostaatkanker uit klinische en demografische gegevens Prijsbepalende factoren voor verkoop artikelen Griep Verkoudheid Koorts Hoesten In het netwerk specificeren we P(G), P(V), P(K G), P(K G) P(H G V), P(H G V), P(H G V), P(H G V) Diagse: bij observatie ( K H) dan diagse in vorm G: 17% V: 78% Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 5 / 55 Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 6 / 55 Slokdarmkanker netwerk Probabilistische netwerken Location proximal mid distal Type ade squamous undifferentiated Biopsy ade squamous undifferentiated Endoso-mediast n-determ Invasion-organs CT-organs ne ne trachea trachea mediastinum mediastinum diaphragm diaphragm heart heart Lapa-diaphragm Fistula Bronchoscopy X-fistula n-determ Length Circumf Shape x<5 circular polypoid 5<=x<10 n-circular scirrheus 10<=x ulcerating Gastro-circumf Gastro-location circular proximal Passage n-circular mid solid n-determ distal puree liquid ne Gastro-length x<5 5<=x<10 10<=x Gastro-shape n-determ polypoid scirrheus Weightloss ulcerating ne x<10% x>=10% Invasion-wall Endoso-wall T1 T1 T2 T2 T3 T3 T4 T4 n-determ Necrosis Lymph-metas Stage Haema-metas N0 I Metas-cervix N1 IIA M1 IIB Gastro-necrosis III IVA IVB n-determ Metas-liver Metas-lungs Physical-exam Metas-truncus So-cervix Lapa-liver X-lungs Metas-loco Endoso-truncus CT-truncus CT-liver CT-lungs n-determ CT-loco Endoso-loco Lapa-truncus n-determ Het netwerk legt verbanden vast tussen verschillende stochastische variabelen met behulp van conditionele kansen. In het slokdarmkanker-netwerk betreft dit bijvoorbeeld variabelen die betrekking hebben op Lengte en vorm van de tumor Uitzaaiingen Diagstische testen Effect van behandelingen. Een netwerk kan gebruikt worden voor Diagse: wat is het stadium van de kanker bij een patiënt? Progse: Welke behandeling geeft het beste (verwachte) effect? Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 7 / 55 Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 8 / 55
Voorbeelden: overig Overzicht College Operations research: Wachtrijtheorie Simulatie Informatietheorie Coderingstheorie Cryptografie Graphics Patroonherkenning Kansrekening Inleiding (kansen, tellen) Voorwaardelijke kansen (informatie) Samengestelde kansverdelingen Verwachting en variantie Speciale verdelingen Statistiek Schatten Betrouwbaarheidsintervallen Hfdstk 1: Inleiding Voorbeelden Statistiek in Informatica 9 / 55 Hfdstk 1: Overzicht 10 / 55 Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 1: Inleiding in de kansrekening Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Experimenten, uitkomsten en gebeurtenissen Verzamelingen Kansmaten Combinatoriek Hfdstk 1: 11 / 55 Hfdstk 1: Overzicht 12 / 55
Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen Een kansexperiment is een proces waarvan de uitkomst tevoren niet met zekerheid vaststaat. Voorbeelden: Aantal ogen bij worp met dobbelsteen. Inhoud record bij willekeurige selectie in klantendatabase. Test van mogelijke ziekte bij een patiënt. Aantal s in een willekeurig bestand. Wachttijd tot de eerstvolgende bus lijn 12. De beschrijving van de kansberekening bij een experiment gebeurt m.b.v. verzamelingen in de volgende stappen: Vastleggen van de verzameling van elementaire uitkomsten. Beschrijving van de mogelijke samengestelde uitkomsten of gebeurtenissen. Voor elke gebeurtenis, bepalen van de kans dat die gebeurtenis op kan treden. Notatie: x een element is van S: x S. Een lege verzameling:. Hfdstk 1: Experimenten Kansexperimenten 13 / 55 Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 14 / 55 Definities: Uitkomstenruimte: verzameling van alle mogelijke resultaten van kansexperiment. (Eng. sample space). In de literatuur vaak aangeduid als S of Ω. Uitkomst: Een element uit de uitkomstenruimte (Eng. outcome) Gebeurtenis: Een samengestelde uitkomst bestaat uit één of meer uitkomsten. (Eng. event). We emen S ook wel de zekere gebeurtenis en de onmogelijke gebeurtenis. Voorbeeld: Worp met dobbelsteen: Uitkomstenruime S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gebeurtenissen: {1}, {4, 5, 6}, {2, 4, 6} (worp is even),.... Willekeurige selectie klanten in database: Uitkomstenruimte S = database Gebeurtenissen: {klant# 10354}, {totaal orderbedrag(klant) > e20000}, {postcode(klant) {1067, 2034, 3584, 3585}}. Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 15 / 55 Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 16 / 55
Vervolg voorbeelden Vervolg voorbeelden: Wachttijd tot de eerstvolgende bus S = [0, 15] Gebeurtenissen: {5}, [10, 12.5]. Aantal bits in een willekeurig bestand: S =? Gebeurtenissen:? Twee opeenvolgende worpen met één dobbelsteen: S =? Twee dobbelstenen: A met ogen 1, 2, 3, 4, 5, 6, B met ogen 2, 4, 6, 8, 10, 12. Kies willekeurig een dobbelsteen en gooi tweemaal met deze dobbelsteen: S =? Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 17 / 55 Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 18 / 55 Eindige uitkomstruimte: het aantal elementen is eindig. Voorbeelden: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. S = database. Oneindige uitkomstenruimte: het aantal elementen is oneindig. Aftelbaar: als er een 1-op-1 afbeelding bestaat van de natuurlijke getallen ({1, 2, 3,... }) naar S. Voorbeeld: S = {1, 2, 3,...} S = {2, 46, 67,...} Overaftelbaar: als deze niet aftelbaar is. Voorbeeld: S = [0, ) S = (, ) S = [ 10, +20] Operaties op verzamelingen Deelverzameling (Eng: subset) A B: als elk element of uitkomst uit A óók in B zit Een gebeurtenis is een deelverzameling van S. Doorsnede (Eng: intersection) A B: alle elementen die zowel in A als in B zitten. Vereniging (Eng: union) A B: alle elementen die in A, of B, of beide zitten. Complement (Eng: complement) A C : alle elementen die niet in A zitten. Verschil (Eng: difference) A\B: alle elementen die wel in A en niet in B zitten. Hfdstk 1: Experimenten Uitkomsten en gebeurtenissen 19 / 55 Hfdstk 1: Verzamelingen 20 / 55
Disjuncte gebeurtenissen Kans Twee gebeurtenissen A en B heten disjunct (Eng. disjoint) als A B =. Als A and B disjunct zijn, dan sluiten de gebeurtenissen A en B elkaar uit. Een aantal n gebeurtenissen A 1, A 2,..., A n heet disjunct als voor elk paar A i en A j, waarbij i j, geldt A i A j =. Met andere woorden: gebeurtenissen heten disjunct als ze geen uitkomsten gemeen hebben. Beschrijving uitkomsten en gebeurtenissen van een kansexperiment: De verzameling S geeft alle mogelijke uitkomsten. De elementen van S zijn de elementaire uitkomsten van het experiment. de deelverzamelingen van S zijn de mogelijke gebeurtenissen bij het experiment. Een kansverdeling is een afbeelding P die aan elke gebeurtenis een getal toekent dat de waarschijnlijkheid van die gebeurtenis weergeeft. Een kansverdeling moet voldoen aan axioma s, die ervoor zorgen dat de kansen goed gedefinieerd zijn. Hfdstk 1: Verzamelingen 21 / 55 Hfdstk 1: Kansmaten 22 / 55 Kans-axioma s Afgeleide eigenschappen Axioma 1: Voor elke gebeurtenis A, moet gelden P(A) 0. Axioma 2: P(S) = 1 Axioma 3: Voor elke oneindige rij van disjuncte gebeurtenissen A 1, A 2,..., moet gelden P ( ) A i = P(A i ) i=1 i=1 Definitie Een kansverdeling is een afbeelding die aan elke deelverzameling van S een getal toevoegt, en die bovendien voldoet aan Axioma s 1,2 en 3. Hfdstk 1: Kansmaten Axioma s 23 / 55 Er geldt: P( ) = 0 Bewijs: Neem oneindige rij verzamelingen A 1, A 2, A 3,..., alle gelijk aan. Voor elk paar A i en A j geldt: A i A j =. De verzamelingen voldoen dus aan de eisen van Axioma 3. Er geldt: P ( ) A i = P(A i ) i=1 ofwel P( ) = i=1 P( ) i=1 Dit is alleen mogelijk als P( ) = 0. Hfdstk 1: Kansmaten Axioma s 24 / 55
Nog meer afgeleide eigenschappen Voorbeeld Voor elke eindige rij disjuncte gebeurtenissen A 1, A 2,..., A n : ( n ) n P A i = P(A i ) i=1 i=1 Voor elke gebeurtenis A: 0 P(A) 1. Voor elke gebeurtenis A: P(A C ) = 1 P(A). Als A B, dan geldt P(A) P(B). Voor elke twee gebeurtenissen A en B geldt P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Een patiënt komt bij de dokter met een zere keel en enkele graden koorts. De dokter weet met zekerheid dat de patiënt een bacterie-infectie, een virusinfectie, of beide heeft. De dokter acht de kans dat het een bacterieinfectie is 0.7 en een virusinfectie 0.4. Vraag: Hoe groot is de kans dat patiënt beide infecties heeft? Hfdstk 1: Kansmaten Axioma s 25 / 55 Hfdstk 1: Kansmaten Axioma s 26 / 55 Voorbeeld Een frisdrankenfabrikant produceert cola en sinas. De vraag naar deze dranken is onzeker met continue uitkomstenruimte: s 150 50 100 300 We nemen aan dat de kans op een gebeurtenis E evenredig is met het oppervlakte van E. Beschouw de volgende twee gebeurtenissen: A: de vraag naar cola is hoog (minstens 250) B: de vraag naar sinas is hoog (minstens 100) c Kansbepaling In het algemeen maken we onderscheid tussen drie methoden: Frequentie interpretatie: Bij deze methode wordt de kans op een gebeurtenis berekend als de relatieve frequentie waarmee deze gebeurtenis optreedt, als het experiment heel vaak herhaald wordt. Klassieke interpretatie: Hierbij worden de kans op een gebeurtenis afgeleid door hem te relateren aan gebeurtenissen die even waarschijnlijk zijn. Subjectieve interpretatie: Bij subjectieve interpretatie wordt met persoonlijke inschatting de waarschijnlijkheid bepaald. Q: Hoe groot is de kans dat de vraag naar cola of sinas hoog is? Hfdstk 1: Kansmaten Axioma s 27 / 55 Hfdstk 1: Kansmaten Kansbepaling 28 / 55
Voorbeelden kansbepaling Kwaliteitsbeheersing in productielijn De kans dat een product defect is, wordt bepaald op grond van defecten in de producten die reeds gemaakt zijn. Medische toepassing Een kans wordt bepaald door gebruik te maken van de gegevens van veel patiënten. Een arts kan met behulp van zijn expertise een schatting van een kans bepalen Datamining Een kans wordt bepaald door te tellen in de records van de database. Een domeinexpert kan een schatting bepalen. Symmetrische kansruimte Definitie (Symmetrische kansruimte) We emen een uitkomsten ruimte S symmetrisch als S eindig is: S = {s 1,..., s n }, Alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn: P(s i ) = 1, voor i = 1,..., n. n Gevolg: In een symmetrische kansruimte wordt de kans op gebeurtenis A gegeven door P(A) = aantal elementen in A aantal elementen in S Hfdstk 1: Kansmaten Kansbepaling 29 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Symmetrische kansruimte 30 / 55 Voorbeeld symmetrische kansruimte Voorbeeld 1: Worp met één dobbelsteen S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P ( {1, 4, 5} ) = 3 6 = 1 2 Voorbeeld 2: Worp met twee dobbelstenen S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4,2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) P(som is gelijk aan 6) = 5 36 Hfdstk 1: Combinatoriek Symmetrische kansruimte 31 / 55 Telregel Als we k maal een keuze kunnen maken, en het aantal keuzemogelijkheden bij de j-de keuze is n j, dan is het totale aantal keuzemogelijkheden gelijk aan n 1 n 2 n k. Voorbeeld Menukaart met 4 voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 toetjes geeft 4 5 3 = 60 mogelijkheden. Met behulp van de telregel kunnen we uitrekenen wat het aantal mogelijkheden is bij willekeurige (of aselecte) selectie van elementen uit een verzameling. We maken hierbij onderscheid in: Selectie met of zonder teruglegging; Geordende of ongeordende selectie. Hfdstk 1: Combinatoriek Symmetrische kansruimte 32 / 55
Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk Experiment één onderdeel, met n mogelijke uitkomsten, wordt k maal op dezelfde manier herhaald. Als de volgorde van belang is, is elke mogelijke uitkomst van het experiment te representeren als een rijtje symbolen van lengte k, waarin elke symbool n verschillende waarden kan aannemen. Voorbeeld: We hebben een vaas met n genummerde ballen. We trekken k maal aselect een bal en leggen deze daarna terug. Het aantal mogelijk uitkomsten, lettend op de volgorde, is n k. Volgens telregel: Het aantal mogelijke uitkomsten, als de volgorde van belang is, is gelijk aan n n n = n k. Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk 33 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde belangrijk 34 / 55 Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk We hebben een vaas met n genummerde ballen en trekken hieruit 3 ballen zonder teruglegging. Volgens de telregel is het aantal mogelijke uitkomsten n (n 1) (n 2) Als we k ballen nemen zonder teruglegging is het aantal mogelijke uitkomsten dus n (n 1) (n 2) (n k + 1) We emen dit het aantal variaties van k uit n en we teren het als P n,k. Als we alle n ballen trekken zonder teruglegging, dan is het totale aantal mogelijke uitkomsten P n,n = n (n 1) (n 2) 2 1 Dit aantal emen we ook wel het aantal permutaties van n, Notatie P n,n = n! (dit is n faculteit of (Eng.) factorial). Voor wiskundige consistentie spreken we af dat 0! = 1. We kunnen het aantal variaties van k uit n ook uitschrijven met behulp van het aantal permutaties van k en van n: P n,k = n (n 1) (n k + 1) = n! (n k)! Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk 35 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder teruglegging, volgorde belangrijk 36 / 55
Voorbeeld: volgorde belangrijk/onbelangrijk Trekken zonder teruglegging, volgorde onbelangrijk We hebben een vaas met 7 genummerde ballen en we nemen er, zonder teruglegging 3 uit. Het aantal mogelijkheden als de volgorde belangrijk is is P 7,3 = 7 6 5 = 7! 4! = 210 Stel we hebben een vaas met n genummerde ballen, waaruit we zonder teruglegging k, 0 k n, ballen wegnemen. Als de volgorde belangrijk is, is het aantal mogelijke uitkomsten P n,k = n! (n k)! Elke set van 3 ballen kunnen we op 3! manieren ordenen. Het aantal mogelijke uitkomsten als de volgorde onbelangrijk is is dus gelijk aan P 7,3 3! = 7 6 5 3 2 1 = 7! 4! 3! = 35 Het aantal uitkomsten van trekking zonder teruglegging, waarbij de volgorde onbelangrijk is, is dus P n,k k! = n (n 1) (n k + 1) k (k 1) 1 = n! (n k)! k! Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder terruglegging, volgorde onbelangrijk 37 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking zonder terruglegging, volgorde onbelangrijk 38 / 55 Bimiaalcoëfficiënten Definitie We emen dit aantal combinaties van k uit n de bimiaal coëfficiënt van k uit n (of soms ook wel k uit n, of n over k ) en we schrijven dit als ( ) n k Voorbeeld Bij de lotto worden 6 getallen en een reservegetal uit 41 getallen getrokken. Vraag: Hoeveel verschillende uitslagen zijn er mogelijk? Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 39 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 40 / 55
Driehoek van Pascal Enkele bijzondere gevallen: Voor alle n en alle k, 0 k n, geldt: ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) n n = = 1 n 0 ( ) ( ) n n = = n 1 n 1 Voor alle n en k, 0 k < n, geldt ( ) ( ) ( ) n n n + 1 + = k k + 1 k + 1 Bewijs. ( ) ( ) n n + = k k + 1 = = n! (n k)!k! + n! (n k 1)!(k + 1)! n!(k + 1) (n k)!(k + 1)! + n!(n k) n!((k + 1) + (n k)) = (n k)!(k + 1)! (n k)!(k + 1)! n!(n + 1) ( (n + 1) (k + 1) )!(k + 1)! = ( ) n + 1 k + 1 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 41 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 42 / 55 Driehoek van Pascal Driehoek van Pascal ( ) 4 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 2 3 ( 4 4 ) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 43 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 44 / 55
Bimium van Newton Andere eigenschappen van bimiaalcoëfficiënten Voorbeeld: (a + b) 4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 ( ) ( ) 4 4 = a 4 b 0 + a 3 b 1 + 0 1 ( ) 4 a 2 b 2 + 2 Algemeen (Bimium van Newton) ( ) 4 a 1 b 3 + 3 ( ) 4 a 0 b 4 4 n k=0 n k=0 ( ) n ( 1) k = 0 k ( ) n = 2 n k (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k k Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 45 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 46 / 55 Voorbeeld Vaas met R rode knikkers en B blauwe knikkers. We trekken willekeurig k knikkers zonder teruglegging. Hoe groot is de kans op precies l rode knikkers? De kans op l rode knikkers gelijk is aan aantal uitkomsten met l rode knikkers aantal mogelijke uitkomsten ( ) R + B Aantal mogelijke uitkomsten is k ( )( ) R B Aantal uitkomsten met l rode knikkers:. l k l ( )( ) R B De kans is dus l k l ( ) R + B Voorbeeld Beschouw een groep van 20 studenten. Vraag: Op hoeveel manieren kunnen we die 20 studenten verdelen over 3 groepen met respectievelijk 5, 6, en 9 personen. ( ) 20 Aantal manieren voor selectie van 5 uit 20 studenten: 5 ( ) 15 Aantal manieren voor selectie van 6 uit 15 studenten: 6 ( ) 9 Aantal manieren voor selectie van 9 uit 9 studenten: 9 ( )( )( ) 20 15 9 Het totale aantal is = 20! 5 6 9 5! 6! 9! k Hfdstk 1: Combinatoriek Bimiaalcoëfficiënten 47 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Multimiaalcoëfficiënten 48 / 55
Multimiaal-coëfficiënten We hebben een verzameling van n elementen. We willen uitrekenen op hoeveel manieren we deze verzameling kunnen verdelen in k deelverzamelingen met respectievelijk n 1, n 2,..., n k elementen (waarbij we veronderstellen dat n 1 + n 2 +... + n k = n). Dit aantal is n! n 1! n 2! n k! We emen dit aantal een multimiaal coëfficiënt en we teren het als ( ) n n 1, n 2,..., n k Hfdstk 1: Combinatoriek Multimiaalcoëfficiënten 49 / 55 Voorbeeld We nemen een vaas met 9 genummerde ballen We trekken hieruit aselect 20 keer een bal, met teruglegging, waarbij de volgorde onbelangrijk is. Een voorbeeld van een uitslag kunnen we turven: Dit zijn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Twee (links en rechts) afsluitende blauwe strepen, met hiertussen 8 blauwe strepen en 20 groene strepen. Het aantal mogelijkheden voor zo n rijtje is gelijk aan ( ) 28 8 Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk 50 / 55 Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk Algemeen We nemen een vaas met n genummerde ballen. Hieruit trekken we aselect k maal een bal, met teruglegging. De volgorde is hierbij niet belangrijk. Experiment Vaas met 15 rode en 20 witte ballen. Trekken aselect per keer één bal, zonder teruglegging. Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de eerste witte bal trekken? Het aantal verschillende uitkomsten is ( ) n + k 1 k Dit heet het aantal herhalingscombinaties van k uit n. Hfdstk 1: Combinatoriek Trekking met teruglegging, volgorde onbelangrijk 51 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Voorbeelden 52 / 55
Experiment Vaas met 15 rode en 20 witte ballen. Trekken aselect per keer één bal, zonder teruglegging. Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de tweede witte bal trekken? Experiment Vaas met 15 rode, 10 blauwe en 20 witte ballen. Trekken aselect per keer één bal, zonder teruglegging. Vraag: Wat is de kans dat we alle rode ballen trekken, voordat we de tweede witte bal trekken? Hfdstk 1: Combinatoriek Voorbeelden 53 / 55 Hfdstk 1: Combinatoriek Voorbeelden 54 / 55 Met de stof van Hoofdstuk 1 moet je kunnen: Uit probleembeschrijving een uitkomstenruimte modelleren: Elementaire uitkomsten Samengestelde gebeurtenissen Kansen op gebeurtenissen Met behulp van de kansaxioma s voor complex samengestelde verzamelingen kansen kunnen berekenen. (Verzamelingenleer + kansaxioma s) Kansen kunnen berekenen voor telproblemen. Hfdstk 1: Samenvatting 55 / 55