Vectoen en zwaatepunten 1
1 Vectoen Uit: M.C.Esche Caleidocycli doo Dois Schattschneide en Wallace Walke * 1 De Nedelandse gaficus en kunstenaa M.C.Esche (1898-1972) is bekend om zijn vlakvullende tekeningen. Het patoon van vissen en kikkes links is geënt op een vlakvulling van egelmatige diehoeken, de andee twee op een vlakvulling van viekanten. Om het hele vlak te vullen, hoefde hij maa een klein aantal tekeningen te maken en die ove het hele vlak te veplaatsen. a. Hoeveel echt veschillende tekeningen heeft Esche minimaal gemaakt voo de vlakvulling links? En voo die in het midden? En voo de vlakvulling echts? Om de vlakvulling geënt op de egelmatige diehoeken te kijgen, begin je met een tweetal gevulde diehoeken en die veplaats je telkens. Als je het tweetal gevulde diehoeken (1) volgens de pijl veplaatst, kijg je het gevulde tweetal (2). b. Geef op het wekblad de vulling aan die je kijgt doo het tweetal gevulde diehoeken hienaast volgens de pijl te veplaatsen. Een veplaatsing gaat in een bepaalde ichting ove een bepaalde afstand. Een pijl is het geschikte middel om zo'n veplaatsing wee te geven. Hiebij is de lengte van de pijl de afstand waaove veplaatst wodt. In het vevolg noemen we een veplaatsing een vecto. Latijn: vecto is dage, iemand die iets van de ene naa de andee plaats daagt. 2 Vectoen en zwaatepunten
Om vectoen van getallen te ondescheiden, noteen we ze als een lette met een pijl eboven, bijvoobeeld v. In het ooste zijn vie vectoen (veplaatsingen) weegegeven doo een pijl. De vecto die punt A naa punt B veplaatst, geven we aan met AB Het is dezelfde veplaatsing als v, dus v = AB. c. Teken het punt D in het ooste op het wekblad zó, dat CD dezelfde vecto voostelt als x. Met - v bedoelen we de veplaatsing ove dezelfde afstand als v, maa dan in tegengestelde ichting. d. Teken op het wekblad een pijl die de vecto - v voostelt en ook een pijl die de vecto - x voostelt. Met 2 v bedoelen we de veplaatsing ove een twee kee zo gote afstand als v, in dezelfde ichting. Met x + v bedoelen we de veplaatsing die je kijgt doo eest ove v te veplaatsen, gevolgd doo de veplaatsing ove x (of andesom). e. Ga na dat x + v = y. f. Teken een pijl die de vecto x + y voostelt. Teken ook pijlen bij x + y, 2 v en x +2 y. Meestal schijven we x y, in plaats van x + y. Vectoen 3
E zijn twee manieen om bij twee vectoen x en y de somvecto x + y te tekenen. Als je x en y in hetzelfde punt laat beginnen, dan kijg je x + y als diagonaal van het paallellogam ABDC zoals hieboven. Deze manie noemen we de paallellogammethode. Het kan ook zo. Je laat de staat van y beginnen bij de kop van x. De pijl die wijst van de staat van x naa de kop van y stelt de veplaatsing x + y voo. Deze manie noemen we kop-staatmethode. 2 Teken twee vectoen x en y zoals hienaast. a. Teken met de kop-staatmethode de vectoen x + y, x y en x + 2 y. b. Teken met de paallellogammethode de vectoen 2x + y, -( x + y ) en x 2 y. * 3 Een minde fantasieijk tekenaa wil een vlakvulling met diehoeken maken. Hij heeft e een tweetal gevuld. a. Geef op het wekblad aan welk tweetal diehoeken gevuld wodt bij veplaatsing ove 2x y. b. Is het mogelijk alle diehoeken van het ooste te vullen doo veplaatsingen van de vom k x + m y, waabij k en m gehele getallen zijn? (Doo voo k = 2 en m = -1 te nemen kijg je bijvoobeeld de vecto 2x y uit ondedeel a.) 4 Vectoen en zwaatepunten
4 a. Bepaal voo de vecto p in het ooste hienaast de getallen k en m zó, dat p = k u + m v. b. Bepaal voo q in het ooste hienaast de getallen k en m zo dat q = k u + m v 5 Doo vectoen van de vom k u + m v (met k en m geheel) kan de vulling ove alle oostediehoeken veplaatst woden. a. Ga na of dat ook kan met vectoen van de vom: k u + m w. b. Bepaal voo de vecto p in het ooste hienaast de getallen k en m zó, dat p = k u + m w. c. Bepaal voo de vecto q in het ooste hienaast de getallen k en m zó, dat q = k u + m w. * 6 Teken twee vectoen PR en PQ zoals hienaast. a. Teken de vecto 2 PQ +11 PR. (Hoewel we niet afgespoken hebben wat k PR betekent als k niet geheel is, zal wel duidelijk zijn wat e mee bedoeld wodt.) b. Teken de vecto 2 PQ 11 PR. E zijn getallen k en m zó, dat PS = k PQ + m PR. c. Zoek uit welke (gehele) getallen k en m zijn. Tip: teken lijnen doo S evenwijdig aan lijn PR en lijn PQ. In c hebben we de vecto PS ontbonden ten opzichte van het paa vectoen ( PQ, PR ). Vectoen 5
7 Neem de figuu die hieboven staat ove. Teken twee vectoen, één op lijn a en één op lijn b, zó dat de som van de vectoen die je getekend hebt de vecto in het plaatje oplevet. De twee vectoen die je getekend hebt in opgave 7, heten de componenten van v ten opzichte van a en b. (In opgave 6 hebben we de componenten van de vecto PS ten opzichte van de lijnen PQ en PR bepaald.) 8 Teken die vectoen en een punt P zoals hienaast. Je kunt het punt P in zes veschillende volgodes ove de die vectoen veplaatsen. Hieonde is e één getekend volgens de kop-staatmethode. Teken de andee vijf. Dat je in opgave 8 in alle zes de gevallen hetzelfde esultaat kijgt, is een gevolg van de volgende egels die voo het optellen van vectoen gelden. Associatiewet Commutatiewet a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a 6 Vectoen en zwaatepunten
9 Teken twee vectoen zoals hieonde. Teken de vecto x zó, dat x + a = b * 10 Het ooste hienaast vind je uitgebeide op het wekblad. Eén hokje in het ooste is gijs. De twee vectoen in het ooste noemen we x en y. Teken het patoon van gijze hokjes dat ontstaat doo dat ene gijze hokje ove alle mogelijke vectoen van de vom k x + m y te veplaatsen, waabij k en m gehele getallen zijn. Als je voo k en m beide 0 neemt, kijg je de vecto met lengte 0. De vecto met lengte 0 geven we aan met 0. E geldt: v + 0 = v voo elke vecto v. 11 Hieonde zijn vie vectoen getekend. Wat kun je ove de som van deze vie vectoen zeggen? * 12 a. Teken het punt waanaa P veplaatst wodt ove x en zet e P 0 bij. b. Teken het punt waanaa P veplaatst wodt ove x + y en zet e P1 bij. Teken ook het punt dat je kijgt doo P te veplaatsen ove x + 2y en zet e P2 bij. c. Het punt P wodt veplaatst ove alle mogelijke vectoen van de vom x + k y waabij k een willekeuig (niet noodzakelijk geheel) getal is. Kleu de punten waanaa P veschoven kan zijn. Vectoen 7
13 De ene figuu hieboven is met facto 2 uitvegoot tot de andee. Dus: vecto 1 is 2 a en vecto 2 is 2 b. Vecto 3 kun je op twee manieen schijven, één kee met en één kee zonde haakjes. Doe dat. Voo elk getal k geldt: k (a + b) = k a + k b. Deze egel volgt dus uit gelijkvomigheid. 8 Vectoen en zwaatepunten
2 Toepassingen 1 Ollie en Stan duwen een zwae kast. Ollie duwt die kee zo had als Stan. Ollie duwt tegen de linkezijkant en Stan duwt tegen de vookant van de kast. De kachten van Ollie en Stan kun je voostellen doo vectoen. De vecto die bij het duwen van Ollie hoot, is lange dan de vecto die bij het duwen van Stan hoot. a. Hoeveel kee zo lang? b. Teken in een bovenaanzicht heel pecies de ichting waain de kast veschoven wodt. De vecto die je in b getekend hebt, is de esultante van de vectoen bij de kachten van Ollie en Stan. 2 Jaap dobbet in een oeibootje op de Maas. De Maas heeft daa een stoomsnelheid van 3 km/u. a. Teken de stoomvecto van de Maas, dat is een pijl in de stoomichting; maak hem 3 cm lang. Zo wodt het bootje veplaatst als Jaap niet oeit. Jaap gaat met een snelheid van 4 km/u oeien (dat wil zeggen: in stilstaand wate zou de boot een snelheid van 4 km/u hebben). b. Teken de netto -veplaatsingsvecto van het bootje als Jaap met de stoom mee oeit. Toepassingen 9
De veplaatsingsvecto die je getekend hebt, is de esultante van de vecto bij de stoomsnelheid en de vecto bij het oeien. c. Hoe lang heb je de vecto gemaakt? d. Teken de veplaatsingsvecto als Jaap tegen de stoom in oeit. Hoe lang is de vecto nu? Hienaast zijn (vekleind) de vectoen getekend die de stoomsnelheid en de oeisnelheid weegeven als Jaap loodecht op de ichting van de stoom oeit. e. Teken de esultante van de twee vectoen, de snelheidsvecto van het bootje. f. Beeken de snelheid van het bootje. g. Beeken de hoek tussen de ichting die het bootje opgaat en de ichting waain de ivie stoomt in gaden nauwkeuig. Als je niet weet hoe dat moet, lees dan eest het volgende. Uit: Nollet, Leçons de Physique Expeimentale, M.DCC.LIII. Intemezzo In de echthoekige diehoek ABC: sin(α) = a b cos(α) = c b tan(α) = a c Voobeeld In de diehoek hienaast is tan(α) = 14 31, met het ekenmachientje vind je dan: α 24,3. 14 shift tan ; zog wel dat het machientje 31 in de stand DEG staat (MODE DEGREE). 10 Vectoen en zwaatepunten
3 Veeboot op de Maas Een veeboot vaat loodecht de ivie ove, doodat de veeman de boot schuin tegen de stoom in stuut. De stoomsnelheid van de ivie is wee 3 km/u en wodt weegegeven met een pijl s van 3 cm. De pijl u daa loodecht op is 3,75 cm lang. a. Neem de figuu ove en teken de vecto v zó, dat s + v = u b. Beeken de lengte van v in één decimaal en de hoek die v met s maakt in gaden nauwkeuig. Welke snelheid moet de veeboot uit zichzelf maken? De lengte van een vecto v noteen we met v. In opgave 3 geldt: s = 3. 4 Jaagpad Voege weden schuiten vaak vootgetokken doo een paad (of een mens) op een pad langs het wate, het zogenaamde jaagpad. (Op de voige bladzijde zie je een boot vootgetokken doo twee mensen, elk aan een zijde van het wate.) De kacht waamee een paad op het jaagpad de schuit hienaast voottekt, loopt niet in de ichting waain de schuit zich veplaatst. De tekkacht van het paad geven we wee met de vecto v. Deze maakt een hoek van 30 met de ichting waain de schuit zich veplaatst. a. Ontbind v in een vecto u in de vaaichting en een vecto w in de ichting daa loodecht op. De component w van v daagt niet bij aan de snelheid waamee de schuit beweegt. Hij wodt 'opgevangen'. De component u bepaalt de snelheid van de schuit. b. Bepaal u en w als v = 2. 5 De twee vectoen a en b hienaast zijn beide 2 lang. Neem de figuu ove. a. Teken a b +. Wat is a b +? b. Teken a b. c. Wat is a b? Toepassingen 11
6 Mieke laat haa beide hondjes uit, iede hondje netjes aan de lijn. De hondjes tekken even had. De ichtingen waain ze tekken, staan loodecht op elkaa. Mieke tekt even had teug. a. Neem het plaatje ove en geef de kacht waamee Mieke tekt aan met een pijl. b. Hoeveel kee zo goot is de kacht waamee Mieke tekt als die waamee elk van de honden tekt? * 7 Vlootschouw Tijdens een ondedeel van de vlootschouw zijn die schepen in actie. Schip A vaat met een constante snelheid van 5 mijl pe uu, schip B vaat met een constante snelheid van 10 mijl pe uu. Schip C heeft van de leiding de opdacht gekegen op elk moment pecies midden tussen de schepen A en B in te vaen (om esthetische edenen). A 0 en B 0 zijn de statposities van A en B; A 1 en B 1 de posities van A en B na 1 minuut, enzovoot. a. Zoek uit waa schip C zich na 1, 2, 3,... minuten bevindt. Geef die plaatsen op het wekblad aan met C 1, C 2, C 3,.... De plaats C 0 is al aangegeven. Het ziet e naa uit dat schip C zich ove een echte lijn beweegt. We kunnen dit inzien doo gebuik te maken van vectoen. 12 Vectoen en zwaatepunten
Gezicht op Venlo vanuit het nooden (anoniem ongevee 1840) 8 In de figuu linksboven zijn de vectoen a en b volgens de paallellogammethode opgeteld. De vecto x echtsboven heeft hetzelfde statpunt als a en b, en wijst naa het midden van het paallellogam. Zoals bekend, delen de diagonalen van een paallellogam elkaa middendoo. Welke uitdukking voo x in a en b volgt hieuit? In diehoek ABC is M het midden van BC. Dan: AM = 1( AB + AC ). 9 Teug naa de vlootschouw. De veplaatsing van schip A in één minuut noteen we met x en de veplaatsing van schip B in één minuut met de vecto y. We schijven kot a voo C 0 A 0 C 0 B 0 = - a. a. Ga na dat C 0 A 1 = a x + en C 0 B1 = - a + y. ; dan is Toepassingen 13
b. Duk C 0 C 1 uit in x, y en a. c. Duk vevolgens C 0 C 2, C 0 C 3 y uit...., enzovoot in x en d. Hoe kun je aan de uitdukkingen in c zien dat C ove een echte lijn beweegt? e. Neem aan dat de hoek tussen de outes van de schepen A en B 90 is. Met welke snelheid (exact) moet C dan vaen? (A voe met 5 mijl pe uu en B met 10 mijl pe uu.) * 10 Een ollende knikke Een knikke die op een hellend vlak ligt, olt naa beneden doo weking van de zwaatekacht. Hoe kleine de helling van het vlak, hoe minde snel de knikke olt. De zwaatekacht wekt veticaal. Hieboven zie je dezelfde knikke op twee veschillende hellingen. (De plaatjes staan ook op het wekblad.) De zwaatekacht is weegegeven doo een vecto. a. Ontbind de zwaatekachtvecto in beide gevallen langs de lijnen a en b. Lijn b staat loodecht op het vlak V waalangs de knikke olt. We noemen lijn b een nomaal van V. Een vecto die loodecht op een vlak staat noemen we nomaalvecto van dat vlak. De component langs b die je in a getekend hebt is een nomaalvecto van V. De component in de ichting van b dukt op het vlak. We nemen aan dat deze component geen invloed op de beweging van de knikke heeft. (In de natuukunde zegt men: de olweestand wodt vewaaloosd). De component in de ichting van a zogt voo de beweging van de knikke. Deze component is gote naamate de helling van het vlak gote is. 14 Vectoen en zwaatepunten
Hienaast is de helling van het vlak waaop de knikke ligt 37. De lengte van de zwaatekachtvecto is 12. b. Leg uit dat de hoek tussen de zwaatekachtvecto en lijn b ook 37 is en benade de component van de zwaatekachtvecto langs b in twee decimalen. De vecto v in het plaatje hienaast is ontbonden in twee ondeling loodechte componenten x en y. E geldt: x = v sin(α) en y = v cos(α). * 11 Ad wil zijn speelgoedauto een helling op tekken. De kacht waamee hij tekt en de zwaatekacht die op de auto uitgeoefend wodt, zijn weegegeven doo pijlen. a. Ontbind de zwaatekachtvecto in een component in de ichting van het hellend vlak en in de ichting van de nomaalvecto van het vlak. b. Vegelijk de lengte van de pijlen. Kijgt hij de auto de helling op? (De olweestand wodt vewaaloosd.) In de eeste paagaaf zijn we begonnen met een vlakvulling van egelmatige diehoeken. We nemen nu een vlakvulling van viekanten. Na keuze van een oospong en een assenstelsel, kunnen we elk punt in het vlak aangeven doo een tweetal getallen (getallenpaa). We weken dan zogezegd met echthoekscoödinaten. Het getekende punt in het ooste bijvoobeeld heeft echthoekscoödinaten (-2,1). Een veplaatsing in het ooste geven we ook met een getallenpaa. Zo geven we de getekende vecto aan met (3,-1). We noemen het paa (3,-1) de kentallen van de vecto. Dit is vewaend, maa uit de context zal steeds blijken wat bedoeld wodt. Toepassingen 15
* 12 In het ooste hienaast zijn een aantal vectoen getekend. Vede is een oostehokje zwat gemaakt. a. Geef de kentallen van de vie vectoen. Het hokje wodt veplaatst ove vectoen van de vom k v + m w, waabij k en m gehele getallen zijn. b. Geef op het wekblad met zwat aan welke hokjes beeikt woden. c. Ontbind de vectoen a en b in componenten in de ichtingen van v en w en geef de getallen k en m zó dat a = k v + m w, espectievelijk b = k v + m w. 13 v = (2,3) en w = (-1,-2) a. Teken in een echthoekig ooste de vectoen v, w en v + w. Wat zijn de kentallen van v + w? b. Teken 2 v. Wat zijn de kentallen van 2 v? c. Beeken v en w. Als v = (a,b) en w = (c,d), dan v + w = (a+c,b+d) en k v = (ka,kb) en v = 2 2 a + b. 14 Hienaast is een echt blok getekend. Voo het gemak noemen we de vectoen OA, OC en OH : x, y en z. a. Ga na: AG = x + y + z. b. Ontbind ook de volgende vectoen ten opzichte van x, y en z : OF, HB, BG, CH en AC. Schijf deze vectoen dus ook als combinatie van x, y en z. Het midden van echthoek ABFE is P en het midden van echthoek BCGF is Q. c. Duk OP en OQ in x, y en z uit. Hoe kun je hiemee ook PQ in x, y en z uitdukken? Doo de ontbindingen van AC en PQ te vegelijken, kun je goed zien dat lijn PQ en lijn AC evenwijdig zijn en dat lijnstuk AC twee kee zo lang is als lijnstuk PQ. d. Leg uit hoe je dat kunt zien. 16 Vectoen en zwaatepunten
15 Kubus OABC.DEFG met A(3,0,0), C(0,3,0) en D(0,0,3) is opgebouwd uit 27 kubusjes met ibbe 1. Hieop zijn de punten P(1,1,3) en Q(2,3,1) getekend. 2 2 2 De lengte van de vecto (a,b,c) is a + b + c. 2 2 2 In fomule: (a,b,c) = a + b + c. a. Geef de kentallen van vecto PQ. Hoe kun je die vinden uit de coödinaten van de punten P en Q? b. In welk punt kom je als je je vanuit (1,3,1) ove vecto (1,-1,2) veplaatst? 16 Het blok hienaast is 4 hoog, 2 beed en 3 diep. a. Geef de kentallen van AG. b. Beeken AG. * 17 Evenwijdig aan de y-as staat een veticale schutting. Het is hefst. Een hade wind stiemt de egen tegen de schutting. De ichting waain de egen valt, wodt gegeven doo de vecto (1,2,-3). De windichting is evenwijdig met het Oxy-vlak. a. De veplaatsingsvecto van de egenduppels is de esultante van de veticale valvecto en de hoizontale windvecto. Teken de val-, wind- en veplaatsingsvecto in een assenstelsel op het wekblad. Het gaat daabij niet om de lengtes van de vectoen, maa wel om hun ichting. b. Teken op het wekblad de stook gond voo de schutting die doog blijft. c. De schutting is 3,75 m hoog. Beeken de beedte van de stook die doog blijft in cm nauwkeuig. Toepassingen 17
d. De egenduppels komen op de gond met een snelheid van 7 m/s. Beeken de windsnelheid in m/s in één decimaal nauwkeuig. 18 In een assenstelsel zijn negen kubussen geplaatst. De kubussen hebben ibbe 2 en ondelinge tussenuimte 1. Die hoekpunten zijn aangegeven: A, B en C. De lijn AB is evenwijdig aan de y-as, de lijn BC is evenwijdig aan de z-as en de lijn CA is evenwijdig aan de x-as. a. Geef de veplaatsingsvectoen AB, BC en CA. b. Leg met behulp van deze die vectoen uit dat we met een onmogelijke figuu te maken hebben. 18 Vectoen en zwaatepunten
Wee negen kubussen met de ibben (van lengte 2) evenwijdig aan de assen. Bekijk twee buen: in het midden van het gensvlak van de ene kubus zit een hoekpunt van de andee. c. Ondezoek of dit bouwsel mogelijk is op de manie van a en b. d. Hoe zit het met het bouwsel hieboven? Toepassingen 19
3 Op zoek naa evenwicht Iemand heeft zeven blokken op elkaa gestapeld. De stapel helt gevaalijk naa echts ove. Maa hij valt niet om! Hoe dat te begijpen is, daa gaat deze paagaaf ove. 1 Het mobiel hieonde is in evenwicht. De zeven gewichten zijn allemaal even goot. De tweede situatie kijg je doo twee van de gewichten in tegengestelde ichting te veplaatsen. De dede situatie kijg je doo daana twee gewichten tegengesteld aan elkaa te veplaatsen ove dezelfde afstand en dat daana nog eens te doen. In de dede situatie zie je goed dat het mobiel indedaad in evenwicht is. Ga deze twee veplaatsingen na. Schuifpincipe Het evenwicht wodt niet vestood als je twee gewichten tegengesteld aan elkaa veplaatst: of 20 Vectoen en zwaatepunten
Het schuifpincipe is ons uitgangspunt. Als je een balans tot je beschikking hebt, kun je expeimenteel vaststellen dat dit juist is. Uitgaande van dit natuukundige pincipe, gaan we wiskundig edeneen. De lengte van de ophangtouwtjes is niet van belang. * 2 Zoek uit waa je de mobielen moet ophangen opdat zij in evenwicht zijn. De mobielen staan ook op het wekblad. In plaats van één gewicht 2 eenheden te veplaatsen, kun je ook twee gewichten 1 eenheid veplaatsen (in dezelfde ichting). In het laatste mobiel van de voige opgave was de afstand tussen de linke en de echte gewichten 10. We veplaatsen elk van de linke gewichten 3 plaatsen naa echts en elk van de die echte gewichten 2 plaatsen naa links. Dan houden we evenwicht. Doen we dat nog een kee dan hangen alle vijf de gewichten op dezelfde plaats. Die plaats vedeelt de oosponkelijke afstand in stukken die zich vehouden als 6 : 4. Op zoek naa evenwicht 21
2 a 6 b 3 a. Aan een gewichtloze staaf hangen twee gewichten van gootte 2 en 6. Waa moet de staaf woden opgehangen opdat hij in evenwicht is? b. Aan een gewichtloze staaf hangen twee gewichten van gootte a en b. Waa moet de staaf moet woden opgehangen opdat hij in evenwicht is? Het punt waa de staaf met gewichten moet woden opgehangen om de staaf in evenwicht te kijgen, noemen we het zwaatepunt of massamiddelpunt. 1 2 3 4 Aan een gewichtloze staaf hangen die gewichten van gootte 1, 2 en 3 op ondeling gelijke afstand, en in deze volgode. a. Waa ligt het zwaatepunt? b. En waa als je de gewichten 2 en 3 vewisselt? A B 2 3 O Het zwaatepunt van een staaf met gewichten kun je vinden doo te schuiven. Het kan ook met behulp van vectoen. We laten dat zien aan de hand van de situatie: een gewicht van gootte 2 op plek A en een gewicht van gootte 3 op plek B. - Kies een oospong O. - Teken de vectoen a = OA en b = OB 2 3 - Bepaal a en b 5 5 2 3 - Teken de vecto a + b, met beginpunt O. 5 5 Het eindpunt van de vecto is het zwaatepunt Z. A O Z B 5 a. Ga na dat je op hetzelfde punt Z uitkomt, als je een andee oospong O kiest. b. Ga na met gelijkvomigheid dat AZ : BZ = 3 : 2. c. Kies ook voo O het punt A. Wodt hetzelfde punt als zwaatepunt aangewezen? In opgave 5b heb je met gelijkvomigheid bewezen dat AZ : BZ = 3 : 2. We geven ook nog een bewijs met vectoen. Dat gaat zo: 2 3 2 OZ = + b = a + 3 ( AB 2 3 3 3 a + ) = a + + AB = + AB. a 5 5 5 5 5 a 5 5 a 5 Dus: AZ = 3. 5 OZ OA = AB 22 Vectoen en zwaatepunten
In A en B bevinden zich twee massa's van gootte a en b. Het zwaatepunt Z ligt op lijnstuk AB, zodat AZ : BZ = b : a. 3 7 6 Aan een gewichtloze staaf hangen twee massa's van gootte 3 en 7. Bepaal de plaats van het zwaatepunt Z op twee manieen: a. doo te schuiven b. doo bovenstaande stelling toe te passen. De volgende beweing zal je niet vebazen. Het zwaatepunt van een homogene bol is zijn middelpunt. Onde homogeen vestaan we dat de bol "oveal hetzelfde is". Pecieze: Als je twee conguente delen neemt van de bol (bijvoobeeld twee kubusjes), dan zijn die even zwaa. Zie ook de volgende paagaaf, bladzijde 28. De beweing is van goot belang. Hij zegt dat we de massa van een homogene bol als in zijn middelpunt geconcenteed mogen denken. Zo kunnen we doen alsof bijvoobeeld de aade een puntmassa is. (Weliswaa is de aade beslist niet pefect homogeen, maa wel bij benadeing.) Je zult het wel niet nodig vinden, maa we gaan toch bewijzen dat het zwaatepunt van een homogene bol zijn middelpunt is. Eest intuïtief. Vedeel de homogene bol in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetisch ten opzichte van het middelpunt liggen. We passen het schuifpincipe toe. Twee stukjes die symmetisch ten opzichte van het middelpunt liggen veplaatsen we beide naa het middelpunt: dat is ove twee tegengestelde vectoen. Daadoo veandet het zwaatepunt van de bol niet van plaats. Op die manie doogaand veplaatsen we alle stukjes naa het middelpunt; dáá ligt dus het zwaatepunt. Op zoek naa evenwicht 23
A O A' Nu fomele met vectoen. Kies het middelpunt als oospong. Vedeel de homogene bol wee in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetisch ten opzichte van het middelpunt liggen. Bij elk stukje A hoot een spiegelbeeld A'. We tellen alle vectoen OA en OA ' op. Omdat voo elke stukje A geldt dat OA + OA ' = 0, is de som van al die vectoen 0. Dus het zwaatepunt is O: het middelpunt van de bol. * 7 We bekijken het systeem van Aade en Maan. Aade heeft massa 5,975 10 24 kg en Maan 7,343 10 22 kg. De staal van Aade is 6371 km en de staal van Maan is 1738 km. Hieonde staat een plaatje op schaal. Voo de afstand Aade-Maan is 100 mm gekozen. In wekelijkheid is die 384400 km (tussen de middelpunten van Aade en Maan). Waa ligt het zwaatepunt? Wat valt je op? Je weet nu hoe je het zwaatepunt van twee massa's kunt vinden. Vectoen zijn daabij handig. In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b. We kiezen een willekeuig punt O als oospong. Het zwaatepunt Z is het eindpunt van de vecto OZ = a a b OA + OB + a+ b b Voo mee dan twee punten gaat het op net zo'n manie. In paagaaf 5 bewijzen we dat dit juist is. De punten A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 liggen op een echte lijn. In deze punten bevinden zich de gewichten a 1, a 2, a 3, a 4, a 5. We kiezen een willekeuig punt O als oospong en beekenen de som van de gewichten: a = a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5. Dan vinden we het zwaatepunt Z als volgt: OZ = a a1 a2 OA 1 + a OA 2 + a a 3 3 a4 OA + a OA 4 + a a 5 5 OA. 24 Vectoen en zwaatepunten
OZ is een soot gemiddelde vecto van OA 1, OA 2, OA 3, OA 4 en OA 5. Hoe "zwaa" elk van die vectoen in het gemiddelde meetelt, hangt af van de gootte van gewicht op de beteffende plaats. 1 2 3 4 O 8 Aan een gewichtloze staaf hangen de gewichten van gootte 1, 2, 3 en 4. a. Bepaal de plaats van het zwaatepunt doo bovenstaande stelling toe te passen met het aangegeven punt O als centum b. Doe dat ook doo als oospong de plaats van het gewicht van gootte 4 te kiezen. 9 Het komt voo dat Satunus, Jupite en Zon nagenoeg op een lijn liggen. Voo die situatie gaan we het zwaatepunt van het systeem bestaande uit deze die bepalen. Satunus Jupite Zon Satunus heeft massa 568,5 10 24 kg, Jupite 1900 10 24 kg en Zon 1978 10 27 kg. De stalen van Satunus, Jupite en Zon zijn espectievelijk 115000 km, 138000 en 696500 km Satunus staat 1427 10 6 km van de Zon en Jupite 778 10 6 km, gemeten vanaf hun middelpunten. Ligt het zwaatepunt van deze die binnen Zon? 5 6 7 9 10 6 7 9 7 10 Anneke heeft achteeenvolgens de volgende cijfes voo wiskunde gehaald: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfes uitgezet op de getallenlijn. Bepaal haa gemiddelde wiskundecijfe. Mek de analogie op tussen het gemiddelde cijfe en het zwaatepunt. * 11 Op een tafel liggen die gelijke blokken. Ze steken gedeeltelijk ove de tafeland. Het zwaatepunt van elk van de blokken veondestellen we in hun midden. Als het zwaatepunt van de die blokken tezamen maa boven het tafelblad ligt, ligt de stapel stabiel, andes kantelt hij van tafel. Blijft deze stapel liggen? De figuu staat gote op het wekblad. Op zoek naa evenwicht 25
Hoe ve kun jij een stapel blokken laten ovehellen, zonde dat de stapel omvalt? Op intenet kun je je talenten testen: http://www.angelfie.com/bc3/mechanica/applets/hfdst3/ Zwaatepunt.htm a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Z ZA 1 is de lengte van de vecto ZA 1. 12 De punten A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 liggen op een echte lijn. In deze punten bevinden zich de massa's a 1, a 2, a 3, a 4, a 5. Veondestel dat je het zwaatepunt Z gevonden hebt: het ligt tussen het tweede en dede gewicht van links. Nu kiezen we als oospong het zwaatepunt. a. Wat is dan: a 1 a ZA 1 + 2 a ZA 2 + 3 a ZA 3 + 4 a ZA 4 + 5 ZA 5? a a a a a b. Wat weet je dan van a 1 ZA 1 + a 2 ZA 2 in vegelijking met a 3 ZA 3 + a 4 ZA 4 + a 5 ZA 5? Als we de echte lijn als balans beschouwen met als daaipunt Z, dan heet a 1 ZA 1 + a 2 ZA 2 het linke moment en a 3 ZA 3 + a 4 ZA 4 + a 5 ZA 5 het echte moment. Omdat het daaipunt Z is, zijn dus het linke en echte moment gelijk. 13 Hoe goot is x als de balans in evenwicht is? Balansen in evenwicht bengen kan op: http://www.walte-fendt.de/ph11nl/leve_nl.htm 26 Vectoen en zwaatepunten
4 Het belang van het zwaatepunt Duf jij ove een stalen kabel te fietsen, vijf mete boven de gond? Geen pobleem in Technopolis te Mechelen. De tuc is dat het zwaatepunt van fiets-met-fietse onde de kabel zit. Foto: Technopolis, het Vlaamse doe-centum voo wetenschap en technologie Toelichting In een stabiele situatie is het zwaatepunt in zijn laagste positie. Bekijk de dwasdoosnede hieonde. kabel zwaatepunt Als de fiets vanuit de veticale (veilige) stand naa links of echts zou bewegen, gaat het zwaatepunt omhoog. De aade zal het zwaatepunt onmiddellijk teugtekken naa het laagste punt. 1 De aend steunt met zijn snavel op de punt van een vinge. Hij kan best tegen een stootje: hij komt steeds wee in de toestand van de foto teug, tenminste. als de stoot niet te heftig is. Waa ongevee vemoed jij het zwaatepunt van de aend? 2 De scheve toen van Pisa is 55 mete hoog en heeft een diamete van 15 mete. Hij staat 5 à 6 gaden uit het lood. Hij mag nog wel wat scheve zakken voodat hij omvalt. Dat gebeut namelijk pas als zijn zwaatepunt buiten de voet van de toen valt. Veondestel dat het zwaatepunt van de toen in zijn middelpunt zit. Hoeveel gaden uit het lood mag de toen dan hoogstens staan om niet om te vallen. In het vlak en in de uimte 27
3 Een (nog ongeopende) wijnfles steekt in een standaad. Het geheel is stabiel. Kun je dat veklaen? Het zwaatepunt wodt ook wel massamiddelpunt genoemd; in het Engels: cente of mass. Voo veel beekeningen kun je doen alsof alle massa van het object in dat punt geconcenteed is (en dus kun je de afmetingen van het object vegeten). Als we bijvoobeeld ove de snelheid van een object speken, dan bedoelen we de snelheid waamee het zwaatepunt van dat object beweegt. Binnen het object zelf kan e van alles bewegen of het object kan om zijn as daaien; dat doet e niet toe. In de mechanica passen we de wetten van Newton toe op de zwaatepunten van de objecten. 4 Aan weeszijden van een vee bevinden zich twee gewichten. We dukken de gewichten naa elkaa toe, zodat de vee gespannen wodt. Wat gebeut e met het zwaatepunt als we de gewichten loslaten? 5 Een aket explodeet kot na de stat; de bokstukken vliegen alle kanten op. Wat kun je zeggen van de beweging van het zwaatepunt? In paagaaf 3 hebben we uitgelegd dat het zwaatepunt van een homogene bol zijn middelpunt is. Pecies dezelfde edeneing gaat op voo elk puntsymmetisch lichaam, zoals een balk, een cilinde, een ugbybal, een diabolo, 6 Van een massieve kubus is het middelpunt natuulijk het zwaatepunt. Dat geldt ook voo een holle kubus (waavan de wanden oveal even dik zijn). Maa hoe zit het met een kubusvomig bakje zonde deksel? Dat heeft dus vijf (even dikke) wanden. Waa zit dan het zwaatepunt? 28 Vectoen en zwaatepunten
7 Een limonadeglas glas heeft de vom van een cilinde. De diamete van het glas is 8 cm en een hoogte is 12 cm. Deze maten zijn buitenmaten. Het glas is oveal even dik: 0,5 cm. De dichtheid van glas is 3 kg/dm 3. a. Op welke hoogte zit het zwaatepunt? Het glas wodt tot de and toe gevuld met wate (de dichtheid van wate is 1 kg/dm 3 ). b. Op welke hoogte zit het zwaatepunt nu? P P' Hoe je in de paktijk het zwaatepunt vindt Elk voowep (plat of uimtelijk) heeft pecies één zwaatepunt Z. Maak een touwtje vast in een punt P van het voowep en hang het emee op. Het voowep gaat zo hangen, dat het zwaatepunt Z zo laag mogelijk komt. Dus zó dat Z echt onde P komt te liggen. Kies nu een ande punt P' om het touwtje aan vast te maken. Hang het voowep op en Z zal echt onde P' komen. We kennen nu twee lijnen waaop Z moet liggen. Waa je het ophangpunt P ook kiest. Het velengde van het touwtje gaat altijd doo Z! 8 We hangen een houten echthoek van 40 bij 100 cm op aan een touwtje. Het ophangpunt zit 10 cm van twee anden. Teken hoe de echthoek gaat hangen. Homogene puntsymmetische figuen hebben hun zwaatepunt in het symmetiepunt. Nogal logisch! Dit kun je toepassen op een cikel en een echthoek. Maa hoe zit het met een gelijkzijdige diehoek? Het zwaatepunt zit natuulijk in het "midden", maa waa zit dat pecies? Egens op de hoogtelijn natuulijk (zie plaatje). Nu hoeven we alleen nog maa de hoogte (boven de basis) te weten. En daa kom je als volgt gemakkelijk achte. Vedeel de gelijkzijdige diehoek in negen even gote gelijkzijdige diehoeken. 9 Op welke hoogte zit het zwaatepunt? Met andee wooden; wat is de vehouding van de twee stukken waain het zwaatepunt de hoogtelijn vedeeld? In het vlak en in de uimte 29
RAADSEL: Zes spijkes in balans Je hebt zeven identieke gote spijkes met een duidelijke kop. Sla een spijke in een plankje. Lukt het je de andee zes spijkes op de kop van die spijke te laten balanceen? 30 Vectoen en zwaatepunten
5 In het vlak en de uimte In paagaaf 3 hebben we gewichten op een lijn bekeken: het eendimensionale geval. We stappen nu ove naa twee dimensies. Het pincipe blijft hetzelfde: als je twee gewichten tegengesteld aan elkaa veplaatst, blijft het zwaatepunt op zijn plaats. Op de hoekpunten van een vede gewichtloze diehoek zitten gewichten van gootte 1, 2 en 2. We gaan het zwaatepunt Z op twee manieen vinden. manie 1 manie 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3 1 2 4 1 2 3 5 5 2 5 1 5 5 4 5 1 Ga na hoe het zwaatepunt met het schuifpincipe is gevonden. A Z C D B Het is niet bij voobaat duidelijk dat we op beide manieen hetzelfde zwaatepunt Z vinden. We volgen de linke constuctie. Noem de hoekpunten van de diehoek A, B en C. Het punt D vedeelt BC in stukken die zich vehouden als 1: 2. Z is het zwaatepunt. Kies een willekeuig punt O als oospong. Dan geldt: 3 2 3 2 1 OZ = 2 OA + OD = OA + OB + OC ) = 5 5 5 ( 5 3 3 2 2 1 + OA + OB 5 OC. 5 5 Natuulijk levet de echte constuctie hetzelfde esultaat. In het vlak en in de uimte 31
We zien dat OZ een soot gemiddelde vecto is van OA, OB en OC, waabij hoe zwaa elk van deze vectoen meetelt bepaald wodt doo de gewichten in de beteffende punten. Eigenlijk doet het e niet toe in hoeveel dimensies we weken. De punten A, B en C mogen best op een echte lijn liggen. En als ABC een diehoek in de uimte is, hoeft de gekozen oospong niet in het vlak van de diehoek te liggen. De wekwijze met vectoen is dus algemeen geldig. C 2 Bepaal het zwaatepunt van de gewichtloze diehoek ABC bij de volgende gewichten in de hoekpunten: a. in A: 1, in B: 1, in C: 2 b. in A: 1, in B: 4, in C: 5 c. in A: 1, in B: 1, in C: 1 A B 3 Een mediaan van een viehoek is de vebindingslijn van de middens van twee ovestaande zijden. Op de hoekpunten van een gewichtloze viehoek zitten gelijke gewichten. Bewijs dat het zwaatepunt het snijpunt is van de medianen. 4 Op de hoekpunten van een gewichtloze viehoek ABCD zitten gelijke gewichten. We bepalen (in gedachten) de zwaatepunten van de diehoeken ABC, ABD, ACD en BCD. Bewijs dat het zwaatepunt van deze vie zwaatepunten hetzelfde is als het zwaatepunt van hele viehoek. Opmeking Dit is niet juist, als de gewichten in A, B en C veschillende van gootte zijn. 5 Gegeven zijn vijf gewichten in een vlak (of in de uimte, of op een lijn): 2, 3, 5, 7 en 10, op de plaatsen P 1, P 2, P 3, P 4 en P 5.Om het zwaatepunt te vinden kunnen we (bijvoobeeld) als volgt te wek gaan: - bepaal het zwaatepunt Z 1 van de gewichten 2, 3 en 5, - bepaal het zwaatepunt Z 2 van de gewichten 7 en 10, - bepaal het zwaatepunt van het systeem met gewicht 10 in Z 1 en gewicht 17 in Z 2. Bewijs dat je zo indedaad het zwaatepunt van de vijf gewichten vindt. 32 Vectoen en zwaatepunten
In opgave 5 heb je aan de hand van een voobeeld gezien dat je het zwaatepunt kunt vinden doo dat stukje bij beetje te doen. En die stukjes mag je zelf kiezen. 1 2 6 Bepaal het zwaatepunt van de zes massa s hienaast. 2 1 2 1 7 In elk hoekpunt van een gewichtloos vievlak zit eenzelfde gewicht. a. Bepaal de plaats van het zwaatepunt. b. Hoe hoog zit het zwaatepunt boven het gondvlak? 8 In elk van de hoekpunten van een vijfzijdige piamide zit eenzelfde gewicht. a. Bepaal de plaats van het zwaatepunt. b. Hoe hoog zit het zwaatepunt boven het gondvlak? 9 Een tappiamide bestaat uit vie even dikke plakken van 1x1, 2x2, 3x3 en 4x4. Op welke hoogte zit het zwaatepunt? In het vlak en in de uimte 33
10 Vie kee een viezijdige piamide met ibben van lengte 1. De hoogte van de piamide noemen we h (Met de stelling van Pythagoas vind je dat h = ½.) De gewichten zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt hetzelfde gewicht (de ibben zijn gewichtloos). a. Op welke hoogte boven het gondvlak bevindt zich het zwaatepunt? In de staafjespiamide zit het gewicht in de ibben. De acht ibben zijn even zwaa. b. Op welke hoogte boven het gondvlak bevindt zich het zwaatepunt? De piamide is nu gesloten: de vijf gensvlakken bestaan uit plaatwek. Het gewicht van een gensvlak is dus evenedig met de oppevlakte. Vede is de piamide hol. c. Op welke hoogte boven het gondvlak bevindt zich het zwaatepunt? In het viede geval is de piamide massief. En homogeen. Met integaalekening kan de plaats van het zwaatepunt bepaald woden. Dat blijkt op hoogte ¼ van de hoogte boven het gondvlak te zitten. In de appendix staat een afleiding zonde integeen. 34 Vectoen en zwaatepunten
Appendix Het zwaatepunt van een homogene diehoek We willen het zwaatepunt van diehoek 1 hebben. Leg e nog die identiek exemplaen bij, zoals hieonde. Kies de oospong O en de vectoen a en b zoals in de tekening. B 2 4 b 1 3 O a A De massa van 1 noemen we 1 en de zwaatepuntsvecto van 1 noemen we z. Dan zijn de zwaatepuntsvectoen van 2, 3 en 4: z + b, z + a en -z + a + b. De zwaatepuntsvecto van de gote diehoek is 2z. E geldt: 2z = 3( z + (z + b) + (z + a) + (-z + a + b)) = 1z + 1a + 1b. Dus z = 2a + 2b. Appendix 35
Het zwaatepunt van een homogeen diezijdig pisma We kiezen de oospong in een van de hoekpunten van het pisma, zie plaatje We noteen OA, OB enzovoot met a, b enzovoot. C B A O Het zwaatepunt van het pisma noemen we Z, dan is: z = 2a + 2b + 1c. Het zwaatepunt van een homogene diezijdige piamide De inhoud van een piamide is 1/3 van de inhoud van het pisma met hetzelfde gondvlak en gelijke hoogte. De diezijdige piamide wodt doo vlakken doo de middens van ibben vedeeld in twee kleinee piamides en twee diezijdige pisma's. We nemen de inhoud van zo'n kleine piamide als inhoudseenheid, dan is de inhoud van de gote piamide 8 en de inhoud van elk van de twee pisma's 3. C B A O 36 Vectoen en zwaatepunten
We kiezen één van de hoekpunten van de gote piamide als oospong. Het zwaatepunt van de piamide noemen we Z. Het zwaatepunt van de kleine piamide met hoekpunt C noemen we Z 1, het zwaatepunt van de kleine piamide met hoekpunt O noemen we Z 2, het zwaatepunt van het pisma met hoekpunt A noemen Z 3 en het zwaatepunt van het pisma met hoekpunt B noemen we Z 4. C 1 3 4 B A 2 E geldt: O z 1 = 1c + 1z z 2 = 1z z 3 = 1a + 2 1a + 2 1b + 1 1(c a) = 5 12 a + 5b + 3c z 4 = 1b + 2 1(a b) + 2 1(c b) + 1 1b = 5a + 12 5 b + 5c E geldt: z = 7z 1 + 7z 2 + Iz 3 + Iz 4 = 7z + 32 7 a + 32 7 b + 32 7 c. Hieuit volgt dat z = 3a + 3b + 3c. Met gelijkvomigheid volgt nu dat het zwaatepunt van een homogene diezijdige piamide op hoogte 3 van de hoogte van de piamide boven het gondvlak ligt. Aangezien elke piamide in diezijdige piamides met dezelfde top kan woden opgedeeld, geldt dit voo elke piamide. Appendix 37
Antwooden Paagaaf 1 Vectoen 1 a. 2 ; 2 ; 1 b. c. d. - f. - 2 a. x y x y y x y 2y x x + 2y x x + y b. y (x + y) x 2y 2x + y y 2x x 2y x 38 Vectoen en zwaatepunten
3 a. b. Nee 4 a. k = 2, m = 1 b. k = -3, m = 2 5 a. Ja, want v = w u. b. k = 1, m = 1 c. k = -5, m = 2 6 a. b. 2 PQ +11PR 2 PQ 2 PQ 11 2 PR c. 2PQ 11PR S -11PR U T P R Q PUST is een paallellogam. PS = PT + PU. E geldt: PT = 2 PQ en PU = 3 PR, dus k = 2 en m = 3. 7 a O A B v b De componenten zijn OA en OB. Antwooden 39
9 a b x 10 11 De som van de vie vectoen is 0. 12 P 2 P 0 P 1 y y x P De veschoven punten liggen op de stippellijn. 13 2 (a + b) = 2 a + 2 b Paagaaf 2 Toepassingen 1 a. 3 kee b. esultante 3 cm 2 a. b. c. 7 cm d. 1 cm 2 2 f. 3 + 4 = 5 km / h g. tan(α) = 12 α 53 7 cm 40 Vectoen en zwaatepunten
e. α 3 a. u α v s b. v = 2 2 3 + 3,75 4,8 3 tan(α) =, dus α 39 en de hoek tussen v en s is 3,75 dus 39 + 90 = 129. De veeboot moet zelf 4,8 km/h vaen. 4 a. u 30 v w b. u = 3 1,73, w = 1 5 a. Voo tekening zie b; 2 3 3,5. b. a b + a b 6 a. c. 2 Mieke b. 2 1,4 kee zo goot Antwooden 41
7 a B 0 B 1 C 0 A 3 B 2 C 1 C 2 A 2 C 3 A 1 B 3 A 0 8 x = 1 ( a + b ) 9 b. 1 ( x + y ) 10 a. c. x + y ; 11 ( x + y ) ; enzovoot. d. Omdat je in c steeds veelvouden van dezelfde vecto vindt. e. 21 5 5,6 a a b b b. α + β = 90 β γ β + γ = 90 α = γ α De component langs b heeft lengte 12 cos(37 ) 9,58. 11 b. Ja, de lengte van de tekkacht-vecto is gote dan de component van de zwaatekacht-vecto. 42 Vectoen en zwaatepunten
12 a. a = ( 2,5), b = (1,6), w = ( 3,3), v = (1,0 ) b. c. 2 = 3v + 1 w en b = 7v + 2w a 3 13 a. v v + w w v + w = (1,1) b. 2 v = (4,6) 2 2 c. v = 2 + 3 = 13, w = 5 14 b. OF = x + y + z ; HB = x + y z ; BG = z x ; CH = z y AC = y x c. OP x 1 = + y + 1 z 2 2 ; OQ = 1 x + y + 1 z 2 2 ; PQ = OQ OP = 1 x 1 y 2 + 2 d. PQ = 1 1 y 1 + = (y x) = 1 AC x 2 2 2 2 15 a. (1, 2, -2); OQ OP b. (2, 2, 3) 16 a. (-3, 2, 4) 2 2 2 b. 2 + 3 + 4 = 29 Antwooden 43
17 a. 1 2 egen val 3 wind b. Toelichting bij de tekening hieonde: AQ en BR zijn evenwijdig met de lichaamsdiagonaal van het blok uit a en PQ en SR zijn evenwijdig met de diagonaal van het gondvlak van het blok uit a. A B c. 125 cm P Q c. AP: beedte stook = hoogte blok : diepte blok = 3 : 1, dus de stook is 1,25 m beed. d. In het blok geldt: lengte lichaamsdiagonaal : lengte diagonaal gondvlak = 7 : snelheid, dus snelheid = 5 7 4,2 m/s. 14 18 a. (0,9,0), (0,0,9), (9,0,0) b. De som van de vectoen is niet (0,0,0). c. AB = (-3,6,-3), BC = (-3,-3,6), CA = (6,-3,-3) AB + BC + CA = (0,0,0), dus is de figuu mogelijk. d. AB = (-2,6,-2), BC = (-2,-2,6), CA = (6,-2,-2) AB + BC + CA (0,0,0), dus is de figuu onmogelijk. S R 44 Vectoen en zwaatepunten