4 - Stelling van Pythagoras De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: D1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. D2 - Maak een powerpoint over de stelling van Pythagoras Voor de uitwerking van deze opdracht is gekozen om de opdrachten 1, 3, 11, 12, 14 uit te werken. 4.1 Opdrachten 4.1.1 Opdracht 1 a) De grote voorbeelden van Pythagoras waren: de filosoof Pherekydes, Thales en Anaximander. b) Pythagoras reisde eerst op jonge leeftijd met zijn vader naar Italië en later omdat hij teveel verwikkeld was in de plaatselijke politieke geschillen van Samos. c) In 535 v Chr. is Pythagoras een tijdlang in Egypte geweest, mede op aanraden van Polycrates. De gebruiken die hij daar leerde kennen heeft hij later in zijn school van de Pythagoreërs toegepast. Voorbeelden zijn: streven naar reinheid, geheimzinnige rituelen, verbod op eten van bonen. d) Omdat een deel van de leer van Pythagoras was dat een mens na zijn dood weer als ander wezen terug kon komen, werd er geen vlees gegeten en waren de Pythagoreërs vegetarisch. Immers kon je bij het eten van vlees eventueel je voorouders opeten, die als ander wezen waren teruggekomen. 4.1.1 Opdracht 3 Hieronder staat een overzicht van de meest voorkomende intervallen binnen een octaaf. De getallen onder afstand zijn niet de getalsverhoudingen die Pythagoras berekende, maar het aantal stapjes dat je op de notenbalk moet zetten als je over de sporten van de toonladder van de ene noot van het interval naar de andere klimt of daalt. Het benoemen van intervallen is gewoon een duur woord voor tellen. Het enige waar je op moet letten is dat je zowel de eerste als de laatste noot meeneemt. Geschiedenis van de Wiskunde 45
Maak onderstaande tabel af. Naam Afstand Voorbeelden Verhouding Priem ( twee keer 1 C-C; G-G; A-A 1:1 dezelfde noot) Secunde 2 C-D; G-A 9:8(*) Terts 3 D-F; E-G; A-C 5:4 Kwart 4 C-F 4:3 Kwint 5 C- G; D-A; 3:2 Sext 6 D-B; F-D; 5:3 (**) Septiem 7 C-B 15:8(***) Octaaf 8 C-C 1:2 Bij de verhoudingen zijn wij in alle gevallen uitgegaan van de reine stemmingen. In drie gevallen is hiervan afgeweken, omdat binnen de muziek de meest reine verhouding wordt aangeduid met de onderstaande benamingen binnen de noten: (*) reine grote secunde; (**) reine grote sext; (***) reine grote septiem 4.1.1 Opdracht 11 Afstand penalty-stip tot het midden van het doel is 11meter. Deze afstand noemen we AD. Afstand midden doel tot paal is: 7,32 3,66. Deze afstand noemen we DP. Nu vormen we driehoek ADP en met behulp van de stelling van Pythagoras berekenen we de lengte van AP (dus de afstand van de penaltystip tot de doelpaal). We weten vervolgens dat de bal de paal raakt op 10 cm onder de lat, die op 2,44 boven de grond ligt. Dit betekent dat de bal de pal raakt op een hoogte van 2,44 0, 10 = 2,34.(dit noemen we afstand PR. Met behulp van Pythagoras berekenen we vervolgens de afstand van A tot R, in de rechthoekige driehoek APR. AD= 11,00 DP = 3,66 AP = 11 3,66 ² 134,3956 11,59291163. AP = 11,59291163 PR = 2,34 AR² = AP² + PR² AR² = 134,3956 + 5,4756 AR² = 139,8712 AR = 139.8712 11,82671552. De afstand die de bal heeft afgelegd totdat hij vanaf de penaltystip de paal raakt is dus: 11,83 meter. Geschiedenis van de Wiskunde 46
4.1.1 Opdracht 12 De driehoek die gevormd wordt heeft rechthoekszijden met lengtes: 68 (a) en 102(b) meter. Dit levert op dat de schuine zijde mbv Pythagoras de lengte heeft van: 68² + 102² = 4624 + 10404 = 15028. De lengte is dan dus: De medespeler loopt dus vijf rondjes van: 68 + 102 + 122,5887434 = 292,5887434 meter is 1462,943717, is dus 1.462,94 meter in totaal. Of op de hedendaagse wijze: Zijde Zijde ² 68 102 122,5887434 4624 10404 + 15028 De medespeler loopt dus vijf rondjes van: 68 + 102 + 122,5887434 = 292,5887434 meter is 1462,943717, is dus 1.462,94 meter in totaal. 4.1.1 Opdracht 14 a) Wat is de stelling van Sangaku zoals in de figuur hiernaast. b) Geef een bewijs van de stelling. Geschiedenis van de Wiskunde 47
Uitwerking a) De oppervlakte van de middelste twee vierkanten is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de onderste en bovenste vierkanten. b) Bewijs: Vanuit een hoekpunt van één van de middelste vierkanten trekken we een loodlijn c naar de overliggende zijde van het andere middelste vierkant. Hierdoor wordt de overliggende zijde in twee delen opgedeeld, (a en b) en ontstaat er een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en c. Als we vervolgens langs de hypotenusa (= schuine zijde) van deze rechthoekige driehoek een congruente rechthoekige driehoek tekenen hebben we een rechthoek. Vanuit het onderste hoekpunt van de hypotenusa tekenen we nog een rechthoekige driehoek langs de zijde die evenlang is als de hypotenusa(zie groene lijnen in de tekening). We weten dat de stelling van Pythagoras, (die rekent met de kwadraten van de zijden van een rechthoekige driehoek), eigenlijk gaat over de oppervlakte van de vierkanten die gevormd worden door de hypotenusa s. We zien nu dat de oppervlakte van de twee middelste vierkanten gelijk is aan:. = ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ². En de oppervlakte van de bovenste en onderste driehoek(de blauwe) is gelijk aan:. ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ². Dit is echter de oppervlakte van de hele bovenste en onderste vierkanten. We moeten echter bewijzen dat de oppervlakte van de helft van de bovenste en onderste vierkanten samen gelijk zijn aan de middelste twee vierkanten, dus vermenigvuldigen we de uitkomst met een half ( : en zie daar, de oppervlakte van de twee blauwe driehoeken is gelijk aan de oppervlakte van de twee rode vierkanten nl: ² ² ².... Geschiedenis van de Wiskunde 48
4.2 Powerpoint presentatie De Powerpoint is te vinden op de bijgevoegde CD en in de bijlage C. Hieronder volgt een docenten versie voorzien van extra relevante informatie voor tijdens de presentatie tijdens de les. Dia 1 PYTHAGORAS De wiskundige stelling van een Grieks Filosoof In deze powerpoint gaan we nader in op Pythagoras: Wie was hij, waardoor is hij zo bekend geworden Dia 2 Waar gaat deze presentatie over? Inhoud presentatie Wie was Pythagoras Wat weten we al van hem De stelling van Pythagoras: Wat kunnen we daarmee Een voorbeeld Dia 3 Wie was Pythagoras Pythagoras leven en werk in een notedop Grieks filosoof 580 490 voor Christus Samos, +/- 520: Croton(e) Italië Filosofische school: Geestelijke zuiverheid door filosofie De ziel één met het goddelijke; Beïnvloedt door de filosofen Thales en Anaximander Wiskundig filosoof Wiskunde, filosofie, muziek, astronomie Geschiedenis van de Wiskunde 49
Dia 4 Wie was Pythagoras (2) Volgelingen en interesse: Wiskunde = wetenschap (van abstracte getallen) Zag wiskunde als wetenschap Leer van Pythagoras: het wezen van alles is wiskunde; Volgelingen: Pythagoreërs: onderlinge strikte loyaliteit Bepaalde symbolen mystiek (zie ster) Benadrukte belang van de studie van abstracte getallen Geïnteresseerd in: Getal Figuur bewijs Dia 5 Werk van Pythagoras Een Dat de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek, gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde. Een methode die ook de Oude Grieken kenden; Het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen twee rechte hoeken vormen, alsmede de uitbreiding van deze stelling: van een veelhoek met nzijden is de som van de binnenhoeken gelijk aan die van 2n-4 rechte hoeken; Het construeren van figuren met een gegeven oppervlakte en een soort van meetkundige algebra. (Wat wij nu vergelijkingen noemen losten zij meetkundig op.) De ontdekking van de irrationale getallen: getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals de wortel van 2; De vijf regelmatige lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), kubus, octoëder (regelmatig achtvlak); dodecaëder (regelmatig twaalfvlak); isocaëder(regelmatig twintigvlak); In de astronomie leerden ze dat de aarde een bol was in het centrum van het heelal, dat de baan van de maan een hoek maakte met de evenaar en dat Venusde morgensterdezelfde planeet was als Venusde avondster. aantal andere werken van Pythagoras Bron: http://www.math4all.nl/wiskundegeschiedenis/wiskundigen/pythagoras.html Dia 6 De stelling van Pythagoras De bekende wiskunde stelling het bewijs dat de som van de rechthoekszijden van een driehoek gelijk is aan schuine zijde Geschiedenis van de Wiskunde 50
Dia 7 a²+ b²= c² of AB²+AC²=BC² Wat is de stelling Tegenwoordig vaak als a²+b²=c². In de jaren 80 van de vorige eeuw: AB²+BC²=AC². Uitkomst is niet altijd een geheel getal. Fouten zijn snel gemaakt. Want wat klopt niet in het voorbeeld? Dia 8 Een paar bewijzen van de stelling: Een van de meer eenvoudige bewijzen deelt een vierkant met zijde a+b op twee manieren in. In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken waar we mee begonnen. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde c, en wederom de 4 rechthoekige driehoeken. In beide figuren zien we een vierkant met zijde a+b, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laten we nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die je overhoudt nog steeds dezelfde oppervlakte. Maar links houd je een vierkant met zijde a, en een vierkant met zijde b over, met samen een oppervlakte van a2+b2. Rechts houd je een vierkant met zijde c over, met een oppervlakte van c2. Hieruit volgt de stelling. Geschiedenis van de Wiskunde 51
Dia 9 Algebraïsch bewijs Algebraïsch bewijs: De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b) 2. De oppervlakte: (4 ½ab) geeft c 2. => (a + b)² = 2ab +c² Uitwerken van het kwadraat links geeft: a²+ 2ab +b²= 2ab + c² => a²+ b²= c² Q.E.D. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. Oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken en de oppervlakte van het binnenste vierkant, http://nl.wikipedia.org/wiki/stelling_van_pythagoras Dia 10 Bewijs met gelijkvormigheid Bewijs met gelijkvormigheid Een ander inzichtelijk bewijs maakt gebruik van een hulplijn. Hiertoe dient de hoogtelijn vanuit de rechte hoek C, die zijde AB snijdt in het punt D. Het is nu snel in te zien dat driehoek ACD gelijkvormig is aan driehoek ABC. Immers, de hoeken bij A zijn dezelfde, en beide driehoeken hebben ook een rechte hoek, bij C resp. D. Op dezelfde manier zien we dat driehoek CBD gelijkvormig is aan driehoek ABC. We hebben dus drie gelijkvormige driehoeken. Kijken we naar de verhoudingen van de lengtes van de zijden van de driehoeken, dan zien we dat die gelijk zijn aan a:b:c, immers precies de schuine zijden van de drie driehoeken. Dat betekent dat de oppervlaktes van de driehoeken zich verhouden als a²:b²:c², de kwadraten van de verhoudingen van de zijden. Omdat duidelijk is dat opp(cbd) + opp(acd) = opp(abc), geldt kennelijk voor een bepaald getal k dat ka²+kb²=kc². En de stelling van Pythagoras volgt door deling door k. Geschiedenis van de Wiskunde 52
Dia 11 Dia 12 Een aantal voorbeelden van bewijzen Wanneer Pythagoras gebruiken? Vragen? Dia 13 Geniet dan van de stelling van Pythagoras De Pythagorasboom (bestaande uit steeds een groot vierkant en twee kleinere,( die weer in verhouding zijn van 3,4,5). (EI)²+(ND)² =E² Geschiedenis van de Wiskunde 53
Geschiedenis van de Wiskunde 54