14 februari 2019 - Henk Ermans
Instapprobleem Tussen de dorpen komt een put die even ver van elk dorp gelegen moet zijn. Construeer de plek waar de put moet komen. - Construeer de middelloodlijnen van de zijden AB, BC en AC
Instapprobleem Tussen de dorpen komt een put die even ver van elk dorp gelegen moet zijn. Construeer de plek waar de put moet komen. - Construeer de middelloodlijnen van de zijden AB, BC en AC - Het snijpunt P ligt dan even ver van de hoekpunten A, B en C
Instapprobleem Tussen de dorpen komt een put die even ver van elk dorp gelegen moet zijn. Construeer de plek waar de put moet komen. - Construeer de middelloodlijnen van de zijden AB, BC en AC - Het snijpunt P ligt dan even ver van de hoekpunten A, B en C - Dus AP = BP = CP
Vervolgprobleem De ligging van de nieuwe watercentrale wordt zo gekozen dat de lengte van de leidingen naar de dorpen zo kort mogelijk is. Waar komt de nieuwe watercentrale? Ofwel: Waar ligt het punt T zodat de totale afstand AT + BT + CT minimaal is? Punt T noemen we het Punt van Torricelli
Pierre de Fermat - Beamont-de-Lomagne 17 aug 1601 Castres 12 jan 1665 - zoon van Dominique Fermat, handelaar in leder - Studeerde burgerlijk recht aan Universiteit Orléans - Advocaat bij parlement van Bordeaux van 1626 tot 1630 - Raadsman van parlement van Toulouse in 1631 - Benoeming in strafrechtbank van Toulouse in 1652 - Dood verklaard in 1653 - Vanwege hoge positie naamsverandering van Pierre Fermat naar Pierre de Fermat - Grondlegger van differentiaalrekening - Bijdragen aan getaltheorie, analytische meetkunde, kansrekening en optica - Correspondeerde o.a. met René Descartes, Blaise Pascal en Christiaan Huygens - Niet geliefd, vanwege achterhouden van oplossingen - Meest beroemd vanwege de Laatste stelling van Fermat - Formuleerde het probleem en legde het als uitdaging voor aan Evangelista Torricelli
Evangelista Torricelli - Faenza 15 okt 1608 Florence 25 okt 1647 - Studeerde in Rome wiskunde, mechanica, hydraulica en sterrenkunde - Werd secretaris van Benedetto Castelli - Interesseerde zich sterk voor copernicaanse wereldbeeld - Communiceerde met Galileo Galilei tot 1633 - Publiceerde Opera Geometrica en De motu gravium - Opnieuw contact met Galilei - Opvolger als hofwiskundige van De Medici - Belofte om werk te publiceren werd niet ingewilligd - Wiskundig vooral gewerkt aan infinitesimaal, in verlengde van werk van Bonaventura Cavalieri en Johannes Keppler, een vroege vorm van calculus - Bekend van uitvinding van barometer en ontdekker van het bestaan van vacuüm - Bewijs ervan was ongehoord; Aristoteles had beweerd dat vacuüm logisch strijdig was - Stond aan de wieg van meteorologie - Naam gegeven aan Wet van Torricelli en Punt van Torricelli
Werkwijze - Roteer CP 60 om punt C Gevolg: - CP = CP - Dus ΔPCP is gelijkbenig met tophoek ÐPCP = 60 - Dus ΔPCP is gelijkzijdig
Werkwijze - Roteer CP 60 om punt C Þ ΔPCP is gelijkzijdig - Roteer CB 60 om punt C Gevolg: - CB = CX - Dus ΔBCX is gelijkbenig met tophoek ÐBCX = 60 - Dus ΔBCX is gelijkzijdig
Werkwijze - Roteer CP 60 om punt C Þ ΔPCP is gelijkzijdig - Roteer CB 60 om punt C Þ ΔBCX is gelijkzijdig Beschouw: - ÐPCP = ÐPCB + ÐBCP = 60 - ÐBCX = ÐBCP + ÐP CX = 60 - Dus ÐPCB = ÐP CX
Werkwijze - Roteer CP 60 om punt C Þ ΔPCP is gelijkzijdig - Roteer CB 60 om punt C Þ ΔBCX is gelijkzijdig - Þ ÐPCB = ÐP CX - Teken lijnstuk P X Gevolg: - PC = P C - BC = BX - ÐPCB = ÐP CX }ΔPCB ΔP CX (ZHZ) IS Þ PB = P X
Werkwijze - Roteer CP 60 om punt C Þ ΔPCP is gelijkzijdig - Roteer CB 60 om punt C Þ ΔBCX is gelijkzijdig - Þ ÐPCB = ÐP CX - Teken lijnstuk P X Þ PB = P X - Minimaliseer de afstand APP X Gevolg: - PC = PP - PB = P X - PA = AP }PA + PB + PC = AP + PP + P X
Conclusie - Het optimale punt T ligt op lijnstuk AX, waarbij X de tophoek is van gelijkzijdige ΔBCX Analoog: Het optimale punt T - ligt op lijnstuk BY, waarbij Y de tophoek is van gelijkzijdige ΔACY - ligt op lijnstuk CZ, waarbij Z de tophoek is van gelijkzijdige ΔABZ
Eindconclusie Als punt T het snijpunt is binnen ΔABC van de lijnstukken AX, BY en CZ (waarbij ΔABZ, ΔBCX en ΔACY gelijkzijdig zijn), dan is de lengte AT + BT + CT minimaal. Punt T is het Punt van Torricelli binnen ΔABC. Kanttekening: - De hoeken van ΔABC mogen niet groter zijn dan 120. - Is één van de hoeken gelijk aan 120 dan valt het punt van Torricelli samen met het betreffende hoekpunt. - Is één van de hoeken groter dan 120 dan is dat hoekpunt het punt binnen ΔABC waarbij AT + BT + CT minimaal is.
Opdrachten 1. Construeer het punt van Torricelli 2. Construeer de omschreven cirkels van de hulpdriehoeken 3. Verbind de middelpunten van de omschreven cirkels Wat valt op? Eigenschappen verwant aan het punt van Torricelli - De omschreven cirkels van ΔABZ, ΔBCX en ΔACY snijden in punt T - De centra van ΔABZ, ΔBCX en ΔACY vormen ook een gelijkzijdige driehoek (Stelling van Napoleon) - ÐATB = ÐBTC = ÐCTA = 120
Bewijs Eigenschappen Te bewijzen: - ÐATB = ÐBTC = ÐCTA - ÐTCT = 60 Þ CT = CT Þ ΔTCT is gelijkzijdig Þ ÐCT T = 60 Þ ÐCT X = 180 ÐCT T = 180 60 = 120 - CT = CT en BC = CX - ÐTCB = ÐTCT ÐT CB = 60 ÐT CB = ÐBCX ÐT CB = ÐT CX Þ ΔTCB ΔT CX (ZHZ) Þ ÐCTB = ÐCT X = 120 - Analoog volgt dat ÐATB = 120 en ÐCTA = 120 IS QED
Bewijs Eigenschappen Bewezen: - ÐATB = ÐBTC = ÐCTA Te bewijzen: - De omschreven cirkels van ΔABZ, ΔBCX en ΔACY snijden in punt T - ÐAZB = 60 en ÐATB = 120 - ÐAZB + ÐATB = 60 + 120 = 180 Þ AZBT is een koordenvierhoek Þ de cirkel door A, B en Z gaat ook door T - analoog gaat de cirkel door B, C en X ook door T - analoog gaat de cirkel door A, C en Y ook door T QED
Bewijs Eigenschappen Bewezen: - ÐATB = ÐBTC = ÐCTA - De omschreven cirkels van ΔABZ, ΔBCX en ΔACY snijden in punt T Te bewijzen: - De centra van ΔABZ, ΔBCX en ΔACY vormen ook een gelijkzijdige driehoek - ÐAM 1 C = 2 ÐAYC = 2 60 = 120 (middelpuntshoek en omtrekshoek op cirkelboog AC) - AM 1 = M 1 T = straal cirkel en AM 3 = M 3 T = straal cirkel Þ AM 3 TM 1 is een vlieger Þ M 1 M 3 is bissectrice van ÐAM 1 T Þ ÐAM 1 M 3 = ÐM 3 M 1 T - analoog volgt ÐCM 1 M 2 = ÐM 2 M 1 T Þ ÐM 3 M 1 M 2 = ÐAM 1 C : 2 = 120 : 2 = 60 - analoog volgt ÐM 1 M 3 M 2 = 60 en ÐM 1 M 2 M 3 = 60 QED
14 februari 2019 - Henk Ermans