STEAM: WISKUNDE MET MACHIENTJES DE BOECK I.

STEAM: WISKUNDE MET MACHIENTJES DE BOECK I. 1

VERLOOP Kennismakingsronde Verwachtingen? 2

VERLOOP Inleiding: pantograaf Andere transformatoren Verklaringen Transformatoren namaken in GeoGebra Mogelijke alternatieven? Soorten friezen Machientjes ontwerpen voor het tekenen van friezen 3

ACTUA Tentoonstelling Da Vinci Luik (tot 12/5) 4

ACTUA Artikel H. Hietbrink in UW35/1: een tekeninstrument om weerspiegelpunten te vinden Om punten te vinden waar een object in een cirkelvormige spiegel weerkaatst wordt Object uit museum in Gulhane park Istanboel 5

SPEELGOED? 6

SPEELGOED? Pantograaf Wat doet hij? Teken na (essentiële elementen) Hoe werkt het? Werking nabootsen met GeoGebra? 7

PANTOGRAAF Bespreking Hoeken met dezelfde naam zijn even groot In P wordt een gestrekte hoek gevormd FFFF = FFFF FFFF FFFF 8

AAN HET WERK Alternatieve pantograaf: Waarom werkt deze variatie ook? FC = CV = BT AB = BD = CD = CA Voordelen? 9

BESPREKING Alternatieve pantograaf: De hoeken met dezelfde naam zijn gelijk De vierhoek CBTV is een parallellogram Uit de som van de hoeken in vierhoek DBTV is 360 De twee hoeken in V vormen samen een gestrekte hoek F, T, V zijn dus collineair. FFFF = FFFF FFFF FFFF 10

AAN HET WERK Ronde 1: wat doet dit machientje? controle met het applet kijken, experimenteren,, tekening met essentiële elementen? verklaring? Extra: maak na met GeoGebra bedenk een variatie met de pennen niet op de scharnierpunten bespreking 11

BESPREKING De verschuiver In een parallellogram zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang. 12

BESPREKING De spiegelaar Omdat CPDQ een ruit is, zal PC = QC en PD = QD, dus is CD = ml[pq]. Bijgevolg geldt ss CCCC PP = QQ. 13

BESPREKING De draaier Driehoek OAP is congruent met driehoek QCO. Hoek OO 3 = αα 14

BESPREKING De puntspiegelaar Driehoek OCP is congruent met driehoek ODQ (ZHZ). Gevolgen: DD OOQQ = CC OOPP, dus Q, O en P zijn collineair OD = OC 15

BESPREKING Isometrie: samenstelling van een eindig aantal spiegelingen bewaart lengte en hoekgrootte slechts 4 soorten: spiegelingen verschuivingen (samengestelde van twee spiegelingen met evenwijdige assen) draaiingen (samengestelde van twee spiegelingen met snijdende assen), in het bijzonder puntspiegelingen (als de assen loodrecht staan) glijspiegelingen (samengestelde relatie van een verschuiving en een spiegeling waarbij de richting van de verschuiving en die van de spiegelas gelijk zijn) 16

AAN HET WERK glijspiegeling glijspiegelingen (samengestelde relatie van een verschuiving en een spiegeling waarbij de richting van de verschuiving en die van de spiegelas gelijk zijn) bedenk een machientje om een glijspiegeling uit te voeren schets controle in ggb 17

BESPREKING glijspiegeling Combinatie van een verschuiver en een spiegelaar 18

SYMMETRIE EN FRIEZEN Een fries is een vlakke figuur die verschuivingen in juist één richting als symmetrieën heeft en waarbij er een minimale lengte is voor deze verschuivingen. 19

SYMMETRIE EN FRIEZEN Je kan dus de fries opnemen, verschuiven in één bepaalde richting en terug op zichzelf leggen. Vormen van symmetrie: schuifsymmetrie draaisymmetrie puntsymmetrie lijnsymmetrie glijspiegelsymmetrie 20

SYMMETRIE EN FRIEZEN Analyseer volgende friezen. Welke symmetrieën zitten er allemaal in? 21

SOORTEN SYMMETRIE BIJ FRIEZEN Schuifsymmetrie: verschuivingen in de richting van de strook. Lijnsymmetrie: Spiegelingen om een verticale as Spiegelingen om de middenparallel van de randen van de strook Puntsymmetrie: puntspiegelingen met centrum op de middenparallel van de randen van de strook Glijspiegelsymmetrie: spiegelas is de middenparallel van de randen van de strook, richting van de verschuiving is dezelfde als die van de middenparallel Waarom enkel deze? Mogelijke combinaties? 29

SOORTEN FRIEZEN Aantal mogelijke combinaties? maar: Spiegeling om de middenparallel en verschuiving in dezelfde richting glijspiegeling (1) Puntspiegeling en glijspiegeling (centrum op de spiegelas) spiegeling om verticale as (2) Spiegeling om verticale as en glijspiegeling in horizontale richting puntspiegeling (3) Spiegeling om verticale as en puntspiegeling (centrum op de spiegelas) glijspiegeling (4) Spiegeling om verticale as en spiegeling om horizontale as puntspiegeling Spiegeling om verticale as en puntspiegeling spiegeling om horizontale as 30

SOORTEN FRIEZEN Lijnsymmetrie hor. as Lijnsymmetrie vert. as puntsymmetrie glijspiegelsymmetrie Niet mogelijk omwille van Soort fries x x x x H-fries x x x 0 (1) x x 0 x (3) x x 0 0 (1) x 0 x x (2) x 0 x 0 (1) x 0 0 x D-fries x 0 0 0 (1) 0 x x x MW-fries 0 x x 0 (4) 0 x 0 x (3) 0 x 0 0 V-fries 0 0 x x (2) 0 0 x 0 S-fries 0 0 0 x PB-fries 0 0 0 0 L-fries 31

7 SOORTEN FRIEZEN Spiegeling verticale as Spiegeling horizontale as puntspiegeling glijspigeling Verschuiving Van welke types zijn de friezen op de foto s? L-fries x D-fries x x x? V-fries x x H-fries x x x x x S-fries x x PB-fries x x MW-fries x x x x? 32

SOORTEN FRIEZEN De D-fries en de PB-fries ontbreken Andere voorbeelden: vriendschapsbandjes D-fries: PB-fries: 33

MEER MOGELIJKHEDEN Samenstellen van transformaties: bv. samengestelde van twee puntspiegelingen/glijspiegelingen/ GeoGebra + verklaren via geschikte keuze spiegelassen Uitzoeken + verklaren welke symmetrieën mogelijk zijn bij friezen (cfr. Artikel in UW28/4) Uitzoeken welke 7 types friezen mogelijk zijn + verklaren waarom het er maar 7 zijn 34

WEES CREATIEF ONTWERP JE EIGEN SPEELGOED Bedenk bij elk type fries een machientje om de fries te tekenen vertrekkend van het basispatroon L-fries D-fries V-fries H-fries S-fries PB-fries MW-fries 35

DISCUSSIE Wiskunde techniek kunst STEAM? Vragen? Bedenkingen? Mogelijkheden? 36

UITSMIJTER Terug naar het instrument van Da Vinci/Marcolongo: welk machientje herken je hierin? 37