Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs- en werkvormen 3 6 Beoordeling 4 7 Collegeplanning 5 Faculteit Wiskunde en Informatica, Cluster Discrete Wiskunde 1
1 Algemeen 1. Vaknaam: Algebra and discrete wiskunde 2. Code: 2WF50 3. Semester: B, Kwartiel 3 4. Doelgroep: Bacheloropleiding Wiskunde 5. Doel van het vak: Het leren denken in een wiskundige taal en het omgaan met algebraïsche begrippen 6. Studiepunten: 5 (ECT) 7. Studielast-uren: 140 8. Docent: Dr. G.R. Pellikaan; Kamer: MF 6.097b, Tel: 247.4222, Email: g.r.pellikaan@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica, Cluster Discrete Wiskunde 9. Instructeurs: Not yet known 10. Studiemateriaal: Logic, Sets and Algebra van Arjeh Cohen, Hans Cuypers, Hans Sterk, staat op Oncourse Peter Stevenhagen (Universiteit Leiden), Algebra 1 in Nederlands: http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/algebra1.pdf Peter Stevenhagen (Universiteit Leiden), Algebra 2 in Nederlands: http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/algebra2.pdf 11. Studiewijzer op OASE en http://www.win.tue.nl/ ruudp/2wf50.html Studiewijzer 2014/2015 is te vinden op: http://hyperelliptic.org/tanja/teaching/alg15 12. Secretariaat: Mevr. A. Klooster; MF 4.059, Tel: 2254, Email: secdm@tue.nl 2 Inhoud van het vak Dit vak is een vervolg van Verzamelingen leer en algebra (2WF40). Het behandelt de volgende structuren: halfgroepen, monoïden, groepen, ringen, domeinen, lichamen en hun deelstructuren. 2
3 Leerdoelen De leerdoelen worden in Sectie 7 (Collegeplanning) per week vermeld. 4 Berekening tijdsplanning Totaal te besteden tijd 140 uur (5 studiepunten): College: 28 uur 7 maal college, wekelijks op dinsdag het 1e en 2e uur 7 maal college, wekelijks op vrijdag het 5e en 6e uur Instructie: 14 uur 7 maal college, wekelijks op dinsdag het 3e en 4e uur Zelfstudie: 63 uur 7 maal 9 uur bestaande uit EVO, zelfstudie en huiswerk Tentamenvoorbereiding: 31 uur Tentamen en toetsen: 4 uur 5 Onderwijs- en werkvormen Hoorcollege Het college wordt gegeven in de vorm van hoorcolleges, 2 maal 2 uur per week gedurende 7 weken met een uitloop in week 8. Van het college zijn videocolleges beschikbaar. Zelfstudie In de zelfstudie wordt het college bestudeerd aan de hand van hoofdstukken uit het boek, aantekeningen en videocolleges. Tevens worden de opgegeven sommen en de digitale opgaven op Oncourse zoveel mogelijk gemaakt Instructies Naast colleges volg je ook de bij het college horende instructies, 2 uur per week gedurende 7 weken. De instructies worden voornamelijk besteed aan problemen die bij het maken van de oefenopgaven en het verwerken van de stof in je eigen tijd zijn opgetreden. Elektronisch Verrijkt Onderwijs Er wordt een serie EVO opgaven gemaakt op de website: https://oncourse.tue.nl/2015 3
6 Beoordeling Het eindcijfer wordt samengesteld uit de onderdelen: tussentoets, EVO en eindtoets. De eindtoets (2WF51) wordt aan het eind van het 3e kwartiel gehouden en zal de gehele stof testen en telt voor 70%. De herkansing wordt in de interim periode gehouden. De tussentoets met code (2WF52) wordt op dinsdagochtend in week 4 gehouden in de tijd van de instructie en zal de stof van de eerste 3 weken testen en telt voor 15%. Elektronisch Verrijkt Onderwijs (EVO) met code (2WF53) zal wekelijks getest worden en telt in totaal voor 15%. Voor het afsluiten van het vak dient de professionele vaardigheid Omgaan met informatie (PVR62), voldoende te zijn afgerond. 4
7 Collegeplanning 1. Kwartiel 3, Week 1.a: Monoïden en halfgroepen monoïden en halfgroepen definities structuur n-tallige bewerkingen halfgroepen neutraal element eenheidselement College 1.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 13.1 Instructie 1, dinsdag, 3e en 4e uur: Herhaling van rekenen modulo n, het Euclidisch algoritme opgaven uit het boek en op Oncourse. 2. Kwartiel 3, Week 1.b: Monoïden en halfgroepen commutatieve bewerkingen deel-structuren (monoïde, halfgroep) vermenigvuldigingstabel vrije monoïde over A direct product van monoïden en halfgroepen doorsnede van deelmonoïden/onderhalfgroepen enkele voorbeelden College 1.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 13.2 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Instaptoets of de benodigde voorkennis van 2WF40 paraat is. 5
3. Kwartiel 3, Week 2.a: Homomorfismen homomorfismen isomorfismen, voorbeeld f(e) = e is noodzakelijk cyclische monoïden voortbrenger van een cyclische monoïde < D > M is deelmonoïde van M voortgebracht door D C k,n College 2.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 13.2 Instructie 2, dinsdag, 3e en 4e uur: 13.7: 3, 4, 5, 7, 10 opgaven uit het boek en op Oncourse 4. Kwartiel 3, Week 2.b: Inverse en groepen inverse Euler ϕ function, ϕ(m) = (Z/m) inverse van element is uniek schrapwet: uit xy = xz volgt y = z voor inv(x) in M; groepen, ondergroepen. College 2.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 13.3 en 13.4 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Testen 2.1 t/m 2.5 op Oncourse 6
5. Kwartiel 3, Week 3.a: Groepen direct product van groepen cyclische groepen voortbrenger, < g >, < D > doorsnede van ondergroepen is een ondergroep centrum Z(G) centralisator C(X, G) normalisator N(X, G) morfismen, beeld en kern College 3.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 13.4 Instructie 3, dinsdag, 3e en 4e uur: 13.7: 11, 13, 16, 24, 27 opgaven uit het boek en op Oncourse 6. Kwartiel 3, Week 3.b: Cyclische groepen orde van een groep orde van een element cyclische groepen, voortbrenger, voorbeelden ondergroepen van cyclische groepen zijn cyclisch < g k >=< g d > als d = gcd(k, n) < g k >= G als gcd(k, n) = 1 College 3.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 13.5 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Testen 3.1 t/m 3.5 op Oncourse 7
7. Kwartiel 3, Week 4.a: Nevenklassen linker nevenklasse Lagrange s stelling linker nevenklasse hebben dezelfde grootte orde van een element deelt de orde van de groep kleine stelling van Fermat normale ondergroep voorbeelden kern van een homomorfisme is een normale ondergroep College 4.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 13.6 Tussentoets dinsdag, 3e en 4e uur opgaven uit het boek en op Oncourse 8. Kwartiel 3, Week 4.b: Ringen definitie van een ring gehelen van Gauss n n matrices over de reële getallen R[x], de ring van polynomen met coëfficïenten in R eigenschappen van polynomen graad, kop coefficient, monisch, irreducibel deelringen eigenschappen van ringen College 4.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 14.1 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Testen 4.1 t/m 4.5 op Oncourse 8
9. Kwartiel 3, Week 5.a: Training Information Skills Opzoeken van documenten in bibliotheek en via databestanden College 5.a, dinsdag, 1e, 2e, 3e en 4e uur: door Annelies Jacobs Instructie 5 Geen instructie opgaven uit het boek en op Oncourse 10. Kwartiel 3, Week 5.b: Homomorfismen en constructies van ringen Homomorfismen van ringen Z[x]/(x 2 + 1) is isomorf met Z[i] idealen kern van een homomorfisme is een ideaal direct product van ringen Chinese Remainder Theorem het bewijs gebruikt het directe product (R S) = R S doorsnede van deelringen is een deelring, < D > R College 4.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 14.1 en 14.2 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Testen 5.1 t/m 5.5 op Oncourse 9
11. Kwartiel 3, Week 6.a: Domeinen en lichamen veelvoud nuldelers, nuldelers zijn niet inverteerbaar domein, als R een domein, dan is R[x] dat ook schrap wet (cancellation law) geldt in een domein lichamen een eindig domein is een lichaam L(a), breukenlichaam breukenlichaam van een domein is een lichaam College 6.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 14.3 Instructie 6, dinsdag, 3e en 4e uur: 13.7: 31, 35 14.8: 1, 3, 4, 7, 8 opgaven uit het boek en op Oncourse 12. Kwartiel 3, Week 6.b: Lichamen priem lichaam, karakteristiek K is een L-vectorruimte, als L een deellichaam van K is de orde van een eindig lichamen is een macht van een priem lichaam met 4 elementen g(x) is inverteerbaar in K[x]/(f(x)) als gcd(g, f) = 1 als f(x) is irreducible dan geeft dit een lichaam a is een wortel (root) of nulpunt van f(x) (x a) deelt f(x) een polynomoom van de graad n heeft hoogstens n nulpunten Frobenius automorfisme (x x q or x p ) voor eindige lichamen Notatie voor eindige lichaam met q elementen: F q College 6.b, vrijdag, 5e en 6e uur: 14.4 Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast de eenvoudige opgaven voor de instructie. EVO Testen 6.1 t/m 6.5 op Oncourse 10
13. Kwartiel 3, Week 7.a: Algebraïsche gehelen en idealen homomorfisme van een lichaam naar een ring en eigenschappen algebraïsche gehelen algebraïsch over een lichaam algebraïsche gehelen vormen een lichaam idealen doorsnede van idealen is een ideaal I + J is een ideaal (V )R is een ideaal Z is een hoofdideaal ring, ieder ideaal wordt door 1 element voortgebracht equivalente beweringen voor I = R lichamen hebben alleen triviale idealen priem ideaal, maximaal ideaal maximaal idealen zijn priem idealen omkering geldt bijna voor Z, behalve voor (0)Z College 7.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 14.4 en 14.5 Instructie 7, dinsdag, 3e en 4e uur: 14.8: 9, 11, 12, 13, 14, 15 opgaven uit het boek en op Oncourse 14. Kwartiel 3, Week 7.b: Goede vrijdag, geen college 11
15. Kwartiel 3, Week 8.a: Quotient ring of residue klasse ring residue klassen zijn equivalentie klassen R/I is een ring eerste isomorfie stelling: R/I is een domein als I een priem ideaal is R/I is een lichaam als I een maximaal ideaal is f homomorfism van ring R naar ring S, dan R/ker(f) is isomorf met Im(f) voorbeeld: I = (n)z of I = (x 2 + x + 1)F 2 L lichaam en L = q dan x q x is het product alle (x a) met a L L heeft q 1 elementen L notatie voor de multiplicatieve groep van L deellichaam van een lichaam met p n elementen heeft p m elementen, met m een deler van n minimaal polynoom van een algebraïsch element het minimaal polynoom is uniek en is irreducibel graad minimaal polynoom van a is gelijk het aantal geconjugeerden van a irreducibel polynoom over F q van graad n deelt x qn x laatstgenoemde is gelijk aan het product van alle monische, irreducibele polynomen van graad m een deler van n dit geeft een manier om alle irreducibele polynomen te vinden en aan te tonen dat voor ieder positief geheel getal n en iedere priem p er altijd een irreducibel polynoom van de graad n bestaat met coëfficïenten in F p er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p de multiplicatieve groep is cyclisch (merk op dat de verwijzing 6.5.10 betreft en dat de bewering dient te gelden voor iedere deler van de orde van de groep, en niet alleen voor orde van de groep zelf) het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0 College 8.a, dinsdag, 1e en 2e uur: 14.6 en 14.7 Instructie 8, dinsdag, 3e en 4e uur: 14.8: 19, 20, 21, 22, 23 (hint, gebruik de norm), 24, 27, 28, 30 opgaven uit het boek en op Oncourse. 16. Kwartiel 3, Week 8.b: Vragenuur 12