Rakende grafieken? maximumscore 5 Er moet gelden f( x) = gx ( ) en f'x ( ) = g'x ( ) f' ( x ) = en g' ( x) = x x e Uit f'x ( ) = g'x ( ) volgt x = e ( x = e voldoet niet) f ( e ) = en ( e ) ( f ( e) = g( e) en f ' ( e) g' ( e) g = =, dus) de grafieken van f en g raken elkaar Elektrische spanning maximumscore 5 De vergelijking 5sin( t) = moet worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Twee tijdstippen binnen één periode zijn bijvoorbeeld,5 en,75 Dit geeft,75,5 % = 5%, (Vanwege symmetrie is het gevraagde percentage dus 5% =) 5% ( nauwkeuriger) De vergelijkingen = 5sin( t) en = 5sin( t) moeten worden opgelost Beschrijven hoe deze vergelijkingen kunnen worden opgelost Vier tijdstippen binnen één periode zijn bijvoorbeeld,5 ;,75 ;,5 en,75 Dit geeft,75,5 % = 5% en,,75,5 % = 5%, Het gevraagde percentage is dus 5% ( nauwkeuriger)
maximumscore, ( ) De vergelijking = ( ), U 5sin t dt moet worden eff opgelost Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost Het antwoord: 9,8 (volt) 4 maximumscore 5 U' ( t) = 5( cos kracht ( t) cos( t )) U' t = geeft t = t + k (met k geheel) (welke ( ) kracht geen oplossingen heeft) ( ) = 75 t = t + k (met k geheel) t = ( een andere waarde van t waarvoor U kracht maximaal is) ( t ) Een toelichting waaruit blijkt dat t = de maximale waarde van U geeft, bijvoorbeeld met een grafiek kracht De maximale waarde van U kracht is 5 (volt) sin( t ) sin( t ) = t (t ) t + (t ) sin cos sin cos t Dit is gelijkwaardig met ( ) ( ) De bijbehorende grafiek is een sinusoïde met amplitude De maximale waarde van U kracht is 5 (volt)
Bissectrice en cirkel 5 maximumscore CAD = CBA ; hoek tussen koorde en raaklijn CBA = CAB ; gelijkbenige driehoek Dus CAD = CAB (dus AC is bissectrice van hoek BAD) 6 maximumscore 4 CAD = CFD ; constante hoek EFG = 8 CFG ; gestrekte hoek CAD = EAG (vorige vraag), dus EAG = CFD = CFG EAG + EFG = 8, dus AEFG is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (en dus ligt G op de cirkel door A, E en F) ACF = ADF, dus ACE = ADF ; constante hoek AGF = ADG + GAD = ADF + CAD ; buitenhoek driehoek CAE = CAD (vorige vraag) zodat AEF = AEC = 8 ACE CAE = 8 ACE CAD ; hoekensom driehoek AGF + AEF = 8, dus AEFG is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (en dus ligt G op de cirkel door A, E en F) ACF = ADF, dus ACE = ADG ; constante hoek CAD = CAE, dus GAD = CAE (vorige vraag) AGD AEC ; hh, dus AGD = AEC AGF = 8 AGD ; gestrekte hoek, dus AGF + AEF = 8 AGD + AEC = 8 AGD + AGD = 8, dus AEFG is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (en dus ligt G op de cirkel door A, E en F)
Twee sinusoïden 7 maximumscore 7 Voor de lengte L van het lijnstuk geldt L( p) = f( p) g( p) ( ( p ) = sin sin( p )) 4 L' ( p) cos( p ) cos( p ) = L' ( p ) = geeft p = p + k (met k geheel) p = ( p )+ k (met k geheel) Dit geeft p = k (met k geheel) p = 4+ k (met k geheel) 9 Het antwoord: p = 4 (en de andere oplossingen voldoen niet) 9 Voor de gevraagde waarde van p geldt f '( p) = g' ( p) f' ( p) = cos( p ) g' p p ( ) = cos( ) f '( p) = g' ( p) geeft p = p + k (met k geheel) p = ( p )+ k (met k geheel) Dit geeft p = k (met k geheel) p = 4+ k (met k geheel) 9 Het antwoord: p = 4 (en de andere oplossingen voldoen niet) 9 4
Voor de lengte L van het lijnstuk geldt L( p) = f( p) g( p) ( sin ( p ) sin( p ) 4 L p p ( ) p ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) ( ) = sin( ) cos cos( ) sin 4 sin( p)cos cos( p)sin = sin( p) cos( p) + 4 4 4 sin( p) cos( p) L' ( p) cos( p) sin( p) cos( p) sin( p) (cos( p) cos( p)) + (sin( p) sin( p)) =, dus ( sin( p) sin ( p )) ( sin( p ) cos( p )) sin ( p) sin( p ) + sin( p ) cos( p ) =, dus sin ( ) sin ( p ) + cos( p ) = ; uit sin ( p ) = volgt p k + = + + + = p = = (met k geheel) sin p cos p tan p =, dus Uit ( ) + ( ) = volgt ( ) k 9 p = + (met k geheel) Het antwoord: p = 4 (en de andere oplossingen voldoen niet) 9 Opmerkingen Als de kandidaat niet expliciet met p heeft gewerkt (maar bijvoorbeeld met x), hiervoor geen scorepunten in mindering brengen. Als bij het eerste het tweede antwoordalternatief alleen p = p + k wordt opgelost, met als conclusie geen oplossingen, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen. sin p = wordt Als bij het derde antwoordalternatief alleen ( ) opgelost, met als conclusie geen oplossingen, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen. 5
Sinus en parabool 8 maximumscore 5 sin( x) sin ( x) = Beschrijven hoe deze vergelijking op exacte wijze kan worden opgelost sin( x ) = ( sin( x ) = hoort bij P) De x-coördinaten van de twee andere punten zijn x = en x = 5 6 6 Het antwoord: 9 maximumscore 5 De oppervlakte is f ( x )dx Uit cos( x) = sin ( x) volgt sin ( x) = cos( x), dus f( x) = sin( x) + cos( x) De oppervlakte is (sin( x) + cos( x) ) dx Een primitieve van sin( x) + cos( x) is cos( x) + sin( x) x De oppervlakte is 6 6
maximumscore 6 f ( x) = cos( x) 4sin( x)cos( x) g ( x) = ax + b g () = f () geeft b = g( ) = en b = geeft a + = Hieruit volgt a = ( een gelijkwaardige uitdrukking) f ( x) = cos( x) 4sin( x)cos( x) g ( x) = ax + b g () = f () geeft b = g ( ) = f ( ) en b = geeft a+ = ( g ( ) = geeft a+ = ) Hieruit volgt a = ( een gelijkwaardige uitdrukking) f ( x) = cos( x) 4sin( x)cos( x) g ( x) = ax + b g( ) = geeft b= a g ( ) = f ( ) en b= a geeft a= Hieruit volgt a = ( een gelijkwaardige uitdrukking) en b = f ( x) = cos( x) 4sin( x)cos( x) g( ) = geeft g( x) = ax( x ) = ax a x, dus b= a ( x b top = a geeft b= a) g ( x) = ax a g () = f () geeft a= Hieruit volgt a = ( een gelijkwaardige uitdrukking) en b = Opmerkingen Omdat gegeven is dat er waarden van a en b bestaan waarvoor aan de drie voorwaarden is voldaan, hoeft na berekening van deze waarden uit twee van de drie voorwaarden de derde voorwaarde niet gecontroleerd te worden. Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen. 7
Brandwerendheid van een deur maximumscore 5 ln ( t) + 6ln( t) 9 ln( t) 6 T' nat( t) = 5 e + t t T' nat () geeft ln( t) 6 + = t t Dit geeft ln( t ) = De maximale temperatuur is + 5 e = 7 (ºC) (ln( t) ) De herleiding tot + 5 e Dit is maximaal als (ln( t) ) maximaal is Dat is het geval als ln( t ) = De maximale temperatuur is + 5 e = 7 (ºC) T nat is maximaal als ln ( t) + 6ln( t) 9 maximaal is d ( ln( t) 6 ln ( t) + 6ln( t) 9) = + dt t t ln( t) 6 + = geeft ln( t ) = t t De maximale temperatuur is + 5 e = 7 (ºC) Opmerking Als in het eerste antwoordalternatief voor T' nat () t de uitdrukking ln ( t) + 6ln( t) 9 6 5 e ln( t) + wordt gegeven, dan één van de twee t scorepunten voor de afgeleide functie toekennen. maximumscore 4 De vergelijking + 45 log(8t + ) = moet worden opgelost 8 log(8 ) 45 t + = (,86) 8 8t + = 45 ( 6,48) Het antwoord: t,685 (minuten) 8
maximumscore 7 De oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur is,69 ( + t+ ) 45 log(8 ) dt Deze oppervlakte is (ongeveer) 99 Beschrijven hoe de vergelijking Tnat ( t ) = kan worden opgelost Dit geeft t 6,6 ( nauwkeuriger) De oppervlakte bij de natuurlijke brand is ln ( t) + 6ln( t) 9 ( + 5 e )dt 6,6 Deze oppervlakte is (ongeveer) 4 4 (4 4 > 99, dus) de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens minuten stand De oppervlakte van het grijze vlakdeel in figuur is,69 ( + t+ ) 45 log(8 ) dt Deze oppervlakte is (ongeveer) 99 Beschrijven hoe de vergelijking Tnat ( t ) = kan worden opgelost Dit geeft t 6,6 ( nauwkeuriger) Beschrijven hoe de vergelijking x ln ( t) + 6ln( t) 9 ( + 5 e )dt = 99 kan worden opgelost 6,6 Dit geeft x 6 ( 6 <, dus) de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens minuten stand Opmerkingen In plaats van de ondergrens,69 van de eerste integraal mag ook de nauwkeuriger waarde gebruikt worden die in de vorige vraag is berekend. Als in één beide integralen de term is vergeten, voor deze vraag maximaal 6 scorepunten toekennen. 9
Parallellogram met verlengde diagonaal 4 maximumscore 5 AC deelt BD middendoor; parallellogram Noem het snijpunt van AC en BD punt S, dan is lijn ES een zwaartelijn van driehoek DBE (; zwaartelijn driehoek) BD deelt AC middendoor (dus CS = CA = CE) C ligt op zwaartelijn ES met EC : CS = : C is dus het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek DBE (want er is maar één punt Z op ES met EZ : CZ = : ) (; zwaartelijnen driehoek) AC deelt DB middendoor; parallellogram C ligt op zwaartelijn EA van driehoek DBE (; zwaartelijn driehoek) Noem het snijpunt van BC en DE punt T, dan geldt ADE = CTE ; parallellogram, F-hoeken en DEA = TEC, dus ADE CTE ; hh C is het midden van AE, dus T is het midden van DE en dus ligt C op zwaartelijn BT van driehoek DBE (; zwaartelijn driehoek) C is dus het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek DBE (; zwaartelijnen driehoek) Noem het snijpunt van CD en BE punt P Dan geldt ABE = CPE en BAE = PCE ; parallellogram, F- hoeken, dus ABE CPE ; hh C is het midden van AE, dus P is het midden van BE en dus ligt C op zwaartelijn DP van driehoek DBE (; zwaartelijn driehoek) Uit eenzelfde redenering met het punt Q, het snijpunt van BC en DE, volgt dat C op zwaartelijn BQ van driehoek DBE ligt C is dus het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek DBE (; zwaartelijnen driehoek)