Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk onder de verzameling van de natuurlijke getallen te verstaan de verzameling N = {1, 2,...}, 0 wordt dan dus niet tot N gerekend. Voor de gehele getallen schrijven we: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} 1 Priemgetallen Er zijn natuurlijke getallen die geschreven kunnen worden als product van twee of meer kleinere natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 6 = 2 3 of 30 = 2 3 5, terwijl dit bij andere getallen, zoals 3, 13 of 29 niet mogelijk is. In het algemeen, als c = a b het product is van twee natuurlijke getallen a en b, heten a en b delers of factoren van c. Ook heet c dan een veelvoud van a (en van b). Elk natuurlijk getal heeft de volgende vanzelfsprekende ontbinding in factoren: c = c 1 = 1 c (1) Definitie 1.1 Een natuurlijk getal c > 1 dat slechts als in (1) in twee factoren ontbonden kan worden, heet een priemgetal. Elk natuurlijk getal c > 1 dat geen priemgetal is, heet een samengesteld getal. Het getal 1 is dus per definitie noch priemgetal noch samengesteld. 1.1 De zeef van Eratosthenes Om alle priemgetallen kleiner dan een gegeven getal N te bepalen, moet men uit de rij 2, 3,..., N alle samengestelde getallen verwijderen. Dit kan men systematisch doen door achtereenvolgens alle veelvouden van 2, van 3, enz. te schrappen. Hierbij kan men natuurlijk alle veelvouden van n overslaan zodra n zelf al geschrapt is (want dan zijn de veelvouden van n ook al geschrapt). Bovendien kan men bij het schrappen van de veelvouden van p beginnen bij p 2, omdat de kleinere veelvouden al eerder zijn geschrapt. De rij van getallen die niet geschrapt worden, is de rij van alle priemgetallen kleiner dan N: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.... Deze methode is voor het eerst beschreven door de Griekse wiskundige Eratosthenes (±200 v. Chr.), en staat bekend als de zeef van Eratosthenes. Elke priemgetallentabel is op deze wijze gemaakt. De Griekse wiskundige Euclides (±300 v. Chr.) schreef een boek, Elementen, waarin hij op systematische wijze de gehele op dat moment bekende wiskunde behandelde. Dit boek bevat ook een gedeelte over getaltheorie. Hierin komt al de volgende stelling voor: 1
Stelling 1.2 Er zijn oneindig veel priemgetallen. Bewijs. Stel dat er slechts eindig veel priemgetallen waren: 2, 3, 5,..., p k. Vorm dan het product van alle priemgetallen: P = 2 3 5 p k. Het getal P + 1 is groter dan elk van de priemgetallen, en moet dus een samengesteld getal zijn. P + 1 is echter niet deelbaar door 2, want het eerste getal na P dat door 2 deelbaar is, is P + 2. Om dezelfde reden is P + 1 niet deelbaar door 3, 5 of één van de andere priemgetallen. Tegenspraak. 1.2 De hoofdstelling van de rekenkunde Elk samengesteld getal kan geschreven worden als product van twee kleinere factoren. Als minstens één van beide samengesteld is, kan men die ook weer schrijven als product van kleinere factoren. Zo kan men doorgaan tot er slechts priemgetallen als factoren overblijven. Hieruit blijkt: elk getal groter dan 1 is een priemgetal of het product van priemgetallen. Men kan een samengesteld getal in het algemeen op verschillende manieren via een aantal tussenstappen in priemgetallen ontbinden. Iedereen weet echter dat het uiteindelijke resultaat, de ontbinding in priemfactoren, steeds hetzelfde is (afgezien van de volgorde). Deze bekende eigenschap van de natuurlijke getallen lijkt nauwelijks nadere beschouwing waard, totdat men ontdekt dat in vergelijkbare getalsystemen waarin men ook een ontbinding in priemfactoren kan definiëren de eenduidigheid van de ontbinding niet geldt. Voorbeeld: Beschouw de even getallen (2, 4, 6,...). Sommige ervan kan men schrijven als product van even factoren, bijvoorbeeld 20 = 2 10. Bij andere is dit niet mogelijk. We noemen even getallen die niet het product zijn van even factoren even-priemgetallen. Dit zijn precies de even getallen die geen viervoud zijn. (Ga dit na.) Elk even getal is te schrijven als product van even-priemgetallen, maar zo n ontbinding hoeft niet eenduidig te zijn. Het getal 420 bijvoorbeeld heeft onder andere de ontbindingen 420 = 6 70 = 10 42. Opgave 1.1 Bepaal alle even-priemontbindingen van 360. Opgave 1.2 Wanneer heeft een even getal een eenduidige ontbinding in evenpriemgetallen? Het feit dat de gewone ontbinding in priemfactoren wèl eenduidig is, is blijkbaar toch iets bijzonders. Het staat zelfs bekend als de hoofdstelling van de rekenkunde: Stelling 1.3 De ontbinding in priemfactoren van een natuurlijk getal is eenduidig bepaald. Bewijs. Stel dat de ontbinding niet voor alle natuurlijke getallen eenduidig is. Laat c het kleinste natuurlijke getal zijn dat op (minstens) twee verschillende manieren in priemfactoren kan worden ontbonden: c = p 1 p 2 p k = q 1 q 2 q l met p 1 p 2 p k en q 1 q 2 q k. Geen van de priemfactoren p i kan gelijk zijn aan een priemfactor q j, want dan zou men c door deze factor kunnen delen en zou er een kleiner natuurlijk getal zijn dan c met twee ontbindingen. Dit zou in tegenspraak zijn met de keuze van c. Men kan nu veronderstellen p 1 < q 1. Dan geldt 2
p 1 q 1 < q 1 q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 q l = c. Het getal c = c p 1 q 1 = q 1 (q 2 q 3 q l p 1 ) heeft volgens de aannames een eenduidige priemontbinding. p 1 is een priemfactor van c en van p 1 q 1, dus ook van c. p 1 is echter geen factor van q 2 q 3 q l, dus ook niet van q 2 q 3 q l p 1. Tegenspraak. Opgave 1.3 Waarom is het bovenstaande bewijs niet overdraagbaar op het geval van de even-priemgetallen? Opgave 1.4 Gegeven is een positief geheel getal n, n > 2. V n is de verzameling getallen van de vorm kn + 1, waarin k een positief geheel getal is. Een getal m V n heet onontbindbaar in V n als er geen getallen p, q V n bestaan met m = pq. Bewijs dat er een getal in V n bestaat dat op meer dan één manier te schrijven is als het product van in V n onontbindbare elementen. (Schrijfwijzen die slechts in de volgorde van de factoren verschillen worden als gelijk beschouwd.) (IWO 1977) 2 Ggd s en kgv s Gegeven zijn twee natuurlijke getallen a en b. Het grootste natuurlijke getal dat zowel een deler is van a als van b heet de grootste gemene deler van a en b. Notatie: ggd(a, b) of kortweg (a, b). Het kleinste getal dat zowel een veelvoud van a als van b is, heet het kleinste gemene veelvoud van a en b. Notatie: (a, b) of kortweg [a, b]. a is een deler van b korten we af tot a b. Bewijs met behulp van de hoofdstelling van de rekenkunde: Opgave 2.1 Elke gemeenschappelijke deler van a en b is ook een deler van ggd(a, b). Opgave 2.2 Elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is ook een veelvoud van (a, b). Opgave 2.3 ggd(a, b) (a, b) = a b. Opgave 2.4 Als d = ggd(a, b) dan geldt ggd( a d, b d ) = 1. Stelling 2.1 Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b bestaan er gehele getallen q (voor quotiënt) en r (voor rest) zo, dat b = qa + r en 0 r < a. Bewijs. Noem het kleinste veelvoud van a dat groter is dan b (q + 1)a, en noem r = b qa. q en r voldoen dan aan de gevraagde eigenschappen. Men kan de ggd van twee getallen bepalen door beide in priemfactoren te ontbinden. Vooral bij grote getallen kan dit echter een omvangrijk werk zijn. Er is een veel snellere methode. Deze berust op het volgende feit: als b = qa + r, q Z, dan geldt ggd(a, b) = ggd(a, r). Elke deler van a en b is immers ook een deler van r = b qa en omgekeerd is elke deler van a en r een deler van b = qa + r. Om de ggd(a, b) te 3
bepalen kan men daarom het volgende algoritme gebruiken: b = q 1 a + r 1 (0 r 1 < a) a = q 2 r 1 + r 2 (0 r 2 < r 1 ) r 1 = q 3 r 2 + r 3 (0 r 3 < r 2 ) r 2 = q 4 r 3 + r 4 (0 r 4 < r 3 ).. r k 2 = q k r k 1 + r k (0 r k < r k 1 ) r k 1 = q k+1 r k + r k+1 (r k+1 = 0) We weten zeker dat er een k N is waarvoor r k+1 = 0, want anders zou de rij a, b, r 1, r 2,... een oneindige, strikt dalende rij natuurlijke getallen zijn, en zo n rij bestaat niet. (Bewijs dit.) Hieruit blijkt vervolgens dat r k = ggd(r k, r k 1 ) = ggd(r k 1, r k 2 ) = = ggd(r 1, a) = ggd(a, b). Een voorbeeld: bepaal ggd(1970, 1066). 1970 = 1 1066 + 904 26 = 1 16 + 10 1066 = 1 904 + 162 16 = 1 10 + 6 904 = 5 162 + 94 10 = 1 6 + 4 162 = 1 94 + 68 6 = 1 4 + 2 94 = 1 68 + 26 4 = 2 2 68 = 2 26 + 16 De ggd van deze twee getallen is dus 2. Het bovenstaande algoritme voor het berekenen van ggd s staat al beschreven in Euclides Elementen en heet daarom het algoritme van Euclides. Opgave 2.5 Bepaal ggd(30444, 11868), ggd(16913, 16949) en ggd(9597, 4841). Opgave 2.6 Bewijs: als ggd(a, b) = 1, dan ggd(a + b, a b) {1, 2}. Opgave 2.7 Bewijs: als ggd(a, b) = 1, dan ggd(a + b, a 2 ab + b 2 ) {1, 3}. Opgave 2.8 Bewijs de volgende varianten van stelling 2.1: (1) als a en b gehele getallen zijn en a 0, bestaan er gehele getallen q en r met 0 r < a en b = qa + r. (2) als a en b gehele getallen zijn en a 0, bestaan er gehele getallen q en r met 1 2 a < r 1 2 a en b = qa + r. Opgave 2.9 Op variant (2) uit de vorige opgave kan men een algoritme baseren analoog aan het algoritme van Euclides. Omdat de hierbij optredende resten in het algemeen kleiner zijn dan bij Euclides algoritme, werkt dit algoritme meestal sneller. Ga dit na voor de ggd s uit opgave 2. Opgave 2.10 a is een natuurlijk getal met de volgende eigenschappen: (1) a 100 geeft bij deling door 73 rest 2. (2) a 101 geeft bij deling door 73 rest 69. Bepaal de rest bij deling van a door 73 Stelling 2.2 Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b zijn er gehele getallen m en n zo, dat ggd(a, b) = ma + nb. Bewijs. De verzameling S van alle getallen van de vorm xa + yb met x en y geheel heeft een kleinste positieve element. Stel dat dit ma + nb is. Elke deler van a en 4
b is ook een deler van ma + nb. In het bijzonder is dus ggd(a, b) een deler van ma + nb. Anderzijds is het voor zekere gehele q en r zo, dat a = q(ma + nb) + r met 0 r < ma + nb. Dit betekent dat r = (1 qm)a qnb, dus r behoort tot S. Maar ma + nb is het kleinste positieve element van S, dus r = 0. Bijgevolg is ma + nb een deler van a. Evenzo bewijst men dat ma + nb een deler is van b, dus ma + nb (a, b). Er was al bewezen dat ggd(a, b) een deler van ma + nb is, dus moet gelden ma + nb = ggd(a, b). Een ander bewijs van deze stelling kan men uit het algoritme van Euclides afleiden: kijk nog eens naar de algemene techniek en merk op dat ggd(a, b) = r k, dus dat uit de voorlaatste vergelijking volgt ggd(a, b) = r k 2 q k r k 1 en uit de vergelijking daarvoor ggd(a, b) = r k 2 q k (r k 3 q k 1 r k 2 ). Zo voortgaande kan men ggd(a, b) uitdrukken in r i s met steeds lagere rangnummers, en uiteindelijk in a en b. Dit geeft dus ook een methode om zulke getallen m en n daadwerkelijk te bepalen. Opgave 2.11 Bepaal getallen m en n als boven voor de getallenparen uit opgave 2. Opgave 2.12 Bepaal gehele getallen x en y zo, dat 91x + 221y = 1053. Opgave 2.13 Bewijs dat elk geheel getal n te schrijven is in de vorm n = 29x+13y waarbij x en y geheel zijn. Opgave 2.14 Bepaal het kleinste natuurlijke getal N zo, dat elk natuurlijk getal n > N geschreven kan worden als n = 29x + 13y met x en y natuurlijk. 3 Volledige Inductie Om de geldigheid te bewijzen van een uitspraak van de vorm Voor ieder natuurlijk getal n geldt P (n), waarbij P (n) staat voor een bewering (propositie) waarin n voorkomt, maakt men vaak gebruik van de volgende methode: 1. Men bewijst P (1). 2. Men bewijst dat als P (1), P (2),..., P (k) gelden, dan ook P (k + 1) geldt. Hieruit volgt de geldigheid van P (n) voor alle natuurlijke n. Immers, zou P (n) niet voor alle natuurlijke getallen n gelden, dan zou er een kleinste natuurlijke waarde n 0 zijn waarvoor P (n 0 ) niet geldt. n 0 is niet gelijk aan 1 wegens (1) en omdat P (1) tot en met P (n 0 1) wel gelden, geldt P (n 0 ) ook op grond van (2). Tegenspraak. Voorbeeld: voor elk natuurlijk getal n geldt 1 2 + 2 2 + + n 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). Bewijs. de geldigheid van de formule voor n = 1 is duidelijk. Stel dat de formule ook voor alle n k geldt. Dan volgt: 1 2 +2 2 + +k 2 +(k+1) 2 = (1 2 +2 2 + +k 2 )+ (k+1) 2 = 1 6 k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 = 1 6 (k+1)(2k2 +7k+6) = 1 6 (k+1)(k+2)(2k+3) en dit is precies de formule voor n = k + 1. 5
Opgave 3.1 Bewijs de volgende beweringen met volledige inductie voor alle natuurlijke n: (1) 1 + 3 + + (2n 1) = n 2 ; (2) 1 + 2 + + n = 1 2n(n + 1); (3) 1 3 + 2 3 + + n 3 = (1 + 2 + + n) 2 ; (4) a n b n is deelbaar door a b; (5) 3 3n+1 + 7 5 n 1 is deelbaar door 11. Opmerking: in plaats van f(1) + f(2) + + f(n) gebruikt men vaak de korte notatie n i=1 f(i). Zo kan men bijvoorbeeld de derde formule uit de vorige opgave schrijven als n i=1 i3 = ( n k=1 k) 2. 4 Gemengde opgaven Opgave 4.1 Bewijs dat men uit elke verzameling van 52 gehele getallen er twee kan kiezen waarvan de som of het verschil een veelvoud is van 100. Opgave 4.2 Er zijn paren priemgetallen die verschil twee hebben, zoals (5, 7) en (29, 31). Bestaan er ook priemgetallen p 1, p 2, p 3 zo, dat p 3 p 2 = p 2 p 1 = 2? Opgave 4.3 p 1 en p 2 zijn priemgetallen groter dan 3 met verschil 2. Bewijs dat p 1 + p 2 deelbaar is door 12. Opgave 4.4 Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n, 9 n + 63 deelbaar is door 72. Opgave 4.5 Bewijs dat n 3 + n2 2 + n3 6 voor alle natuurlijke n een natuurlijk getal is. Opgave 4.6 Bepaal vier verschillende paren natuurlijke getallen zo, dat het verschil van hun kwadraten gelijk is aan 105. Opgave 4.7 Bewijs dat 2 256 1 geen priemgetal is en geef minstens drie priemfactoren ervan. Opgave 4.8 Bewijs dat er precies één derdemacht van de vorm 2p + 1 is, waarin p priem is. Opgave 4.9 Bewijs dat ggd(n 3 + 2n, n 4 + 3n 2 + 1) = 1 voor elke n N. Opgave 4.10 Bewijs dat 3n 2 1 voor geen enkel natuurlijk getal n een kwadraat is. Opgave 4.11 Bepaal gehele x en y zo, dat 101x + 753y = 100.000. Opgave 4.12 n wordt in het tientallig stelsel geschreven met 300 enen en een aantal nullen. Is n een kwadraat? 6