Voorwoord. Hoofdstukken:

Voorwoord Di boek behandel de belangrijkse begrippen en mehoden ui de analyse van 'funcies van één variabele' en de analyische vlakke meekunde als een samenhangend geheel Begrippen en mehoden, waarmee we op school op min of meer inuïieve wijze kennis hebben gemaak, worden in di boek op een wiskundig veranwoorde manier van de grond af aan opnieuw opgebouwd Een belangrijk doel is he zelf leren bewijzen door kennis e maken me de gangbare bewijsmehoden De focus is hier meer op de heoreische srucuur van genoemde wiskundegebieden gerich dan op prakisch rekenwerk en concree oepassingen Elemenaire rekenvaardigheid mb algebraïsche formules, eponeniële, logarimische en goniomerische funcies, differeniëren en inegreren en enige kennis van de schoolmeekunde word bekend veronderseld Hoofdsuk geef een kore samenvaing van de begrippen en noaies die nie o de vwo-sof behoren, maar die wel nodig zijn voor een goed begrip van de volgende hoofdsukken Hoofdsukken: Basisbegrippen De geallenlijn 3 Limieen, coninuïei en afgeleide 4 Inegralen 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 Vlakke meekunde 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 8 Primiieven en Riemannsommen 9 Hogere afgeleiden 0 Krommen en oppervlake Kennis van deze onderwerpen is noodzakelijk voor iedereen die een eac vak sudeer op universiair bachelorniveau Als voorkennis is in principe wiskunde B op vwoniveau voldoende IJls, okober 0 Rinse Pooringa

Inhoud Basisbegrippen Verzamelingen Geordende paren 4 3 Funcies, afbeeldingen 5 4 Indenoaie, rijen 8 5 De lege verzameling nader bekeken 6 Bewerkingen 7 Groep 4 8 Direc produc 5 9 Srucuurbehoudende afbeeldingen 5 0 Ondergroep 6 Een inern direc produc 8 De kern van een groepshomomorfie 9 3 De nauurlijke geallen 0 4 Decimale schrijfwijze 3 5 Gehele veelvouden 4 6 Groose gemene deler 6 7 Priemgeallen 7 8 Afelbare verzamelingen 8 9 Equivalenierelaies 9 0 Ordening 3 Lichamen 34 Complee geallen 38 De Geallenlijn 40 De lijn 40 Een lijnsuk in gelijke delen verdelen 43 3 Archimedische ordening 45 4 Inervallennes 47 5 He besaan van worels 50 6 Kleinse bovengrens en groose ondergrens 5 7 Scalair produc 56 8 Lenge, afsand en absolue waarde 60 9 Verhoudingen op een lijn 6 0 Lineaire ruimen 63 Afsand, inproduc en orhogonaliei 7 Geordende lichamen 74 3 Lijnen me vase oorsprong 75 4 Eponeniële en logarimische funcies 79 5 Besaan er eigenlijk wel reële geallen? 8

3 Limieen, coninuïei en afgeleide 85 3 Monoone funcies 85 3 Convergene rijen 86 33 Inervallen, open en gesloen verzamelingen 90 34 Monoone funcies en coninuïei 96 35 Coninuïei 99 36 Machen me raionale eponenen 03 37 De limie van een funcie in een verdichingspun van zijn domein 05 38 De afgeleide 07 39 Ereme waarden 30 Selling van Rolle, middelwaardeselling 3 Sijgen en dalen 3 3 Producregel, quoiënregel en keingregel 4 33 Plus en min oneindig 7 34 Lipschizconinuïei en uniforme coninuïei 9 35 He convergeniekenmerk van Cauchy 36 Differenieerbaarheid van de eponeniële en logarimische funcies 37 Alernaieve definiies van de eponeniële en logarimische funcies 6 4 Inegralen 30 4 Middelwaardeselling en oppervlake 30 4 Primiieve 3 43 Oppervlake onder de grafiek van een funcie 3 44 Inegraalfuncie 35 45 Samfuncie 38 46 Inegreerbaarheid 4 47 Primiieven en samfuncies 45 48 He inegraaleken 46 49 De nauurlijke logarime 49 40 Eponeniële funcies 5 4 Logarimische funcies 55 4 Machsfuncies 56 43 Enkele belangrijke limieen 57 44 Oneigenlijke inegralen 59 5 De eenheidscirkel en goniomerie 6 5 Sinus, cosinus en angens 6 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule 6 53 De symmerieën van de eenheidscirkel 63 54 Radialen 64 55 Cosinus en sinus als funcies me domein 65 56 Eigenschappen en formules van de sinus en cosinus 67 57 Uniekheid van de sinus en de cosinus 70 58 De arcsinus en arccosinus 7 59 De angens 73

50 Arcangens 74 5 He besaan van de sinus, cosinus en angens 76 5 Nog een andere karakerisering van de sinus en de cosinus 77 53 De lenge van een grafiekboog 78 54 Booglenge bij monoone funcies 80 55 Andere eigenschappen die recificeerbaarheid garanderen 8 56 De cyclomerische funcies 83 57 als oppervlake van de eenheidscirkel 85 58 Argumen en modulus van een pun 85 59 Roaies om O en georiëneerde hoeken 86 50 Spiegelen ov een lijn door O 88 5 Complee geallen en poolcoördinaen 89 6 Vlakke meekunde 9 6 als lineaire ruime 9 6 Lijnen in 9 63 Translaies 96 64 De parameervoorselling van een lijn 97 65 Beschrijving van een lijn dmv deerminan of inproduc 00 66 He comple produc 0 67 Spiegelen ov de -as 03 68 De draaivermenigvuldiging 04 69 Eigenschappen van inproduc en deerminan 05 60 Oriënaie en hoofdwaarde van georiëneerde hoeken 06 6 Nie-georiëneerde hoeken 08 6 Cosinusregel en sinusregel 0 63 De hoek ussen wee lijnen 64 Verhoudingen 4 65 Geriche lenge 4 66 De afsand van een pun o een lijn, de afsand van wee evenwijdige lijnen 6 67 Halfvlakken 7 68 F-hoeken en Z-hoeken 9 69 Oppervlake van driehoeken en parallellogrammen 0 60 Lineaire en affiene afbeeldingen 3 6 Gelijkvormigheden en congruenies 30 6 Overgang op een nieuw coördinaenselsel 34 7 Cirkels, driehoeken en ransformaies van he plae vlak 36 7 Cirkel 36 7 Bissecrice 39 73 Oppervlakecoördinaen 4 74 De sellingen van Ceva en Menelaus 44 75 Congruene driehoeken 47 76 Gelijkvormige driehoeken 49 77 Congruenies 5 78 Vermenigvuldigen ov een pun 57 79 Equivalene figuren 58

70 Ellipsen, hyperbolen en parabolen 59 7 De mach van een pun ov een cirkel 66 7 Inversie ov een cirkel 68 73 Harmonisch scheiden 7 74 Sereografische projecie 73 75 Cenrale projecie 75 76 Möbiusransformaies 79 8 Primiieven en Riemannsommen 83 8 Differeniëren 83 8 Primiiveren 88 83 Subsiuieregel 9 84 Pariële inegraie 95 85 Oppervlake 99 86 Riemannsommen 300 9 Hogere afgeleiden 307 9 De bese lokale affiene benadering van een funcie 307 9 He o-symbool van Landau 308 93 Hogere afgeleiden 30 94 Een uibreiding van de middelwaardeselling 30 95 De regel van l Hospial 3 96 Lokale benadering door Taylorpolynomen 34 97 De selling van Taylor 38 98 Taylorpolynoom Ta, n ( ) bij vase en oenemende n 3 99 De reserm in inegraalvorm 37 90 Conve en concaaf 330 9 Uniforme convergenie 33 0 Krommen en oppervlake 340 0 Krommen in 340 0 Differenieerbaarheid en raaklijnen 345 03 De lenge van een kromme 35 04 De oppervlake van een vlakdeel 356 05 Poolcoördinaen 364 06 De lenge van een kromme in poolcoördinaen 370 07 De oppervlake van een secor 37 08 Oppervlake en inervalsommen 380 Lierauur 385 Trefwoorden 386

5 De eenheidscirkel en goniomerie 5 Sinus, cosinus en angens Op school zijn we de goniomerische funcies sinus, cosinus en angens voor he eers egengekomen in een meekundige cone Goniomerie beeken leerlijk hoekmeing In de rechhoekige driehoek ABC hiernaas geld de selling van Pyhagoras: a b c He omgekeerde geld ook: als a b c, dan C 90 Er geld: aanliggende rechhoekszijde cos b c schuine zijde, oversaande rechhoekszijde sin a c schuine zijde, a oversaande rechhoekszijde an b aanliggende rechhoekszijde en nauurlijk cos a, sin b en an b We merken op da 90, wan c c a de hoeken van een driehoek zijn samen 80 Hierui blijk: cos(90 ) sin, sin(90 ) cos, an(90 ) an Twee hoeken die samen 90 zijn, noemen we elkaars complemen De co-sinus van is eigenlijk de sinus van he complemen van : cos sin(90 ) Om dezelfde reden word ook wel de coangens van genoemd: an coan an(90 sin ) Er geld an an cos We zien de selling van Pyhagoras erug in [We schrijven cos ipv (cos ) en analoog cos sin sin ] Vermenigvuldigen we de zijden van ABC me een facor r 0, dan blijven sin, cos en an gelijk

6 Analyse + Meekunde Als a 0, dan hebben we geen driehoek meer en c b He lig voor de hand om sin 0 an 0 0 en cos0 e sellen Willen we da bovensaande formules voor 90 blijven gelden als 0, dan moeen we definiëren sin90, cos90 0 ; an90 besaa nie Opgave Ga me behulp van een gelijkzijdige driehoek ABC, me daarin hoogelijn CD, na da sin30 cos60, sin 60 cos30 3 en an30 3,an 60 3 Toon ook aan da sin 45 cos 45 en an 45 He is de gewoone om in ABC (de grooe van) de hoeken bij A, B en C aan e duiden me, resp en (de lengen van) de zijden egenover deze hoeken me a, b en c 5 Cosinusregel, sinusregel en oppervlakeformule Cosinusregel: in ABC geld: b a c ac cos Bewijs In de figuur hiernaas geld volgens Pyhagoras: b ( c ) h en h a, dus b ( c ) a a c c a c ac cos, wan cos a Verwisselen van leers geef ook a b c bc cos en c a b ab cos h In driehoek ABC geld sin, dus h asin De oppervlake van deze driehoek is basis hooge c h acsin Door verwisselen van leers krijgen a we: Oppervlakeformule opp ABC acsin ab sin bcsin 3 De sinusregel sin sin sin volg ui de oppervlakeformule a b c Deze bewijzen gaan alleen op voor een ABC CD op zijde AB lig Als 90 b a c ac cos word waarin he voepun D van hoogelijn, dan 0 en cos 0, dus b a c We krijgen dan de selling van Pyhagoras als speciaal geval van de cosinusregel Omgekeerd: als b a c, dan cos 0 en 90 Ook de oppervlakeformule klop voor een rechhoekige driehoek, wan sin 90 Opda de cosinusregel en oppervlakeformule ook voor een somphoekige driehoek als hiernaas blijf gelden definiëren we cos(80 ) cos

5 De eenheidscirkel en goniomerie 63 0 Voor 0 geef di cos80 cos 0 Verder sellen we sin(80 ) sin Voor 0 0 geef di sin80 sin 0 0 Me deze definiies gelden de cosinusregel a b c bc cos en de oppervlake- formule opp ABC bc sin, als 0 80 Toon di aan Twee hoeken die samen 80 zijn heen elkaars supplemen 53 De symmerieën van de eenheidscirkel Lijnen en cirkels beschouwen we als verzamelingen waarvan de elemenen punen zijn Een verzameling punen in noemen we ook wel een figuur Een afbeelding van op zichzelf waarbij afsanden behouden blijven word een congruenieafbeelding of korweg een congruenie genoemd Zo'n afbeelding beeld een lijnsuk af op een even lang lijnsuk, een cirkelboog op een even - lange cirkelboog en een driehoek op een daarmee congruene driehoek Voorbeelden van congruenies zijn ranslaies, roaies, en spiegelingen He na elkaar uivoeren van congruenies lever weer een congruenie op Een congruenie is omkeerbaar en de inverse afbeelding is ook weer een congruenie Een congruenie die een figuur op zichzelf afbeeld noemen we een symmerieafbeelding of korweg symmerie van die figuur Bij een spiegeling me lijn als spiegelas word elk pun op op zichzelf afgebeeld Liggen de punen P en Q nie op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld ov precies dan, wanneer de middelloodlijn van lijnsuk PQ is He gaa ons hier om de symmerieën van de eenheidscirkel me sraal en middelpun O Op de eenheidscirkel liggen de punen die voldoen aan de vergelijking y We gebruiken he symbool voor de eenheidscirkel, {(, y) y } Iedere middellijn van is een symmerieas van de eenheidscirkel, dwz een spiegeling ov een lijn door O beeld de eenheidscirkel op zichzelf af Zijn P en Q wee punen op, dan zijn P en Q elkaars spiegelbeeld bij de spiegeling ov de middelloodlijn van lijnsuk PQ Deze middelloodlijn gaa door O [Als P Q, dan is middellijn OP ( OQ) de spiegelas] He samensellen van wee spiegelingen ov lijnen door O geef een roaie om O, waarbij de eenheidscirkel op zichzelf word afgebeeld Als P en Q wee punen op de eenheidscirkel zijn, dan is er precies één roaie om O waarbij Q he roaiebeeld is van P Als P Q, dan is deze roaie de idenieke afbeelding, die ieder pun op zichzelf afbeeld Als P Q, dan kan deze roaie o sand worden gebrach door eers e spiegelen me spiegelas OP en daarna me de middelloodlijn van lijnsuk PQ als spiegelas [maak een ekening!] Iedere symmerie van de eenheidscirkel is een spiegeling ov een lijn door O of een roaie om O De symmerieën van vormen een groep me he samensellen van afbeeldingen als groepsbewerking Deze groep hee de symmeriegroep van De roaies om O vormen een ondergroep van deze symmeriegroep

64 Analyse + Meekunde Opmerking Er is precies één roaie om O die pun E (,0) afbeeld op pun E (0,) Of er een kwarslag egen de klok in gedraaid is of driekwarslag me de klok mee doe er nie oe Wie alleen op he eindresulaa le zie geen verschil Twee afbeeldingen F en G me gemeenschappelijk domein D zijn gelijk precies dan, wanneer F( X ) G( X ) voor iedere X D 54 Radialen Op school is op een gegeven momen me behulp van de eenheidscirkel een nieuwe hoekmaa ingevoerd, waarbij hoeken worden gemeen in radialen ipv graden Is AOB een hoek me hoekpun O en benen OA en OB me A en B op de eenheidscirkel, erwijl in graden 0 AOB 80, dan sellen we de grooe van AOB in radialen gelijk aan de lenge van de cirkelboog AB die binnen AOB lig, dwz we nemen lenge van de korse van de beide cirkelbogen me eindpunen A en B Hoe we de lenge van een cirkelboog definiëren en berekenen gaan we laer bekijken We nemen aan da bij een spiegeling van de eenheidscirkel ov een lijn door O een cirkelboog (van ) en zijn spiegelbeeld dezelfde lenge hebben Roaie om O kom neer op keer spiegelen ov een lijn door O, dus ook bij een roaie verander de lenge van een cirkelboog nie We hebben geleerd da de omrek van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus een lijn door O verdeel in wee even lange cirkelbogen, ieder me lenge Zijn A en B wee verschillende punen op de, dan noemen we lijnsuk AB een koorde van Liggen A en B op een lijn door O dan is lijnsuk AB en ook lijn AB een middellijn van Is AB geen middellijn, dan hoor bij koorde AB precies één boog AB me een lenge kleiner dan en de grooe van AOB in radialen is dan gelijk aan de lenge van deze boog Als grensgevallen sellen we de grooe van AOB op 0 radialen, wanneer A B en op radialen wanneer AB een middellijn van is Voor he omrekenen van graden naar radialen en omgekeerd gebruiken we de omrekenformule 80 rad Bijvoorbeeld 90 rad, 45 rad, 30 rad, 60 rad ec Verder 80 4 rad 80 en rad 6 Een gesreke hoek is een hoek van radialen en een reche hoek is een hoek van radialen 3

5 De eenheidscirkel en goniomerie 65 55 Cosinus en sinus als funcies me domein Nog ies laer in onze schoolcarrière zijn we de sinus, cosinus en angens gaan opvaen als funcies me domein De in cos resp sin sel dan een reëel geal voor da nie noodzakelijk geassocieerd is me een hoek Om di e moiveren gaan we in eerse insanie meekundig e werk Bekijk de figuur hiernaas Is P(, y ) een pun op de bovense helf P p van de eenheidscirkel, dan is yp 0 en AOP me A E (,0) is een hoek van radialen, wanneer boog AP de lenge heef Er geld 0 Boog AP is de boog die doorlopen word als we over de cirkel van A naar P gaan egen de wijzers van de klok in We definiëren nu voor he geal [0, ] de cosinus en sinus dmv cos P en sin yp Als,0, dan nemen we pun P( P, yp ) op he deel van da onder de -as lig Dan lig ook de bijbehorende cirkelboog AP (me uizondering van pun A) onder de -as en we kiezen P zodanig da de lenge van boog AP is Boog AP word doorlopen wanneer we me de wijzers van klok mee over de cirkel van A naar P gaan We sellen weer cos en sin y Daarmee zijn cos en sin nu gedefinieerd voor, ] P P Er geld cos( ) cos en sin( ) sin( ) Verder pun (, y) geld y waarden van, ] zo da cos 0 We definiëren de angens dmv cos sin, wan voor een sin an cos voor Voorbeeld In de figuur hiernaas geld (in radialen): AOP, AOQ u, dus POQ u Verder ( p, p ) (cos,sin ), ( q, q ) (cos u,sin u), me p p, q q In POQ geef de cosinusregel PQ OP OQ OP OQ cos( u) Ga na da he linkerlid gelijk is aan ( pq pq ) en da he recherlid zich laa herleiden o cos( u), zoda cos( u) pq pq cos cosu sin sin u Hiermee is de verschilformule cos( u) cos cos u sin sin u bewezen voor he geval da 0 u Ui de figuur blijk verder da cos 0 voor [0, en da cos 0

66 Analyse + Meekunde We hebben geleerd da de oppervlake van een cirkel me sraal r gelijk is aan r, dus de oppervlake van de eenheidscirkel is Zijn A en B punen op zo da de lenge van boog AB gelijk is aan me 0,, dan is de oppervlake van de cirkelsecor begrensd door boog AB en de beide sralen OA en OB gelijk aan (opp ) omrek We gaan nu na da sin lim 0 Neem daaroe pun P(, y) me, y 0 op De lijn OP snijd de vericale lijn in he pun S AS is de raaklijn aan de eenheidscirkel in pun A (, 0) Vergelijken we de oppervlaken van OAP, OAS en de cirkelsecor begrensd door de sralen OA, OP en boog AP, dan zien we da opp OAP oppsecor opp OAS [Als V W, dan opp V opp W wanneer de figuren V en W een oppervlake hebben] Da beeken da sin an ofwel sin cos me 0, sin Hierui volg lim en dus ook lim Me sin( ) sin vinden we 0 sin 0 sin dan lim 0 Om ensloe cos en sin e definiëren voor iedere gaan we als volg e werk: we sellen cos cosu en sin sin u, wanneer u mod Di laase beeken da er een geal k is zo da u k ofwel u k Bij iedere is er precies één u, ] zo da u mod Hiermee worden de cosinus en de sinus periodieke funcies me periode (= omrek eenheidscirkel) me domein Me k geld cos( k ) cos en sin( k ) sin We definiëren de angens sin weer dmv an voor waarden van zo da cos 0 cos 5 Voorbeeld Een pun P beweeg zich over een cirkel in posiieve draairiching, wanneer P egen de wijzers van de klok in beweeg De negaieve draairiching over de cirkel gaa me de klok mee Wanneer pun P( P, yp ) zich vanui pun A(, 0) in posiieve draairiching over een afsand 0 over de eenheidcirkel bewogen heef, dan cos P en sin yp Pun P kan hierbij meerdere keren de cirkel rond gewees zijn Als bijv, dan bevind P zich in pun (0, ) [ keer rond en daarna nog driekwar cirkel verder, alles egen de klok in vanui A]

5 De eenheidscirkel en goniomerie 67 Wanneer pun P(, y ) zich vanui pun A(, 0) in negaieve draairiching over een P P afsand 0 over de eenheidscirkel bewogen heef, dan cos( ) P en sin( ) yp Als bijv P zich over een afsand in negaieve draairiching vanui A over de 3 3 cirkel bewogen heef, dan is P één keer rond gewees, daarna nog een halve cirkel verder en ensloe nog eens over een afsand van 3 ofwel deel van een halve cirkel, 3 alles me de klok mee P bevind zich dan in pun (, 3), dus cos( 3 ) en 3 sin( 3 ) 3 3 56 Eigenschappen en formules van de sinus- en cosinus In de voorgaande paragrafen is op een meekundige manier aannemelijk gemaak [maar nie ech bewezen] da er funcies sinus en cosinus me domein besaan me de hieronder genoemde eigenschappen G /m G4: 56 Eigenschappen van de funcies cos, sin me domein G cos( u) cos cos u sin sinu G cos 0 en cos 0, als 0 G3 sin( ) sin sin G4 lim 0 Bij de meekundige moivaie van deze eigenschappen hebben we aangenomen da de omrek van de eenheidscirkel gelijk is aan en da he geal ook de oppervlake van de eenheidscirkel voorsel Volgens G is he geal he kleinse posiieve geal zo da cos 0 Da he hierbij seeds om hezelfde geal gaa, moeen we nog bewijzen De meekundige moivaie die leidde o de in 56 geformuleerde eigenschappen van de sinus, cosinus en he geal mogen we vanaf nu vergeen In de volgende paragrafen gaan we bewijzen da er inderdaad een geal en funcies cosinus en sinus me de eigenschappen G, G, G3 en G4 besaan In deze paragraaf zullen we eers onderzoeken welke eigenschappen he geal en de funcies sinus en cosinus ui 56 nog meer moeen hebben, veronderseld da ze besaan Ui G /m G4 volg: () sin 0 0, cos0, sin en sin 0, als 0, () cos sin, (3) cos( ) cos, (4) cos( ) sin, sin( ) cos Opmerking Ui () blijk da he pun (cos, sin ) voor iedere op de eenheidscirkel lig Er geld dus cos, sin Bewijs Ui G3 volg me 0 da sin(0) sin 0, dus sin(0) 0 Ui G4 volg da sin nie voor iedere gelijk aan 0 is Ui G volg me u 0 da cos 0 cos 0, dus cos0 0 of cos0 Me u volg ui G da cos sin cos 0 voor iedere, dus cos0 0 kan nie, wan da zou beekenen da cos sin 0 voor iedere

68 Analyse + Meekunde Hiermee is aangeoond da cos0 en cos sin Ui cos 0 en cos sin volg sin of sin We laen zien da sin Ui G4 volg namelijk da er een r 0 is zo da sin voor r, r Dan geld voor 0 r da sin en dus sin 0 Als r 0, da sin en dus sin 0 We nemen hierbij r zodanig da 0 r Voor 0 r geld dan cos( ) 0, sin 0 en cos( ) cos cos sin sin sin sin, dus sin en nie sin Tegelijk is aangeoond da cos( ) sin Vervangen we in de laase formule door, dan krijgen we cos sin( ) Hiermee is (4) bewezen Da sin 0, als 0, volg ui cos( ) sin en G Wa beref (3): ui G volg cos( u) cos( u ) Nemen we hierin u 0, dan krijgen we cos cos( ) (5) Som en verschilformules cos( u) cos cos u sin sinu, cos( u) cos cosu sin sinu, sin( u) sin cos u cos sin u, sin( u) sin cosu cos sin u Bewijs De formule voor cos( u) is G en de formule voor cos( u) krijgen we hierui door u e vervangen door u en daarna G3 en (3) oe e passen De formules voor sin( u) volgen ui die voor cos( u) dmv sin cos( ) Ui (5) volgen direc: (6) Formules voor cos cos sin cos sin, sin sin cos (7) Formules voor en cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) sin, sin( ) cos, cos( ) cos, sin( ) sin (8) Cosinus en sinus zijn periodiek me periode Voor k geld: cos( k ) cos, sin( k ) sin Opmerking Ui de formules voor cos in (6) volgen de formules cos ( cos ) en sin ( cos )

5 De eenheidscirkel en goniomerie 69 Voorbeeld 4 sin ( cos ) en sin 0 [zie ()], dus sin 4 4 Ook cos Op deze manier zien we bevesigd wa we ui de meekunde al wisen 4 (9) De cosinus en de sinus zijn differenieerbaar op Er geld cos ( ) sin en sin ( ) cos voor iedere sin h sin h sin 0 Bewijs Ui lim volg, da de sinus differenieerbaar is in 0 en h0 h h 0 da sin (0) De sinus is dus ook coninu in 0 Verder geld sin ( h) ( cos h) en dus cos h cos 0 lim h 0 h0 h cos h sin ( h) lim lim h0 h h0 sin( h) sin( h) lim sin( h) h0 lim h sin( h) lim 0 0 h0 0 h Da beeken da ook de cosinus differenieerbaar is in 0 en da cos (0) 0 sin( h) sin( ) (cos sin h cos h sin ) sin sin h cos h Ui cos sin h h h h sin( h) sin( ) volg nu lim cos ofwel sin ( ) cos Toon zelf op soorgelijke h0 h manier aan da cos ( ) sin Opmerking In de volgende paragraaf laen we zien da er hoogsens één funciepaar cosinus en sinus is me de in (9) genoemde eigenschap Gevolg: (0) De cosinus en sinus zijn coninu, () De cosinus is srik dalend en de sinus is srik sijgend op he inerval [0, ] () Formules voor cos cosu en sin sin u cos cosu cos ( u)cos ( u), cos cosu sin ( u)sin ( u), sin sin u sin ( u)cos ( u), sin sin u cos ( u)sin ( u) Bewijs Ui sin( a b) sin a cosb cos asin b en sin( a b) sin acos b cos asinb volg door opellen: sin( a b) sin( a b) sin acos b Er geld: a b, a b u a ( u), b ( u) Ec Idem voor de res van ()

70 Analyse + Meekunde Opgave Toon me behulp van () aan da (i) cos cos u u k of u k voor zekere k (ii) sin sinu u k of u k voor zekere k Ga ook na: cos cosu èn sin sin u u (mod ), maw de afbeelding : (cos,sin ) is een --afbeelding van [0, op de eenheidscirkel Voorbeeld We gaan na da cos 3 en sin 6 6 Er geld cos 3 cos( ) cos cos sin sin (cos ) cos cos sin Vervangen we hierin 3 sin door cos, dan krijgen we cos 3 4cos 3cos Me krijgen we 0 4 3 waarin cos We ween da 0, dus 6 6 6 4 3 0 ofwel y sin geld y 0 en y, dus y Ui (4) volg dan 3 3 cos en sin 3 3 3 / 4 3 Me 57 Uniekheid van de sinus en de cosinus Volgens eigenschap (9) ui 56 zijn de sinus en cosinus differenieerbaar en sin ( ) cos, cos ( ) sin voor Is een funcie f differenieerbaar, dan is he mogelijk da ook de afgeleide f op zijn beur weer differenieerbaar is De afgeleide van de afgeleide van f noemen we de weede afgeleide van f en duiden we me een dubbel accen aan als f Ga na da zowel de sinus als de cosinus op voldoen aan (*) f f Een funcie f me deze eigenschap is oneindig vaak differenieerbaar en op geld f f f f f f f f 0 Dus is een consane funcie ofwel f ( f ) [ f ( f ) ] ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) voor iedere Me f ( ) sin geef di bijv sin cos Ga verder na: zijn f en g wee funcies die voldoen aan (*), dan geld di ook voor a f b g als a, b Ihb voldoen alle funcies a cos b sin me a, b aan (*) We gaan nu na da deze funcies de enige funcies zijn die voldoen aan (*) Sel namelijk da ook g : voldoe aan (*) en da g(0) a en g(0) b Dan voldoe f ( ) g( ) ( a cos b sin ) aan (*) en f (0) g(0) a a a 0 en ook f (0) g(0) ( a sin 0 b cos0) b b 0 Dus geld ( f ( )) ( f ( )) ( f (0)) ( f (0)) 0 voor iedere Da beeken da f ( ) f ( ) 0 ofwel g( ) a cos b sin voor iedere 57 Voor een minsens weemaal differenieerbare funcie f : geld: f f op f ( ) f (0) cos f (0) sin voor iedere 57 houd in da (i) iedere minsens weemaal differenieerbare funcie f zo da f f op, f (0) 0 en f (0) samenval me de sinusfuncie en da (ii) iedere funcie g zo da g g op, g(0) en g(0) 0 samenval me de cosinusfuncie Door deze eigenschappen worden de sinus en de cosinus eenduidig gekarakeriseerd en alle verdere eigenschappen van de sinus en de cosinus kunnen we hierui af-

5 De eenheidscirkel en goniomerie 7 leiden Da beeken overigens nie da we de sinus en de cosinus simpelweg kunnen definiëren dmv (i) resp (ii), wan he besaan van funcies die voldoen aan (i) en (ii) is dmv bovensaande selling alleen gegarandeerd door ui e gaan van he besaan van de sinus en de cosinus Voorbeeld De somregels voor de sinus en cosinus zijn een onmiddellijk gevolg van bovensaande selling Bekijk g( ) sin( p) Voor deze funcie geld g g, g(0) sin p en g(0) cos p, dus g( ) sin p cos cos p sin voor iedere Op dezelfde manier bewijzen we cos( p) cos p cos sin p sin Ga na: 57 Als f, g : differenieerbare funcies zijn zo da (i) f (0), g(0) 0, (ii) f g, g f, dan f ( ) cos en g( ) sin, voor iedere Uigaande van he besaan van sinus en cosinus beschikken we over genoeg gegevens om de grafieken van deze funcies e kunnen ekenen De waarden van cos en sin zijn bekend wanneer een geheel veelvoud van is Hezelfde geld voor de gehele 4 veelvouden van [Zie 56] Ga na da deze grafieken er ui zien als de grafieken 6 hieronder He bereik van de funcies is [,] 58 De arcsinus en arccosinus Ga na da de beperking f van de sinus o he inerval [, ] srik sijgend is He bereik van f is [,] Dus f heef een inverse g me domein [,] en bereik [, ] De grafiek van g f krijgen we door de grafiek van f in de lijn y e spiegelen Funcie f heef een posiieve afgeleide op, en f ( ) f ( ) 0 Volgens 33 beeken di da funcie g een posiieve afgeleide heef op, en nie differenieerbaar in de randpunen en [zie de vericale raaklijnen aan de grafiek]

7 Analyse + Meekunde Funcie g is coninu op [,] me g( ) en g() Funcie g word de arcsinus genoemd Voor [,] geld sin(arcsin ) Voor, geef differeniëren me behulp van de keingregel sin (arcsin ) arcsin ofwel cos(arcsin ) arcsin Me y arcsin geld sin y, y, en cos y 0 Dus voor, cos y sin y en arcsin cos y Maw de arcsinus is op, een primiieve van de coninue funcie Verder geld arcsin 0 0 Di alles beeken da geld voor iedere [,] Me of is (/, ) een oneigenlijke inegraal Samengeva: 58 Arcsinus Voor [,] geld 0 0 arcsin (/, ) 0 arcsin (/, ), een oneigenlijke inegraal als of De arcsinus is coninu op [,] en coninu differenieerbaar op, Voor, geld arcsin ( ) / Op soorgelijke wijze kunnen we de arccosinus definiëren als de omkeerfuncie g van de funcie f, wanneer we voor f de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] nemen Funcie f is daar differenieerbaar me negaieve afgeleide op 0, en f (0) f ( ) 0 De omkeerfuncie g is coninu op [,] en differenieerbaar me negaieve afgeleide op, He bereik van g is [0, ] Ui cos sin( ) volg arccos arcsin of wel arccos arcsin Me deze formule volgen de eigenschappen van de arccosinus onmiddellijk ui die van de arcsinus

5 De eenheidscirkel en goniomerie 73 58 Arccosinus De arccosinus is de omkeerfuncie van de beperking van de cosinus o he inerval [0, ] Op [,] geld arccos arcsin De arccosinus is srik dalend en coninu op zijn domein [,], arccos( ), arccos0, arccos 0 He bereik van arccos is [0, ] De arccosinus is coninu differenieerbaar op, en arccos ( ) / voor, Voor [,] geld arccos ( /, ), een oneigenlijke inegraal 59 De angens Nog seeds uigaande van he besaan van sinus en cosinus definiëren we de angensfuncie sin dmv an De angensfuncie is in,,,,, cos nie gedefinieerd De grafiek heef daar vericale asympoen He bereik van de angensfuncie is Ga na da de periode van de angens gelijk is aan : er geld an an( k ), als k Zie ook de grafiek hiernaas Er geld an 0 0, an 3, 4 6 3 an, an 3 Maak verder gebruik van an( ) an 3 De angens is differenieerbaar, dus ook coninu, op zijn domein De quoiënregel geef: 59 an an cos sin De formules voor an volgen ui de formules voor cosinus en sinus cos We noemen nog: 59 Eigenschappen van de angens (a) an 0 0, an 3, an, an 3 en an besaa nie 6 3 (b) an( ) an (c) an( ) an an an u an anu (d) an( u), an( u) an an u an anu an (e) an an an an (f) cos, sin an an 4 3

74 Analyse + Meekunde Opgave De formules in (f) volgen ui an Hoe? cos Opgave Toon aan da voor geld: cos an en sin an an Geef een meekundige inerpreaie van deze formules voor he geval 0 [Teken de eenheidscirkel en daarop pun P(, y) me, y 0 Lijn OP snijd de lijn in pun R Q is he pun Q(, 0) Bekijk de driehoeken OQP en OER ] Voorbeeld sin 0 0, sin0,an 0 0, an0, dus de lijn k : y is de raaklijn in O aan de grafieken van y sin en y an Voor 0 lig de angensgrafiek boven de raaklijn k en de sinusgrafiek lig onder de raaklijn k Om di e bewijzen bekijken we de funcies f ( ) an en g( ) sin Hun afgeleiden zijn f ( ) an resp g( ) cos f ( ) 0 en g ( ) 0 voor 0, dus f is daar sijgend en g is daar dalend, f (0) g(0) 0, dus f ( ) 0 en g( ) 0 op 0, ofwel sin an 50 Arcangens Op he inerval, is de angensfuncie srik sijgend, dus omkeerbaar De beperking van de angens o he inerval, heef dus een omkeerfuncie, de arcangens De angens is differenieerbaar, dus coninu, me posiieve afgeleide en da geld dan ook voor de arcangens He domein van de arcangens is en bereik is, Er geld lim arcan en lim arcan De grafiek de arcangens heef wee horizonale asympoen, de lijnen y en y De raaklijn in O aan de grafiek is de lijn y Zie de grafiek Ui an(arcan ) volg me de keingregel an (arcan ) arcan ( ) voor Dus arcan ( ) Anders gezegd: an (arcan ) an (arcan ) de arcangens is een primiieve van f ( ) op en f is daar coninu, dus ine- greerbaar Verder geld arcan 0 0 Da beeken da (/ ( ) ) arcan 0

5 De eenheidscirkel en goniomerie 75 Samengeva: 50 De arcangens is de omkeerfuncie van (an, ) He domein van de arcangens is en he bereik is, De arcangens is differenieerbaar en arcan ( ) voor De arcangens is srik sijgend op Er geld arcan (/ ( ) ) 0 Voorbeeld De arcangens geef ons nieuwe voorbeelden van een oneigenlijke inegralen, ga na da bijv Opmerking De coangensfuncie ( / ( ) ) 0 en co (/ ( ) ) word gedefinieerd door voor zo da sin 0 Er geld co an( ) Ga na da [co ] ( co ) voor k ( k ) sin cos co sin De beperking van de coangens o he inerval 0, is omkeerbaar en de omkeerfuncie is de arccoangens Er geld y co arcco y voor 0, en en y Ui arcco(co ) volg [arcco(co )] arcco (co ) co Dus voor y arcco (co ) co co ofwel [arcco y] y Ga na da [arcan arcco ] 0 Daarui volg arcan arcco consan voor Invullen van 0 geef voor arcan arcco Opgave Sel y an me, ofwel arcan y Ga na da sin(arcan y) y / y en cos(arcan y) / y voor y Opgave Sel X (, y) is een pun da boven de -as lig Bekijk de rui OPQX me P( y,0) op de -as en Q ( y, y) De zijden van de rui hebben de lenge y en OQ is de bissecrice van POX Is he argumen van Q ussen 0 en, dan is he argumen van X ussen 0 en Ga na da y y an en dus arcan y y