Lijn en vlak lazije a Die kun je aflezen van e oëffiiënten van x en y Dus is een normaalvetor 7 x invullen in e vergelijking van l geeft y en aarmee vin je (, ) y invullen in e vergelijking van l geeft x en aarmee vin je (, ) Deel in e vergelijking alle termen oor 8 an volgt x y + (p, ) is het snijpunt met e x-as en (, q) is het snijpunt met e y-as a Kies één van e punten als steunvetor en neem twee keer een vershil van twee vershillene punten als rihtingsvetoren Je krijgt an ijvooreel: 7 y + λ + m z Dit hershrijf je tot y + λ + m z Om het snijpunt met e z-as te vinen neem je x en y Dit geeft + λ + + λ+ m m Dus moet gelen z + λ m Het vershil van eze vergelijkingen geeft + m m Daarna vin je + λ+ λ Met eze waaren van λ en m is z + Dus is (; ; ) het snijpunt met e z-as Stel x en z an is y + λ + + λ+ m m λ m Als je het stelsel vergelijkingen oplost vin je λ en m Zoat y Dus is (,, ) het snijpunt met e y-as Stel y en z an is + λ + + λ m m λ m Als je it laatste stelsel vergelijkingen oplost vin je λ 7, en m, Daarna vin je x + 7, +, Dus is (; ; ) het snijpunt met e x-as x y z + + Herlei e vergelijking van V tot x y+ z oor e vergelijking ij opraht te vermenigvuligen met Een normaalvetor is Noorhoff Uitgevers v
a lazije x y + + z x+ y+ z 8 y + λ z Vul e kentallen van e normaal in e vergelijking van V in: ( + λ) + ( + λ) + ( + λ ) 8 En us is λ en is S( +, +, + ) (,, ) a e Stel e lijn heeft rihtingsvetor an moeten e inprouten van eze rihtingsvetor met een normaal van V en met een normaal van het Oxy-vlak gelijk aan zijn a a a+ + en Uit eie volgt a+ a Kies je a an is Dit alles geeft als vetorvoorstelling: y + λ z f De vergelijking van W is te shrijven als x+ y+ z Invullen van e oörinaten van P geeft en us W: x+ y+ z a, a x + λ x + λ y 8 λ y λ + x+ y x + m y + m y m z 7 z 7+ m x + m y m + x+ y 7 U: x+ y 7(U is evenwijig aan e z-as) Invullen van e kentallen in e vergelijking van U geeft: + m+ ( m) 7 7 7 Dus ligt elk punt van m in het vlak U Noorhoff Uitgevers v
Elimineer nu m uit e uitrukking voor y en z y m z 7+ m + y+ z Dus ligt m ook in het vlak y+ z, een vlak evenwijig aan e x-as e Elke vergelijking van e vorm ax + y + z in e ruimte is e vergelijking van een vlak a De lijn l ligt in eie vlakken en us is l e snijlijn van V en W Ook gelt at vlak V evenwijig is met e z-as en vlak W evenwijig met e x-as Kies ijvooreel x λ an is λ y y + λ Ook is ( + λ) + z z 7 λ λ l: y + λ + λ z 7 λ 7 Afstan tot een lijn of een vlak lazije 7a y 7 + λ Vul e kentallen van e normaal in e vergelijking van l in Dan krijg je 7 ( + λ) + ( + λ) λ en us is S(, ) Omat PS l PS PS 8a De normaal van m oor A is y + λ Snijpunt van eze normaal met m vin je via ( + λ) + ( + λ) λ De afstan is an 8, ( x + λ) + ( y + λ) x + λ+ y + λ x y λ x y λ PQ λ λ x y x y x + y PQ a y + λ z De kentallen van e normaal invullen in e vergelijking van het vlak geeft 7 ( + λ) ( λ) + + λ λ En us is S(,, ) 7 Noorhoff Uitgevers v
PS 7 7 + + 7 + 7 7 + + lazije 7 + a ( P, l ) 7 + 8 Een normaalvetor van e lijn is en us is een vergelijking van e vorm 8x+ y Invullen van (, ) geeft 8 + Dus m: 8x+ y 8 + ( Q, m ) + + 8 7 7 + + + ( RV, ) + + 8 a ( OV, ) ( QV, ) + us is ±8 + + + 8 8 + + Uit 8 ± volgt 8 ± zoat of 8 a Q( + λ, + λ, + λ) PQ + λ + λ + λ + λ + λ 7 8+ λ + λ + λ + λ + λ + λ λ 8+ λ Een afstan meet je altij looreht + PR + 8+ en us is ( R, m ) + + e SQ + λ + λ + λ + λ + λ en + λ + λ+ 8+ λ+ λ λ + λ λ λ 8 8 ( S, m ) ( ) + ( ) + ( ) a Aan e rihtingsvetoren zie je at e lijnen niet evenwijig zijn + λ + m Voor een eventueel snijpunt moet gelen: + λ + m λ 8 m Noorhoff Uitgevers v 7
e Optellen van e eerste en e laatste vergelijking geeft λ en aarmee vin je in e eerste vergelijking m Deze waaren in e tweee vergelijking invullen geeft een tegenstrijighei en us heeft it stelsel geen oplossing Daarmee heen e lijnen geen snijpunt Dus kruisen eze lijnen PQ + m ( + λ) λ+ m+ + m ( + λ) λ+ m 8 8 m ( λ) λ m λ+ m+ λ+ m 8 ( λ+ m+ ) + ( λ+ m 8) + ( λ m ) () λ m λ+ m+ λ+ m 8 ( λ+ m+ ) + ( λ+ m 8) + ( λ m ) () λ m () λ+ m en ( ) 8λ+ m Dus is λ+ m en λ+ m Het vershil van eze vergelijkingen geeft λ en aarmee vin je m PQ + + + 8 us is e afstan + + Je het e afstan ereken omat PQ looreht op eie lijnen staat en een kortste afstan meet je altij looreht Gelijke afstanen lazije a ( A, P) ( x ) + ( y ) en gegeven is AP us is, na kwarateren, ( x ) + ( y ) ( B, P) ( x ) + ( y ) ( x+ ) + ( y+ ) us ( x+ ) + ( y+ ) Links staat het kwaraat van e afstan van Q tot A en rehts het kwaraat van e afstan van Q tot B ( x ) + ( y ) ( x+ ) + ( y+ ) x x+ + y y+ x + x+ + y + y+ x+ y+ x+ + y+ x 8y x y Dit is e mielloolijn van het lijnstuk AB 7+ a ( Al, ) + en (, ) + 7 Am + x y+ x y+ x+ y x+ y ( P, l) en ( Q, m) + + Dus moet gelen x y+ x+ y x y+ x+ y x y+ x+ y x y+ ± ( x+ y ) x y+ x+ y of x y+ x y+ x+ y of x y 8 Noorhoff Uitgevers v
m 8 O 8 e Het zijn e issetries van e hoeken gevorm oor e lijnen l en m lazije 7 7 De stippellijnen zijn e issetries Deze maken onerling stees een hoek ter grootte van rie stipjes Zes stipjes vormen een gestrekte hoek van 8 en us vormen rie stippen een hoek van 8a C 8 7 A B O 7 8 Noorhoff Uitgevers v
AC : y x+ x y+ AB : y x+ x 7y+ 7 Voor een punt Pxy (, ) op e issetrie moet gelen: x y+ x 7 y + x y+ x 7y+ x y+ x 7y+ Dus gelt: x y+ x 7y+ of x y+ x+ 7y Dit herlei je tot y x+ of y x+ Alleen y x+ voloet Bissetrie van hoek B: AB : x 7y+ BC : y 7x 7x y Voor een punt ( x, y ) op e issetrie moet gelen: x 7y+ 7x y x 7y+ 7x y Dus is x 7y+ 7x y of x 7y+ 7x+ y+ Dit is te herleien tot y x+ of y x Alleen y x+ voloet Bissetrie van hoek C: BC :7x y en AC : x y+ Voor een punt ( x, y ) op e issetrie moet gelen: 7x y x y+ 7x y x y+ Dus is 7x y x y+ of 7x y x+ y Dit kun je herleien tot y x+ of y x Alleen y x Bereken eerst het snijpunt van y x+ en y x Daarvoor gelt: x x+ x 8 en us is x en is y Daarna ontroleer je of het snijpunt (, ) op e lijn y x+ ligt Invullen geeft + en it klopt x+ y z 8 x y z a x+ y z 8 x y z + + + + x+ y z 8 x y z of x+ y z 8 x+ y+ z+ Dit herlei je tot x+ y+ z of x z a ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y+ ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) x x+ + y + 8y+ + z z+ x x+ + y y++ z z+ x+ + 8y+ z+ x+ y+ z + x+ y 8z x+ y z Een normaalvetor is us a Stel a is een normaalvetor van het vlak OAB Noorhoff Uitgevers v
Dan moet eze looreht staan op en op a Dus moet gelen: a+ + Optellen geeft a+ Kies ijvooreel a an is Invullen van a en geeft Een vergelijking van OAB is x y+ z Dit vlak heeft als normaal en gaat oor (,, ), het mien van OA Dit geeft als vergelijking van het mielloovlak: x y z, us x y z 7 Dit vlak heeft als normaal en gaat oor (,, ), het mien van OB Dus voloet e vergelijking aan x+ y+ z + + x+ y+ z 7 Dit geeft x+ y+ z De snijlijn van x+ y+ z en x y z 7 is e oplossing van x+ y+ z x+ y+ z 7 of x y z 7 x y z 7 Optellen geeft x+ y 87 Kies x 7 an is y en is z Dus is (7,,) een punt van s Kies je x an is y en is z Dus is (,, ) een punt van s 7 Een vetorvoorstelling van s is: y + λ z e OP AP want P ligt in het mielloovlak van OA Ook is OP BP want P ligt in het mielloovlak van OB Dus gelt OP AP BP Looreht lazije 8 a a en p q Als je l en m eie raait over an vallen e rihtingen samen met ie van e normaalvetoren ap + q a l: y x y, x, m: y x+ 7 y, x+, Er gelt,, Noorhoff Uitgevers v
a ax + y + y ax us m a p px + qy + r qy px r us m q a Omat e lijnen looreht zijn gelt: p ap q q + Dus gelt ap q Dit geruik je ij het volgene m m a p ap q q q q ; x+ y + x+ y 7 Rihtingsoëffiiënt van l: 7, Rihtingsoëffiiënt van k: y + λ 7 ; x+ y + 7 x+ y lazije a a + Draai eie vlakken om e snijlijn p Als je let op e eerste rihtingsvetor an zal een normaalvetor zijn p 7 Uit volgt 7p p en us is een normaalvetor Een vergelijking van V is an x y+ z + x y+ z 7 a Dan moet us a + 8 a 7a Snijpunten van PBQ met e assen zijn: (,, ), (,, ) en (,, ) 8a Vergelijking PBQ: x y + + z x+ y+ z OM en it laatste is een normaal van PBQ AP 7 en BP 7 7 Omat 7 staan e vetoren looreht op elkaar x x AP y y + en BP x x y y Noorhoff Uitgevers v
x y x x x + y ( )( ) + ( y + )( y ) Dit laatste kun je herleien (laat e inies weg) tot ( x 7) + ( y ) M( ( + ), ( + )) ( 7, ) De punten P liggen op e irkel ( x 7) + ( y ), us op e irkel met mielpunt (7, ) is M en straal x x OP y en AP y Er gelt an y y x( x ) + y + Haakjes wegwerken geeft x x+ y + (een iliner) Cirkel en ol lazije a 8 + ( OQ, ) x + y x + y x + y a ( ) + ( ) + ( x ) + ( y ) ( x ) + ( y+ ) a ( P, M) ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y + ) + ( z ) Liggen op afstan van punt M a ( AB, ) ( ) + ( ) + ; ( x ) + ( y+ ) Invullen van e oörinaten van C in e vergelijking van e irkel geeft ( ) + ( + ) en it laatste klopt Dus ligt C op eze irkel Het mien van AC is het punt (, ) De afstan van it punt tot C is + De vergelijking van e irkel is an ( x ) + y Rest nog te ontroleren of punt B op eze irkel ligt Invullen geeft ( ) + ( ) en it klopt Dus is ( x ) + y e omgeshreven irkel van riehoek ABC a De straal is ( O, M ) ( ) + + Mielpuntsvergelijking van e ol: ( x+ ) + ( y ) + ( z ) Dan heeft V vergelijking z Als V raakt aan e ol an moet e afstan van het mielpunt tot V gelijk zijn aan e straal Dus gelt + + Dus is ± en aarmee zijn e vergelijkingen z + en z lazije a ( x+ ) + ( y ) x + x+ + y y+ x + x+ y y+ Noorhoff Uitgevers v
a De waaren van e oörinaten van het mielpunt: a en x 8x+ + y + y+ x 8x+ y + y+ ( x ) + ( y+ ) + + ( x ) + ( y+ ) (, ) en r 7a x + y x+ y x x+ y + y ( x ) + ( y+ ) + + ( x ) + ( y + ) Mielpunt (, ) en r x + y + z x+ y+ z x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) + + + ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) Mielpunt (,, ) en r x + 7x+ y y ( x+ ) + ( y ) + + 8 Mielpunt (, ) en r 8, 7, x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) + + + Mielpunt (,, ) en r 8a x + ( x+ ) x + x x + x x x x Dit laatste kun je ontinen: ( x )( x+ ) x of x, it zijn e x-oörinaten van e snijpunten x invullen in e vergelijking van e lijn geeft y + 8 en aarmee he je het snijpunt (, 8) gevonen x invullen in e vergelijking van e lijn geeft y en us is ook (, ) een snijpunt Vergelijkingen in GeoGera lazije a - Een rehte lijn want je krijgt stees punten ie op gelijke afstan van A en B liggen Je krijgt e mielloolijn van het lijnstuk AB ( x ) + ( y 7) ( x 7) + ( y ) ( x+ ) + ( y 7) ( x 7) + ( y ) x + x+ + y y+ x x+ + y y+ x+ y x y+ 8x y x y - Noorhoff Uitgevers v
a, Ja, het snijpunt van e issetries is het mielpunt van e ingeshreven irkel van e riehoek lazije a Teken met GeoGera e riehoek en e mielloolijnen an kun je e volgene vergelijkingen van e mielloolijnen aflezen in het algera venster: x+ y ; x y ; x y - - ( x ) + ( y ) us mielpunt (, ) en straal 77, e Nee, MP MQ MR gelt nog stees maar PR is nu miellijn, us r PR a - Liggen op een irkel(oog) De punten S liggen op e irkel waarvan PQ een miellijn is (omat e hoek ij S stees is) Het mien van PQ is (, ) en e afstan van it punt tot P of Q is 7 Dus is e mielpuntsvergelijking ( x ) + ( y ) 7 + ( P, a ) 7, + a - Aflezen uit het algeravenster geeft: y x; x y ; x+ y 8 De hoogtelijn uit B heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht y x De hoogtelijn uit A heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht op x+ y 8 De hoogtelijn uit C heeft vergelijking x+ y y x+ en eze staat looreht x y Ja, e hoogtelijnen in elke riehoek gaan oor één punt e Driehoek ABC is an een rehthoekige riehoek met B 7 Gemenge oprahten lazije a x x+ y + 8y it geeft ( x ) + ( y+ ) + Mielpunt (, ) en straal Staan looreht op e raaklijn Noorhoff Uitgevers v
De lijn oor M en looreht lijn m heeft vergelijking x+ y Invullen van e oörinaten van M geeft x+ y Je vint R als snijpunt van eze lijn met e irkel ( x ) + ( x+ ) x x+ + x x+ 7 x x x of x Dus is R (, ) en is R (, 8) De ijehorene raaklijnen zijn x y en x y Met ehulp van een tekening kun je inzien at e afstan van het mielpunt tot een ergelijke lijn m preies moet zijn Geruik aarvoor at e helft van lijnstuk AB lengte heeft en at e straal is Dan gelt: p p us is p of p + a x x+ y 8y+ z z+ ( x ) + ( y ) + ( z 8) + Dus mielpunt (,, 8) en straal V : x y+ z + 8 ( MV, ) 8 + + ( MV, ) + 8 + + 8 + ( + ) + ± Deze vlakken raken aan e ol p p Stel q is een normaalvetor Dan moet gelen q p en r r p q q+ r r Kies q an is r Daarmee is een normaalvetor e Voor e vergelijking van W gelt y z k + 8 k Uit ( MW, ) volgt en us moet 8 k + + 8+ k k 7 of k 7a AF ( 8 ) + ( ) 8+ + ( Al,) + Noorhoff Uitgevers v
x + y + x + y + PF ( x ) + ( y ) en ( Pl,) + Gelijkstellen, kwarateren en e inies weglaten geeft e vergelijking ( x ) + ( y ) ( x+ y+ ) Dit kun je herleien via ( x ) + ( y ) ( x+ y+ z) tot x x+ + y y+ x + xy+ y + x+ y+ tot x + y 8x 8y xy Een paraool ie sheef in het assenstelsel ligt lazije 8a Als een ol raakt aan twee vlakken an is e afstan van het mielpunt van e ol tot elk van ie vlakken even groot Dus ligt het mielpunt in een issetrievlak Stel het punt Pxy (,, z) ligt in een issetrievlak OAB: z en ABC x y : + + z Dit laatste kun je hershrijven als x+ y+ z z x+ y+ z ( POAB, ) ( PABC, ) + + + + Dan is: z x+ y+ z x+ y+ ( ± ) z Alleen x+ y+ ( + ) z OAB: z en OBC: x heen x z als issetrievlak OAC: y en OBC: x heen x y als issetrievlak Uit e vorige opraht volgt at M(, r r, r) Ook moet M in het issetrievlak van opraht liggen Invullen van e oörinaten van M in e vergelijking van it vlak geeft r+ r+ ( + ) r r, + M,, + + + (, ;, ;, ) e r, + f ( x ) + ( y ) + ( z ) ( + + + + ) a Zie opraht 8 N( λ, λ, λ) Als twee ollen met gelijke straal elkaar raken is e afstan tussen e eie mielpunten twee keer e straal ( λ λ) + ( λ λ) + ( λ λ) λ Kwarateren geeft ( λ) + ( λ) + ( λ) λ en it herlei je tot ( λ) λ e ( 8λ+ λ ) λ 8λ 8λ + λ λ+ 8 λ 8λ+ λ 8 ± 8 8 ± 8 ± 7 λ, 8 of λ, f Alleen λ 7 voloet want voor e anere waare ligt M uiten e kuus M(,, ) en N( +, +, + ) Noorhoff Uitgevers v 7
8 Test jezelf lazije 8 T-a V is evenwijig met e y-as, us evat V een lijn oor B evenwijig met e y-as en eze snijt e x-as in (,, ) V x y z : + λ + m Een normaalvetor van V is us is een vergelijking van e vorm x z + Invullen van (,, ) geeft an en us V: x z + x y z + γ T-a OF x y z : λ 8 en AG x y z : + 8 m Snijen geeft het stelsel 8 8 λ m λ m λ m Invullen van λ m in e eerste vergelijking geeft m m m en us ook λ Snijpunt M(,, ) Teken in het vlakeel ACGE e lijn AG en verin e miens OB en DF van e zijen AC en GE met elkaar Het snijpunt is an punt M In eze figuur is e afstan van M tot e lijn oor O,B en E gelijk aan e afstan van M tot e lijn oor O,B en G Op ezelfe manier kun je in e oorsnee OBFD inzien at e afstan van M tot e vlakken OEG en BEG gelijk zijn Het vlak OBE heeft rihtingsvetoren en 8 Een normaalvetor is en aarmee vin je e vergelijking x y z vlak (, ) M OBE + + Het vlak OEG heeft rihtingsvetoren en 8 Een normaalvetor is en aarmee vin je e vergelijking x y z + Noorhoff Uitgevers v
+ ( M, vlak OEG ) + + Kortom: e afstanen van M tot elk van e zijvlakken is stees hetzelfe T- A B C O O a OA : y x x y en AB : y ( x ) x+ y Dan moet gelen x y x+ y + + x y x+ y x y± ( x+ y ) x y x+ y of x y x y+ x y of x+ y Het gaat om een alene lijn, us x+ y y x+ OB : y 7, x snijen met x+ y geeft 7, x en us x En an is y Dus is C(, ) 8 e OC ( ) + en BC ( ) + () OA + en AB ( ) + () Hiermee moet je nagaan of OC : CB OA : AB waar is Omat : en : klopt e ewering T-a x x+ y + y+ z + z ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) + + + Dus is M(,, ) en is e straal ( MP, ) ( ) + ( ) + ( ) + + 8 < e ol ( x ) + ( y+ ) + ( z + ) us ligt P innen lazije T-a x x + AP y 7 BP y ( x )( x+ ) + ( y 7)( y ) + ( z 8)( z ) z 8 z Het resultaat van opraht a uitwerken en herleien geeft: Noorhoff Uitgevers v
( x )( x+ ) + ( y 7)( y ) + ( z 8)( z ) x + x + y 8y+ 7+ z z+ 8 ( x+ ) + ( y ) + ( z 7) 7 8+ + + ( x+ ) + ( y ) + ( z 7) Dus liggen alle punten P op e ol met mielpunt (,, 7) en straal T-a De afstan van het mielpunt van e ol tot twee punten van e ol is stees hetzelfe, e straal Dus moet het mielpunt van een ol in het mielloovlak van elke koore liggen OC is an een normaal van het mielloovlak en it vlak gaat oor het mien (,, ) van lijnstuk OC Dit geeft x y us x y Op ezelfe manier als ij opraht a vin je voor het mielloovlak van OB e vergelijking x+ y en it is hetzelfe als x+ y Het mielloovlak van lijnstuk AB heeft normaal en gaat oor (,, ) Dit geeft e vergelijking x+ y z Het mielpunt van een ol ligt in het mielloovlak van elke koore De oörinaten van het mielpunt moeten voloen aan: x y x+ y x+ y z Optellen van e eerste twee vergelijkingen geeft x 8 x Dit invullen geeft y en z Dus :( x ) + ( y ) + ( z ) 8 T-7a OA : y x x y en OB : y x x y Voor punten op e issetrie gelt x y x y + + x y x y x y x y x y x y of x y x + y y x of y + x + Alleen e stijgene lijn y + x voloet + Een vergelijking van e lijn AB is y x+ Deze snijen met e issetrie geeft + x x + + ( + ) x ( + )( x+ ) ( + ) x x+ x + ( + ) x + ( + ) x + x + + Noorhoff Uitgevers v
en y + + + + + + + + + Het snijpunt is us + + 7 +, + (, ;, ) + + T-8a Het vlak BCT is evenwijig aan e x-as en snijt e anere assen in (,, ) en (,, ) Dus is een vergelijking y + z y+ z + λ λ ( P, vlak BCT ) + + Dan is λ λ λ λ Omat e piramie regelmatig is moet het mielpunt voloen aan e vergelijking van opraht De mogelijkheen zijn: λ λ (it geeft een negatieve oplossing ie niet voloet) en λ λ λ Dus is (,, ) het mielpunt van e ol Raken aan het gronvlak in (,, ) geeft at e straal is De mielpuntsvergelijking van e ol is: x + y + ( z ) e BQ ( ) + ( ) + ( m) + m f QT m en us moet + m m + m m+ m En us is m m g De straal van e ol is QT 8 De mielpuntsvergelijking van e ol is x + y + ( z ) ( 8 ) Noorhoff Uitgevers v