indeamen wiskunde B vwo 009 - I Over een parabool gespannen In figuur is de grafiek van de funcie f me f ( ) = 3 geekend. Tussen wee punen en S die even ver van O op de -as liggen, word denkbeeldig een ouwje gespannen da over deze parabool heen gaa. He ouwje word zo gespannen da he ussen de punen (, ) en (, ) precies over de parabool lig; ussen en en ussen en S is he ouwje rech. en S zijn raaklijnsukken aan de grafiek van f. figuur f 3 - O S De -coördinaa van S is. 4p Toon di aan. 5p Bereken de lenge van he ouwje. In figuur is een vlakdeel grijs gekleurd. Di vlakdeel word ingesloen door de grafiek van f, he lijnsuk S en de -as. figuur f 3 - O S 4p 3 Bereken eac de oppervlake van di vlakdeel. www. - -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I Wachen op de bus Bij een evenemen worden mensen vanaf een opsapplaas per bus vervoerd naar de ingang van de evenemenenhal. Voordurend pendelen drie bussen ussen de opsapplaas en de ingang. De reisijd van een bus (van de opsapplaas naar de ingang en erug) is gemiddeld 60 minuen. In figuur is de siuaie weergegeven da na elke 0 minuen een bus verrek. Neem aan da voor mensen die me de bus mee willen, elk aankomsijdsip op de opsapplaas even waarschijnlijk is. en bezoeker aan he evenemen kom dus me kans in elk van de drie ijdsinervallen ussen de verrekkende 3 bussen aan en voor elk van die ijdsinervallen is de e verwachen wachijd 0 minuen. De verwachingswaarde van de wachijd is dus 0 + 0 + 0 = 0 minuen. 3 3 3 In figuur is de siuaie weergegeven da de bussen verrekken me ussenpozen van 0, 0 en 30 minuen. figuur figuur 4p 4 Bereken in de siuaie van figuur de verwachingswaarde van de wachijd voor een bezoeker aan he evenemen. De reisijd van de bussen is normaal verdeeld me een gemiddelde van 60 minuen. He kan nauurlijk voorkomen da een ri wa langer of wa korer duur. Men vind di accepabel zo lang nie meer dan 0% van de rien langer duur dan 65 minuen. 4p 5 Bereken de maimale sandaardafwijking van de reisijd van een bus waarbij aan deze eis voldaan is. Verondersel da de reisijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een sandaardafwijking van 3,4 minuen hebben. We bekijken wee opeenvolgende bussen. 4p 6 Bereken de kans da de eerse bus meer dan 65 minuen over de ri doe en de weede bus minder dan 55 minuen. He verschil in reisijd van wee opeenvolgende bussen is normaal verdeeld me sandaardafwijking 4,8 minuen. 4p 7 Bereken de kans da een bus minsens 8 minuen korer over de ri doe dan zijn voorganger. www. - -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I en buieling en lijnsuk me een lenge van π meer buiel over een halve cirkel waarvan de sraal O meer is. In figuur zijn de beginsand, wee ussensanden en de eindsand geekend. He pun waarin raak aan de halve eenheidscirkel noemen we. Dus op elk momen saa loodrech op O en is he lijnsuk even lang als de cirkelboog. figuur O beginsand: = O O O eindsand: = He lijnsuk buiel zó da me snelheid m/s over de halve cirkel beweeg. Op ijdsip 0 begin aan de buieling; dan is he pun nog in he pun. In de figuur op de uiwerkbijlage is de halve cirkel geekend op schaal : 5. 5p 8 Teken in die figuur he lijnsuk na π seconden. Lich je werkwijze oe. 3 r word een rechhoekig assenselsel aangebrach zo da O he pun (0, 0) is en he pun (, 0). Zie figuur. figuur - O www. - 3 -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I In figuur is he lijnsuk op ijdsip geekend voor een waarde van ussen 0 en π. Omda de sraal van de halve cirkel m is en de snelheid van gelijk is aan m/s, geld O = (rad) en = (m). De projecie van op de -as is ' en de projecie van op ' is '. Op elk ijdsip geld: ' = O' =. Figuur saa ook op de uiwerkbijlage. Voor de coördinaen van geld: () = cos() + sin() ( ) = sin( ) cos( ) me 0 π. 3p 9 Toon de juisheid aan van de formule voor () me 0 π. In figuur 3 zijn drie sanden van geekend en de gehele baan van. figuur 3 O De grooe van de snelheid in m/s van he pun na seconden noemen we v (). r geld: v ( ) = ( ' ( )) + ( ' ( )). 6p 0 Toon aan da hierui volg: v () =. www. - 4 -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I uiwerkbijlage 8 O 9 - O www. - 5 -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I Acceleraieijd De acceleraieijd van een auo is de ijd die de auo minimaal nodig heef om vanui silsand een snelheid van 00 km/uur e bereiken. 0,07 Voor een bepaalde auo die zo snel mogelijk oprek, geld: v () 50 ( e ) Hierbij is v() de snelheid in m/s na seconden. dv is de versnelling (acceleraie) in m/s. d De versnelling is he groos als = 0. 3p Bereken me behulp van differeniëren die groose versnelling. =. 4p Bereken de acceleraieijd van de auo. ond je anwoord af op hele seconden. Dozen Deze opgave gaa over dozen die op een bepaalde manier ui een rechhoekig suk karon worden gemaak. Denk aan een pizzadoos. Zie figuur. Neem een suk karon me een breede van b cm. Wil je een doos maken die cm hoog word, dan moe je voor de lenge van he suk karon b cm nemen. Op zes plaasen worden vierkanjes van bij cm losgesneden en omgevouwen. De sippellijnen zijn vouwlijnen; de doorgerokken lijnen zijn snijlijnen. Bodem en deksel zijn allebei vierkan. figuur bodem deksel b Voor de inhoud I( ) van zo n doos, in cm 3, geld de formule: 3 I( ) = 4 4b + b ( 0 < < b ) 4p 3 Toon de juisheid van deze formule aan. Voor elke posiieve waarde van b heef de inhoud I() een maimale waarde. Di maimum word bereik voor = b. 4p 4 Toon aan da deze waarde van juis is. 6 www. - 6 -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I Bridge He kaarspel bridge word gespeeld me een pak van 5 kaaren. r zijn vier kleuren : klaveren, ruien, haren en schoppen. Van elke kleur zijn er 3 kaaren:, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, Boer, Vrouw, Heer, Aas. Zie ondersaande foo. De hoge kaaren 0, Boer, Vrouw, Heer en Aas heen honneur. In he begin van he spel krijg een speler aselec 3 kaaren ui he pak: een zogenaamde hand. foo Lord Yarborough (809-897) bood aan om een speler 000 e bealen als de speler een hand kreeg zonder honneurs. De speler moes hem dan wel voor elke andere hand (dus me minsens één honneur) bealen. en hand zonder honneurs word daarom wel een arborough genoemd. 6p 5 Zal di aanbod op den duur wins opgeleverd hebben voor Lord Yarborough? Lich je anwoord oe. www. - 7 -
indeamen wiskunde B vwo 009 - I en vuurpijl me egenwind en vuurpijl word vanaf de grond schuin weggeschoen. Door egenwind beschrijf de vuurpijl een baan zoals die in figuur geekend is. figuur 50 wind A O B 5 50 75 In deze figuur is een assenselsel aangebrach me de -as op de grond egen de windriching in en de -as vericaal. In O word de vuurpijl afgeschoen. In B kom hij weer op de grond. A is he pun van de baan da he mees naar rechs lig. We gebruiken voor de baan de volgende formules: voor he eerse deel OA van de baan geld = 00 + 4 65 0, voor he weede deel AB van de baan geld = 00 4 65 0, me en in meer. 7p 6 Bereken op algebraïsche wijze de maimale hooge die de vuurpijl bereik. 3p 7 Bereken de -coördinaa van A. 6p 8 Bereken op algebraïsche wijze op welke afsand van O de vuurpijl op de grond kom. www. - 8 -