UNIVERSITEIT VAN PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE DEPARTEMENT STATISTIEK WISKUNDIGE STATISTIEK 121 EKSAMEN: 9 NOVEMBER 2010

Transcriptie

1 - - Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE DEPARTEMENT STATISTIEK WISKUNDIGE STATISTIEK EKSAMEN: 9 NOVEMBER 00 TYD: 3 URE PUNTE: 05 Ekstere Eksamator: Itere Eksamatore: Prof CF Smt Mev EM Basso Mev HF Strydom VOLPUNTE: 00 Va e Voorletters Studeteommer Hadtekeg VRAAG TOTAAL PUNTE PUNTE TOEGEKEN N LYS FORMULES EN N STEL TABELLE WORD VOORSIEN. TOON ALLE BEREKENINGE EN FORMULES WAT GEBRUIK WORD. GEE FINALE ANTWOORDE AKKURAAT TOT 4 DESIMALE PLEKKE. BEANTWOORD ALLE VRAE IN DIE RUIMTES WAT DAARVOOR GELAAT IS.

2 - - EKSAMENINSTRUKSIES. Gee kaddaat sal later as halfuur a de aavag va eksamesesse tot de eksamelokaal toegelaat word e e gee kaddaat mag de eksamelokaal vroeër as halfuur a de aavag va de eksamesesse verlaat e.. Kaddate s verplg om alle opdragte va opseer omddellk a te kom. 3. Kaddate mag gee ogemagtgde apparaat, boeke, aatekege va welke aard ookal of ege paper hoe gerg ookal, de eksamelokaal eem e of hulle best hê e. 4. Nadat de opseer aagekodg het dat de eksame beg, moet alle gesprekke of ege ader wyse va kommukase tusse kaddate gestaak word. Gedurede de eksame mag daar gee gedagtewsselg va welke aard ookal tusse kaddate plaasvd e. 5. Gee kaddaat mag ader kaddaat help of probeer help, of hulp verkry, of probeer om hulp va ader kaddaat te verkry met betrekkg tot ege lgtg e. 6. Kaddate mag hulle e aa ege oeerlke optrede skuldg maak e. 7. Dt s te stregste verbed om op ege ader paper te skryf as dè wat vr eksamedoeledes verskaf word. 8. Rofwerk word de eksameboek gedoe e da deurgehaal. Bladsye mag e utgeskeur word e. 9. Be de eksamelokaal mag daar e gerook word e e kaddate mag e gedurede de eksame de lokaal verlaat met de doel om butekat te rook e. 0. Slegs butegewoe omstadghede sal aa kaddaat toestemmg verlee word om de eksamelokaal tydelk te verlaat e da slegs oder toesg va opseer.. Kaddate mag e gebrukte of ogebrukte atwoordboeke of ege ader paper wat vr de eksamedoeledes verskaf word ut de eksamelokaal eem e.. Sodra de opseer aakodg dat de tyd verstreke s, moet kaddate omddellk ophou skryf. LET WEL Kaddate word erstg gewaarsku tee oortredg va herde strukses e daarop gewys dat by skuldgbevdg kaddaat alle kredet vr hele jaar se werk ka verbeur e daarbeewes ut de Uverstet (e gevolglk alle Sud- Afrkaase uverstêre rgtgs) geskors word vr tydperk wat ka wssel va ee jaar tot permaete skorsg.

3 - 3 - VRAAG (a) Veroderstel Y, Y,, Y du oafhaklke e detes verdeelde stogastese veraderlkes aa met E Y ) = µ e varase V ( ) = σ <. Y µ Laat Y = Y e defeer U =. = σ / () De verdelg va U as kovergeer a: ( Y () Herde resultaat (stellg) word geoem: (b) () Wat s steekproefverdelg? () () Laat Y, Y,, Y ewekasge steekproef va grootte wees ut ( µ, σ ) verdelg. Gee de steekproefverdelg va Y = Y. = (c) Veroderstel de steekproefgroothed θˆ s osydge beramer va θ. Wat s de stadaardfout va de beramg? (3) (d) Beskou de hpoteses: H 0 : θ = θ0 vs H : θ > θ0. a () () Defeer de betekespel α. () Defeer β. (4)

4 - 4 - H met α = (e) Beskou de hpoteses: H : θ = θ 0 0 vs a : θ > θ0. Toetsgroothedwaarde s bereke ut groot steekproef. Vr elk va de vrae heroder, omkrg de korrekte atwoord: () As de waarde va de toetsgroothed groter s as.7, da sal de p-waarde: Kleer wees as 0.05 Groter wees as 0.05 () As de waarde va de toetsgroothed kleer s as -0., sal de p-waarde: Kleer wees as 0.05 Groter wees as 0.05 (f) Voltoo de volgede tabel: () Tpe data Nulhpotese Toetsgroothed Metgs (kotu) µ = Verdelg va de toetsgroothed oder H 0 F ( b, b k + = µ =... µ b ) Tellgs (kategores) Metgs (kotu) p = p = p3 χ (3 ) p = p = p (0,) Tellgs (kategores) Metgs (kotu) Gee afhaklkhed tusse veraderlke X e veraderlke Y Gee verwatskap tusse veraderlke X e veraderlke Y X = c r j= = rc j rc j j t ( ) (0) []

5 - 5 - VRAAG Persoo wat wortels verwerk fabrek, was e st dt sakke. De sakkes wortels word gepak boks vr versedg. Om te toets of de gewg va de bokse reg s, s paar gekotroleer. De gemddelde gewg was 9.6 kg e de stadaardafwykg 0.7 kg. Hoeveel bokse moet geselekteer word om 95% seker te wees dat de steekproefgemddelde e met meer as 0.09 kg va de populasegemddelde gewg sal verskl e? Dt s beked dat de gewg va herde bokse ormaal verdeel s. (4) [4]

6 - 6 - VRAAG 3 (a) Veroderstel dat os geïteresseerd s de vergelykg va de gemddeldes va twee oafhaklke ormaalpopulases, ee met gemddeld µ e varase σ e de ader met gemddeld µ e varase σ gebaseer op twee oafhaklke steekproewe. Aavaar de twee populases het gemeeskaplke maar obekede varase, σ = σ = σ. Te ede vertrouesterval vr µ µ af te le, beatwoord de volgede vrae: () Gee de verdelg va de hoeveelhed Y Z = Y ( µ µ ) σ σ +. () Laat S p de gemeeskaplke beramer va de gemeeskaplke varase σ. Gee ( W = + ) S σ Y Y σ p ( ) ( ) de verdelg va = + Y Y σ. () Gebruk () e () om de verdelg va Y Y ( µ µ ) S p + af te le.

7 - 7 - (v) Gebruk de resultaat verkry () om de 00(-α)% vertrouesterval vr µ af te le. µ (5)

8 - 8 - (b) Te ede de pryse va twee verskllede hadelsame otbytgraa te vergelyk, word 95% vertrouesterval vr de verskl pryse ( Rad) gegee deur 3.66±4.7. Ka jy de gevolgtrekkg maak dat de pryse va herde hadelsame betekesvol verskl op 5% pel va betekes? Gee rede vr jou atwoord. (c) De pryse ( Rad) vr twee oafhaklke steekproewe va grootte 5 va elke hadelsaam otbytgraa word heroder gegee: () Hadelsaam A Hadelsaam B Beskou: H 0 : De verdelgs va Hadelsaam A e hadelsaam B s detes vs H : De verdelgs va Hadelsaam A e Hadelsaam B se lokaltet verskl. a () Gebruk de gegewe lgtg om de verwerpgsgebed vr de Ma-Whtey U- toets te gee op 0% pel va betekes. () Bereke de toepaslke toetsgroothed. (5) []

9 - 9 - VRAAG 4 De volgede steekproeflgtg too de verskedehed groete e vrugte beskkbaar (aatal soorte) by kle groetewkel gedurede de verskllede tye va de jaar. Ja-Feb Mrt-Apr Me-Ju Jul-Aug Sep-Okt Nov-Des Groete Vrugte (a) Aavaar dat de verskl verskedehed groete e vrugte beskkbaar elke tydperk beaderde ormaalverdelg het. Toets op de 0.05 betekespel of jy de gevolgtrekkg ka maak dat daar groter verskedehed groete as vrugte beskkbaar s gedurede de jaar. (5)

10 - 0 - (b) Ja-Feb Mrt-Apr Me-Ju Jul-Aug Sep-Okt Nov-Des Groete Vrugte Gebruk de Wlcoxo ragteketoets om te bepaal op de 0.05 betekespel of jy de gevolgtrekkg ka maak dat daar groter verskedehed groete as vrugte beskkbaar s gedurede de jaar. (5) [0]

11 - - VRAAG 5 Veroderstel dat os de model E 0 ( Y ) = β + β x wl pas by datastel va pute waar Y resposveraderlke e x ekel oafhaklke veraderlke. Beskou de klestekwadrate ly: ˆ = ˆ β + ˆ β x. (a) Too aa dat y 0 ˆβ = = ( x S x) Y xx (b) Gebruk (a) om aa te too dat ˆβ osydge beramer s va β. (3) (5) [8]

12 - - VRAAG 6 Vervaardgers va bederfbare voedsel maak dkwels gebruk va preserveermddels om oedselbederf te voorkom. Ee bekommers s dat te veel preserveermddels de smaak va de voedsel sal verader. Ekspermet s utgevoer met verskllede hoeveelhede preserveermddels bygevoeg. De tyd, x, totdat de voedsel beg bederf e smaakgraderg, y, s geoteer vr elke porse voedsel: (a) Eevoudge leêre regressely Y = β 0 + βx + ε s gepas e de volgede regressely verkry: yˆ = x U mag aavaar dat S , S = , S = xx = xy yy () Iterpreteer herde regressely terme va de probleem. () Bereke osydge beramer va σ, de varase va de foutterm ε. (4)

13 - 3 - (b) Veroderstel de Pearso korrelasekoëffsët tusse herde twee veraderlkes s gelyk aa r = , bereke vr ewekasge steekproef va 6 voedselporses Toets op 5% pel va betekes de volgede hpoteses: H : ρ = 0.90 vs de alteratef H : ρ (c) Bereke de Spearma ragkorrelasekoëffsët vr de data heroder: (4) Voedselporse Dae tot bederf Smaakgraderg (4) []

14 - 4 - VRAAG 7 Voedgkudge wl de aatal kalorëe vergelyk ee porse va dre voedselsoorte wat laag s koolhdrate. De volgede data s verkry vr ewekasge steekproef va elke voedselsoort: Pasta Roomys Brood (a) De ulhpotese va gee verskl de aatal kalorëe ee porse va de dre voedselsoorte, moet getoets word. De waarde va de Kruskal-Walls toetsgroothed s gelyk aa Too aa hoe herde waarde verkry s. (4)

15 - 5 - (b) Too aa dat de Kruskal-Walls toetsgroothed = + + = k R H ) ( utgedruk ka word as = + + = k R H ) 3( ) (. (4)

16 - 6 - (c) What s de ooreestemmede parametrese toets? Gee de toetsgroothed met sy verdelg oder de ulhpotese va gee versklle kalorëe. (d) Voltoo de tabel heroder (vr de parametrese toets) wat gebaseer s op de data gegee herbo. () Bro gvv SVK GSVK F Behadelgs 74.6 Fout Totaal (3) [3]

17 - 7 - VRAAG 8 (a) Beskou multomaalekspermet wat bestaa ut detese poggs, met de utkoms wat preses ee va k verskllede kategorëe val. Laat p, =,,, k de waarskylkhed wees dat de utkoms va ekele pogg sal val sel, p = e laat, =,,, k de aatal poggs wees waarvoor de utkoms sel val, p =. Vr groot, het beaderde stadaard ormaalverdelg. p p ) ( Too aa dat vr k=, de toetsgroothed X χ () verdelg het. = k = k ( E( )) ( p ) E( ) = = p (4)

18 - 8 - (b) Markavorsgsmaatskappy het de taak gekry om uwe koeldrak te toets. Twee weergawes va de koeldrak word beoordeel: redelke soet weergawe e effes btter ee. Voorkeurtoets s gedoe bestaade ut steekproef va 30 verbrukers. Elke verbruker het bede de soet weergawe (aagedu as S) e de btter ee (aagedu as B) geproe e hulle voorkeur aagedu. I de tabel heroder word herde voorkeure gegee: B B B B S B S S S B S S S B S B B B S B B S B S B S B S B S () Gee putberamg, p, va de proporse verbrukers wat de btter koeldrak verkes. () Toets H : p 0. 5 tee de tweekatge alteratef. Laat α= = (5)

19 (c) Beskou weer de datastel gegee (b): B B B B S B S S S B S S S B S B B B S B B S B S B S B S B S Gebruk de ch-kwadraat passgstoets om de ulhpotese te toets dat verbrukers gee voorkeur het met betrekkg tot de smaak va de koeldrak e. Laat α=0.05. (4)

20 - 0 - (d) Beskou probleem soortgelyk aa de ee beskryf (b). Nog voorkeurtoets s gedoe bestaade ut steekproef va slegs 5 verbrukers. Elke verbruker het bede de soet weergawe (aagedu as S) e de btter ee (aagedu as B) geproe e hulle voorkeur aagedu. I de tabel heroder word herde voorkeure gegee: B B B B S B S S S B S S S B S () Gebruk de teketoets om te bepaal of daar betekesvolle verskl s tusse de smake va B e S op de 5% pel va betekes. () Gee de beaderde toetsgroothed e verdelg wat gebruk ka word as de steekproefgrootte gelyk s aa 30. (4) () [9]

21 - - VRAAG 9 Agte klate staa tou by betaalput by krudeerswkel. Vr α = 0. 0, toets vr ewekasghed va hulle geslag: malk (M) of vroulk (F). De data word heroder gegee: F M M F F M F M M F F M M F F F F M (5) [5] Totaal: 00