Prof. Dr. Paul G. Igodt K.U.Leuven Campus Kortrijk

Transcriptie

1 Prof Dr Paul G Igodt KULeuven Campus Kortrijk PaulIgodt@kuleuven-kortrijkbe

2 Proloog Voorwoord Deze cursusnota s vormen eerder een werkdocument dan een naslagwerk, bedoeld voor studenten die hun studies in de Toegepaste Economische Wetenschappen aanvatten Over het geheel gezien en samenvattend gesteld komen de volgende zaken aan bod: de elementaire lineaire algebra en de functieleer (of analyse) waarbij zowel functies van één als van meerdere variabelen aan bod komen Alhoewel deze cursus zich zeker niet specifiek toelegt op het wiskundig bewijzen, trachten we - binnen het toegemeten tijdsbestek - op zijn minst het zorgvuldig redeneren te bevorderen Zoveel als mogelijk is er aandacht voor economisch getinte toepassingen en probleem-oplossend denken Zowel het bouwen van een wiskundig model voor het vraagstuk als het behandelen en oplossen van dat gemodelleerd probleem zijn hierbij belangrijk Niemand zal ontkennen dat de economische wetenschappen trouwens, zoals nog andere jonge disciplines de laatste decennia in toenemende mate beroep doen op wiskunde als taal en middel: als taal om er (economische) problemen en vraagstukken in te formaliseren, om er (economische) modellen en theorieën in te beschrijven en op te bouwen; als middel in de hoop diezelfde problemen met gepaste technieken te kunnen oplossen of beheersen, in de hoop van gebaseerd op die modellen en theorieën te verwachten economische evoluties te kennen, te begrijpen of, wie weet, te voorspellen Alhoewel deze nota s zich eerder toeleggen op de wiskunde als middel, willen we op zijn minst bij de formulering van opgaven en resultaten en bij de oplossing van de vraagstukken ook het grote belang van de preciese taal onderlijnen Dit aspect van de vorming is, helaas, maar al te vaak het eerste slachtoffer in programmareducties, terwijl het net datgene is waaruit dieper inzicht of grondiger werken blijkt Een bijzonder woord van dank gaat naar medewerker Rein Duyck, die als kritische lezer en inspirator voor talrijke oefeningen een wezenlijke bijdrage leverde September 2010 Kortrijk Paul Igodt PaulIgodt@kuleuven-kortrijkbe π Academiejaar Pagina 2

3 Hoofdstuk I Bouwstenen In het voorwoord hebben we opgemerkt dat heel wat problemen, uit de reële wereld gegrepen, via het opstellen van een wiskundig model kunnen vertaald worden naar een wiskundig probleem Dit vertalen veronderstelt natuurlijk dat we beschikken over een zekere taal In dit hoofdstuk beschrijven we de primaire woordenschat van deze taal: verzamelingen, relaties en functies Onontbeerlijke verzamelingen bij het kwantitatief beschrijven van tal van fenomenen zijn uiteraard de getallenverzamelingen Hun structuur en typische eigenschappen willen we hier ook even kort belichten 1 Wiskundige beweringen De wiskunde houdt zich bezig met het beschrijven en ontwikkelen van concepten die voortgekomen zijn uit de studie van ruimte en getallen Om wiskundige ideeën te formuleren moeten we beweringen kunnen doen over wiskundige objecten Een groot deel van de activiteit van een wiskundige kan gezien worden als het formuleren van wiskundige beweringen en het onderzoeken of deze beweringen waar of niet waar zijn We zullen geen preciese formulering geven van wat een wiskundige bewering is Aan de hand van eenvoudige voorbeelden zullen we de lezer met wiskundige beweringen vertrouwd maken We beginnen met het begrip propositie Een propositie is een zin die ofwel waar is of ofwel niet waar is (maar niet allebei) Voor het moment speelt het geen rol of de propositie waar is of niet Hier zijn wat voorbeelden (1) 1+1 = 2 (2) π = 3 (3) 14 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (4) Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (5) Het kwadraat van een oneven getal is oneven (6) n is een priemgetal (7) n 2 > 2n (8) a < b (9)

4 Hoofdstuk II Analyse van functies f : R R 1 Enkele belangrijke types functies R R 11 Veeltermfuncties Een veeltermfunctie f : R R : x f(x), is een functie van het type f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 ++a 1 x+a 0, waarin de coëfficiënten a i R Als a n 0, spreken we van een veeltermfunctie van graad n Merk op dat de som, het product en de samenstelling van veeltermfuncties opnieuw veeltermfuncties zijn Ga in elk van deze gevallen na, wat er gebeurt met de graad Enkele bijzondere gevallen van veeltermfuncties worden in het secundair onderwijs ruim onder de aandacht gebracht We beperken ons hier tot een zeer bondige herhaling (1) De constante functies f : R R : x f(x) = a 0, zijn veeltermfuncties van graad 0 (2) Veeltermfuncties van de eerste graad zijn van de vorm f : R R : x f(x) = ax+b De grafiek van dergelijke functies wordt gegeven door een rechte Wat is de betekenis van de coëfficiënten a en b? (3) Veeltermfuncties van de tweede graad hebben een grafiek die bekend staat als een parabool Herhaal hoe die grafiek eruit ziet als f : R R : x f(x) = ax 2 +bx+c Welke is de rol van a, b en c? 12 Exponentiële en logaritmische functies 121 Inleidende voorbeelden: groei- en vervalprocessen 1211 Voorbeeld: bevolkingsaangroei De bevolking van een zeker ontwikkelingsland verdubbelt om de 20 jaar We nemen aan dat de relatieve aangroei van de bevolking over een bepaalde tijdspanne T constant blijft Dit wil zeggen dat, voor elke T > 0, de verhouding bevolkingsgrootte op ogenblik t + T bevolkingsgrootte op ogenblik t niet afhangt van t We gaan op zoek naar een functie p : R R + : t p(t) zo dat de grootte van de bevolking op het ogenblik t (gemeten in perioden van 20 jaar) gegeven wordt door P 0 p(t) waarbij P 0 de huidige populatiegrootte is In elk geval hebben we reeds volgende informatie over p: t p(t)

5 Hoofdstuk III Analyse van functies f : R n R 1 Inleidende begrippen over functies f : R n R 11 Motiverende voorbeelden In zeer veel concrete situaties krijgt men te maken met een grootheid die van meerdere variabelen afhangt of/en zelf meerdere componenten heeft Deze grootheden kunnen dan wiskundig beschreven worden als functies op R n (= R R R (n factoren)) waarbij n het aantal variabelen is waarvan de beschouwde grootheid afhangt We geven enkele voorbeelden grootheid hangt af van functie hoogte aardoppervlak plaats h : R 2 R : (x,y) h(x,y) temperatuur plaats T : R 2 R : (x,y) T(x,y) luchtdruk plaats p : R 2 R : (x,y) p(x,y) wind (richting en snelheid) plaats W : R 2 R 2 : (x,y) W(x,y) grootheid positie bewegend deeltje in de ruimte vraag naar boter productiehoeveelheid hangt af van functie tijd s : R R 3 : t s(t) prijs boter prijs margarine V : R2 R : (p b,p m ) V(p b,p m ) kapitaal, arbeid Q : R 2 R : (K,A) Q(K,A) In elk van deze gevallen krijgen we te maken met functies f : R n R m Een functie f : R n R m komt eigenlijk overeen met het geven van m componentfuncties f j : R n R (j = 1,2,,m) Dit wordt duidelijker als volgt: f : R n R m (x 1,x 2,,x n ) ( f 1 (x 1,x 2,,x n ),f 2 (x 1,x 2,,x n ),,f m (x 1,x 2,,x n ) ) Om deze reden zal het vaak voldoende zijn functies f : R n R te bestuderen 12 Over de voorstelling van functies van meerdere variabelen 121 Grafiek van een functie f : R 2 R De grafiek van een functie g : R R was een handig middel om heel wat informatie over g te visualiseren De grafiek van g is eigenlijk niets anders dan de functie g zelf als deelverzameling van R 2 maarwaarbijwenur 2 identificerenmeteen vlakwaarinweeenrechthoekigassenstelselhebben 103

6 Hoofdstuk IV Basisbegrippen uit de meetkunde 1 Euclidische structuur van R n Naast zijn algebraische structuur nuttig om te rekenen, zie ook hoofdstuk VII heeft R n nog een structuur die ons zal toelaten om te spreken over afstand en hoeken, maw over meetkunde Dit is de zogenaamde Euclidische 1 structuur Het voornaamste ingrediënt hiervoor is het scalair product Elementen van R n noteren we kortweg x (resp y, ), waarbij x staat voor het n tal (x 1,x 2,,x n ) (resp (y 1,,y n )) We spreken van vectoren x en y Later zal ook de kolomnotatie x 1 x 2 x = x n vaak gebruikt worden 11 Definitie Het scalair product (of inproduct) op R n is de afbeelding gedefinieerd door, : R n R n R : (x,y) x,y x,y = x 1 y 1 +x 2 y 2 ++x n y n voor x = (x 1,x 2,,x n ), y = (y 1,y 2,,y n ) R n Het getal x,y noemen we het scalair product van x met y Wanneer we expliciet het scalair product op R n veronderstellen, spreken we kortweg van de Euclidische ruimte R n Een andere notatie voor het scalair product is x y Vaak schrijft men ook y 1 y 2 < x,y >= x y = (x 1,x 2,,x n ) y n Een meetkundige betekenis van het scalair product is niet onmiddellijk duidelijk We komen er straks op terug Volgende eigenschappen zijn alvast eenvoudig als oefening na te gaan 1 Naar Euclides, Alexandrië (Egypte), ca voor Christus 119

7 Hoofdstuk V Aanvullende topics analyse voor functies R n R 1 Totale afgeleide (differentiaal) 11 Inleiding De partiële afgeleiden van een functie f in een punt a geven enkel informatie over de mate van verandering van f als we a variëren in de richting van één van de coördinaatassen Er wordt helemaal niets gezegd over wat er gebeurt als we a in een andere richting variëren Daarom geven de partiële afgeleiden slechts een zeer gedeeltelijke informatie over het gedrag van f in a Het kan bijvoorbeeld gebeuren dat alle partiële afgeleiden van f in a bestaan maar dat f toch niet continu is in a (iets wat zich niet voordeed bij functies R R) Een concreet voorbeeld hiervan (met een niet eens zo wild functievoorschrift) is de functie { xy f : R 2 R : (x,y) x 2 +y 2 als (x,y) (0,0), 0 als (x,y) = (0,0), waarvan de grafiek hieronder gegeven wordt 0 z 1-1 x y Deze functie is niet continu in (0,0) want f(0,0) = 0 terwijl er in elke omgeving van (0,0), hoe klein die omgeving ook is, punten zijn die als beeld 1/2 krijgen Immers, voor alle t 0 is f(t,t) = 1/2 Nochtans is deze functie partieel afleidbaar in (0,0) Zo is (D 1 f)(0,0) = lim h 0 f(h,0) f(0,0) h en analoog toont men aan dat (D 2 f)(0,0) = = lim h h = 0

8 Aanvullende topics analyse voor functies R R Hoofdstuk VI 1 Integratie van functies R R 11 Begripsstichting en definitie van de Riemannintegraal 111 Motiverende problemen Beschouw volgende problemen (1) Zij f : [a,b] R + een begrensde functie Wat is de oppervlakte S begrensd door de rechten met vergelijking x = a, x = b, de X-as en de grafiek van de functie? a b f X Y S =? (2) Veronderstel dat we op elk ogenblik de snelheid van een rijdende auto kennen We kennen dus de functie v : R R : t v(t) met v(t) = snelheid op ogenblik t τ T t v Wat is de afstand s die de auto aflegt in het tijdsinterval [τ,t]? (3) Veronderstel dat het management van een bedrijf de marginale kostfunctie k : R + 0 R : q k(q) van het bedrijf kent Dergelijke functie heeft typisch volgende grafiek 165

9 Hoofdstuk VII Lineaire algebra 1 Economische problemen en lineaire stelsels (1) Een veevoederhandelaarmaaktmet 5basisgrondstoffen, G 1, G 2, G 3, G 4 en G 5, veevoedersdie moeten voldoen aan bepaalde kenmerken qua voedingswaarde Veronderstel dat de hoeveelheid vitaminen van type A, B en C in één zak van de basisgrondstoffen, gemeten in de gepaste eenheid, beschreven wordt door volgende tabel: G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 A B C Zo bevat bv 1 zak van basisgrondstof G 1 1 eenheid vitamine A, 3 eenheden vitamine B en 4 eenheden vitamine C Een afnemer wil een mengsel krijgen waarin in totaal resp 11, 9 en 20 eenheden vitamine A, B en C zitten Kan de handelaar zulk een mengsel samenstellen als hij bij het uitvoeren van elke bestelling enkel een geheel aantal zakken van elke basisgrondstof wil gebruiken? Zijn er meerdere mogelijke combinaties van de verschillende beschikbare grondstoffen mogelijk, die dit zullen realiseren? We bekijken de vraag van de klant Zij x, y, z, s en t het aantal zakken dat de handelaar respectievelijk van basisgrondstof G 1, G 2, G 3, G 4 en G 5 nodig heeft om het gevraagde mengsel M 1 te maken Dan moet: x + 2y + 3z + 2s + 4t = 11 3x + 3y + s + 4t = 9 4x + 5y + 3z + 2s + t = 20 of nog, in matrixvorm, x y z s t = Het probleem kunnen we dus opsplitsen in twee deelproblemen: (1 ) Bestaan er x,y,z,s,t R die voldoen aan (11)? (11) (1 ) Zoja, kunnenwe dande verzamelingbeschrijvenvanallemogelijke5-tallen(x,y,z,s,t) R 5 die aandie vergelijkingvoldoen? Zijn erin die verzameling5-tallen waarvoorx,y,z,s,t N? Bovendien kan het voor dit bedrijf dat ongetwijfeld meerdere klanten heeft voordelig zijn, om meteen een antwoord te bestuderen voor het probleem (1 ) Voor welke drietallen (a,b,c) R 3 kan het bedrijf een mengsel van de beschikbare grondstoffen maken(eventueel met gehele aantallen zakken van elke grondstof) zodat voldaan 193

10 Inhoudsopgave I Bouwstenen 1 1 Wiskundige beweringen 1 2 De taal van verzamelingen 7 3 Kwantoren 17 4 Relaties (algemeen) 20 5 Orde- en equivalentierelaties 22 6 Functies 25 7 Rijen 33 8 Getallenverzamelingen 36 II Analyse van functies f : R R 45 1 Enkele belangrijke types functies R R Veeltermfuncties Exponentiële en logaritmische functies Goniometrische functies 54 2 Continuïteit en limieten van functies R R 57 3 Afgeleiden van functies R R Begripsstichting, definitie en betekenis van afgeleide Definitie Eigenschappen en rekenregels voor afgeleiden Extrema Definitie Middelwaardestellingen van Rolle en Lagrange Hogere orde afgeleiden Definitie Taylorontwikkeling Economische toepassingen 99 III Analyse van functies f : R n R Inleidende begrippen over functies f : R n R

11 2 Partiële afgeleiden van functies f : R n R 109 IV Basisbegrippen uit de meetkunde Euclidische structuur van R n (Euclidische) meetkunde in R 2 ( vlakke meetkunde) (Euclidische) meetkunde in R 3 (ruimtemeetkunde) 129 V Aanvullende topics analyse voor functies R n R Totale afgeleide (differentiaal) Homogene functies Richtingsafgeleiden en gradiënt van functies f : R n R Impliciet gedefinieerde functies Vrije extrema van functies f : R 2 R Extrema van functies f : R 2 R onder randvoorwaarden 155 VI Aanvullende topics analyse voor functies R R Integratie van functies R R 165 VIILineaire algebra Economische problemen en lineaire stelsels Algemene probleemstelling, lineaire afbeeldingen en matrices Praktische oplossingsmethode voor stelsels Een evolutievraagstuk, machten van matrices, eigenwaarden en eigenvectoren 218 π Academiejaar Pagina 230