Practicum Torsiebalans

Transcriptie

1 Practicum Torsiebalans Patrick Aeschlimann Yves Henri Nzakamwita Pieter Verbeirens 25 april Inleiding In dit practicum bestuderen we elastische vervormingen in vaste lichamen, hiervoor zullen we een torsiebalans gebruiken. We zullen proberen de torsieconstante en het inertiemoment van een vast lichaam te bepalen ; hierbij zullen we ook het begrip krachtmoment moeten introduceren. 2 Methode en materiaal 2.1 Materiaal Een torsiebalans bestaat uit een statief, een draaibare cilinder en een verwisselbare draad. Deze laatste is aan de bovenkant vastgeklemd en aan de onderkant zit de draad vast in de draaibare cilinder. We zullen een eerste proef doen een staaldraad en een tweede een aluminiumdraad. Aan de draaibare cilinder is een lat vastgemaakt meerdere bevestigingspunten, hieronder bevindt zich een gegueerde schijf. We krijgen drie dynamoers waarbij we nagaan of deze wel correct geijkt zijn. De dynamoers moeten dan aan de bevestigingspunten op de lat worden vastgemaakt. We krijgen tenslotte nog twee gewichtjes die aan het uiteinde van de lat kunnen worden vastgemaakt, deze hebben een massa van ongeveer 153 g. 2.2 Methode Bepalen torsieconstante van een draad (verband krachtmoment-torsiehoek) De stalen torsiedraad (diaer = 2 mm) wordt in de onderste en bovenste klemmen van de torsiebalans geplaatst. We plaatsen de 0 aanduiding van de gegueerde afleesschijf t.o.v. van de wijzer correct. De dynamoer wordt vastgeklemd aan het derde haakje van het centrum af. We brengen nu een kracht aan zodat er een torsiehoek van ongeveer 10 ontstaat en zorgen dan voor momenten die ongeveer 2, 3, 4 en 5 maal groter zijn. De proef wordt dan herhaald een aluminium torsiedraad (diaer = 3 mm). Bepalen van de hoekafhankelijkheid van het krachtmoment We brengen opnieuw een kracht aan die loodrecht staat op het derde haakje zodat de torsiehoek ongeveer 25 is bij de stalen torsiedraad. We veranderen nu de hoek tussen r en de dynamoer tot ongeveer 45 en zorgen ervoor dat de torsiehoek constant blijft. We doen daarna hetzelfde voor een hoek van 135. Bepalen van het inertiemoment van een klein gewicht We verdraaien de lat over een 60-tal gen en laten ze dan los, opnieuw bij de stalen torsiedraad. De lat zal wegdraaien onder invloed van de torsie van de draad en de evenwichtsstand voorbijgaan. De 1

2 lat bereikt een uiterste en keert uiteindelijk terug in zijn beginpositie (= 1 periode). We en nu een chronoer de duur van acht periodes. We brengen dan de gewichtjes op de uiterste posities van de lat aan en en opnieuw acht periodes een chronoer. We bepalen ook de afstand van de gewichtjes tot de rotatieas (0,173 m) en bepalen hun gewicht behulp van een dynamoer. 3 Resultaten en berekeningen 3.1 Experiment stalen torsiedraad Bepaling absolute fout AF/relatieve fout RF op kracht(arm), torsiehoek en krachtmoment Diaer = (0, ± 0, 00002) m Lengte = (0, 5000 ± 0, 0005) m De lengte werd bepaald een normale meetlat, waarvan de nauwkeurigheid 1 mm bedroeg. Aangezien het mogelijk is om te zien of de waarde minder/meer dan een halve millier bedraagt, heeft de lengte een AF van m. Kracht (N): de verschillende krachten werden geen a.d.h.v. dynamoers. De AF op deze meettoestellen hebben we bepaald door de kleinst afleesbare waarde te delen door twee. De relatieve fouten van de krachten zijn berekend de betrekking RF = AF ing (1) waarin AF: de absolute fout op gebruikte dynamoer ing: de afgelezen waarden van de beschouwde kracht: (0, 5000 ± 0, 0005) m Bv. (5e ing): De dynamoer een AF van 0,05 N gaf bij meeting van de kracht een waarde van 2,60 Newton. De RF resulteert dan o.b.v. formule (1) in RF = 0,05N 2,60N = 0, 02 Krachtarm: waarde werd geen gewone lat (AF = ). RF weer steunend op betrekking (1) bepaald. Bv.: Voor de lengte van de krachtarm werd een waarde van 0,1730 er afgelezen. Dit geeft: RF = 0,0005m 0,1730m = 0, 0029 (0, 1730 ± 0, 0005) m. Gedurende dit experiment werd er constant dezelfde krachtarm gewerkt, bijgevolg blijven de AF/RF voor alle andere ingen gelijk. Torsiehoek ( ): behulp van de gegueerde schijf konden er verschillende torsiehoeken ingesteld worden. De kleinst afleesbare fout is één graad, dus is de AF 0,5. Berekening van RF voor een torsiehoek van 51,0 betrekking (1) geeft dan: Bv. (5e ing): RF = 0,5 51,0 = 0, 010 (51, 0 ± 0, 5) π = 180 (2) Krachtmoment: De berekening van het krachtmoment kan via de formule τ: het krachtmoment (tau) τ = r F sin θ (3) 2

3 r: de lengte van de krachtarm F: de kracht uitgeoefend op de torsiedraad θ: de hoek (thèta) van F op de krachtarm Aangezien de sinus van 90 gelijk is aan 1 en de krachtarm gedurende dit experiment constant gehouden wordt, is in vergelijking (3) slechts één veranderlijke aanwezig, nl. de kracht (F) m.a.w. het krachtmoment (τ) is krachtafhankelijk. Invullen van de waarden uit voorgaande voorbeelden levert een krachtmoment van: τ = 0, 1730m 2, 60N 1 = 0, 4498Nm De AF op dit krachtmoment is gelijk aan het product van de totale RF en de bekomen waarde (berekend in voorgaande vbn): AF = (RF krachtarm + RF kracht ) τ = (0, , 01) 0, 4498Nm = 0, 0058Nm De RF werd weer berekend betrekking (1) Bv (5e ing): RF = 0,0058Nm 0,4498Nm = 0, 0129 (0, 4498 ± 0, 0058) Nm Bepaling van de glijdingsmodulus E Staal = 2, N m 2 σ = 0, 29 Beide gegeven waarden zijn constanten specifiek voor het materiaal staal. Met deze waarde konden we de glijdingsmodulus berekenen uitgaande van volgende formule: G: de glijdingsmodulus E: de Young-modulus σ: de poissoncoëfficiënt Hieruit bekwamen we een waarde van: G = G = 2, N m 2 2(1 + 0, 29) Bepaling van de torsieconstante uit vijfde ing Diaer = (0, ± 0, 00002) m Lengte = (0, 5000 ± 0, 0005) m E 2(1 + σ) = 8, N m 2 RF G = RF E + RF σ = 0, 1 0, 01 + = 0, 08 = 8% 2, 1 0, 29 Experimenteel: om de torsieconstante experimenteel te berekenen, hebben we gebruik gemaakt van de eerder bekomen resultaten voor het krachtmoment en de torsiehoek. Deze laatste werd weliswaar doormiddel van betrekking (2) omgezet tot iale waarden. Bv: Een hoek van 51,0 π 51,0 180 = 0, 890 Met de formule: τ = C θ C = τ θ waarin (4) (5) 3

4 C: torsieconstante τ: het krachtmoment θ: de torsiehoek Invulling van formule (5) geeft een waarde van: C = 0,4498Nm 0,890 Nm = 0, 5054 De RF tot = RF τ + RF θ = 0, , 010 = 0, 0023 Wat leidt tot een AF = RF tot ing = 0, 023 0, 4498 = 0, 0103 (0, 51 ± 0.01) Nm Theoretisch: de theoretische berekening van de torsieconstante gebeurde aan de hand van waarden uit betrekking (4) door te voeren in formule: d: diaer van de torsiedraad L: lengte van de torsiedraad G: glijdingsmodulus Wat resulteerde in C = π 32 d4 L G (6) C = π (0, 002m)4 32 0, 50 RF tot = Brengt AF op RF tot ing = 0, 01 (0, 26 ± 0, 01) Nm Experiment torsiedraad van aluminium diaer = (0, ± 0, 00003) m C experimenteel = (0, 66 ± 0, 01) Nm/ Lengte = (0, 5000 ± 0, 0005) m C theoretisch = (0, 41 ± 0, 01) Nm/ E staal = N m 2 G = 2, N m 2 σ = 0,35 ( 4 AF d 0, 002m 8, N = 0, 2557Nm m2 ) + ( ) AF lengte = 0, 041 0, 50m De berekeningen gebeurden op analoge wijze als het experiment de torsiedraad van staal en uitvoering van het experiment was eveneens analoog. Hoekafhankelijkheid krachtmoment Tijdens deze proef zijn we nagegaan wat het effect was van de kracht (F), die een hoek van 45 en 135 stond gepositioneerd t.o.v. de krachtarm teweeg bracht in de waarde van het krachtmoment in vergelijking de waarde voor een hoek van 90. Uitgaande van de formule: F x : de kracht voor de beschouwde hoek (t.o.v. de krachtarm) F = F x cos(x) (7) 4

5 cos(x): de overeenkomstige cosinus van diezelfde hoek Hebben we na omvorming van (7) de verwachte waarde voor F x berekend: waarin F de kracht van F 90 voorstelt. F x = F cos(x) Met de dynamoers werden volgende waarden geen: F 90 = 1,45N F 45 = 2,00N F 135 = 1,95N Invullen van de waarden in (7) resulteerden in: een verwachte F 45 = 1,41 N een verwachte F 135 = 1,41 N Het krachtmoment wijzigt dus niet bij het veranderen van het aangrijpingspunt over een hoek t.o.v. de krachtarm. De proef werd telkens uitgevoerd een torsiehoek van 25 Inertiemoment gewichtjes Met een chronoer (AF = 0, 01s) werden de duur van acht eigenperioden (T) van de torsiebalans bepaald voor een balans en zonder gewichtjes. De AF is afgeleid uit de nauwkeurigheid van het toestel. Eigenperiode: T 1 = (0, 40 ± 0, 01)s zonder gewicht T 2 = (1, 34 ± 0, 01)s gewicht Met behulp van de dynamoer en gravitatieconstante (g) bepaalden we de massa van het gewicht via de formule: F = m g m gewicht = F 1, 50N = g 9, 81 N = 0, 153kg kg De straal van het gewichtje werd geen een gewone lat: r gewicht = 0, 173m Berekening inertiemoment gewicht: Theoretisch: Aan de hand van de formule: I T = 2π C T: de eigenperiode van torsiebalans I: inertiemoment C exp,staal : eerder bepaalde torsieconstante Of via formule: waarin m i : massa gewicht I = i (8) m i r 2 i (9) 5

6 r i : straal gewicht Afleiden van inertiemoment uit (8) a.d.h.v. geeft: Bv. T 1 : I = T 2 (0, 50s)2 C = 4π2 4π 2 0, 2557Nm = 0, kgm 2 AF is RF tot ing = (2( 0,01s Nms2 0,50s ) + 0, 041 I = 0, (0, ± 0, 00013) Nms2 analoog: T 2 I 2 = (0, ± 0, 00062) Nms2 Afleiden van inertiemoment uit (9) a.d.h.v. T 2 geeft: I = 2 0, 153kg (0, 173m) 2 = 0, AF: RF tot ing = (2 0,0005m 0,173m + 0, 025N) ing = 0, (0, ± 0, 00028) 0,025 N is de RF van de dynamoer gebruikt tijdens de bepaling van m gewicht Experimenteel: Om het traagheidsmoment van het gewicht (niet de lat meegerekend) moet I afgetrokken worden van I 2 : I 2 I = 0, 01146kgm 2 0, 00162kgm 2 = 0, 00984kgm 2 AF = 0, , = 0, De resultaten Alle resultaten van de proeven staan op het labverslag torsiebalans, we hebben bij elke bewerking telkens één voorbeeld gegeven en de rest is analoog. 4 Besluit We zien een paar (soms grote) verschillen tussen onze experimentele en onze theoretische waarden. Dit is waarschijnlijk het gevolg van het niet nauwkeurig genoeg uitvoeren van het experiment. Uit dit practicum kunnen we wel concluderen dat het krachtmoment en de torsiehoek rechtevenredig zijn, de torsieconstante afhankelijk is van het soort materiaal (Young modulus) dat men gebruikt voor de draad, het inertiemoment beïnvoedt wordt door een massa dat men oplegt. A Appendix In deze bijlage zitten de grafieken van staal en aluminium en het labverslag van torsiebalans. Massa van de gewichtjes: m = F 1, 5N = a 9, 81 m = 0, 153kg (10) s 2 6

7 7