DATASTRUCTUREN BALANCEREN VAN BOMEN. 1 Dr. D.P. Huijsmans 4e college 25 september 2013 Universiteit Leiden, LIACS

Transcriptie

1 DATASTRUCTUREN BALANCEREN VAN BOMEN 1 Dr. D.P. Huijsmns 4e ollege 25 septemer 2013 Universiteit Leien, LIACS

2 BALANCEREN EN BINARY SEARCH Om O(logN) te kunnen zoeken moet e t gesorteer zijn In een inry serh tree (BST) InOrer oorlopen is e t gesorteer toegnkelijk De slehts enkre BST relistie n invoegen is een oom met lleml lege linker of lleml lege rehterknopen (kone strutuur) De omplexiteit vn zoeken ij een kone BST is O(N) O(logN) <= Complexiteit zoeken BST <= O(N) Om in een BST in O(logN) te kunnen zoeken moet eze oom mximl gelneer zijn 2

3 AANTAL BST S MET ZELFDE INHOUD Gesorteer rry met unieke gesorteere wren kent mr 1 vershijningsvorm: Hoeveel vormen kn e BST nnemen ls eze 3 wren in willekeurige volgore innenkomen? Wt is e kns op een min-p vorm? 3

4 AANTAL BST S MET ZELFDE INHOUD Gesorteer rry met unieke gesorteere wren kent mr 1 vershijningsvorm: BST met 3 gesorteere knopen kent l 6 invoervolgores met 5 BST vormen: 2 kone vormen 1 min p vorm Voor,, en Voor,, Kns 1/3 4

5 AANTAL BST VERSCHIJNINGSVORMEN Knopen(N) N! BST s Min pen Wrom is er een groeien vershil tussen het ntl invoegvolgores (N!) en het ntl mogelijke BST s? 5

6 DE 4 MIN PAD BST VORMEN VAN 4 KNOPEN 6

7 HOE CREËER IK EEN MIN PAD VORM VOOR MIJN BST BIJ INVOER? Bij toenemene N exponentiële toenme ntl mogelijke BST s ls wren t rnom woren toegevoeg. Hoe te zorgen t een min p versie gevorm wort en n toevoegingen en wegltingen ook lijft? Voor 1e inreng zijn er methoen ie t ereiken en n wijzigingen methoen ie: Lol BST evenwihtiger mken: AVL omen Glol e BST omzetten nr een este lns: DSW lgoritme 7

8 BST OPBOUWEN VANUIT GESORTEERD ARRAY Een goe gelneere BST kn mkkelijk woren opgeouw ls lle wres voorf eken zijn Zet e wres in een rry Sorteer het rry Voeg elementen n e BST toe oor het gesorteere rry reursief met inire zoekressering te oorlopen e f g h i j k l m n o

9 BST OPBOUWEN VANUIT GESORTEERD ARRAY-2 Depth-first of niveu voor niveu toevoeging eie goe (mr 2 vn e mogelijke gelneere opouw volgores) e f g h i j k l m n o e f g h i j k l m n o

10 RESULTERENDE BST h l f j n e g i k m o 4 niveus; mx 2 knopen tussen root en lef 10 ADT BST

11 HEROPBOUW SLECHT GEBALANCEERDE BOOM VIA GESORTEERD ARRAY Gesorteer rry kn woren opgeouw oor een estne BST (InOrer) te oorlopen en gepsseere wres in rry weg te zetten. f i e h l j 7 niveus; min 2, mx 5 knopen tussen root en lef Arry n InOrer oorloop: g e f g h i j k l m n o Vnuit it rry BST gelneer opouwen: k m n o 11

12 (HER)BALANCEREN VAN BST Hoe goe is e lns innen een oom? Hoe krkteriseren we een optimle lns? Hoe goe is e lns oner een knoop? Hoe kunnen we e lns lokl vereteren? Hoe wort e lns verstoor t.g.v. insert/elete? Kunnen we eze npssingen niet utomtish in e ADT opnemen? 12

13 Vershil in hoogte: HOE GOED IS DE BALANS BINNEN EEN BOOM? Miniml 0 lleen voor BST met 2 N -1 knopen Miniml 1 voor BST s met ongelijk 2 N -1 knopen Hoogte=3 Hoogte=4 Hoogte=7 g f f f e g e g e Bleren op 1 niveu Bleren op 2 niveus Kijken nr op hoeveel niveus er leren zijn is niet genoeg! Bl op 1 niveu! 13

14 HOE GOED IS DE BALANS BINNEN EEN BOOM? Mximl hoogtevershil voor sutrees vn elke knoop: Miniml 0 lleen voor BST met 2 N -1 knopen Miniml 1 voor BST s met ongelijk 2 N -1 knopen Mximl N-1 voor BST s met N knopen Mx hoogtevershil=0 Mx hoogtevershil=2 Mx hoogtevershil=6 e g f e g 0<=Mximl hoogtevershil<=n-1 14 f e f g

15 (HOOGTE) GEBALANCEERD (DEFINITIE) Als: Mximl hoogtevershil sutrees elke knoop 0/1 Perfet gelneer ls tevens: Alle leren op 1 of 2 niveus Hoeft niet este resultt te zijn!! Mogelijk AVL resultt Mx hoogtevershil sutrees=1 Bleren op 2 niveus e g f Zeker DSW resultt f e g Mx hoogtevershil sutrees =0 Bleren op 1 niveu 15

16 LOCALE BALANS IN AVL BOOM Blns ftor in elke knoop: Hoogte_rehter_sutree hoogte_linker_sutree e g f Blnsftoren:

17 TREE ALGORITMES VOOR HET BALANCEREN VAN BST S Dure opertie om BST vi rry te lneren O(N) Er is l vroeg gezoht nr wegen om een BST zoner tussenkomst vn een rry te lneren op een O(1) of O(logN) mnier We ekijken vng: - AVL trees - DSW trees PAUZE 17

18 AVL TREES Ael son, Velskii en Lnis (1962) Eigenshp: BST wrij mximl vershil in hoogte vn sutrees 1 is Hoe verminer je e hoogte in een sutree? Vi een zogenme rottie Een rottie is een lokle wijziging vn e BST wrij e (InOrer) volgore ehouen lijft mr lokl e hoogte 1 verminert (L/R) en 1 vermeerert (R/L); het vernert us e lnering tussen e L en R sutrees oner een eple knoop in e oom 18

19 RECHTS ROTATIE voor Lsu = Rsu => Lsu en e linker sutree vn komt 1 niveu hoger; rehter sutree vn lijft op gelijke hoogte ls linker sutree vn ; en rehter sutree komen 1 niveu lger tereht n L L InOrer BST volgore ehouen 19

20 LINKS ROTATIE voor = Lsu Rsu en e rehter sutree vn komen 1 niveu hoger; linker sutree vn lijft op gelijke hoogte ls rehter sutree vn ; en linker sutree komen 1 niveu lger tereht n Rsu R R InOrer BST volgore ehouen 20

21 WELKE ROTATIES NODIG? strt C A ST4 ST1 B ST2 ST3 ST1 A ST2 B ST3 C ST4 ST1 A ST2 B ST3 C ST4 2xR en 1xL B A C ST1 ST2 ST3 ST4 21

22 DUBBELE RECHTS ROTATIE EN 1 X LINKS strt 1xR C A A ST4 => ST1 C ST1 B B ST4 ST2 ST3 ST2 ST3 ST1 A ST2 B ST3 C ST4 ST1 A ST2 B ST3 C ST4 2xR 2xR en 1xL A B ST1 B > A C ST2 C ST1 ST2 ST3 ST4 ST3 ST4 22

23 DSW BALANCERING VAN EEN BST Dy (1976) + Stout & Wrren (1986) Mximl gelneer vi louter rotties Stp 1: roteren nr kone strutuur vi rehts rotties (tot lle linker sutrees leeg) in reverse Inorer knoop volgore (ROL) Stp 2: roteren nr mximl gelneer m..v. linksrotties eginnen op het lgste nivo (M=(Nk-1)/2) stees 2 opvolgene in kone; herhlen met M=(Nk-1)-M zolng M>0 23

24 REVERSE INORDER PAD IN BST V SL O L R InOrer: SL,V,L,O,R Reverse InOrer: R,O,L,V,SL,. 24

25 DSW VOORBEELD OP 7 KNOPEN BST e f g g f e e f g f e g 25

26 DSW VOORBEELD VERVOLG-1 e f g e f g e f g e f g 26 Doorgn tot linker sutree voorste ook leeg -> kone klr

27 DSW VOORBEELD BACKBONE -> BALANCED e f g Strt ompressie fse e f g e f g e f g 27

28 DSW VOORBEELD BACKBONE -> BALANCED 2 e f g e f g e f g f e g Hiermee lgste nivo fgewerkt 28

29 DSW VOORBEELD BACKBONE -> BALANCED 3 e f g f e g e f g f e g 29 Hoogste nivo ltste linksrottie -> klr!

30 DSW BALANCERING GEZIEN VANUIT BACKBONESTRUCTUUR Volgore en etrokkenhei ij linksrotties genummer root h l f j n e g i k m o lrot s lrot s lrot s h l f j n e g i k m o f h j l n e g i k m o e f g h i j k l m n o 30

31 ALTERNATIEF GEBRUIK BST Als je een BST ie n herhl invoegen vn nieuwe elementen en eleten vn oue elementen is ontstn zoner lneren effiient voor veel opzoekwerk wil geruiken, Wt zou je n kunnen oen i.p.v. lneren? 31

32 ALTERNATIEF GEBRUIK BST Als je een BST ie n herhl invoegen vn nieuwe elementen en eleten vn oue elementen is ontstn zoner lneren effiient voor veel opzoekwerk wil geruiken, Wt zou je n kunnen oen i.p.v. lneren? Je zou eze mogelijk sleht gelneere BST Inorer uit kunnen lezen nr een rry (ie e gesorteere rij mr op 1 mnier zl representeren) en rop e inry serhes kunnen uitvoeren Ook kn vnuit it rry een goe gelneere BST kunnen woren opgeouw ter vervnging vn e uit lns gerkte 32

33 BST: THREADED VORM VERSNELLEN INORDER AFLOPEN ZOEKPAD Vrint vn BST Oponthou oor nil-pointers tijens oorloop Elke lef heeft l 2 nil pointers Thre=zet res InOrer opvolger in oom op plts nil-pointer: Nil in linker hil -> thre nr ouer knoop Nil in rehter hil -> thre nr voorouer knoop wrvn huiige knoop verst in linker sutree zit Wt voor een res in hil pointer stt (pointer nr kin/1e niet lege InOrer opvolger) kn m..v. een extr it onersheien woren 33

34 VOORBEELD THREADED BST 34

35 IS BINARY SEARCH SNELSTE ZOEKMETHODE? Hoe zoek je zelf in.v. een telefoongis? 35

36 IS BINARY SEARCH SNELSTE ZOEKMETHODE? Vergelijk met zoeken in telefoongis Rekening houen met e vereling over e pltsnmen en het lfet kies je een ingng meer voorin of meer hterin i.p.v. het mien Als je kennis het vn e vereling vn e gesorteere wres kun je een etere gok oen n stees het mien De eerste stppen kun je n een ntl mlen zoeken omzeilen m..v. een ingngstel.v. inex wrij e K of postoe 5000 egint Je kunt zo mkkelijk nog enkele (egin)stppen uitspren 36

37 OPGESLAGEN WAARDE EN ADRES VAN DEZE WAARDE Als oneken is oner welk res een wre is opgeslgen helpt kennis t e wres gesorteer zijn opgeslgen (inry serh opzoek strtegie mogelijk) Impliiet is er n l iets vn e wre in het res (inex/key) oorgekomen Wt kun je oen ls e op te ergen/op te roepen wre expliiet smenhngt met het res? 37

38 O(1) ZOEKMETHODEN IN DATA? Om in 1 keer een eple key in t te vinen moet je t opslg struturen opzetten ie een intern res krijgen t iret met e op te zoeken key wre smenhngt. Deze zogenme hsh tehnieken komen lter in it ollege n e ore Wres hoeven n ook niet gesorteer te zijn 38

39 H.6: 6.5, 6.6, 6.7 en 6.8 DROZDEK 39